学易金卷：高二数学上学期第三次月考模拟卷03（全国通用，人教A版选修1～4章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）

2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，且，所以，解得， 故选：A 2．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故，所以． 故选：C 3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为， 即 ，又，所以，由，所以； 故选：A 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 【答案】C 【详解】设它们底面圆半径为，母线长为，记圆柱的表面积为，则， 记圆锥的表面积为，则，所以圆柱与圆锥表面积之比. 故选：C 5．在等比数列中，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 当时，即有，又，故且， 当时，有，故不能得到， 即“”不是“”的充分条件； 当时，即有，即且， 则，当时，由，故，故， 当时，，亦可得， 故“”是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知点和以点为圆心的圆，以为直径的圆与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知圆的方程为， 所以，且，则的中点为， 圆的半径为， 故圆的方程为，即， 又圆的方程为，所以公共弦的方程为， 设与交于点，则，则， 又圆的半径，所以. 故选：D. 7．已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【详解】根据题意，，则，即，即数列的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，又，所以. 故选：B 8．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设 ，由双曲线的定义知 ， 在 中，由余弦定理得：， 所以 ， 再由，为的中点，延长至，使， 所以四边形为平行四边形，且， 在中，由余弦定理知：， 在中，由余弦定理知：， 因为，则， 可知， 所以 ③， 由得，   把代入得， 化简得 ， 所以渐近线方程为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 【答案】BD 【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长， 双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是；而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是. 故选：BD 10．已知数列的前项和，则（   ） A．为中的最小项 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ABC 【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，； 当​时，； 当​时，； 可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确； 由题意得，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 选项C，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 选项D，令，则解得，所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【详解】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点， ，，则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即，则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 13．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 ． 【答案】3； 【详解】如图所示： 过点作交于点，利用抛物线定义得到. 设准线交x轴于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以， 所以. 故答案为：3 14．设数列与的通项公式分别为，，令，则 ，数列的前项和 . 【答案】10 【详解】，令n=1，得；，则， 两式相减得： ，则 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 16．已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，． (1)求证：平面； (2)当平面，且时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【详解】（1）因为点、分别是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以，， 又， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面法向量的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则点到平面的距离为， 由勾股定理得， ， 则三棱锥的体积为. 17．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． 18．如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，且点、、、均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【详解】（1）翻折前，，即，， 翻折后，则有，， 又因为，、平面，所以平面． 又平面，所以． （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，，， 故、、、、． （ⅰ）设，则，， ，． 由，可得， 解得，，则，故在线段上． （ⅱ）因为，， 设平面的一个法向量， 则，取，则，，可得， 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，过点M且斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，当时，求m的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线过点且斜率不为0， 不妨设直线的方程为，， 联立，消去并整理得， 此时，则，， 所以，， 因为点在直线上，所以， 因为，所以， 同理得， 所以， 又且，即，所以，异号， 此时， 因为， 所以， 不妨令，则，整理得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．2 2．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 5．在等比数列中，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点和以点为圆心的圆，以为直径的圆与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 8．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 10．已知数列的前项和，则（   ） A．为中的最小项 B． C．数列是等差数列 D． 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 13．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 ． 14．设数列与的通项公式分别为，，令，则 ，数列的前项和 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 16．已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，． (1)求证：平面； (2)当平面，且时，求三棱锥的体积． 17．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 18．如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，且点、、、均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，过点M且斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，当时，求m的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 请在各圈目的容题区域内作答，超出黑色柜形边框限定区域的客案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟 请在各题目的答题区域内作答，部出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 15,(13分) 答题卡 姓名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自已的姓名。准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2:选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或网珠笔答 题：字体工整、笔迹清听。 3,请按题号藏序在各恩目的客题区域内作客，超出 区域书写的容案无效：在草稿纸，试墨卷上容题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4。保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破 标记 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分） [A][B][C][D] s [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7【A][B][C]ID [A][B][C][D] 8[A][B]IC][D] 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 1o [A][B][C][D] 11[A][B][C][D) 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答圈区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答程区域内作答。超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 数学第1页（共6页》 数学第2页（共6页 数学第3页（共6页） (道9计)单9遂友塔 (道9并)丝g张右雅 (道9并)单逝精 1幕圣漾号侧新习惠测雕细鲜可觜甲西‘号#需习留琴阴目别号罗0 整任紫绿侧新习惠消弹貔鲜编莆用碑县将习以朝门岛号丑明 名牛漾号侧海习马阅球卒球场蕾甲朋‘号非到习那转，日酷号丑解 ☆小 (gI)"61 (将L1)81 S)LI 1璃生漾号侧解习哪测理年到命端用册‘装事奔习魔城目醒号)科 1第半漾号阅旗分多潮理孕或端用度*绿制衡器#恸日露号习华 1璃落号侧解习感微理印璃扇端用源‘装排到习服城目路易彩精 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．2 2．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C．2:1 D．3：1 5．在等比数列中，．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知点和以点为圆心的圆，以为直径的圆与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 8．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 10．已知数列的前项和，则（   ） A．为中的最小项 B． C．数列是等差数列 D． 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、 的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是 13．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 ． 14．设数列与的通项公式分别为，，令，则 ，数列的前项和 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 16．已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，． (1)求证：平面； (2)当平面，且时，求三棱锥的体积． 17．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 18．如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，且点、、、均在球的球面上． （ⅰ）证明点在线段上； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，过点M且斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，当时，求m的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．3 14．10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，即①，（1分） 当时，②，（2分） ①②得，， 即，（3分） 即，所以，且，（4分） 所以是以为公差的等差数列．（6分） （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，，（7分） 又，，成等比数列，所以，（8分） 即，解得，（10分） 所以，所以，（12分） 所以，当或时，．（13分） [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，，（7分） 又，，成等比数列，所以，（8分） 即，解得，（10分） 所以，即有. 则当或时，．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为点、分别是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面；（5分） （2）因为平面，平面，所以，， 又， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，（7分） 设平面法向量的法向量为， 则， 解得，令，则，故，（9分） 则点到平面的距离为，（11分） 由勾股定理得，（12分） ，（13分） 则三棱锥的体积为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为.（5分） （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则；（7分） 对应的区间分别为，则，即有2个1；（8分） 对应的区间分别为，则，即有个2；（9分） 对应的区间分别为，则，即有个3；（10分） 对应的区间分别为，则，即有个4；（11分） 对应的区间分别为，则，即有个5；（12分） 对应的区间分别为，则，即有37个6．（13分） 所以．（15分） ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）翻折前，，即，， 翻折后，则有，， 又因为，、平面，所以平面． 又平面，所以．（4分） （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，，， 故、、、、．（7分） （ⅰ）设，则，， ，． 由，可得， 解得，，则，故在线段上．（10分） （ⅱ）因为，， 设平面的一个法向量， 则，取，则，，可得，（15分） 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为， 所以，解得，（4分） 所以椭圆的标准方程为；（5分） （2）因为直线过点且斜率不为0， 不妨设直线的方程为，， 联立，消去并整理得，（7分） 此时，则，， 所以，，（9分） 因为点在直线上，所以，（10分） 因为，所以， 同理得， 所以，（11分） 又且，即，所以，异号，（12分） 此时， 因为， 所以，（14分） 不妨令，则，整理得， 当且仅当，即时，等号成立，（16分） 故.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $