专题4.1 几何图形与线段、射线、直线（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题4.1 几何图形与线段、射线、直线 教学目标 1. 认识常见几何体，知道体、面、线、点以及平面图形、立体图形等概念。 2. 经历将实物图形抽象成几何图形的过程，发展空间观念，感受几何图形在现实生活中广泛应用。 3. 能准确识别几何图形中的线段、射线、直线，掌握三者的定义及表示方法。 4. 理解线段、射线、直线的本质区别，并能通过表格、实例等形式对比总结。​ 5.掌握 “两点确定一条直线” 的基本事实，能运用该性质解释生活中的现象，会进行简单的线段计数与作图。 教学重难点 一、教学重点 1.理解几何图形、直线、射线、线段的定义及本质特征。 2.能将文字语言、图形语言、符号语言相互转化，建立几何表达的规范意识。 二、教学难点 易混淆直线、射线、线段的延伸性、端点个数及长度是否可测，尤其在实际问题中不会灵活运用性质。 知识点01 体、面、线、点 1. 体、面、线、点的定义 体： 长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 . 面：包围着体的是面 .面有平面与曲面两种. 线：几何体中面与面相交形成线 . 线有直线和曲线 . 点：线与线相交得到点 . 2. 体、面、线、点的关系 【即学即练】（25-26七年级上·安徽·阶段练习）几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”．下列现象中能反映“线动成面”的是（   ） A．流星划过夜空 B．笔尖在纸上快速滑动 C．打开折扇 D．直角三角尺绕直角边旋转一周 【答案】C 【详解】解：A． 流星划过夜空是点动成线，不符合题意； B． 笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意； C． 打开折扇是线动成面，符合题意； D． 直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意． 故选：C． 知识点02 常见几何体 1. 几何体的分类： 几何体也可以按照柱体、锥体、球体等来分 . 多面体中面与面的交线是直的，它们叫作多面体的棱 . 多面体中棱与棱的交点叫作顶点 . 圆柱、圆锥中侧面与底面的交线是曲线 . 2. 常见的几何体 分类 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆；侧面是曲的面 有两个面(底面)互相平行且能完全重合 棱柱 底面是多边形；侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆；侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形；侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲的面 【即学即练】将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）． 【答案】 （1）（2）（3） （5）（6） 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）、（2）、（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）、（6）． 故答案为：（1）、（2）、（3）；（5）、（6）． 知识点03 几何图形 1. 几何图形  几何图形是由点、线、面、体组成的 .其中点是最基本的图形，几何图形分为平面图形和立体图形 . 2. 平面图形和立体图形 定义 举例 平面图形 图形上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫作平面图形 直线、角、三角形、圆等 立体图形 图形上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫作立体图形 长方体、圆柱体、球等 【即学即练1】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）下列图形：圆锥、圆柱、圆、球中平面图形有m个，立体图形有n个，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．−2 【答案】D 【详解】解：圆锥是立体图形， 圆柱是立体图形， 圆是平面图形， 球是立体图形， 故平面图形有1个，立体图形有3个， 故，， 则， 故选：D． 【即学即练2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 知识点04 线段、射线、直线的概念及表示方法 一、线段 1. 线段的定义：像长方形的边、长方体的棱，这些图形都是线段. 2. 线段的特征：有两个端点，有长度，无方向 . 3. 线段的表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示；(2) 用一个小写字母表示 . 4. 线段的延长线  (1) 延长线段 AB，是指从端点 A 到 B 的方向延长，如图 4.2-2 ①所示； (2)延长线段 BA，是指从端点 B 到 A 的方向延长，也可以说成反向延长线段 AB，如图 4.2-2 ②所示 . 二、射线 1. 射线的定义 将线段向一个方向无限延长就得到了射线 . 2. 射线的特征 有一个端点，有方向，无长短，向一个方向无限延长 . 3. 表示方法  用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)， 如图 注意： (1) 同一条射线可以有不同的表示方法 . 如图，“射线OA”和“射线 OB”表示同一条射线 . (2) 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如图4.2-5，“射线 AB”和“射线 AO”表示两条不同的射线 . (3) 端点不同，所表示的射线一定不同 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 AB”表示不同的射线 . 三、直线 1. 直线的定义 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 . 2. 直线的特征 没有端点，无长短，向两方无限延伸. 3. 表示方法(如图) (1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示(直线 AB)； (2)用一个小写字母表示(直线 l) 四、直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线 AB 或直线 l 射线 OA 线段 AB 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 直线 射线 线段 联系 向反方向无限延伸，射线和线段都是直线的一部分 【即学即练】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ）    A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【详解】解：由题意知，如图1所示，点C在直线上，A错误，故不符合要求； 如图2所示，射线不经过点A，B错误，故不符合要求； 如图3所示，直线a和直线b相交于点A，C正确，故符合要求； 如图4所示，射线和线段有交点，D错误，故不符合要求； 故选：C． 知识点05 直线的基本事实和相交直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 简单说成： 两点确定一条直线 . 2. 直线的性质：两条直线相交只有一个交点 . 说明： 经过一点的直线有无数条 . 【即学即练】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是 ． 【答案】两点确定一条直线 【详解】解：由题意可知：这种做法依据的几何知识应是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 题型01 平面图形旋转成立体图形 【例1-1】（25-26七年级上·安徽宿州·月考）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个圆柱面，旋转一周后形成的立体图形是一个以旋转轴为中心的空心圆柱． 故选D． 【例1-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，上面的平面图形绕直线旋转一周，可以得到下面的立体图形，请用线段把对应的图形连接起来． 【详解】 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D， 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，请用线连一连． 【详解】解：连接如下： 【变式1-3】（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图①，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形．    (1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ (2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积． 【详解】（1）解：根据题干分析可得：以其中一个直角三角形较长的直角边所在直线为轴，将纸板快速转动，可以形成一个圆锥， 它的体积是， ， （立方厘米）； （2）根据题干分析可得：乙三角形（如图③）旋转一周，可以形成一个空心的圆柱． 体积为： （立方厘米）． 题型02 几何图形中的规律探究题 【例2-1】棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 【例2-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 【详解】（1）解：四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6，五棱柱的棱数为15，关系式为：； 故答案为：6，6，，； （2）解：由题意得，代入得， ， ， ， 解得； （3）解：有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线， 共有条棱， 那么， ， 解得， 故为面体． 【例2-3】将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【详解】（1）解：把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个；各面都没有涂色的有8个； 故答案为． （2）解：根据正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，各面都没涂色内部是个． 正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，有27个是各个面都没有涂色的， 故答案为； （3）解：由（1）（2）可知：当把正方体的棱三等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱四等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱五等分时，没有涂色的小正方形有个， ∴将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的， ， 解得：； ∴至少应该将此正方体的棱6等分， 故答案为6． 【变式2-1】综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 【变式2-2】如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【答案】 3n 2n 2n 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 【变式2-3】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型得 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得， 故答案为：； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线， 共有条棱， ， 解得； 设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，则即为多面体的面数， ． 【变式2-4】欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体．其顶点数、面数、棱数之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉定理．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)【公式发现】根据上面的多面体模型，完成表格中的空格： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 ①_____ 2 8 6 12 3 ②_____ 8 12 4 9 8 ③_____ 你发现顶点数、面数和棱数之间存在的关系式_____． (2)[公式运用]如图，请直接写出正十二面体的顶点数和棱数． (3)[公式综合]已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形排接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． (4)[定理应用]有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，请利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数． 【答案】(1)6，6，15， (2)20，30 (3)20 (4)正五边形为12个，正六边形有20个 【详解】（1）解：表格如下： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 6 2 8 6 12 3 6 8 12 4 9 8 15 由表格中数据可得： 关系式为： （2）解：正十二面体的面数为12，顶点数为20，棱数为； （3）解：∵有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，且两点确定一条直线， ∴共有（条棱） 那么， 解得：， ∴； （4）解：设正五边形个数为，正六边形个数为， 则该足球的面数为， 顶点数为， 棱数为， 由图可知，每个顶点处都遵循一个正五边形，两个正六边形， 由题意得： 解得： 所以正五边形为12个，正六边形有20个． 题型03 根据题目要求画线段、射线、直线 【例3】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)作线段； (2)作射线． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，射线即为所求． 【变式3-1】如图，平面上有四个点A，B，C，D，按要求画图． （1）画直线AB； （2）画射线AD； （3）画线段AC、CD． 【详解】解：如图，直线AB，射线AD，线段AC，线段CD即为所求． 【变式3-2】如图，A，B，C，D四点不在同一直线上，根据下面的要求作图． （1）作线段AB，CD． （2）作射线DA与射线CB交于点E． （3）作直线AC和直线BD交于点F． 【详解】解：（1）如图所示，线段AB，CD即为所求； （2）如图所示，射线DA与射线CB交于点E即为所求； （3）如图所示，直线AC和直线BD交于点F即为所求． 【变式3-3】已知：如图，不在同一条直线上的四个点A、B、C、D，请按下列要求画图（不写画法） （1）画直线AD； （2）画射线AB； （3）画直线BD，在BD上求作点P到A、C两点的距离之和最小，理由是 ． 【详解】解：如图所示： （1）直线AD即为所求作的图形； （2）射线AB即为所求作的图形； （3）画直线BD，连接AC，与BD交于点P，点P为所求．理由是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短． 题型04 确定直线交点的个数 【例4-1】平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【详解】解：当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 综上，平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是0或1或2或3． 故选：D． 【例4-2】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 【例4-3】探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 【答案】交点最多为个 【详解】解：条直线相交最多有交点：个； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； ∴条直线相交最多有个交点， 当时，交点个数为（个）． ∴它们的交点最多为个． 【变式4-1】若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：图1：当四条直线平行时，无交点； 图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点； 图3：当两两直线平行时，有4个交点； 图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点； 图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点； 图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； 图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点； 综上所述，a的最大取值为6， 故选D． 【变式4-2】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 【变式4-3】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【变式4-4】探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 题型05 确定直线的条数 【例5-1】同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图可以画3条直线或1条直线， 故选：C． 【变式5-1】平面上有三个点，过其中每两个点画出一条直线，可以画出的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【详解】解：若三个点在同一直线上，则每两个点确定的直线均为同一条，此时只能画出1条直线， 若三个点不在同一直线上，则每两个点确定一条不同的直线，共能画出3条直线， 综上，根据点的位置不同，可画出的直线条数为1或3． 故选D 【变式5-2】在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n个点最多能确定 条直线． 【答案】 10 【详解】解：∵在平面内，有 2 点最多画 1 条直线，有 3 点最多能画条直线，有 4 点最多能画条直线，有5点最多能画条直线，， ∴平面内有个点（任三点不在同一直线），过其中两点画直线，最多画条， 故答案为：10，． 【变式5-3】【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 答：他们共握了次手． 题型06 线段条数的规律探究及实际应用 【例6-1】如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故选：A． 【例6-2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备 种单程车票． 【答案】 【详解】解：车站需要准备单程车票的种数为：（种）， 故答案为：． 【例6-3】（2024七年级上·安徽·专题练习）如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （2）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， ， 当线段上有个点时，线段总数共有：条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （3）解：当时， 线段总数共有条， 答：当时，线段总数共有条． 【变式6-1】（2024七年级上·安徽·专题练习）一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西4个站点（共6个站点），不同的车站往返需要不同的车票． (1)共有多少种不同的车票？ (2)一列火车往返、两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？ 【答案】(1)30种 (2) 【详解】（1）解：依题意，两站之间的往返车票各一种，即两种， 则个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种， 则6个车站的票的种类数（种； （2）解：依题意，与（1）同理，个车站的票的种类数种． 【变式6-2】（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； （2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． （4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 【变式6-3】【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？ 【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛 【详解】解：观察思考：由题意得，图中线段有线段，共6条； 模型构建：当线段上有2个点（包括端点）时，有1条线段， 当线段上有3个点（包括端点）时，有条线段， 当线段上有4个点（包括端点）时，有条线段， ……， 以此类推，可知线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有条线段； 拓展应用：把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数， ∴一共比赛场； 设该队胜x场比赛，则该队负了场 ∴， 解得， ∴该队胜了3场比赛， 答：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列几何体中不含曲面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得 无曲面． 故选：B． 2．下列图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥， 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列生活物品中，从整体形状上看，可以看作是圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．整体形状有两个平行且相等的圆形底面，侧面是曲面，符合圆柱体的特征，故该选项符合题意； ．底面是多边形，不是圆形，不符合圆柱体“底面是圆形”的特征，故该选项不符合题意； ．形状是圆台(上底面和下底面大小不同的圆形)，不符合圆柱体“两个底面大小相等”的特征，故该选项不符合题意； ．形状是球体与其他部分的组合不是圆柱体，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线． 故选：A． 5．如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【答案】D 【详解】解：图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O， ∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①线段与线段是同一条线段，正确； ②线段与线段不是同一条线段，原来的说法错误； ③直线与直线是同一条直线，正确； ④点A不在线段上，原来的说法错误； ⑤点C在射线上，正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：B． 8．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点…， 按照这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 答：若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为9． 故选B． 9．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（    ） A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个 【答案】D 【详解】解：四条直线经过同一个交点，这时只有一个交点，如图所示： 四条直线不经过同一个交点，这时有4个交点，如图所示： 四条直线没有公共交点，两两相交，这时有6个交点，如图所示： 故选：D． 二、填空题 10．（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）点动成   线动成    面动成 【答案】 线 面 体 【详解】解：点动成线，线动成面，面动成体． 故答案为：线；面；体． 11．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，图中共有 条线段． 【答案】10 【详解】解：图中的线段有，共10条线段， 故答案为：10． 12．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）2024年10月，安徽“宣绩”高铁正式开通运营，标志着宁国市正式进入“高铁时代”．从黄山至合肥的线路中共设有黄山北站、宁国南站、宣城站、芜湖站、合肥站，那么用于这条线路的车票共有 种． 【答案】20 【详解】解：如图： 图中线段的条数为4+3+2+1=10条）， 10×2=20（种）． 故答案为：20． 13．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 【答案】 【详解】解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； …… n条直线交点最多为． 故答案为：；． 14．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】 / 【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点； （2）六棱柱有个面，条棱，个顶点； （3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 故答案为：（1），，；（2），，；（3），，． 三、解答题 15．已知三个点A，B，C，根据下列要求在图中画图： ①画线段； ②画直线； ③连接并延长至H，使得． 【详解】解∶①如图，线段即为所作； ②如图，直线即为所作； ③如图，即为所作； 16．如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． (1)我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全下表： 图号 顶点数 棱数 面数 (2)分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3)根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2025 【详解】（1）解：由题意可得表格如下： 图号 定点数 棱数 面数 （2）解：； ， ； （3）解：， ， 解得． 即它的面数是2025． 17．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）【观察思考】 在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】 如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】 请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 【答案】【观察思考】见解析；【模型构建】线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段；【拓展应用】（1）28；（2）900；（3）；． 【详解】解：【观察思考】   ；   ；    ；  ；   ； 【模型构建】解：， 所以该线上共有条线段， 答：线段上有个点包括线段的两个端点，该线段上共有条线段； 【拓展应用】（1）因为， 所以位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行场比赛； 故答案为：； （2）因为， 所以某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手次； 故答案为：； （3）因为，， 所以海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票种，票价种． 故答案为：；． 18．综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】表格见解析；；20 【详解】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 几何图形与线段、射线、直线 教学目标 1. 认识常见几何体，知道体、面、线、点以及平面图形、立体图形等概念。 2. 经历将实物图形抽象成几何图形的过程，发展空间观念，感受几何图形在现实生活中广泛应用。 3. 能准确识别几何图形中的线段、射线、直线，掌握三者的定义及表示方法。 4. 理解线段、射线、直线的本质区别，并能通过表格、实例等形式对比总结。​ 5.掌握 “两点确定一条直线” 的基本事实，能运用该性质解释生活中的现象，会进行简单的线段计数与作图。 教学重难点 一、教学重点 1.理解几何图形、直线、射线、线段的定义及本质特征。 2.能将文字语言、图形语言、符号语言相互转化，建立几何表达的规范意识。 二、教学难点 易混淆直线、射线、线段的延伸性、端点个数及长度是否可测，尤其在实际问题中不会灵活运用性质。 知识点01 体、面、线、点 1. 体、面、线、点的定义 体： 长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 . 面：包围着体的是面 .面有平面与曲面两种. 线：几何体中面与面相交形成线 . 线有直线和曲线 . 点：线与线相交得到点 . 2. 体、面、线、点的关系 【即学即练】（25-26七年级上·安徽·阶段练习）几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”．下列现象中能反映“线动成面”的是（   ） A．流星划过夜空 B．笔尖在纸上快速滑动 C．打开折扇 D．直角三角尺绕直角边旋转一周 知识点02 常见几何体 1. 几何体的分类： 几何体也可以按照柱体、锥体、球体等来分 . 多面体中面与面的交线是直的，它们叫作多面体的棱 . 多面体中棱与棱的交点叫作顶点 . 圆柱、圆锥中侧面与底面的交线是曲线 . 2. 常见的几何体 分类 图例 特征 柱体 圆柱 底面是圆；侧面是曲的面 有两个面(底面)互相平行且能完全重合 棱柱 底面是多边形；侧面是平行四边形 锥体 圆锥 底面是圆；侧面是曲的面 有一个顶点 棱锥 底面是多边形；侧面是三角形 各侧面有一个公共顶点 球体 表面是曲的面 【即学即练】将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）． 知识点03 几何图形 1. 几何图形  几何图形是由点、线、面、体组成的 .其中点是最基本的图形，几何图形分为平面图形和立体图形 . 2. 平面图形和立体图形 定义 举例 平面图形 图形上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫作平面图形 直线、角、三角形、圆等 立体图形 图形上面的各点不都在同一个平面内，这样的图形叫作立体图形 长方体、圆柱体、球等 【即学即练1】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）下列图形：圆锥、圆柱、圆、球中平面图形有m个，立体图形有n个，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．−2 【即学即练2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 知识点04 线段、射线、直线的概念及表示方法 一、线段 1. 线段的定义：像长方形的边、长方体的棱，这些图形都是线段. 2. 线段的特征：有两个端点，有长度，无方向 . 3. 线段的表示方法 (1) 用线段的两个端点的大写字母表示；(2) 用一个小写字母表示 . 4. 线段的延长线  (1) 延长线段 AB，是指从端点 A 到 B 的方向延长，如图 4.2-2 ①所示； (2)延长线段 BA，是指从端点 B 到 A 的方向延长，也可以说成反向延长线段 AB，如图 4.2-2 ②所示 . 二、射线 1. 射线的定义 将线段向一个方向无限延长就得到了射线 . 2. 射线的特征 有一个端点，有方向，无长短，向一个方向无限延长 . 3. 表示方法  用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)， 如图 注意： (1) 同一条射线可以有不同的表示方法 . 如图，“射线OA”和“射线 OB”表示同一条射线 . (2) 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如图4.2-5，“射线 AB”和“射线 AO”表示两条不同的射线 . (3) 端点不同，所表示的射线一定不同 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 AB”表示不同的射线 . 三、直线 1. 直线的定义 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 . 2. 直线的特征 没有端点，无长短，向两方无限延伸. 3. 表示方法(如图) (1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示(直线 AB)； (2)用一个小写字母表示(直线 l) 四、直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线 AB 或直线 l 射线 OA 线段 AB 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 直线 射线 线段 联系 向反方向无限延伸，射线和线段都是直线的一部分 【即学即练】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ）    A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线和线段没有交点 知识点05 直线的基本事实和相交直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 简单说成： 两点确定一条直线 . 2. 直线的性质：两条直线相交只有一个交点 . 说明： 经过一点的直线有无数条 . 【即学即练】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是 ． 题型01 平面图形旋转成立体图形 【例1-1】（25-26七年级上·安徽宿州·月考）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，上面的平面图形绕直线旋转一周，可以得到下面的立体图形，请用线段把对应的图形连接起来． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，请用线连一连． 【变式1-3】（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图①，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形．    (1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ (2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积． 题型02 几何图形中的规律探究题 【例2-1】棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【例2-2】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 【例2-3】将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【变式2-1】综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【变式2-2】如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【变式2-3】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型得 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________． （2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________． （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值． 【变式2-4】欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体．其顶点数、面数、棱数之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉定理．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)【公式发现】根据上面的多面体模型，完成表格中的空格： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 ①_____ 2 8 6 12 3 ②_____ 8 12 4 9 8 ③_____ 你发现顶点数、面数和棱数之间存在的关系式_____． (2)[公式运用]如图，请直接写出正十二面体的顶点数和棱数． (3)[公式综合]已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形排接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． (4)[定理应用]有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，请利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数． 题型03 根据题目要求画线段、射线、直线 【例3】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)作线段； (2)作射线． 【变式3-1】如图，平面上有四个点A，B，C，D，按要求画图． （1）画直线AB； （2）画射线AD； （3）画线段AC、CD． 【变式3-2】如图，A，B，C，D四点不在同一直线上，根据下面的要求作图． （1）作线段AB，CD． （2）作射线DA与射线CB交于点E． （3）作直线AC和直线BD交于点F． 【变式3-3】已知：如图，不在同一条直线上的四个点A、B、C、D，请按下列要求画图（不写画法） （1）画直线AD； （2）画射线AB； （3）画直线BD，在BD上求作点P到A、C两点的距离之和最小，理由是 ． 题型04 确定直线交点的个数 【例4-1】平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【例4-2】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【例4-3】探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 【变式4-1】若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【变式4-3】一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式4-4】探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 题型05 确定直线的条数 【例5-1】同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 【变式5-1】平面上有三个点，过其中每两个点画出一条直线，可以画出的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【变式5-2】在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n个点最多能确定 条直线． 【变式5-3】【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 题型06 线段条数的规律探究及实际应用 【例6-1】如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【例6-2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备 种单程车票． 【例6-3】（2024七年级上·安徽·专题练习）如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 【变式6-1】（2024七年级上·安徽·专题练习）一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西4个站点（共6个站点），不同的车站往返需要不同的车票． (1)共有多少种不同的车票？ (2)一列火车往返、两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？ 【变式6-2】（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【变式6-3】【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列几何体中不含曲面的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列生活物品中，从整体形状上看，可以看作是圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 6．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 7．如图，下列说法中：①线段与线段是同一条线段；②线段与线段是同一条线段；③直线与直线是同一条直线；④点A在线段上；⑤点C在射线上，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 9．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（    ） A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个 二、填空题 10．（25-26七年级上·安徽阜阳·开学考试）点动成   线动成    面动成 11．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，图中共有 条线段． 12．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）2024年10月，安徽“宣绩”高铁正式开通运营，标志着宁国市正式进入“高铁时代”．从黄山至合肥的线路中共设有黄山北站、宁国南站、宣城站、芜湖站、合肥站，那么用于这条线路的车票共有 种． 13．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 个交点； （2）条直线相交最多有 个交点（，且为正整数）. 14．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 三、解答题 15．已知三个点A，B，C，根据下列要求在图中画图： ①画线段； ②画直线； ③连接并延长至H，使得． 16．如图a是正方体木块，把它切去一块，得到如图b、c、d、e四种木块． (1)我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b、c、d、e中木块的顶点数、棱数、面数补全下表： 图号 顶点数 棱数 面数 (2)分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3)根据猜想计算：若一个多面体的顶点数为2024个，棱数为4047条，试求它的面数． 17．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）【观察思考】 在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】 如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】 请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 18．综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $