期末复习07：解决问题的策略（知识梳理+2个易错点练习+拔尖训练）-五年级数学上学期易错题型举一反三培优（苏教版）

期末复习07：解决问题的策略 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 一、列举策略（枚举法） 1 二、列表策略 2 三、解决问题的一般步骤 2 四、常见题型与策略应用 3 五、重点提示与易错点 3 六、策略意识培养 3 易错点练习 3 易错点一：用列举法解决图形问题 3 易错点二：用列举法解决搭配问题 6 拔尖训练 9 知识梳理 一、列举策略（枚举法） 1. 认识列举策略 意义：把解决问题的所有可能情况一一列举出来，再从中找到符合条件的答案。 适用场景：解决“求组合数”“求最值”“方案选择”等问题，如“找出两个数的乘积最大/最小的情况”“列举所有可能的购票方案”等。 2. 列举的基本方法 有序列举：按照一定的顺序（如从大到小、从小到大、分类别）依次列举，确保不重复、不遗漏。 ▶ 示例：用1、3、5三个数字组成不同的两位数，有序列举为13、15、31、35、51、53。 分类列举：当情况较复杂时，先按类别拆分，再逐类列举。 ▶ 示例：购买5元的笔记本和8元的钢笔，总钱数不超过50元，可按“买0支钢笔、1支钢笔……”分类列举。 列表列举：用表格整理列举的情况，清晰呈现所有可能（常用“表头+行列数据”形式）。 3. 列举策略的应用步骤 明确条件：找出问题中的限制条件（如“不超过”“至少”“分别是”等）； 确定范围：判断可能的取值范围（如数字的位数、数量的多少）； 有序列举：按顺序或类别列出所有可能情况； 筛选答案：根据条件排除不符合的情况，找出正确结果。 二、列表策略 1. 认识列表策略 意义：用表格整理已知条件和未知量，通过分析数量关系找到解题思路。 优势：直观呈现数据，帮助梳理复杂信息，便于发现规律或等量关系。 2. 列表策略的应用场景 解决两步或多步计算的实际问题，如“行程问题”“购物问题”“工程问题”等； 涉及多个数量关系时，通过列表明确“已知量、未知量、数量关系式”。 3. 列表的基本步骤 设计表头：确定表格的行、列分别表示的量（如“时间、速度、路程”“数量、单价、总价”）； 填写已知数据：将题目中的条件对应填入表格； 分析数量关系：根据表格中的数据，结合公式（如路程=速度×时间）推导未知量； 列式计算：根据分析结果列出算式并求解。 三、解决问题的一般步骤 1.理解题意：圈画关键信息（条件、问题、单位），明确“求什么”“已知什么”； 2.分析关系：判断数量之间的联系（如加减乘除关系、等量关系），选择合适策略（列举、列表等）； 3.列式解答：根据策略列出算式或方程，计算结果（注意单位统一）； 4.检验反思： 检验结果是否符合题意（如“是否超过限制条件”“是否满足所有要求”）； 反思策略是否最优（如“是否有更简便的列举方式”“列表是否清晰”）。 四、常见题型与策略应用 1. 用列举法解决的典型问题 组合问题：如“从若干物品中选2件，有多少种选法”（有序列举或连线法）； 最值问题：如“用固定长度的铁丝围长方形，怎样围面积最大”（列举不同和宽，计算面积比较）； 方案选择：如“怎样租车/购票最省钱”（列举所有方案，比较费用）。 2. 用列表法解决的典型问题 归一/归总问题：如“10千克黄豆榨油3千克，25千克黄豆榨油多少千克”（列表整理“黄豆重量、榨油量”关系）； 鸡兔同笼类问题：如“鸡和兔共10只，脚28只，鸡兔各几只”（列表列举鸡/兔数量，计算脚的总数）。 五、重点提示与易错点 1.列举策略的关键：必须“有序”列举，避免重复或遗漏（可标记“√”“×”区分符合/不符合条件的情况）； 2.列表策略的核心：表头设计要清晰，确保“每行/每列数据对应同一数量关系”； 3.策略选择：复杂问题可结合多种策略（如“先列表整理信息，再列举可能方案”）； 4.生活实际联系：解决问题时需结合生活常识（如“租车/购票时，人数需为整数”“钱数不能为负数”）。 六、策略意识培养 主动思考：遇到问题先问“可以用什么方法整理信息？”“有哪些可能的情况？”； 对比优化：同一问题尝试不同策略（如“列举法”与“画图法”），比较哪种更高效； 积累经验：总结“哪些题型适合列举”“哪些适合列表”，形成解题“策略库”。 易错点练习 易错点一：用列举法解决图形问题 例题：用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 【答案】3种；12平方米 【分析】根据题意，用14根1米长的木条围－一个长方形，则长方形的周长是14米。已知长方形的周长是14米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2可得到长＋宽＝7米，又因为7＝6＋1＝2＋5＝3＋4，可以围成长6米宽1米、长5米宽2米、长4米宽3米的长方形。长方形面积＝从×宽，把数据代入计算即可。 【详解】 答：一共有3种不同的围法，面积最大是12平方米。 【点睛】列举法解决问题能做到不重复、不遗漏。 【变式训练1】小红用20根1分米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？用列表的方法把长和宽列举出来并算出围成的每个长方形的面积。（长和宽不相等且取整分米数） 【答案】4种；长方形的面积分别是24平方分米、21平方分米、16平方分米、9平方分米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，可知这个长方形的周长是20分米，用20÷2即可求出一条长和一条宽的和，也就是10分米，然后把10拆分成2个数相加，先从1开始，有顺序地一一列举，才能找到所有正确答案，可以用表格整理；最后计算出几种不同的围法的长方形的面积。 【详解】20÷2＝10（分米） 10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 长和宽不相等且取整分米数，所以长和宽不等于5分米。 用表格整理： 长（分米） 6 7 8 9 宽（分米） 4 3 2 1 面积（平方分米） 24 21 16 9 答：有4种不同的围法，长方形的面积分别是24平方分米、21平方分米、16平方分米、9平方分米。 【点睛】本题可通过列举和表格法来解决问题。 【变式训练2】学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 【答案】见详解 【分析】因为用15 根1米长的栅栏围一个长方形花圃，一条长边靠墙，所以两个宽＋长＝15米，所以把它写成15＝13＋1×2，15＝11＋2×2，15＝9＋3×2，15＝7＋4×2，15＝5＋5×2，由此得出不同围法下长方形花圃长和宽的长度，进而利用长方形面积公式求出花圃面积。 【详解】由分析得： 共有5种不同的围法。列举如下： 【点睛】本题主要考查通过列举的方法解决一面靠墙围长方形问题。注意：正方形是特殊的长方形。 【变式训练3】用24个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有多少种不同的拼法？请在下面列举出来。再回答问题。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，拼成的长方形周长最大是（    ）厘米。 【答案】填表见详解 （1）4 （2）50 【分析】边长1厘米的小正方形面积是1平方厘米，用24个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积是24平方厘米。长方形的面积＝长×宽，而24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，即长方形长24厘米，宽1厘米；或长12厘米，宽2厘米；或长8厘米，宽3厘米；或长6厘米，宽4厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此计算、填表并回答问题。 【详解】长方形长24厘米，宽1厘米；或长12厘米，宽2厘米；或长8厘米，宽3厘米；或长6厘米，宽4厘米。周长分别为： （24＋1）×2＝50（厘米） （12＋2）×2＝28（厘米） （8＋3）×2＝22（厘米） （6＋4）×2＝20（厘米） 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 （1）一共有4种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，拼成的长方形周长最大是50厘米。 【点睛】本题考查用列举法解决问题。根据长方形的面积公式，把24分解成两个数相乘的形式，从而列举出长和宽是解题的关键。 易错点二：用列举法解决搭配问题 例题：一张靶纸共3圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投了2次，可能得到的环数有（    ）种。 A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】小华投了2次，两次都投中的话，可能投中的圈和环数如表： ，有5种情况； 只投中1次，可能有10环，8环，6环，三种情况； 还有可能两次都没投中，可能0环，一种情况； 【详解】两次都投中的话，小华投了2次，可能得到的环数有20、16、18、14、12，有5种结果。 只投中1次，可能有10环，8环，6环，3种情况； 还有可能两次都没投中，可能0环，1种情况； 一共可能得到的环数有：5＋3＋1＝9种 故答案为：D 【点睛】本题考查了搭配知识，用列举法解答要按顺序写出，防止遗漏和重复。 【变式训练1】一种钢笔有6支装和8支装两种不同的包装。张老师要买46支钢笔作为学生奖品，一共有多少种不同的买法？用表格记录。 【答案】2种；表格见详解 【分析】6支装和8支装的一共46支，先列出6支装的盒数，用48减去6支装的总支数，再除以8，算出8支装的盒数，找出所有符合要求的数量后，用表格表示出来。 【详解】 总数 46 46 6支装 1 5 8支装 5 2 答：一共有2种不同的买法。 【点睛】本题考查用列举的方法解决搭配问题，要根据题目的数量关系，找出符合要求的方案。 【变式训练2】某电影院有6个门，其中A、B、C、D四个门作为出口，甲、乙两个门可以作为入口，也可以作为出口。这个电影院共有多少种不同的进出路线？ 【答案】12种 【分析】甲、乙两个门只可作为入口，进出路线一共有8种，如表： 如果甲、乙也可以作为出口，除了A、B、C、D作为出口的进出路线外，还可以有4种进出路线： 【详解】8＋4＝12（种） 答：这个电影院共有12种不同的进出线路。 【点睛】本题考查搭配问题，关键明确，甲、乙两个门也可以作为出口。 【变式训练3】小芳有下面4枚邮票，用这些邮票能付多少种不同的邮资？              【答案】8种 【分析】分情况考虑：1张邮票的邮资、2张邮票的邮资、3张邮票的邮资、4张邮票的邮资，分别列举出这些情况的不同邮资，再数一数即可。 【详解】1张邮票的邮资有2种：100分、80分； 2张邮票的邮资有3种： 100＋100＝200（分） 100＋80＝180（分） 80＋80＝160（分） 3张邮票的邮资有2种： 100＋100＋80＝280（分） 100＋80＋80＝260（分） 4张邮票的邮资有1种： 100＋100＋80＋80＝360（分） 一共有：2＋3＋2＋1＝8（种） 答：用这些邮票能付8种不同的邮资。 拔尖训练 1．甲、乙、丙、丁、戊5人相遇，甲与4个人握了手，乙与3个人握了手，丙与2个人握了手，丁与1个人握了手，那么戊与（    ）握了手。 A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】先分析甲的握手情况，甲与4个人握了手，由于总共5人，所以甲与乙、丙、丁、戊都握了手； 再分析丁的握手情况，丁只与1个人握了手，结合与甲握手的人可知丁只与甲握了手，与乙、丙、戊未握手； 乙与3个人握了手，丁未与乙握手，所以乙与甲、丙、戊握了手； 丙与2个人握了手，根据前面的推理，丙与甲、乙握了手，未与戊握手； 综合以上推理，戊与甲、乙握了手。 【详解】如下图： 故答案为：A 2．乐乐同学做一个数学实验：他将4个完全一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D，乐乐把它们放入一个不透明的袋里。每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有（    ）种可能。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可能出现的情况有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共有6种情况。 【详解】根据分析可知，每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有6种可能。 故答案为：D 3．2025年江苏省城市足球联赛（苏超联赛）是由江苏省体育局和13个地级市于2025年5月－11月主办的赛事，此次联赛为期7个月，分为常规赛和淘汰赛两个阶段。常规赛中，13支参赛球队将进行单循环较量（每两支球队都要赛一场），一共要举办（    ）场常规赛？ A．156 B．78 C．85 D．26 【答案】B 【分析】“单循环赛”的规则：每两支队伍之间只比赛一次，且不重复计算。参赛队伍数量为13支，每支队伍都要和其他（13－1）支队伍各比一场，因此初步计算总场数为：13×（13－1），但这样计算时，每一场比赛（如甲队对乙队）会被算两次（甲队算一次，乙队也算一次），所以需要除以2来去除重复计算的部分，即13×（13－1）÷2，计算出结果，即可求出一共要举办多少场常规赛。 【详解】13×（13－1）÷2 ＝13×12÷2 ＝78（场） 即一共要举办78场常规赛。 故答案为：B 4．有1克、2克、4克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（    ）种不同质量的物体。（注意：砝码只能放在天平的右侧） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，如果选其中的一个砝码，可以称出1克、2克、4克的物体；如果选其中的两个砝码，1＋2＝3（克），1＋4＝5（克），2＋4＝6（克），即可以称出3克、5克、6克的物体；如果选其中的三个砝码，1＋2＋4＝7（克），即可以称出7克的物体。据此解答。 【详解】通过分析可得：如果选其中的一个砝码，可以称出3种不同质量的物体；如果选其中的两个砝码，可以称出3种不同质量的物体；如果选其中的三个砝码，可以称出1种不同质量的物体。3＋3＋1＝7（种），则一共能在天平上直接称出7种不同质量的物体。 故答案为：A 5．有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 【答案】C 【分析】采用淘汰制，第一轮要赛12÷2＝6场，第二轮要赛6÷2＝3场，第三轮要赛（3－1）÷2＝1场，第四轮要赛（1＋1）÷2＝1场。据此求出总场数即可。 【详解】12÷2＝6（场） 6÷2＝3（场） （3－1）÷2 ＝2÷2 ＝1（场） （1＋1）÷2 =2÷2 ＝1（场） 6＋3＋1＋1=11（场） 所以一共要比赛11场。 故答案为：C 【点睛】淘汰赛制参赛队数与比赛场数之间的关系为：参赛队数－1＝比赛总场数。 6．社区举行篮球比赛，18支队伍参赛，比赛采取单场淘汰制（每场比赛淘汰1支队伍），那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【答案】17 【分析】在单场淘汰制比赛中，每场比赛淘汰1支队伍，最终产生冠军时仅剩1支未淘汰的队伍，因此进行的场次＝总队伍数－1即可求解。 【详解】18－1＝17（场），由于每场比赛淘汰1支队伍，故需要进行17场比赛才能淘汰17支队伍，从而产生冠军。 7．学校举行乒乓球比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一名选手）进行。现有32名同学参加单打比赛，一共要进行( )场比赛才能产生单打冠军。 【答案】31 【分析】根据题意，现有32名同学参加单打比赛，比赛以单场淘汰制，即每场比赛淘汰1人；32人两两比赛，第一轮，进行32÷2＝16场，剩下16人；第二轮，进行16÷2＝8场，剩下8人；第三轮，进行8÷2＝4场，剩下4人；第四轮，进行4÷2＝2场，剩下2人；第五轮，进行2÷2＝1场，剩下1人，即可产生冠军，一共进行了（16＋8＋4＋2＋1）场比赛。 【详解】32÷2＝16（场） 16÷2＝8（场） 8÷2＝4（场） 4÷2＝2（场） 2÷2＝1（场） 16＋8＋4＋2＋1＝31（场） 一共要进行31场比赛才能产生单打冠军。 8．小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通( )次电话，他们4个人互相发一条微信问候，一共要发( )条。 【答案】 6 12 【分析】小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，通过列举法分析：小明和小红、小明和小华、小明和小丽、小红和小华、小红和小丽、小华和小丽，依次为3次，2次，1次，所以一共要通6次电话。他们4个人互相发一条微信问候，小明要给小红、小华、小丽发微信，共3条；小红要给小明、小华、小丽发微信，共3条；小华要给小明、小红、小丽发微信，共3条；小丽要给小明、小红、小华发微信，共3条，所以总共4×3＝12条。 【详解】4人互相通话，两人通一次即可，按顺序累加3＋2＋1＝6次，所以小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通6次电话； 4人互相发微信，有发送接收顺序，即每人给另外3人发，4人就共发4×3＝12条，所以他们4个人互相发一条微信问候，一共要发12条。 9．有3支球队要举行足球比赛，规定每两支球队之间都要比赛一场，一共要比赛( )场；如果采用淘汰制，最后决出冠军，一共要赛( )场。 【答案】 3 2 【分析】（1）有3支足球队参加比赛，每两个队都比赛一场，即每支球队都要与其它三支球队比赛一场，每支球队要赛三场，所有球队要参赛3×2＝6（场），由于比赛是在两队之间进行的，所以共比赛6÷2＝3（场）。 （2）淘汰赛的规则是：每场比赛淘汰一队，直到决出冠军。如果采用淘汰赛制，第一场：任意两队比赛，胜者晋级，败者淘汰。 第二场：第一场的胜者与剩余一队比赛，决出冠军。 总共需要2场比赛。 【详解】根据分析可知： 3×（3－1）÷2 ＝3×2÷2 ＝3（场） 有3支球队要举行足球比赛，规定每两支球队之间都要比赛一场，一共要比赛（3）场；如果采用淘汰制，最后决出冠军，一共要赛（2）场。 10．女巫的10个盒子中分别装有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9颗珍珠。商人要选出其中4个盒子，并把盒子里的珍珠平分给三个女儿，商人有( )种不同的选法。 【答案】72 【分析】要选出其中4个盒子，并把盒子里的珍珠平分给三个女儿，那就要求选出的三个数之和是3的倍数，根据除以3的余数对0~9这9个数进行分类，根据余数的特征进行求解。 【详解】除以3余0：0，3，6，9； 除以3余1：1，4，7； 除以3余2：2，5，8； 从除以3余1这一组中选三个，再从除以3余0这一组中选一个： 1×4＝4（种） 从除以3余2这一组中选三个，再从除以3余0这一组中选一个： 1×4＝4（种） 从除以3余1这一组中选2个，再从除以3余2这一组中选二个： 3×3＝9（种） 从除以3余0这一组中选二个，从除以3余1这一组中选一个，从除以3余2这一组中选一个： 6×3×3＝54（种） 从除以3余0这一组中选四个： 1种选法； 4＋4＋9＋54＋1＝72（种） 因此，商人有72种不同的选法。 【点睛】本题考查的是计数问题，加乘原理是计数中最常用的方法。 11．学校举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是甲队、乙队、丙队和丁队，每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，积分规则为球队获胜得3分，平局得1分，输球得0分，最后一轮会有( )种得分情况（例如：甲队得3分、丁队得0分、丙队得1分、乙队得1分”是一种得分情况）。 【答案】 6 9 【分析】每支球队都要与其余的（4－1）支球队比赛一场，共要比赛4×（4－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2，就是比赛总场数； 如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，每场比赛有3种可能，即甲队赢，丁队输；甲队输，丁队赢；甲队平，丁队平。乙队和丙队也是同样的3种可能，甲队和丁队的每种情况都对应乙队和丙队3种情况，共（3×3）种得分情况。 【详解】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（场） 3×3＝9（种） 每两支球队比赛一场，一共要比赛6场。最后一轮会有9种得分情况 12．国庆节期间，三名同学互相通一次电话，一共通了( )次电话。见面后每两名同学又互相赠送一张贺卡，一共需要( )张贺卡。 【答案】 3 6 【分析】 用○代表1名同学，通话总次数如图，因为是互相赠送一张贺卡，每人都得向另外2名同学分别赠送1张贺卡，一共有3名同学，因此用人数×2＝需要的贺卡总数量。 【详解】2＋1＝3（次） 3×2＝6（张） 一共通了3次电话。一共需要6张贺卡。 13．小红有数字卡片3、6、2，小华有数字卡片4、1、7。他们每人每次拿一张卡片，一共有( )种不同的拿法；如果把每次拿出的两张卡片上的数字相加，可以得到( )个不同的和。 【答案】 9 7 【分析】可以用列表法按一定的顺序把小红的数字卡片和小华的数字卡片两两组合，最后数一数一共有几种不同的组合就有几种不同的拿法；将不同拿法得到的两张卡片上的数字相加，即可知有几种不同的和。 【详解】小红的数字卡片3、6、2和小华的数字卡片4、1、7两两组合，并分别算出它们的和，如下表： 分析表格可知，一共有9种不同的拿法；如果把每次拿出的两张卡片上的数字相加，可以得到7个不同的和。 14．园园和乐乐两人进行围棋比赛，谁先胜三局谁就取得比赛的胜利。如果最后园园获胜了，那么她们可能比赛了多少局？共有多少种比赛情况？ 【答案】10种 【分析】园园最后获胜了，说明园园赢了3局，此时园园可能输了0局或1局或2局，所以她们可能比赛了3局或4局或5局。如果比赛了3局，那么比赛情况只有1种。如果比赛了4局，那么第4局园园赢，前3局园园输1局，有3种比赛情况。如果比赛了5局，那么第5局园园赢，前4局园园赢2局，有（种）比赛情况。故共有（种）比赛情况。 【详解】她们可能比赛了3局或4局或5局。当比赛了3局时，只有1种情况；当比赛了4局时，有3种情况；当比赛了5局时，有6种情况。故共有（种）比赛情况。 15．已知A站与H站之间的总里程为1500千米，全程票价为600元。下面是A站与沿途各车站之间的里程数（单位：千米），张叔从B站上车，买了一张票价为360元的车票，他的目的地是哪一站？（计算说明） 【答案】F站 【分析】用全程票价除以总里程求出每千米的票价，再用360元除以每千米的票价求出他行驶的里程数，因为从B站上车，所以再用300千米加上这个里程数就是他的目的地站点。 【详解】600÷1500＝0.4（元） 360÷0.4＝900（千米） 300＋900＝1200（千米） 由里程图可知，距A站1200千米处正好是F站。 答：他的目的地是F站。 16．王阿姨在花卉市场选中三种花盆，单价分别是10.8元/个、8.5元/个和5.2元/个；有两种洒水壶，单价分别是15元/个、12元/个。 （1）买一个花盆和一个洒水壶，一共有多少种不同的选法？ （2）买8个花盆和1个洒水壶，最少要花多少元，最多呢？ 【答案】（1）6种； （2）最少53.6元；最多101.4元 【分析】（1）买一个花盆有3种选法，买一个洒水壶有2种选法，最后用乘法求出买一个花盆和一个洒水壶所有不同的选法； （2）需要钱数最少时买单价最便宜的花盆和洒水壶，需要钱数最多时买单价最贵的花盆和洒水壶，最后根据“总价＝单价×数量”求出需要花的总钱数，据此解答。 【详解】（1）3×2＝6（种） 答：一共有6种不同的选法。 （2）最少：5.2×8＋12 ＝41.6＋12 ＝53.6（元） 最多：10.8×8＋15 ＝86.4＋15 ＝101.4（元） 答：最少要花53.6元，最多要花101.4元。 17．有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时；一根比较粗，长20厘米，可以点4小时。同时点燃这两根蜡烛，几小时后，这两根蜡烛一样长？ 时间/时 0 1 2 3 4 细蜡烛长度/厘米 30 粗蜡烛长度/厘米 20 【答案】2小时 【分析】一根比较细，长30厘米，可以点3小时，则每小时可燃30÷3＝10（厘米），一根比较粗，长20厘米，可以点4小时，则每小时可燃20÷4＝5（厘米），然后用原来的长度减去每小时燃掉的长度求出剩下的长度，据此填表，找到两根蜡烛一样长时的时间即可。 【详解】30÷3＝10（厘米） 所以每过1小时细蜡烛的长度减少10厘米； 20÷4＝5（厘米） 所以每过1小时粗蜡烛的长度减少5厘米。 时间/时 0 1 2 3 4 细蜡烛长度/厘米 30 20 10 0 0 粗蜡烛长度/厘米 20 15 10 5 0 从表中可以看出2小时后，这两根蜡烛一样长。 答：2小时后，这两根蜡烛一样长。 18．有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，共有多少种不同的拿法？每次拿出的币值是多少？在下表中填一填，再回答。 1角硬市数量/枚 5角硬币数量/枚 1元硬币数量/枚 币值/元 【答案】7种；拿出的币值是0.1元、0.5元、1元、0.6元、1.1元、1.5元和1.6元 【分析】有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，可以每次取出1枚，共有3种；每次取出2枚，共有3种；每次取出3枚，共有1种；由此一共有3＋3＋1＝7种不同拿法，据此列举解答即可。 【详解】每次取出1枚，共有3种； ①1角1枚，币值1角＝0.1元； ②5角1枚，币值5角＝0.5元； ③1元1枚，币值1元； 每次取出2枚，共有3种； ①1角1枚，5角1枚，币值1角＋5角＝6角＝0.6元； ②1角1枚，1元1枚，币值1角＋1元＝1元1角＝1.1元； ③5角1枚，1元1枚，币值5角＋1元＝1元5角＝1.5元； 每次取出3枚，共有1种；1角1枚，5角1枚，1元1枚，币值1角＋5角＋1元＝1元6角＝1.6元 填表如下： 1角硬市数量/枚 1 0 0 1 1 0 1 5角硬币数量/枚 0 1 0 1 0 1 1 1元硬币数量/枚 0 0 1 0 1 1 1 币值/元 0.1 0.5 1 0.6 1.1 1.5 1.6 答：共有7种不同的拿法，每次拿出的币值是0.1元、0.5元、1元、0.6元、1.1元、1.5元和1.6元。 19．一个旅游团共287人，现在要租车到某地游览。有两种车可供选择：54座的大巴，每辆租金432元；24座的中巴，每辆租金204元。怎样租车既能使每个游客都有座位，又最省钱？ 【答案】租4辆大巴车，3辆中巴车 【分析】租车优化问题：首先考虑人均便宜的车多租，同时减少空座减少浪费，以这两个为原则分析。由“54座的大巴，每辆租金432元”计算出大巴车每个人需：432÷54＝8（元）；由“24座的中巴，每辆租金204元”计算出中巴车每个人需：204÷24＝8.5（元）； 以省钱为原则，则尽量租大巴车。287÷54＝5（辆）……17（人）。5辆大巴车坐满还剩余17人，可以选择租一辆中巴，这样会浪费：24－17＝7（个）座位。 或者选择4辆大巴车，运走54×4＝216（人），还剩71人，选择3辆中巴车，这样会浪费：24×3－71＝72－71＝1（个）座位。对比这两种方案的租金进行比较求解即可。 【详解】方案一：租5辆大巴车，1辆中巴车 租金：432×5＋1×204 ＝2160＋204 ＝2364（元） 方案二：租4辆大巴车，3辆中巴车 租金：432×4＋3×204 ＝1728＋612 ＝2340（元） 2340＜2364 答：租4辆大巴车，3辆中巴车既能使每个游客都有座位，又最省钱。 20．一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中1次，可能得多少环？投中2次呢？ 【答案】小华投中1次，可能得10环、8环、6环。小华投中2次，可能得20环、18环、16环、14环、12环。 【分析】投中一次时，可能投中的是外圈、中圈或内圈； 投中两次，投中的可能是内圈和内圈，内圈和中圈，内圈和外圈； 还可能是中圈和中圈，中圈和外圈，或者是外圈和外圈，据此解答即可。 【详解】10＋10＝20（环）、10＋8＝18（环）、10＋6＝16（环） 8＋8＝16（环）、8＋6＝14（环）、6＋6＝12（环） 答：小华投中1次，可能得10环、8环、6环。小华投中2次，可能得20环、18环、16环、14环、12环。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07：解决问题的策略 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 一、列举策略（枚举法） 1 二、列表策略 2 三、解决问题的一般步骤 2 四、常见题型与策略应用 3 五、重点提示与易错点 3 六、策略意识培养 3 易错点练习 3 易错点一：用列举法解决图形问题 3 易错点二：用列举法解决搭配问题 5 拔尖训练 6 知识梳理 一、列举策略（枚举法） 1. 认识列举策略 意义：把解决问题的所有可能情况一一列举出来，再从中找到符合条件的答案。 适用场景：解决“求组合数”“求最值”“方案选择”等问题，如“找出两个数的乘积最大/最小的情况”“列举所有可能的购票方案”等。 2. 列举的基本方法 有序列举：按照一定的顺序（如从大到小、从小到大、分类别）依次列举，确保不重复、不遗漏。 ▶ 示例：用1、3、5三个数字组成不同的两位数，有序列举为13、15、31、35、51、53。 分类列举：当情况较复杂时，先按类别拆分，再逐类列举。 ▶ 示例：购买5元的笔记本和8元的钢笔，总钱数不超过50元，可按“买0支钢笔、1支钢笔……”分类列举。 列表列举：用表格整理列举的情况，清晰呈现所有可能（常用“表头+行列数据”形式）。 3. 列举策略的应用步骤 明确条件：找出问题中的限制条件（如“不超过”“至少”“分别是”等）； 确定范围：判断可能的取值范围（如数字的位数、数量的多少）； 有序列举：按顺序或类别列出所有可能情况； 筛选答案：根据条件排除不符合的情况，找出正确结果。 二、列表策略 1. 认识列表策略 意义：用表格整理已知条件和未知量，通过分析数量关系找到解题思路。 优势：直观呈现数据，帮助梳理复杂信息，便于发现规律或等量关系。 2. 列表策略的应用场景 解决两步或多步计算的实际问题，如“行程问题”“购物问题”“工程问题”等； 涉及多个数量关系时，通过列表明确“已知量、未知量、数量关系式”。 3. 列表的基本步骤 设计表头：确定表格的行、列分别表示的量（如“时间、速度、路程”“数量、单价、总价”）； 填写已知数据：将题目中的条件对应填入表格； 分析数量关系：根据表格中的数据，结合公式（如路程=速度×时间）推导未知量； 列式计算：根据分析结果列出算式并求解。 三、解决问题的一般步骤 1.理解题意：圈画关键信息（条件、问题、单位），明确“求什么”“已知什么”； 2.分析关系：判断数量之间的联系（如加减乘除关系、等量关系），选择合适策略（列举、列表等）； 3.列式解答：根据策略列出算式或方程，计算结果（注意单位统一）； 4.检验反思： 检验结果是否符合题意（如“是否超过限制条件”“是否满足所有要求”）； 反思策略是否最优（如“是否有更简便的列举方式”“列表是否清晰”）。 四、常见题型与策略应用 1. 用列举法解决的典型问题 组合问题：如“从若干物品中选2件，有多少种选法”（有序列举或连线法）； 最值问题：如“用固定长度的铁丝围长方形，怎样围面积最大”（列举不同和宽，计算面积比较）； 方案选择：如“怎样租车/购票最省钱”（列举所有方案，比较费用）。 2. 用列表法解决的典型问题 归一/归总问题：如“10千克黄豆榨油3千克，25千克黄豆榨油多少千克”（列表整理“黄豆重量、榨油量”关系）； 鸡兔同笼类问题：如“鸡和兔共10只，脚28只，鸡兔各几只”（列表列举鸡/兔数量，计算脚的总数）。 五、重点提示与易错点 1.列举策略的关键：必须“有序”列举，避免重复或遗漏（可标记“√”“×”区分符合/不符合条件的情况）； 2.列表策略的核心：表头设计要清晰，确保“每行/每列数据对应同一数量关系”； 3.策略选择：复杂问题可结合多种策略（如“先列表整理信息，再列举可能方案”）； 4.生活实际联系：解决问题时需结合生活常识（如“租车/购票时，人数需为整数”“钱数不能为负数”）。 六、策略意识培养 主动思考：遇到问题先问“可以用什么方法整理信息？”“有哪些可能的情况？”； 对比优化：同一问题尝试不同策略（如“列举法”与“画图法”），比较哪种更高效； 积累经验：总结“哪些题型适合列举”“哪些适合列表”，形成解题“策略库”。 易错点练习 易错点一：用列举法解决图形问题 例题：用14根1米的木头围成一个长方形，一共有多少种不同的围法？请列举出来。面积最大是多少平方米？ 【变式训练1】小红用20根1分米长的小棒围成一个长方形，有多少种不同的围法？用列表的方法把长和宽列举出来并算出围成的每个长方形的面积。（长和宽不相等且取整分米数） 【变式训练2】学校打算利用一面围墙和15根1米长的栅栏围成一个长方形花圃（如图），长和宽都是整米数，共有多少种不同的围法？每种围法得到的长方形花圃的面积各是多少？尝试在下表中列举出来。 【变式训练3】用24个边长1厘米的小正方形拼成一个长方形，一共有多少种不同的拼法？请在下面列举出来。再回答问题。 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，拼成的长方形周长最大是（    ）厘米。 易错点二：用列举法解决搭配问题 例题：一张靶纸共3圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投了2次，可能得到的环数有（    ）种。 A．5 B．6 C．8 D．9 【变式训练1】一种钢笔有6支装和8支装两种不同的包装。张老师要买46支钢笔作为学生奖品，一共有多少种不同的买法？用表格记录。 【变式训练2】某电影院有6个门，其中A、B、C、D四个门作为出口，甲、乙两个门可以作为入口，也可以作为出口。这个电影院共有多少种不同的进出路线？ 【变式训练3】小芳有下面4枚邮票，用这些邮票能付多少种不同的邮资？              拔尖训练 1．甲、乙、丙、丁、戊5人相遇，甲与4个人握了手，乙与3个人握了手，丙与2个人握了手，丁与1个人握了手，那么戊与（    ）握了手。 A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙 D．丁 2．乐乐同学做一个数学实验：他将4个完全一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D，乐乐把它们放入一个不透明的袋里。每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有（    ）种可能。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．2025年江苏省城市足球联赛（苏超联赛）是由江苏省体育局和13个地级市于2025年5月－11月主办的赛事，此次联赛为期7个月，分为常规赛和淘汰赛两个阶段。常规赛中，13支参赛球队将进行单循环较量（每两支球队都要赛一场），一共要举办（    ）场常规赛？ A．156 B．78 C．85 D．26 4．有1克、2克、4克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（    ）种不同质量的物体。（注意：砝码只能放在天平的右侧） A．7 B．6 C．5 D．4 5．有12支排球队参加比赛，以单场淘汰制进行（即每场比赛淘汰1支球队）。如果要决出冠军，一共要比赛（    ）场。 A．6 B．8 C．11 D．12 6．社区举行篮球比赛，18支队伍参赛，比赛采取单场淘汰制（每场比赛淘汰1支队伍），那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 7．学校举行乒乓球比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一名选手）进行。现有32名同学参加单打比赛，一共要进行( )场比赛才能产生单打冠军。 8．小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通( )次电话，他们4个人互相发一条微信问候，一共要发( )条。 9．有3支球队要举行足球比赛，规定每两支球队之间都要比赛一场，一共要比赛( )场；如果采用淘汰制，最后决出冠军，一共要赛( )场。 10．女巫的10个盒子中分别装有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9颗珍珠。商人要选出其中4个盒子，并把盒子里的珍珠平分给三个女儿，商人有( )种不同的选法。 11．学校举行小学生足球赛，有4支球队参加，分别是甲队、乙队、丙队和丁队，每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。如果最后一轮2场比赛同时进行，对阵双方分别是“甲队－丁队、乙队－丙队”，积分规则为球队获胜得3分，平局得1分，输球得0分，最后一轮会有( )种得分情况（例如：甲队得3分、丁队得0分、丙队得1分、乙队得1分”是一种得分情况）。 12．国庆节期间，三名同学互相通一次电话，一共通了( )次电话。见面后每两名同学又互相赠送一张贺卡，一共需要( )张贺卡。 13．小红有数字卡片3、6、2，小华有数字卡片4、1、7。他们每人每次拿一张卡片，一共有( )种不同的拿法；如果把每次拿出的两张卡片上的数字相加，可以得到( )个不同的和。 14．园园和乐乐两人进行围棋比赛，谁先胜三局谁就取得比赛的胜利。如果最后园园获胜了，那么她们可能比赛了多少局？共有多少种比赛情况？ 15．已知A站与H站之间的总里程为1500千米，全程票价为600元。下面是A站与沿途各车站之间的里程数（单位：千米），张叔从B站上车，买了一张票价为360元的车票，他的目的地是哪一站？（计算说明） 16．王阿姨在花卉市场选中三种花盆，单价分别是10.8元/个、8.5元/个和5.2元/个；有两种洒水壶，单价分别是15元/个、12元/个。 （1）买一个花盆和一个洒水壶，一共有多少种不同的选法？ （2）买8个花盆和1个洒水壶，最少要花多少元，最多呢？ 17．有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时；一根比较粗，长20厘米，可以点4小时。同时点燃这两根蜡烛，几小时后，这两根蜡烛一样长？ 时间/时 0 1 2 3 4 细蜡烛长度/厘米 30 粗蜡烛长度/厘米 20 18．有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，共有多少种不同的拿法？每次拿出的币值是多少？在下表中填一填，再回答。 1角硬市数量/枚 5角硬币数量/枚 1元硬币数量/枚 币值/元 19．一个旅游团共287人，现在要租车到某地游览。有两种车可供选择：54座的大巴，每辆租金432元；24座的中巴，每辆租金204元。怎样租车既能使每个游客都有座位，又最省钱？ 20．一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中1次，可能得多少环？投中2次呢？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $