11.2立方根（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

本讲义为初中数学立方根专题讲义，以平方根知识为基础，构建立方根的定义（若x³=a则x为立方根）、表示方法（符号³√a，根指数3不可省略）、性质（正负0立方根特点及唯一性）及与平方根对比（根指数、被开方数范围、结果个数）的学习支架，助力知识衔接。 资料含思维导图辅助知识结构化，通过对比表格培养推理意识，分层次练习题（基础计算、规律探索、综合应用）提升运算能力与应用意识。课中助教师清晰授课，课后学生可通过分类练习巩固，有效查漏补缺，落实数学思维与语言的培养。

11.2立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即如果x³=a，那么x叫做a的立方根，记作，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 二、立方根的表示方法 一个数a的立方根用符号“”表示，例如：2的立方是8，所以8的立方根是2，记作=2 三、立方根的性质 1. 正数的立方根是正数：例如，8是正数，它的立方根=2也是正数。 2. 负数的立方根是负数：例如，-8是负数，它的立方根=-2也是负数。 3. 0的立方根是0：因为0³=0，所以³√0=0。 4. 唯一性：任意一个数都有且只有一个立方根（与平方根不同，负数没有平方根，但负数有立方根）。 四、立方根与平方根的区别 对比项 立方根（） 平方根（） 根指数 根指数为3，不能省略 根指数为2，通常省略 被开方数范围 任意实数（正数、负数、0） 非负数（正数和0） 结果个数 只有一个立方根 正数有两个平方根（互为相反数），0只有一个平方根 五、开立方运算 求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，例如：因为2³=8，所以=2（开立方）；反之，因为=2，所以2³=8（立方）。 型 习 练 题 求一个数的立方根 1．下列说法正确的是（    ） A．9是的算术平方根 B．的平方根是3 C．25的平方根是 D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．是大于0的数 B．1的立方根是 C．1的算术平方根是 D．的平方根是 5．的立方根是（    ） A． B． C． D． 已知立方根求这个数 6．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的个数有（    ） ①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 与立方根有关的规律探索 11．已知，如果，则 ． 12．若，，则 ． 13．若，则 ，若，则 ． 14．已知，那么 ． 15．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 算术平方根和立方根的综合应用 16．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 17．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 18．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根．． 19．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 20．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2立方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即如果x³=a，那么x叫做a的立方根，记作，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（根指数3不能省略）。 二、立方根的表示方法 一个数a的立方根用符号“”表示，例如：2的立方是8，所以8的立方根是2，记作=2 三、立方根的性质 1. 正数的立方根是正数：例如，8是正数，它的立方根=2也是正数。 2. 负数的立方根是负数：例如，-8是负数，它的立方根=-2也是负数。 3. 0的立方根是0：因为0³=0，所以³√0=0。 4. 唯一性：任意一个数都有且只有一个立方根（与平方根不同，负数没有平方根，但负数有立方根）。 四、立方根与平方根的区别 对比项 立方根（） 平方根（） 根指数 根指数为3，不能省略 根指数为2，通常省略 被开方数范围 任意实数（正数、负数、0） 非负数（正数和0） 结果个数 只有一个立方根 正数有两个平方根（互为相反数），0只有一个平方根 五、开立方运算 求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，例如：因为2³=8，所以=2（开立方）；反之，因为=2，所以2³=8（立方）。 型 习 练 题 求一个数的立方根 1．下列说法正确的是（    ） A．9是的算术平方根 B．的平方根是3 C．25的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根，掌握这些是解题的关键． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A：，9不是的算术平方根，故A不符合题意； 对于B：，9的平方根是，B不符合题意； 对于C： 25的平方根是，C符合题意； 对于D：，D不符合题意． 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根等知识点，掌握算术平方根的非负性和立方根的符号性质是解题关键． 根据算术平方根为非负数，平方根有两个值；立方根有唯一值且保持符号，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．由立方根的性质：，则，即A选项正确，符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根的概念、算术平方根，熟练掌握平方根和立方根的概念、算术平方根是解题的关键；因此此题可根据平方根和立方根的概念、算术平方根进行排除选项． 【详解】解：选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：表示的立方根，其立方为，故，错误； 故选A． 4．下列说法正确的是（    ） A．是大于0的数 B．1的立方根是 C．1的算术平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，熟练掌握求一个数的平方根、立方根及算术平方根是解题的关键，根据平方根、立方根及算术平方根进行排除选项． 【详解】解：A、是大于等于0的数，故本选项错误，不符合题意； B、1的立方根是1，故本选项错误，不符合题意； C、1的算术平方根是1，故本选项错误，不符合题意； D、的平方根是，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键． 根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 已知立方根求这个数 6．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 7．下列说法正确的个数有（    ） ①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，逐一判定即可． 【详解】①0不是最小的整数，因为没有最小的整数，故①错误； ②绝对值等于它的相反数的数是0或负数，故②错误； ③若且，则，同为负数，故③正确； ④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0或，故④错误； ⑤是多项式，不是单项式，故⑤错误； 综上可知，正确的是③． 故选：A． 8．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 9．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 10．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 与立方根有关的规律探索 11．已知，如果，则 ． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 12．若，，则 ． 【答案】47.4 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键． 根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可． 【详解】， ， 又， ． 故答案为：47.4． 13．若，则 ，若，则 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握平方根、立方根小数点的移动规律是解题的关键． 根据平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，即可求得；根据立方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动三位，结果移动一位，即可求得． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，12． 14．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 15．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 算术平方根和立方根的综合应用 16．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 17．已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键． 根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是， ∴ 将，代入得，， ∴， ∴的算术平方根为4． 18．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 19．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 20．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $