期末复习05：小数乘法和除法（知识梳理+32个易错点练习+拔尖训练）-五年级数学上学期易错题型举一反三培优（苏教版）

该小学数学期末复习讲义通过知识梳理模块系统构建小数乘除法知识体系，以框架图呈现小数乘法、除法、运算规律、混合运算及解决实际问题五大板块，用对比表格归纳积与商的变化规律，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于32个易错点的精准突破设计，每个易错点配套例题与变式训练，如运用小数点移动解决单位换算问题培养量感，“进一法”“去尾法”实际应用题发展模型意识。拔尖训练题满足分层需求，助力不同学生提升运算能力与推理意识，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

期末复习05：小数乘法和除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 一、小数乘法 2 二、小数除法 3 三、小数乘除法的规律 3 四、小数混合运算 3 五、解决实际问题 4 六、重点提示 4 4.养成验算的好习惯，提高计算的正确率 4 易错点练习 4 易错点一：小数与整数的乘法及应用 4 易错点二：小数点向右引起小数大小变化的规律 5 易错点三：除数是整数的小数除法及应用 5 易错点四：小数点向左引起小数大小变化的规律 6 易错点五：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 6 易错点六：与小数点移动相关的和倍差问题 7 易错点七：小数与小数的乘法及应用 7 易错点八：积的小数位与乘数小数位的关系 7 易错点九：积的变化规律（小数乘法） 8 易错点十：小数的连乘运算 8 易错点十一：因数和积的的大小关系（小数乘法） 8 易错点十二：用“四舍五入”法求积的近似数 9 易错点十三：还原小数近似数的问题 9 易错点十四：除数是小数的除法计算及应用 9 易错点十五：被除数和商的大小关系（小数除法） 10 易错点十六：错中求解问题（小数除法） 10 易错点十七：小数的连除运算 11 易错点十八：用“四舍五入”法求商的近似数 11 易错点十九：判断被除数的最大值和最小值 12 易错点二十：循环小数的认识和简写 12 易错点二十一：有限小数和无限小数的认识 12 易错点二十二：循环小数比大小 13 易错点二十三：循环小数和周期性规律综合问题 13 易错点二十四：用计算器探究规律 13 易错点二十五：用“进一法”解决问题 15 易错点二十六：用“去尾法”解决问题 15 易错点二十七：小数的乘、除法混合运算 15 易错点二十八：整数乘法运算律推广到小数乘法 16 易错点二十九：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 16 易错点三十：小数除法相关的简便计算 17 易错点三十一：利用小数四则混合运算解决问题 17 易错点三十二：分段计费问题（小数乘法） 18 易错点三十二：分段计费问题（小数除法） 18 拔尖训练 19 知识梳理 一、小数乘法 1.小数乘整数 意义：求几个相同加数的和的简便运算 计算方法：先按整数乘法计算，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点 注意：积的小数末尾有0要去掉 2.小数乘小数 计算方法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点 特殊情况：如果积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点 3.积的近似值 方法：根据需要，按"四舍五入"法保留一定的小数位数 步骤：先算出准确的积，再按要求保留小数位数 二、小数除法 1.除数是整数的小数除法 计算方法：按整数除法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐 特殊情况：如果除到被除数的末尾仍有余数，要在余数后面添0继续除 2.除数是小数的除法 计算方法：先把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），再按除数是整数的除法计算 3.商的近似值 方法：根据需要，按"四舍五入"法保留一定的小数位数 求商的近似值时，一般要除到比需要保留的小数位数多一位 三、小数乘除法的规律 1.积的变化规律 一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数 一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变 2.商的变化规律 被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，商也扩大（或缩小）相同的倍数 除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，商反而缩小（或扩大）相同的倍数 被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变 四、小数混合运算 1.运算顺序 同级运算：从左往右依次计算 不同级运算：先算乘除，后算加减 有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的 2.简便运算 运用乘法交换律、结合律和分配律进行简便计算 注意观察算式特点，选择合适的简便方法 五、解决实际问题 1.常见数量关系 总价=单价×数量 路程=速度×时间 工作总量=工作效率×工作时间 2.解决问题的步骤 理解题意，找出已知条件和问题 分析数量关系，确定解题方法 列式计算，求出结果 检验答案，写出答语 3.特殊问题 "进一法"解决实际问题：根据实际情况，不管小数部分是多少，都要向前一位进一 "去尾法"解决实际问题：根据实际情况，不管小数部分是多少，都要舍去尾数 六、重点提示 1.计算小数乘除法时，要注意小数点的位置 2.计算结果要根据题目要求保留一定的小数位数 3.解决实际问题时，要结合生活实际选择合适的方法 4.养成验算的好习惯，提高计算的正确率 易错点练习 易错点一：小数与整数的乘法及应用 例题：中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 【变式训练1】小明要步测从学校到少年宫的距离，他走一步的平均长度是0.5米，照这样，他从学校到少年宫走了1000步。学校和少年宫大约相距多少米？ 易错点二：小数点向右引起小数大小变化的规律 例题：王大伯今年收获了2.4吨苹果，其中一半达到一级质量标准，其余达到二级质量标准。如果不分等级出售，每千克为6.5元。如果分等级出售，一级苹果每千克为10.2元，二级苹果每千克为3.5元，但要承担240元人工分级费用。请你算一算，怎样出售比较合适？相差多少元？ 【变式训练1】把6.823的小数点先向左移动两位，再向右移动三位是( )。 【变式训练2】在括号里填合适的数。 0.36×( )＝3.6        1.4×( )＝140        0.04×( )＝4 3.007×( )＝3007        0.3×( )＝300        0.345×( )＝34.5 易错点三：除数是整数的小数除法及应用 例题：一辆汽车5小时行340km，一列动车每小时行217.6km。动车的速度是汽车的多少倍？ 【变式训练1】有一种罐装橙子粉，每冲一杯橙汁需要16克这种橙子粉和9克方糖。这罐橙子粉可以冲多少杯？（得数保留整数）一共需要多少克方糖？ 易错点四：小数点向左引起小数大小变化的规律 例题：1000张纸摞起来厚92mm，平均每张纸有多厚？工人师傅用这些纸做成了作业本，每本作业本有50张，每本作业本有多厚？ 【变式训练1】甲数比乙数大198，甲数的小数点向左移动一位后正好和乙数相等。甲、乙两数各是多少？ 易错点五：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 例题：630克＝( )千克                            5.25元＝( )分 8公顷＝( )平方米                          75公顷＝( )平方千米 【变式训练1】520平方分米＝( )平方米                  36分＝( )时 15.05平方千米＝( )平方千米( )公顷      9元5角＝( )元 易错点六：与小数点移动相关的和倍差问题 例题：甲乙两数的和是38.5，把甲数的小数点向右移一位，就和乙数相等，甲数是( )，乙数是( )。 【变式训练1】甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。你知道甲、乙两数各是多少吗？ 易错点七：小数与小数的乘法及应用 例题：用竖式计算。 （1）5.32×2.5＝        （2）3.05×6.8＝        （3）4.85×0.24＝ 【变式训练1】学校美术教室的宽是5.5米，长是宽的1.6倍。学校美术室的面积是多少平方米？ 易错点八：积的小数位与乘数小数位的关系 例题：根据145×23＝3335，直接写出下面算式的积。 14.5×23＝( )         1.45×0.23＝( ) 【变式训练1】在计算小数乘法时，要先按照整数乘法算出积，再点( )，点小数点时，看( )中一共有几位小数，就从积的( )起数出几位，点上小数点。 易错点九：积的变化规律（小数乘法） 例题：根据108×65＝7020，写出下面各题的得数。 1.08×6.5＝( )        70.2÷6.5＝( ) 【变式训练1】根据第一栏的积，写出后面几栏中的积。 乘数 5.4 0.54 0.054 0.054 乘数 3.5 3.5 0.35 0.035 积 18.9 易错点十：小数的连乘运算 例题：某幢楼有5层，每层有6户居民，如果平均每户每月节约用电2.3度，那么这幢楼每月共节约用电多少度？ 【变式训练1】农场种植了200棵向日葵，估计每棵大约可收葵花籽0.25千克，如果每千克葵花籽可以榨油0.65千克，收的葵花籽大约可以榨油多少千克？ 易错点十一：因数和积的的大小关系（小数乘法） 例题：在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 10.7( )10.70；6.01( )6.10；7.45×0.99( )7.45 【变式训练1】不计算，直接在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 2.34×0.88( )2.34    0.9×1.1( )0.9    2.4×1.5( )2.4 1.2×1.2( )1.2×0.98    1.5×2.8( )1.5＋1.5    4.5－1.7( )4.5×1.7 易错点十二：用“四舍五入”法求积的近似数 例题：7.5×3.09的积是( )位小数，结果保留两位小数约是( )。如果将7.5扩大到原来的100倍（即乘100），要使积不变，另一个因数应( )。 【变式训练1】小数乘法2.35×4.7的积是( )位小数，得数精确到百分位约是( )，7.9÷0.17的商的最高位是( )位，保留一位小数约是( )。 易错点十三：还原小数近似数的问题 例题：一个三位小数的近似数是5.60，这个三位小数最大是( )，最小是( )。 易错点十四：除数是小数的除法计算及应用 例题：用竖式计算。（带★的要验算） 0.86＋1.4﹦      1.05×0.84＝      54.9－12.05﹦       ★10.75÷0.5＝ 【变式训练1】一辆小桥车3.5小时行驶255.5千米，武广高铁的动车组列车2.5小时行驶875千米，动车组列车的速度比小轿车快多少千米/时？ 易错点十五：被除数和商的大小关系（小数除法） 例题：在下面各题的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.5×0.8( )7.5        7.5÷7.5( )1 7.5÷0.8( )7.5        7.5÷1.8( )7.5 【变式训练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 8.48×0.99( )8.48  5.26×1.01( )5.26   8.19÷1.7( )8.19 168×0.99( )1.68×99  158÷0.99( )158   3.65÷0.1( )3.65×10 易错点十六：错中求解问题（小数除法） 例题：在计算一道除法算式时，小马虎把除数5.36看成53.6，结果商是3.12，正确的结果是( )。 【变式训练1】小马虎在计算40.56除以一个数时，不小心把除数的小数点向右点错了一位，结果得2.6，这道题正确的除数是 。在这个正确的算式中，若除数减去1，要想使商不变，被除数应该是 。 易错点十七：小数的连除运算 例题：大丰港动物园里的“云儿”和“震生”两只大熊猫一周吃掉竹叶42.28千克。平均每只大熊猫每天吃多少千克竹叶？ 【变式训练1】磨出1千克面粉需要小麦1.2千克。小明家一次用57.6千克小麦磨出的面粉，按每天吃掉1.6千克，多少天吃完？ 易错点十八：用“四舍五入”法求商的近似数 例题：超市周末开展促销活动。现在一瓶这种果汁的实际平均价格是多少元？（得数保留一位小数） 【变式训练1】一个养蜂专业户。36个蜂箱共收集73.6千克蜂蜜。平均每个蜂箱收集蜂蜜多少千克？（得数保留两位小数） 易错点十九：判断被除数的最大值和最小值 例题：一个数除以2.4的商是两位小数，保留一位小数后的近似值是3.2。被除数最大是( )，最小是( )。 【变式训练1】一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2。被除数最大是多少？ 易错点二十：循环小数的认识和简写 例题：0.3725725…的循环节是( )，可以简写成( )。 【变式训练1】0.323232是循环小数。( ) 易错点二十一：有限小数和无限小数的认识 例题：循环小数的位数是无限的，因此，循环小数比有限小数大。( ) 【变式训练1】4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )。 易错点二十二：循环小数比大小 例题：将3.7、、0.37、按照从小到大的顺序排列是（    ）。 A．3.7＞0.37＞ B．0.37＞＞3.7＞ C．＜0.37＜＜3.7 D．＜3.7＜＜0.37 【变式训练1】在，，，5.，中，最大的数是( )，最小的数是( )。 易错点二十三：循环小数和周期性规律综合问题 例题：在循环小数中，小数部分前60位上的数字和是220，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（A、B是2个不相同且不为0的自然数）。 【变式训练1】3÷14的商的小数点后面第1000个数字是几？商的小数点后面1000个数字和是多少？ 易错点二十四：用计算器探究规律 例题：用计算器计算每组前三道题，仔细观察，找出规律，并直接写出每组后四道题的得数。 （1）88.83÷9＝ 88.884÷9＝ 88.8885÷9＝ 88.88886÷9＝ 88.888887÷9＝ 88.8888888÷9＝ 88.88888889÷9＝ （2）99.99×2＝ 99.99×3＝ 99.99×4＝ 99.99×5＝ 99.99×6＝ 99.99×7＝ 99.99×8＝ 【变式训练1】先计算下面前三道题（用计算器算，得数保留两位小数），找出规律，再直接填后面三道题的得数。 (1)1.088÷9≈( ) (2)11.077÷9≈( ) (3)111.066÷9≈( ) (4)1111.055÷9≈( ) (5)11111.044÷9≈( ) (6)111111.033÷9≈( ) 易错点二十五：用“进一法”解决问题 例题：小区内新建一家便民店，长24.6米，宽9.5米。用边长6分米的方砖铺地，至少需要多少块？ 【变式训练1】刘老师在网上下载一些资料，共占磁盘空间7.8G。他要把这些资料记录到光盘上，如果每张光盘的容量是1.5G，至少需要多少张光盘？ 易错点二十六：用“去尾法”解决问题 例题：王老师要用200元买一些新年礼物送给五（1）班的同学，他先买了5本图书，每本19.6元，并准备用剩下的钱买一些钢笔，每支钢笔8.6元，王老师还可以买多少支同样的钢笔？ 【变式训练1】服装厂购进一批布，原来做一套服装用布2.4米，可以做38套。后来改进技术，每套服装节约用布0.4米，这批布现在最多可以做几套服装？ 易错点二十七：小数的乘、除法混合运算 例题：李阿姨在家做甜品，每个甜品需要用6克豆沙和3.2克核桃。一共用了72克豆沙，那么一共用了多少克核桃？ 【变式训练1】声音在空气中的传播速度是0.34千米/秒。在山谷中，一个人对着远处的大山高喊一声，10秒后听到回声。这个人距离大山有多少千米？ 易错点二十八：整数乘法运算律推广到小数乘法 例题：脱式计算。 （1）33.26＋7.88－3.26        （2）6.09×3.7＋6.3×6.09        （3）1.25×6.9×0.8 【变式训练1】脱式计算，能简算的就简算。 0.8×8.7×1.25          4.83×2.34＋4.83×7.66          1.89＋0.26＋7.11＋0.74 易错点二十九：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 例题：计算下面各题，能简算的要简算。 3.27＋13.5＋6.73－3.5    77.3－3.8－6.2 99×0.57＋0.57    1.25×0.25×32 【变式训练1】脱式计算，能简便的要简便。 4.33＋2.1×4.5             23－0.22－5.78             0.39×9.3＋0.7×0.39 99×3.6                     0.125×3.2×25            21.37－4.04＋4.63 易错点三十：小数除法相关的简便计算 例题：计算下列各题。 8.75－1.47－0.23          88×0.25×9 3.68÷0.5÷0.2         1.01÷[0.8×（12.5＋0.125）] 【变式训练1】简便运算。 6.4＋3.78＋3.6＋1.22       8.5－2.46＋1.5－0.54        0.87×99＋0.87 2.6×10.2                    2.5×3.2×1.25          3.25÷2.5×101－1.3 易错点三十一：利用小数四则混合运算解决问题 例题：电梯超载不仅会影响正常使用，还可能存在安全隐患。张阿姨用载货电梯运送18箱货物，每箱货物重48.6千克，电梯限重1000千克，张阿姨体重是60.8千克，她和18箱货物一起进入电梯，电梯会超重吗？ 【变式训练1】滴漏是古代利用滴水来计量时间的一种仪器。张老师制作了一套滴漏模型，计时开始时，接水容器中的水面高度是3.8厘米，计时过程中，水面平均每分钟上升0.4厘米（水面上升的速度基本不变），请你帮张老师计算，计时多少分钟的时候，接水容器中的水面高度达到15厘米？ 易错点三十二：分段计费问题（小数乘法） 例题：王老师打算坐出租车上班，王老师家到学校的距离是6.8千米。出租车的收费标准如下：不超过3千米，收费6元；超过3千米的部分，1千米加收2元（不足1千米按1千米计算），请问王老师应该付给司机多少元车费？ 【变式训练1】王华、李明大学毕业刚回扬州工作，他们各自准备办一张电话卡。办卡时营业员提供了两种不同的套餐，具体收费方案如下： 套餐种类 月租费/元 免费通话时间/分钟 免费流量/GB 超出免费通话时间每分钟通话费/元 超出免费流量每GB流量费/元 套餐A 18 60 1 0.20 10 套餐B 28 100 2 0.15 8 注：GB是一种信息计量单位，常使用在计算机存储、通信上网中。 （1）如果王华每月通话100分钟，很少使用流量上网，那么他选择哪种套餐更省钱？每月需要付费多少元？ （2）如果李明每月通话200分钟，每月上网使用5GB的流量，那么他选择哪种套餐更省钱？每月需要付费多少元？ 答：李明选择B种套餐更省钱，每月需要付费67元。 易错点三十二：分段计费问题（小数除法） 例题：某城市出租车的计费标准是：3千米以内（含3千米）收费9元，超过3千米的部分，每千米收费1.4元。 （1）王叔叔从家到单位有8千米，坐出租车需要付多少钱？ （2）李阿姨坐出租车付费18.8元，李阿姨家到商场最多有多少千米？ 【变式训练1】代驾是指车主不能自行开车到达目的地时，有专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为，某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 8千米以内 超过8千米部分 7：00~21：59 35元 3.5元/千米 22：00~次日6：59 50元 4.5元/千米 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，在该平台预约了代驾服务回家，从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务，服务结束后，李叔叔支付了99.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 拔尖训练 1．用一张长78厘米、宽20厘米的长方形彩纸做直角三角形小旗，每面小旗的直角边分别是20厘米和10厘米。这张彩纸最多可以做（    ）面小旗。（不能拼接） A．14 B．12 C．6 D．7 2．橄榄油是迄今所发现的油脂中最适合人体营养的油脂。一瓶橄榄油连瓶重2.7千克，倒出一半后，连瓶重1.45千克，瓶里原来有（    ）千克橄榄油。 A．2.3 B．2.5 C．2.6 D．3.5 3．甲、乙两数的商是0.4，如果被除数扩大为原来的100倍，除数也扩大为原来的100倍，那么商是（    ）。 A．0.4 B．4 C．40 D．400 4．在一道减法算式中，差是3.2，被减数、减数、差的和是10，减数是（    ）。 A．6.8 B．1.8 C．13.2 D．3.4 5．一张长方形纸，长17厘米，宽12厘米，把它剪成两条直角边分别是3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪（    ）面。 A．34 B．16 C．30 D．32 6．由3个1和5个0.1组成的数是( )，35个0.01组成的数是( )。 7．甲、乙两杯水，如果从甲杯向乙杯中倒入0.14升水后，两杯水一样多，那么原来甲杯比乙杯多（    ）升水。 8．100粒大米大约重2克。照这样推算，1亿粒大米的重量大约是( )千克。 9．小马虎同学在计算一道题时，得到的结果是一个两位小数，在书写结果时却把小数点丢掉了，这样所得的结果就比正确的结果多123.75，正确的结果是 。 10．小明把31.5米长的彩条平均分成18段，每段长多少米？小明用下方的竖式解决了这个问题，竖式中框出的数表示90( )。（填写长度单位） 11．东东带100元去文具店，买文具盒用了23元，剩下的钱买笔记本，每本笔记本8元。东东最多能买( )本这样的笔记本。 12．新型国产电动汽车行30千米耗电4.8度，照这样计算，平均每度电可以行驶( )千米，平均行驶1千米耗电( )度。 13．据市车管部门最新统计：A区私家车保有量达7.2万辆，B区私家车保有量达10.08万辆，则B区私家车保有量是A区私家车保有量的( )倍。 14．直接写出得数。 0.66－0.6＝            9.25＋1.65＝            31.2÷100＝            0.24×200＝ 4.8＋4.2＝              0.2－0.09＝            1.2×20＝            3.5÷5＝ 15．列竖式计算。（带※的要验算） 37.5－2.35＝             0.076＋0.54＝              ※0.38×15＝               ※2.1÷25＝ 16．怎样简便就怎样算。                                                    17．斗是古代盛粮食的器具。现在有一斗的大米，大米和斗共重9.7千克。用掉一半的大米后，斗和剩下的大米共重5.62千克。斗重多少千克？大米原来有多少千克？ 18．一块三角形花圃，底是25米，高20.8米，平均每平方米可产鲜花50枝，这块花圃可以产鲜花多少枝？ 19．在一天中的2时、6时、10时、14时、18时、22时，气象站测得的气温分别是15℃、18℃、28℃、29℃、27℃、25℃。求这一天的平均气温。（得数保留一位小数） 20．每升汽油可供汽车行驶9.05千米，2升汽油可供汽车行驶多少千米？汽车的油箱里有18升汽油，行驶200千米，中途要加油吗？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05：小数乘法和除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 一、小数乘法 2 二、小数除法 3 三、小数乘除法的规律 3 四、小数混合运算 3 五、解决实际问题 4 六、重点提示 4 4.养成验算的好习惯，提高计算的正确率 4 易错点练习 4 易错点一：小数与整数的乘法及应用 4 易错点二：小数点向右引起小数大小变化的规律 5 易错点三：除数是整数的小数除法及应用 6 易错点四：小数点向左引起小数大小变化的规律 7 易错点五：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 8 易错点六：与小数点移动相关的和倍差问题 9 易错点七：小数与小数的乘法及应用 10 易错点八：积的小数位与乘数小数位的关系 10 易错点九：积的变化规律（小数乘法） 11 易错点十：小数的连乘运算 12 易错点十一：因数和积的的大小关系（小数乘法） 13 易错点十二：用“四舍五入”法求积的近似数 14 易错点十三：还原小数近似数的问题 15 易错点十四：除数是小数的除法计算及应用 16 易错点十五：被除数和商的大小关系（小数除法） 17 易错点十六：错中求解问题（小数除法） 18 易错点十七：小数的连除运算 19 易错点十八：用“四舍五入”法求商的近似数 20 易错点十九：判断被除数的最大值和最小值 20 易错点二十：循环小数的认识和简写 21 易错点二十一：有限小数和无限小数的认识 22 易错点二十二：循环小数比大小 23 易错点二十三：循环小数和周期性规律综合问题 24 易错点二十四：用计算器探究规律 25 易错点二十五：用“进一法”解决问题 28 易错点二十六：用“去尾法”解决问题 28 易错点二十七：小数的乘、除法混合运算 29 易错点二十八：整数乘法运算律推广到小数乘法 30 易错点二十九：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 31 易错点三十：小数除法相关的简便计算 34 易错点三十一：利用小数四则混合运算解决问题 36 易错点三十二：分段计费问题（小数乘法） 37 易错点三十二：分段计费问题（小数除法） 39 拔尖训练 41 知识梳理 一、小数乘法 1.小数乘整数 意义：求几个相同加数的和的简便运算 计算方法：先按整数乘法计算，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点 注意：积的小数末尾有0要去掉 2.小数乘小数 计算方法：先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点 特殊情况：如果积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点 3.积的近似值 方法：根据需要，按"四舍五入"法保留一定的小数位数 步骤：先算出准确的积，再按要求保留小数位数 二、小数除法 1.除数是整数的小数除法 计算方法：按整数除法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐 特殊情况：如果除到被除数的末尾仍有余数，要在余数后面添0继续除 2.除数是小数的除法 计算方法：先把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），再按除数是整数的除法计算 3.商的近似值 方法：根据需要，按"四舍五入"法保留一定的小数位数 求商的近似值时，一般要除到比需要保留的小数位数多一位 三、小数乘除法的规律 1.积的变化规律 一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数 一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变 2.商的变化规律 被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，商也扩大（或缩小）相同的倍数 除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，商反而缩小（或扩大）相同的倍数 被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变 四、小数混合运算 1.运算顺序 同级运算：从左往右依次计算 不同级运算：先算乘除，后算加减 有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的 2.简便运算 运用乘法交换律、结合律和分配律进行简便计算 注意观察算式特点，选择合适的简便方法 五、解决实际问题 1.常见数量关系 总价=单价×数量 路程=速度×时间 工作总量=工作效率×工作时间 2.解决问题的步骤 理解题意，找出已知条件和问题 分析数量关系，确定解题方法 列式计算，求出结果 检验答案，写出答语 3.特殊问题 "进一法"解决实际问题：根据实际情况，不管小数部分是多少，都要向前一位进一 "去尾法"解决实际问题：根据实际情况，不管小数部分是多少，都要舍去尾数 六、重点提示 1.计算小数乘除法时，要注意小数点的位置 2.计算结果要根据题目要求保留一定的小数位数 3.解决实际问题时，要结合生活实际选择合适的方法 4.养成验算的好习惯，提高计算的正确率 易错点练习 易错点一：小数与整数的乘法及应用 例题：中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求制作棱长为m的正方体框架需要木条的长度，就是求正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，即可求解。 【详解】（m） 制作这个框架需要木条m。 【变式训练1】小明要步测从学校到少年宫的距离，他走一步的平均长度是0.5米，照这样，他从学校到少年宫走了1000步。学校和少年宫大约相距多少米？ 【答案】500米 【分析】平均每步长度×走的步数＝总长度，据此列式解答。 【详解】0.5×1000＝500（米） 答：学校和少年宫大约相距500米。 易错点二：小数点向右引起小数大小变化的规律 例题：王大伯今年收获了2.4吨苹果，其中一半达到一级质量标准，其余达到二级质量标准。如果不分等级出售，每千克为6.5元。如果分等级出售，一级苹果每千克为10.2元，二级苹果每千克为3.5元，但要承担240元人工分级费用。请你算一算，怎样出售比较合适？相差多少元？ 【答案】分等级；600元 【分析】分别计算出分等级和不分等级实际获得的钱数，比较并求差即可。 不按等级出售：1吨＝1000千克，据此统一单位，根据单价×数量＝总价，苹果千克数×每千克钱数＝实际获得钱数； 分等级出售：总千克数÷2＝其中的一半，即一级也是二级苹果的质量，一级苹果的千克数×一级苹果每千克钱数＋二级苹果的千克数×二级苹果每千克钱数－人工费＝实际获得钱数。 【详解】2.4吨＝2400千克 2400÷2＝1200（千克） 不按等级出售：2400×6.5＝15600（元） 分等级出售：1200×10.2＋1200×3.5－240 ＝12240＋4200－240 ＝16200（元） 15600＜16200 分等级出售合适。 16200－15600＝600（元） 答：分等级出售比较合适，相差600元。 【变式训练1】把6.823的小数点先向左移动两位，再向右移动三位是( )。 【答案】68.23 【分析】根据小数点位置的移动引起小数大小的变化规律可知，把一个数的小数点向左移动两位，则除以100，向右移动三位，则乘1000，据此计算即可得解。 【详解】 把6.823的小数点先向左移动两位，再向右移动三位是68.23。 【变式训练2】在括号里填合适的数。 0.36×( )＝3.6        1.4×( )＝140        0.04×( )＝4 3.007×( )＝3007        0.3×( )＝300        0.345×( )＝34.5 【答案】 10 100 100 1000 1000 100 【分析】一个小数扩大10倍，小数点向右移动一位，扩大100倍，小数点向右移动两位，扩大1000倍，小数点向右移动三位……，据此解答。 【详解】0.36×10＝3.6 1.4×100＝140 0.04×100＝4 3.007×1000＝3007 0.3×1000＝300 0.345×100＝34.5 易错点三：除数是整数的小数除法及应用 例题：一辆汽车5小时行340km，一列动车每小时行217.6km。动车的速度是汽车的多少倍？ 【答案】340÷5＝68（千米/时） 217.6÷68＝3.2 【分析】由题意知，汽车行驶时间是5小时，路程是340千米，可求出汽车的速度=路程÷时间；求动车速度与汽车速度的倍数关系直接用：动车速度÷汽车速度即可。 【详解】340÷5=68（千米/时） 217.6÷68=3.2 答：动车的速度是汽车的3.2倍。 【变式训练1】有一种罐装橙子粉，每冲一杯橙汁需要16克这种橙子粉和9克方糖。这罐橙子粉可以冲多少杯？（得数保留整数）一共需要多少克方糖？ 【答案】31杯；279克方糖 【分析】已知一种罐装橙子粉500克，每冲一杯橙汁需要16克这种橙子粉，求这罐橙子粉可以冲多少杯，就是求500里面有多少个16，用除法计算，得数采用“四舍五入”法取整数。 用每冲一杯橙汁需要9克方糖乘冲的杯数，即是一共需要方糖的克数。 【详解】500÷16≈31（杯） 31×9＝279（克） 答：这罐橙子粉可以冲31杯，一共需要279克方糖。 易错点四：小数点向左引起小数大小变化的规律 例题：1000张纸摞起来厚92mm，平均每张纸有多厚？工人师傅用这些纸做成了作业本，每本作业本有50张，每本作业本有多厚？ 【答案】0.092mm；4.6mm 【分析】用1000张纸的总厚度除以1000，就是每张纸的厚度；用每张纸的厚度乘每本作业本用纸的数量，即可求出每本作业本有多厚。 【详解】92÷1000＝0.092（mm） 0.092×50＝4.6（mm） 答：平均每张纸厚0.092mm，每本作业本厚4.6mm。 【点睛】一个数除以10、100、1000……，只需把这个数的小数点向左移动1位、2位、3位…… 【变式训练1】甲数比乙数大198，甲数的小数点向左移动一位后正好和乙数相等。甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数220；乙数22 【分析】根据“甲数的小数点向左移动一位后正好和乙数相等”可知甲数是乙数的10倍，根据甲数比乙数大198可以得到198是甲数减去乙数的差，相当于是乙数的（10－1）倍，用它们的差除以9，即可求出乙数，再乘10，即可求出甲数，据此解答即可。 【详解】198÷（10－1） ＝198÷9 ＝22 22×10＝220 答：甲数是220，乙数是22。 易错点五：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 例题：630克＝( )千克                            5.25元＝( )分 8公顷＝( )平方米                          75公顷＝( )平方千米 【答案】 0.63 525 80000 0.75 【分析】根据单位间的进率：1千克＝1000克，1元＝100分，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，进行换算。高级单位换算成低级单位乘进率；低级单位换算成高级单位除以进率。计算时注意小数点的移动。一个数乘10、100、1000，即把这个数的小数点向右移动一位、两位、三位；一个数除以10、100、1000，即把这个数的小数点向左移动一位、两位、三位。 【详解】630÷1000＝0.63 即630克＝0.63千克； 5.25×100＝525（分） 即5.25元＝525分； 8×10000＝80000（平方米） 即8公顷＝80000平方米； 75÷100＝0.75（平方千米） 即75公顷＝0.75平方千米。 630克＝0.63千克                            5.25元＝525分 8公顷＝80000平方米                        75公顷＝0.75平方千米 【变式训练1】520平方分米＝( )平方米                  36分＝( )时 15.05平方千米＝( )平方千米( )公顷      9元5角＝( )元 【答案】 5.2 0.6 15 5 9.5 【分析】1平方米＝100平方分米，1时＝60分，1平方千米＝100公顷，1元＝10角，低级单位转换为高级单位除以进率，高级单位转换为低级单位乘进率，据此单位换算即可。 【详解】520平方分米＝（520÷100）平方米＝5.2平方米； 36分＝（36÷60）时＝0.6时； 0.05平方千米＝（0.05×100）公顷＝5公顷，所以15.05平方千米＝15平方千米5公顷； 9元5角＝（9＋5÷10）元＝（9＋0.5）元＝9.5元。 易错点六：与小数点移动相关的和倍差问题 例题：甲乙两数的和是38.5，把甲数的小数点向右移一位，就和乙数相等，甲数是( )，乙数是( )。 【答案】 3.5 35 【分析】小数点向右移动一位，扩大到原数的10倍，把甲数的小数点向右移一位，就和乙数相等，说明乙数是甲数的10倍，根据和倍问题的解题方法，两数和÷（倍数＋1）＝一倍数，即甲数，两数和－甲数＝乙数，据此列式计算。 【详解】38.5÷（10＋1） ＝38.5÷11 ＝3.5 38.5－3.5＝35 甲数是3.5，乙数是35。 【变式训练1】甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。你知道甲、乙两数各是多少吗？ 【答案】甲数1.5，乙数15 【分析】根据题意，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数，说明乙数是甲数的10倍；可以把甲数看作1份，则乙数是10份，一共是（10＋1）份； 用甲、乙两数的和除以总份数，求出一份数，即是甲数；再用甲数乘10，求出乙数。 【详解】甲数： 16.5÷（10＋1） ＝16.5÷11 ＝1.5 乙数：1.5×10＝15 答：甲数是1.5，乙数是15。 易错点七：小数与小数的乘法及应用 例题：用竖式计算。 （1）5.32×2.5＝        （2）3.05×6.8＝        （3）4.85×0.24＝ 【答案】（1）13.3；（2）20.74；（3）1.164 【分析】（1）（2）（3）小数乘小数的计算法则：先按整数乘法的计算法则计算出结果，再看两个乘数中一共有几位小数，就从积的末尾从右往左数出几位，点上小数点。 【详解】（1）5.32×2.5＝13.3 （2）3.05×6.8＝20.74 （3）4.85×0.24＝1.164                             【变式训练1】学校美术教室的宽是5.5米，长是宽的1.6倍。学校美术室的面积是多少平方米？ 【答案】48.4平方米 【分析】根据题意，长＝宽×1.6，代入数据求出美术室的长，再根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出学校美术室的面积是多少平方米。 【详解】5.5×1.6×5.5 ＝8.8×5.5 ＝48.4（平方米） 答：学校美术室的面积是48.4平方米。 【点睛】此题主要考查长方形的面积的计算方法以及小数的连乘运算。 易错点八：积的小数位与乘数小数位的关系 例题：根据145×23＝3335，直接写出下面算式的积。 14.5×23＝( )         1.45×0.23＝( ) 【答案】 333.5 0.3335 【分析】根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”可知： 14.5×23中，因数14.5是一位小数，因数23是整数，所以它们的积是一位小数； 1.45×0.23中，因数1.45是两位小数，因数0.23是两位小数，所以它们的积是四位小数。 【详解】根据145×23＝3335，那么： 14.5×23＝333.5 1.45×0.23＝0.3335 【变式训练1】在计算小数乘法时，要先按照整数乘法算出积，再点( )，点小数点时，看( )中一共有几位小数，就从积的( )起数出几位，点上小数点。 【答案】 小数点 两个因数 末尾 【分析】根据小数乘法的计算方法：按整数乘法算出积，数因数中一共有几位小数，就从积的右边（末尾）起数出几位，点上小数点。据此解答。 【详解】在计算小数乘法时，要先按照整数乘法算出积，再点小数点，点小数点时，看两个因数中一共有几位小数，就从积的末尾起数出几位，点上小数点。 【点睛】考查了小数乘法的计算方法的运用。 易错点九：积的变化规律（小数乘法） 例题：根据108×65＝7020，写出下面各题的得数。 1.08×6.5＝( )        70.2÷6.5＝( ) 【答案】 7.02 10.8 【分析】根据积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的几倍；如果一个因数缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也缩小到原来的几分之一；据此解答。 【详解】一个因数108缩小到原来的，变为1.08，另一个因数65缩小到原来的，变为6.5，积应缩小到原来的，即7020÷1000＝7.02，所以1.08×6.5＝7.02。 积7020缩小到原来的，变为70.2，其中一个因数65缩小到原来的，变为6.5，要得到70.2，说明另一个因数缩小到原来的，即108÷10＝10.8，所以70.2÷6.5＝10.8。 【变式训练1】根据第一栏的积，写出后面几栏中的积。 乘数 5.4 0.54 0.054 0.054 乘数 3.5 3.5 0.35 0.035 积 18.9 【答案】1.89；0.0189；0.00189 【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），积也会随之扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一。 由表格知：5.4×3.5＝18.9； 对于：0.54×3.5，其中5.4变为0.54，缩小为原来的，3.5不变，所以积也缩小到原来的； 对于：0.054×0.35，其中5.4变为0.054，缩小为原来的，3.5变为0.35，缩小到原来的，所以乘积缩小到原来的； 对于：0.054×0.035，其中5.4变为0.054，缩小为原来的，3.5变为0.035，缩小到原来的，所以乘积缩小到原来的；据此解答。 【详解】根据积的变化规律填表如下： 乘数 5.4 0.54 0.054 0.054 乘数 3.5 3.5 0.35 0.035 积 18.9 1.89 0.0189 0.00189 易错点十：小数的连乘运算 例题：某幢楼有5层，每层有6户居民，如果平均每户每月节约用电2.3度，那么这幢楼每月共节约用电多少度？ 【答案】69度 【分析】先计算出这幢楼的总户数，即6×5＝30户；再乘每户节约用的度数，即可解答。 【详解】6×5×2.3 ＝30×2.3 ＝69（度） 答：这幢楼每月共节约用电69度。 【变式训练1】农场种植了200棵向日葵，估计每棵大约可收葵花籽0.25千克，如果每千克葵花籽可以榨油0.65千克，收的葵花籽大约可以榨油多少千克？ 【答案】32.5千克 【分析】根据乘法的意义，用每棵大约可收葵花籽的质量乘200棵求出200棵可收葵花籽的质量，又每千克葵花籽可以榨油0.65千克，则用每千克葵花籽可榨油千克数乘葵花籽的质量，即得收的葵花籽大约可以榨油多少千克。 【详解】200×0.25×0.65 ＝50×0.65 ＝32.5（千克） 答：收的葵花籽大约可以榨油32.5千克。 易错点十一：因数和积的的大小关系（小数乘法） 例题：在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 10.7( )10.70；6.01( )6.10；7.45×0.99( )7.45 【答案】 ＝ ＜ ＜ 【分析】（1）根据小数的性质，在小数的末尾添上或去掉“0”，小数的大小不变。 （2）多位小数比较大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，小数点右边第一位上大的那个数大；如果小数点右边第一位上的数也相同，小数点右边第二位上的数大的那个数大，依次类推即可。 （3）一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数。 【详解】10.7与10.70的数值相等，因此填“＝”。 比较整数部分：6＝6；比较小数部分第一位：0＜1，因此6.01＜6.10，填“＜”。 0.99＜1，因此7.45×0.99的积小于7.45，填“＜”。 【变式训练1】不计算，直接在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 2.34×0.88( )2.34    0.9×1.1( )0.9    2.4×1.5( )2.4 1.2×1.2( )1.2×0.98    1.5×2.8( )1.5＋1.5    4.5－1.7( )4.5×1.7 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）（3）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； （4）（5）乘法算式中，其中一个因数相同，另一个因数大的，积就大； （6）减法中，差小于被减数； 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。 【详解】（1）0.88＜1，所以2.34×0.88＜2.34； （2）1.1＞1，所以0.9×1.1＞0.9； （3）1.5＞1，所以2.4×1.5＞2.4； （4）1.2＞0.98，所以1.2×1.2＞1.2×0.98； （5）1.5＋1.5＝1.5×2 2.8＞2，则1.5×2.8＞1.5×2，所以1.5×2.8＞1.5＋1.5； （6）4.5－1.7＜4.5； 1.7＞1，则4.5×1.7＞4.5； 所以4.5－1.7＜4.5×1.7。 易错点十二：用“四舍五入”法求积的近似数 例题：7.5×3.09的积是( )位小数，结果保留两位小数约是( )。如果将7.5扩大到原来的100倍（即乘100），要使积不变，另一个因数应( )。 【答案】 三 23.18 缩小原来的 【分析】积的小数位数等于两个因数小数位数之和，先列竖式计算结果，再根据“四舍五入”结果保留两位小数；根据积的变化规律，一个因数扩大原来的100倍，另一个因数应该要缩小原来的。据此解答即可。 【详解】由分析可知：7.5×3.09的积是三位小数 结果保留两位小数约是23.18； 如果将7.5扩大到原来的100倍（即乘100），要使积不变，另一个因数应缩小原来的。 【变式训练1】小数乘法2.35×4.7的积是( )位小数，得数精确到百分位约是( )，7.9÷0.17的商的最高位是( )位，保留一位小数约是( )。 【答案】 三 11.05 十 46.5 【分析】积的小数位数等于两个因数小数位数之和，先列竖式计算结果，得数精确到百分位，就是根据“四舍五入”法，结果保留两位小数； 小数除法先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。结果保留一位小数，看商的小数点后面百分位上的数字，根据“四舍五入”法取近似数。 【详解】2.35×4.7≈11.05 小数乘法2.35×4.7的积是三位小数，得数精确到百分位约是11.05。 7.9÷0.17≈46.5 7.9÷0.17的商的最高位是十位，保留一位小数约是46.5。 易错点十三：还原小数近似数的问题 例题：一个三位小数的近似数是5.60，这个三位小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 5.604 5.595 【分析】“四舍”法取近似值时，原数大于近似数，近似数的小数点后面第三位数字最大并且不能向前一位进一，此时就是最大值的原数，即5.604； “五入”法取近似值时，原数小于近似数，近似数的小数点后面第二位数字减1（不够减时向前一位借“1”），近似数的小数点后面第三位数字最小并且向前一位进一，此时就是最小值的原数，即5.595，据此解答。 【详解】分析可知，一个三位小数的近似数是5.60，这个三位小数最大是5.604，最小是5.595。 【变式训练1】佳佳和明明比赛猜数，你也来猜一猜。两个数相乘的积为两位小数，且积的近似数是3.9，积最大是( )，最小是( )。 【答案】 3.94 3.85 【分析】要考虑3.9是一个两位小数的近似数，有两种情况： “四舍”得到的3.9，有3.91、3.92、3.93、3.94，其中最大是3.94； “五入”得到的3.9，有3.85、3.86、3.87、3.88、3.89，其中最小是3.85。 【详解】3.94≈3.9 3.85≈3.9 两个数相乘的积为两位小数，且积的近似数是3.9，积最大是3.94，最小是3.85。 易错点十四：除数是小数的除法计算及应用 例题：用竖式计算。（带★的要验算） 0.86＋1.4﹦      1.05×0.84＝      54.9－12.05﹦       ★10.75÷0.5＝ 【答案】2.26；0.882；42.85；21.5 【分析】第一题，小数加法，对准两个加数的小数点，小数部分有空位，用0补足，直接做加法，再在小数点正下方和的位置点小数点即可。 第二题，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出即为点上小数点，位数不够时，用0补足，小数部分尾数的0要去掉。 第三题，小数减法，对准被减数和减数的小数点，小数部分有空位，用0补足，直接做减法，再在小数点正下方和的位置点小数点即可。 第四题，先移动除数的小数点是它变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，最后根据被除数＝除数×商，进行验算即可。 【详解】0.86＋1.4﹦2.26                                                  1.05×0.84＝0.882                                                                                           54.9－12.05﹦42.85                                           10.75÷0.5＝21.5                                       验算： 【变式训练1】一辆小桥车3.5小时行驶255.5千米，武广高铁的动车组列车2.5小时行驶875千米，动车组列车的速度比小轿车快多少千米/时？ 【答案】277千米/时 【分析】根据，分别代入数据计算小轿车和动车组列车的速度，再相减即可得解。 【详解】 （千米/时） 答：动车组列车的速度比小轿车快277千米/时。 易错点十五：被除数和商的大小关系（小数除法） 例题：在下面各题的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.5×0.8( )7.5        7.5÷7.5( )1 7.5÷0.8( )7.5        7.5÷1.8( )7.5 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】根据乘除法中的规律：一个数乘比1大的数，积就比这个数大；一个数乘比1小的数，积就比这个数小；一个数除以自己等于1；一个数除以比1大的数，商就比这个数小；一个数除以比1小的数（0除外），商就比这个数大。判断算式中积或商的大小，再比较大小。 【详解】因为0.8＜1，所以7.5×0.8＜7.5； 7.5÷7.5＝1； 因为0.8＜1，所以7.5÷0.8＞7.5； 因为1.8＞1，所以7.5÷1.8＜7.5。 7.5×0.8＜7.5        7.5÷7.5＝1 7.5÷0.8＞7.5        7.5÷1.8＜7.5 【变式训练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 8.48×0.99( )8.48  5.26×1.01( )5.26   8.19÷1.7( )8.19 168×0.99( )1.68×99  158÷0.99( )158   3.65÷0.1( )3.65×10 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＝ ＞ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （4）一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不变； （5）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （6）一个数（0除外）除以0.1等于这个数乘10。 【详解】（1）0.99＜1，所以8.48×0.99＜8.48； （2）1.01＞1，所以5.26×1.01＞5.26； （3）1.7＞1，所以8.19÷1.7＜8.19； （4）168×0.99＝（1.68÷100）×（0.99×100）＝1.68×99 所以168×0.99＝1.68×99； （5）0.99＜1，所以158÷0.99＞158； （6）3.65÷0.1＝36.5，3.65×10＝36.5；所以3.65÷0.1＝3.65×10。 易错点十六：错中求解问题（小数除法） 例题：在计算一道除法算式时，小马虎把除数5.36看成53.6，结果商是3.12，正确的结果是( )。 【答案】31.2 【分析】分析题目，先用3.12×53.6求出被除数，再用被除数除以正确的除数5.36即可得到正确的结果。 【详解】3.12×53.6＝167.232 167.232÷5.36＝31.2 在计算一道除法算式时，小马虎把除数5.36看成53.6，结果商是3.12，正确的结果是31.2。 【变式训练1】小马虎在计算40.56除以一个数时，不小心把除数的小数点向右点错了一位，结果得2.6，这道题正确的除数是 。在这个正确的算式中，若除数减去1，要想使商不变，被除数应该是 。 【答案】 1.56 14.56 【分析】先根据“除数＝被除数÷商”求出错误的除数，再把错误除数的小数点向左移动一位求出正确的除数，最后根据“被除数＝商×除数”求出变化后的被除数。 【详解】正确的除数：40.56÷2.6÷10 ＝15.6÷10 ＝1.56 正确的商：40.56÷1.56＝26 26×（1.56－1） ＝26×0.56 ＝14.56 【点睛】掌握除法算式中各部分之间的关系是解答题目的关键。 易错点十七：小数的连除运算 例题：大丰港动物园里的“云儿”和“震生”两只大熊猫一周吃掉竹叶42.28千克。平均每只大熊猫每天吃多少千克竹叶？ 【答案】3.02千克 【分析】一周有7天，据此先求出2只大熊猫1天吃掉竹叶为42.28÷7 ＝ 6.04千克，再除以2，即可求出平均一只大熊猫1天吃掉竹叶的千克数。 【详解】42.28÷7÷2 ＝6.04÷2 ＝3.02（千克） 答：平均每只大熊猫每天吃3.02千克竹叶。 【点睛】完成本题要注意先求出1周共有多少天，然后再根据除法的意义求得。 【变式训练1】磨出1千克面粉需要小麦1.2千克。小明家一次用57.6千克小麦磨出的面粉，按每天吃掉1.6千克，多少天吃完？ 【答案】30天 【分析】根据小麦总量除以1千克面粉需要小麦的质量即可求出可以磨出面粉的质量，由于1天吃1.6千克，根据公式：总量÷每天吃的量＝天数，把数代入公式即可求解。 【详解】57.6÷1.2÷1.6 ＝48÷1.6 ＝30（天） 答：30天吃完。 【点睛】本题主要考查小数除法的应用题，熟练掌握小数除法的计算方法并灵活运用。 易错点十八：用“四舍五入”法求商的近似数 例题：超市周末开展促销活动。现在一瓶这种果汁的实际平均价格是多少元？（得数保留一位小数） 【答案】6.3元 【分析】由题意可知，先求出5瓶的果汁总价，得到的是5＋1＝6瓶的果汁，再用5瓶的果汁总价除以6即可求得现在一瓶这种果汁的实际平均价格是多少元。题目要求得数保留一位小数，即看小数点后面的第二位，然后根据“四舍五入”法来求近似数。 【详解】7.6×5＝38（元） 5＋1＝6（瓶） 38÷6≈6.3（元） 答：现在一瓶这种果汁的实际平均价格是6.3元。 【变式训练1】一个养蜂专业户。36个蜂箱共收集73.6千克蜂蜜。平均每个蜂箱收集蜂蜜多少千克？（得数保留两位小数） 【答案】2.04千克 【分析】平均数即为总量与个数的商，每个蜂箱收集的蜂蜜即为73.6÷36；题目要求得数保留两位小数，即看小数点后面的第三位，然后根据“四舍五入”法来求近似数。 【详解】73.6÷36≈2.04（千克） 答：平均每个蜂箱收集蜂蜜2.04千克。 易错点十九：判断被除数的最大值和最小值 例题：一个数除以2.4的商是两位小数，保留一位小数后的近似值是3.2。被除数最大是( )，最小是( )。 【答案】 7.776 7.56 【分析】要考虑3.2是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的3.2最大是3.24，“五入”得到的3.2最小是3.15，因为除数不变，当商最大时，被除数最大，商最小时，被除数最小，根据“商×除数＝被除数”分别求出即可。 【详解】3.24×2.4＝7.776 3.15×2.4＝7.56 则被除数最大是7.776，最小是7.56。 【点睛】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法。 【变式训练1】一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2。被除数最大是多少？ 【答案】5.832 【分析】根据“四舍五入”可知，商保留一位小数是3.2，这商最大3.24。再根据被除数＝商×除数，可求出被除数最大是多少。 【详解】商最大是3.24； 被除数最大是：3.24×1.8＝5.832 易错点二十：循环小数的认识和简写 例题：0.3725725…的循环节是( )，可以简写成( )。 【答案】 725 【分析】循环小数指的是从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，重复出现的数字就是这个小数的循环节；把循环小数写成简便形式：写出这个小数，循环节只写一遍，并在循环节的第一个数字和最后一个数字上面点上一个点，据此确定给出的小数的循环节并把它写成简便形式。 【详解】0.3725725…的循环节是725，可以简写成。 【变式训练1】0.323232是循环小数。( ) 【答案】× 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数；据此判断即可。 【详解】由分析可知： 0.323232是有限小数，不是循环小数，原说法错误。 故答案为：× 易错点二十一：有限小数和无限小数的认识 例题：循环小数的位数是无限的，因此，循环小数比有限小数大。( ) 【答案】× 【分析】根据循环小数和有限小数的认识，以及小数大小比较方法，举例说明即可。 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“循环小数”。 比较小数的大小：（1）看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；（2）整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】2.3是有限小数，0.333……是循环小数，2.3＞0.333，所以循环小数不一定比有限小数大，原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练1】4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )。 【答案】 4.13，4.1313； 4.1315…，， ， 【分析】有限小数指的是小数数位是有限的小数；无限小数指的是小数数位是无限的小数；如果无限小数从小数点后的某一位起一个数字或几个数字依次不断重复出现，则这样的小数就是循环小数，据此判断。 【详解】有限小数是：4.13，4.1313； 无限小数：4.1315…，，； 循环小数：，。 4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是4.13，4.1313；无限小数是4.1315…，，；循环小数是，。 易错点二十二：循环小数比大小 例题：将3.7、、0.37、按照从小到大的顺序排列是（    ）。 A．3.7＞0.37＞ B．0.37＞＞3.7＞ C．＜0.37＜＜3.7 D．＜3.7＜＜0.37 【答案】C 【分析】先明确循环小数的展开形式： 3.7是有限小数，即3.700000… 的循环节是37，展开为0.373737… 0.37是有限小数，即0.370000… 的循环节是307，展开为0.307307… 再逐位比较：先看整数部分，再依次看十分位、百分位、千分位… 【详解】依据分析中各小数的展开形式： 先看整数部分：、0.37、的整数部分是0，3.7的整数部分是3， 3＞0，则3.7最大； 再看、0.37、的十分位：都是3，相同； 接着看百分位，和0.37都是7，是0，7＞0，则最小； 最后看千分位，是3，0.37是0，7＞0，则＞0.37； 则按照从小到大的顺序排列为：＜0.37＜＜3.7。 故答案为：C 【变式训练1】在，，，5.，中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 5.4 【分析】比较小数的大小时，先比较整数部分，整数部分大的数大；如果整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的数大；如果十分位相同，就比较百分位⋯ 比较循环小数时，多写几个循环节后再比较。 【详解】＝5.4540 ＝5.45444⋯ ＝5.4000 5.＝5.444⋯ ＝5.454545⋯ 在这几个小数中，它们的整数部分相同，十分位相同。5.4的百分位上是0，比其他小数的百分位上的数小，所以5.4是最小的。从小到大排列，5.4排第一，5.的百分位上的数比5.4的百分位大，比其他几个数的百分位小，所以，从小到大排列5.排第二，剩下的三个数中，百分位上都是5，千分位上都是4，的万分位上是5，比其他两个小数的万分位大，所以是最大的。 所以，最大的数是，最小的数是5.4。 易错点二十三：循环小数和周期性规律综合问题 例题：在循环小数中，小数部分前60位上的数字和是220，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（A、B是2个不相同且不为0的自然数）。 【答案】911；119 【分析】这个循环小数的一个循环节是三个数字，先算这个循环小数的前60位中有几个循环节，再算一个循环节的和是多少，再根据位值来确定大小。 【详解】60÷3＝20（组） 220÷20＝11 11－1＝10 要使循环节最大，A代表9，B代表1。 要使循环节最小，A代表1，B代表9。 答：这个循环小数的循环节最大是911，最小是119。 【点睛】先算这个循环小数的前60位中有几个循环节，再算一个循环节的和是多少，再根据位值来确定大小。 【变式训练1】3÷14的商的小数点后面第1000个数字是几？商的小数点后面1000个数字和是多少？ 【答案】2；4491 【分析】先根据除数是整数的小数除法计算法则算出3÷14的商是循环小数，循环节是142857，每6个数字一循环，因为小数点后面第一位是2，不参与循环，所以求小数点后第1000个数字，就是求（1000－1）里面有几个6，还余几，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数部分第1000个数字是几。 求商的小数点后面1000个数字和，用不参与循环的2，加上一个循环节各个数位上的数字之和乘循环的次数，最后加上余数中出现的几个数字即可求解。 【详解】3÷14＝ 1000－1＝999 999÷6＝166（组）……3（个） 余数是3，表示小数点后面第1000个数字是2。 2＋166×（1＋4＋2＋8＋5＋7）＋1＋4＋2 ＝2＋166×27＋1＋4＋2 ＝2＋4482＋1＋4＋2 ＝4491 答：3÷14的商的小数点后面第1000个数字是2，商的小数点后面1000个数字的和是4491。 易错点二十四：用计算器探究规律 例题：用计算器计算每组前三道题，仔细观察，找出规律，并直接写出每组后四道题的得数。 （1）88.83÷9＝ 88.884÷9＝ 88.8885÷9＝ 88.88886÷9＝ 88.888887÷9＝ 88.8888888÷9＝ 88.88888889÷9＝ （2）99.99×2＝ 99.99×3＝ 99.99×4＝ 99.99×5＝ 99.99×6＝ 99.99×7＝ 99.99×8＝ 【答案】（1）9.87； 9.876； 9.8765； 9.87654； 9.876543； 9.8765432； 9.87654321； （2）199.98； 299.97； 399.96； 499.95； 599.94； 699.93； 799.92 【分析】（1）观察算式可知，被除数小数点前面都是88，小数点后面的数字8的个数分别为逐渐递增的连续自然数，8后面分别是3、4…的连续自然数，先用计算器算出前三个算式的商分别为9.87、9.876、9.8765，即商的整数部分都是9，小数部分依次是87、876、8765…小数位数与被除数小数位数相同，据此可直接写出后四个算式的商。 （2）观察算式可得规律：一个因数不变，另一个因数是连续自然数，先用计算器算出前三个算式的积分别是199.98、299.97、399.96，即积的整数部分由上而下分别是199、299、399…小数部分由上而下分别是98、97、96…据此可直接写出后四个算式的积。 【详解】（1）88.83÷9＝9.87； 88.884÷9＝9.876； 88.8885÷9＝9.8765； 88.88886÷9＝9.87654； 88.888887÷9＝9.876543； 88.8888888÷9＝9.8765432； 88.88888889÷9＝9.87654321； （2）99.99×2＝199.98； 99.99×3＝299.97； 99.99×4＝399.96； 99.99×5＝499.95； 99.99×6＝599.94； 99.99×7＝699.93； 99.99×8＝799.92。 【变式训练1】先计算下面前三道题（用计算器算，得数保留两位小数），找出规律，再直接填后面三道题的得数。 (1)1.088÷9≈( ) (2)11.077÷9≈( ) (3)111.066÷9≈( ) (4)1111.055÷9≈( ) (5)11111.044÷9≈( ) (6)111111.033÷9≈( ) 【答案】(1)0.12 (2)1.23 (3)12.34 (4)123.45 (5)1234.56 (6)12345.67 【分析】先用计算器算出前三道题的得数，得数保留两位小数，从中发现规律：除数都是9，被除数每多1个1，商的小数点就向右移动一位，并在小数的末尾依次增加1个自然数，保持商是两位小数；据此规律写出后面三道题的得数。 【详解】（1）1.088÷9≈0.12 （2）11.077÷9≈1.23 （3）111.066÷9≈12.34 （4）1111.055÷9≈123.45 （5）11111.044÷9≈1234.56 （6）111111.033÷9≈12345.67 易错点二十五：用“进一法”解决问题 例题：小区内新建一家便民店，长24.6米，宽9.5米。用边长6分米的方砖铺地，至少需要多少块？ 【答案】650块 【分析】利用长方形的面积公式：S＝ab，代入数据求出便民店的面积，利用正方形的面积公式＝a2，求出一块方砖的面积，把便民店的面积进行单位换算，再除以一块方砖的面积，即可求出需要的方砖的数量，其结果根据实际情况运用“进一法”保留整数。 【详解】24.6×9.5＝233.7（平方米） 233.7平方米＝23370平方分米 23370÷（6×6） ＝23370÷36 ≈650（块） 答：至少需要650块。 【变式训练1】刘老师在网上下载一些资料，共占磁盘空间7.8G。他要把这些资料记录到光盘上，如果每张光盘的容量是1.5G，至少需要多少张光盘？ 【答案】6张 【分析】最后无论剩下多少资料，都得需要1张光盘进行记录，资料占磁盘空间÷每张光盘的容量，结果用进一法保留近似数即可。 【详解】7.8÷1.5≈6（张） 答：至少需要6张光盘。 易错点二十六：用“去尾法”解决问题 例题：王老师要用200元买一些新年礼物送给五（1）班的同学，他先买了5本图书，每本19.6元，并准备用剩下的钱买一些钢笔，每支钢笔8.6元，王老师还可以买多少支同样的钢笔？ 【答案】11支 【分析】单价×数量＝总价，据此用19.6乘5可以求出5本图书的总价。用200减去5本图书的总价，可以求出剩下的钱，再根据总价÷单价＝数量，用剩下的钱除以8.6，即可求出王老师还可以买多少支同样的钢笔。结果需要用“去尾法”取整数值。 【详解】（200－19.6×5）÷8.6 ＝（200－98）÷8.6 ＝102÷8.6 ≈11（支） 答：王老师还可以买11支同样的钢笔。 【变式训练1】服装厂购进一批布，原来做一套服装用布2.4米，可以做38套。后来改进技术，每套服装节约用布0.4米，这批布现在最多可以做几套服装？ 【答案】45套 【分析】先用原来做一套服装用布的米数×38，求出这批布的米数；再用原来做一套服装用布的米数－0.4，求出每套服装节约后用布的米数，再用这批布的米数÷节约后每套服装用布的米数，最后用“去尾法”进行解答解答。 【详解】2.4×38÷（2.4－0.4） ＝91.2÷2 ≈45（套） 答：这批布现在最多可以做45套服装。 易错点二十七：小数的乘、除法混合运算 例题：李阿姨在家做甜品，每个甜品需要用6克豆沙和3.2克核桃。一共用了72克豆沙，那么一共用了多少克核桃？ 【答案】38.4克 【分析】先用72÷6，求出72克豆沙能做多少个甜品；再用甜品数量乘以每个甜品需要的核桃重量，得到核桃总用量。 【详解】72÷6×3.2 ＝12×3.2 ＝38.4（克） 答：一共用了38.4克核桃。 【变式训练1】声音在空气中的传播速度是0.34千米/秒。在山谷中，一个人对着远处的大山高喊一声，10秒后听到回声。这个人距离大山有多少千米？ 【答案】1.7千米 【分析】声音从人所在位置传到大山，再反射回人耳，形成回声。因此，10秒是声音往返一次的总时间，声音单程（人到大山）的传播时间为总时间的一半，单程时间为：10÷2＝5（秒）。速度公式为：路程＝速度×时间。已知声音传播速度是0.34千米/秒，单程时间是5秒，把数据代入公式计算即可。 【详解】0.34×（10÷2） ＝0.34×5 ＝1.7（千米） 答：这个人距离大山有1.7千米。 易错点二十八：整数乘法运算律推广到小数乘法 例题：脱式计算。 （1）33.26＋7.88－3.26        （2）6.09×3.7＋6.3×6.09        （3）1.25×6.9×0.8 【答案】（1）37.88；（2）60.9；（3）6.9 【分析】（1）33.26＋7.88－3.26利用符号搬家变为33.26－3.26＋7.88，然后从左至右依次计算减法和加法； （2）6.09×3.7＋6.3×6.09利用乘法分配律的逆运算变为（3.7＋6.3）×6.09，然后先算小括号内的加法，再算小括号外的乘法； （3）1.25×6.9×0.8利用乘法交换律变为1.25×0.8×6.9，然后从左至右依次计算乘法。 【详解】（1）33.26＋7.88－3.26      ＝33.26－3.26＋7.88 ＝30＋7.88 ＝37.88        （2）6.09×3.7＋6.3×6.09 ＝（3.7＋6.3）×6.09 ＝10×6.09 ＝60.9 （3）1.25×6.9×0.8 ＝1.25×0.8×6.9 ＝1×6.9 ＝6.9 【变式训练1】脱式计算，能简算的就简算。 0.8×8.7×1.25          4.83×2.34＋4.83×7.66          1.89＋0.26＋7.11＋0.74 【答案】8.7；48.3；10 【分析】（1）利用乘法交换律进行简算，原式等于0.8×1.25×8.7； （2）利用乘法分配律进行简算，原式等于4.83×（2.34＋7.66）； （3）先根据加法交换律调换0.26、7.11的位置，再根据加法结合律进行简算，即（1.89＋7.11）＋（0.26＋0.74）。 【详解】0.8×8.7×1.25           ＝0.8×1.25×8.7         ＝1×8.7                                       ＝8.7                                             4.83×2.34＋4.83×7.66 ＝4.83×（2.34＋7.66） ＝4.83×10 ＝48.3 1.89＋0.26＋7.11＋0.74 ＝1.89＋7.11＋0.26＋0.74 ＝（1.89＋7.11）＋（0.26＋0.74） ＝9＋1 ＝10 易错点二十九：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 例题：计算下面各题，能简算的要简算。 3.27＋13.5＋6.73－3.5    77.3－3.8－6.2 99×0.57＋0.57    1.25×0.25×32 【答案】20；67.3； 57；10 【分析】（1）根据加法交换律和加法结合律，先计算（3.27＋6.73）和（13.5－3.5），再相加； （2）根据减法的运算性质，一个数连续减两个数，等于减这两个数的和，把原式变为：77.3－（3.8＋6.2）进行简便运算； （3）把0.57转化成0.57×1，即99×0.57＋0.57×1，再根据乘法分配律，把原式变为：（99＋1）×0.57进行简便运算； （4）把32转化为8×4，即1.25×0.25×8×4，再根据乘法交换律和乘法结合律，把原式变为：（1.25×8）×（0.25×4）进行简便运算。 【详解】3.27＋13.5＋6.73－3.5 ＝（3.27＋6.73）＋（13.5－3.5） ＝10＋10 ＝20 77.3－3.8－6.2 ＝77.3－（3.8＋6.2） ＝77.3－10 ＝67.3 99×0.57＋0.57 ＝99×0.57＋0.57×1 ＝（99＋1）×0.57 ＝100×0.57 ＝57 1.25×0.25×32 ＝1.25×0.25×8×4 ＝（1.25×8）×（0.25×4） ＝10×1 ＝10 【变式训练1】脱式计算，能简便的要简便。 4.33＋2.1×4.5             23－0.22－5.78             0.39×9.3＋0.7×0.39 99×3.6                     0.125×3.2×25            21.37－4.04＋4.63 【答案】13.78；17；3.9 356.4；10；21.96 【分析】先算乘法，再算加法即可； 根据减法的性质，将算式化为23－（0.22＋5.78），然后先算小括号里的加法，再算减法即可； 根据乘法分配律，将算式化为0.39×（9.3＋0.7），然后先算小括号里的加法，再算乘法即可； 把99看作（100－1），再根据乘法分配律，将算式化为100×3.6－3.6，然后先算乘法，再算减法即可； 把3.2看作8×0.4，再根据乘法结合律进行简算即可； 根据加法交换律，将算式化为21.37＋4.63－4.04，从左往右依次计算即可。 【详解】4.33＋2.1×4.5 ＝4.33＋9.45 ＝13.78             23－0.22－5.78 ＝23－（0.22＋5.78） ＝23－6 ＝17             0.39×9.3＋0.7×0.39 ＝0.39×（9.3＋0.7） ＝0.39×10 ＝3.9 99×3.6 ＝（100－1）×3.6 ＝100×3.6－3.6 ＝360－3.6 ＝356.4                      0.125×3.2×25 ＝0.125×8×0.4×25 ＝（0.125×8）×（0.4×25） ＝1×10 ＝10            21.37－4.04＋4.63 ＝21.37＋4.63－4.04 ＝26－4.04 ＝21.96 易错点三十：小数除法相关的简便计算 例题：计算下列各题。 8.75－1.47－0.23          88×0.25×9 3.68÷0.5÷0.2         1.01÷[0.8×（12.5＋0.125）] 【答案】7.05；198 36.8；0.1 【分析】根据减法的性质：减去一个数，再减去一个数，等于减去这两个数的和，据此把原式变为8.75－（1.47＋0.23）简算； 先把88拆成8×11，再根据乘法交换律和结合律把原式变为：（8×0.25）×（11×9）简算； 根据除法的性质：一个数除以一个数，再除以一个数，等于除以这两个数的积，把原式变为3.68÷（0.5×0.2）简算； 现根据乘法分配律：a×（b＋c）＝ab＋ac，把中括号的算式变为0.8×12.5＋0.8×0.125，计算出0.8×12.5＋0.8×0.125的结果，再计算中括号外的除法。 【详解】8.75－1.47－0.23 ＝8.75－（1.47＋0.23） ＝8.75－1.7 ＝7.05 88×0.25×9 ＝8×11×0.25×9 ＝（8×0.25）×（11×9） ＝2×99 ＝198 3.68÷0.5÷0.2 ＝3.68÷（0.5×0.2） ＝3.68÷0.1 ＝36.8 1.01÷[0.8×（12.5＋0.125）] ＝1.01÷[0.8×12.5＋0.8×0.125）] ＝1.01÷[10＋0.1] ＝1.01÷10.1 ＝0.1 【变式训练1】简便运算。 6.4＋3.78＋3.6＋1.22       8.5－2.46＋1.5－0.54        0.87×99＋0.87 2.6×10.2                    2.5×3.2×1.25          3.25÷2.5×101－1.3 【答案】15；7；87 26.52；10；130 【分析】（1）利用加法交换律，将3.78和3.6的位置交换，得到6.4＋3.6＋3.78＋1.22。然后利用加法结合律，将6.4和3.6结合相加，3.78和1.22结合相加，即（6.4＋3.6）＋（3.78＋1.22）。 （2）利用带符号搬家，将1.5和－2.46的位置交换，得到8.5＋1.5－2.46－0.54。然后利用加法结合律和减法的性质，将8.5和1.5结合相加，2.46和0.54结合相加，即（8.5＋1.5）－（2.46＋0.54）。 （3）利用乘法分配律的逆运算，将式子变形为0.87×（99＋1）。 （4）将10.2拆分成10＋0.2，然后利用乘法分配律，变为2.6×10＋2.6×0.2。 （5）将3.2拆分成0.4×8，然后利用乘法交换律和结合律，变为（2.5×0.4）×（8×1.25）。 （6）先计算3.25÷2.5＝1.3，然后利用乘法分配律的逆运算，变为1.3×101－1.3＝1.3×（101－1）。 【详解】6.4＋3.78＋3.6＋1.22 ＝（6.4＋3.6）＋（3.78＋1.22） ＝10＋5 ＝15 8.5－2.46＋1.5－0.54 ＝（8.5＋1.5）－（2.46＋0.54） ＝10－3 ＝7 0.87×99＋0.87 ＝0.87×（99＋1） ＝87 2.6×10.2 ＝2.6×（10 ＋ 0.2） ＝2.6×10＋2.6×0.2 ＝26 ＋0.52 ＝26.52 2.5×3.2×1.25 ＝2.5×（0.4×8）×1.25 ＝（2.5×0.4）×（8×1.25） ＝1×10 ＝10 3.25÷2.5×101－1.3 ＝1.3×101－1.3 ＝1.3×（101－1） ＝1.3×100 ＝130 易错点三十一：利用小数四则混合运算解决问题 例题：电梯超载不仅会影响正常使用，还可能存在安全隐患。张阿姨用载货电梯运送18箱货物，每箱货物重48.6千克，电梯限重1000千克，张阿姨体重是60.8千克，她和18箱货物一起进入电梯，电梯会超重吗？ 【答案】不会超重 【分析】已知每箱货物重48.6千克，那么18箱货物的总重量就是每箱货物的重量乘箱数，再加上张阿姨的体重得到总重量，最后与电梯限重比较大小来判断是否超重。 【详解】48.6×18＋60.8 ＝874.8＋60.8 ＝935.6（千克） 935.6＜1000 答：电梯不会超重。 【变式训练1】滴漏是古代利用滴水来计量时间的一种仪器。张老师制作了一套滴漏模型，计时开始时，接水容器中的水面高度是3.8厘米，计时过程中，水面平均每分钟上升0.4厘米（水面上升的速度基本不变），请你帮张老师计算，计时多少分钟的时候，接水容器中的水面高度达到15厘米？ 【答案】28分钟 【分析】先用15减去3.8算出从初始水面高度到目标水面高度，水面一共上升了多少厘米，然后用上升的总高度除以每分钟上升的高度，就能得到所需的时间。 【详解】（15－3.8）÷0.4 ＝11.2÷0.4 ＝28（分钟） 答：计时28分钟的时候，接水容器中的水面高度达到15厘米。 易错点三十二：分段计费问题（小数乘法） 例题：王老师打算坐出租车上班，王老师家到学校的距离是6.8千米。出租车的收费标准如下：不超过3千米，收费6元；超过3千米的部分，1千米加收2元（不足1千米按1千米计算），请问王老师应该付给司机多少元车费？ 【答案】14 【分析】本题是分段计费问题，需要先算出超出3千米的距离6.8－3＝3.8千米，这里要注意“不足1千米按1千米计算”这个规则，3.8千米按4千米算。再根据收费标准算出超出部分的费用4×2＝8元，最后加上3千米内的固定收费6元，得到总车费。 【详解】6.8－3＝3.8（千米） 3.8千米按4千米算。 4×2＝8（元） 8＋6＝14（元） 答：王老师应该付给司机14元车费。 【变式训练1】王华、李明大学毕业刚回扬州工作，他们各自准备办一张电话卡。办卡时营业员提供了两种不同的套餐，具体收费方案如下： 套餐种类 月租费/元 免费通话时间/分钟 免费流量/GB 超出免费通话时间每分钟通话费/元 超出免费流量每GB流量费/元 套餐A 18 60 1 0.20 10 套餐B 28 100 2 0.15 8 注：GB是一种信息计量单位，常使用在计算机存储、通信上网中。 （1）如果王华每月通话100分钟，很少使用流量上网，那么他选择哪种套餐更省钱？每月需要付费多少元？ （2）如果李明每月通话200分钟，每月上网使用5GB的流量，那么他选择哪种套餐更省钱？每月需要付费多少元？ 【答案】（1）套餐A；26元 （2）套餐B；67元 【分析】（1）从题意可知：王华每月通话100分钟，很少使用流量上网。若选套餐B，就只有月租费28元。若选套餐A，则超出100－60＝40分钟，超出通话费用为0.2×40＝8元，再加上月租费18元，即套餐A的总价。再比较两种套餐的总价即可判断。 （2）从题意可知：李明每月通话200分钟，每月上网使用5GB的流量，若选套餐A，则超出200－60＝140分钟，超出通话费用为0.2×140＝28元，超出5－1＝4GB，超出流量费用为10×4＝40元，再加上月租费18元，即套餐A的总价。若选套餐B，则超出200－100＝100分钟，超出通话费用为0.15×100＝8元，超出5－2＝3GB，超出流量费用为8×3＝24元，再加上月租费28元，即套餐B的总价。再比较两种套餐的总价即可判断。 【详解】（1）套餐A：0.2×（100－60）＋18 ＝0.2×40＋18 ＝8＋18 ＝26（元） 26＜28 答：王华选择A种套餐更省钱，每月需要付费26元。 （2）套餐A：0.2×（200－60）＋10×（5－1）＋18 ＝0.2×140＋10×4＋18 ＝28＋40＋18 ＝86（元） 套餐B：0.15×（200－100）＋8×（5－2）＋28 ＝0.15×100＋8×3＋28 ＝15＋24＋28 ＝67（元） 67＜86 答：李明选择B种套餐更省钱，每月需要付费67元。 易错点三十二：分段计费问题（小数除法） 例题：某城市出租车的计费标准是：3千米以内（含3千米）收费9元，超过3千米的部分，每千米收费1.4元。 （1）王叔叔从家到单位有8千米，坐出租车需要付多少钱？ （2）李阿姨坐出租车付费18.8元，李阿姨家到商场最多有多少千米？ 【答案】（1）16元 （2）10千米 【分析】（1）王叔叔乘出租车从家到单位有8千米，8千米＞3千米，所以分成两段收费： 第一段，行驶3千米，收费9元； 第二段，行驶超过3千米的部分，单价1.4元，路程（8－3）千米，根据“单价×数量＝总价”，求出这一段路程的费用； 最后把这两段的车费相加，即是坐出租车需要付的车费。 （2）李阿姨坐出租车付费18.8元，18.8元＞9元，所以分成两段收费： 第一段，行驶3千米，收费9元； 第二段，行驶超过3千米的部分，单价1.4元，收费（18.8－9）元，根据“总价÷单价＝数量”，求出这一段的路程； 最后把两段的路程相加，即是李阿姨坐出租车从家到商场最多的路程。 【详解】（1）9＋1.4×（8－3） ＝9＋1.4×5 ＝9＋7 ＝16（元） 答：坐出租车需要付16元。 （2）3＋（18.8－9）÷1.4 ＝3＋9.8÷1.4 ＝3＋7 ＝10（千米） 答：李阿姨家到商场最多有10千米。 【变式训练1】代驾是指车主不能自行开车到达目的地时，有专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为，某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 8千米以内 超过8千米部分 7：00~21：59 35元 3.5元/千米 22：00~次日6：59 50元 4.5元/千米 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，在该平台预约了代驾服务回家，从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务，服务结束后，李叔叔支付了99.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】（1）56元 （2）19千米 【分析】（1）王阿姨21：00叫代驾，按8千米以内35元，超过8千米部分3.5元/千米进行计费， 行驶里程不足1千米，按1千米计算，13.5千米按14千米计费。先求出超过8千米的部分，乘对应收费标准，再加上8千米以内的费用即可。 （2）李叔叔22：30叫代驾，按8千米以内50元，超过8千米部分4.5元/千米进行计费，代驾费－50元＝超出8千米的费用，超出8千米的费用÷对应收费标准＝超出8千米的距离，再加上8千米即可。 【详解】（1）13.5千米≈14千米 （14－8）×3.5＋35 ＝6×3.5＋35 ＝21＋35 ＝56（元） 答：需要支付56元代驾费。 （2）（99.5－50）÷4.5＋8 ＝49.5÷4.5＋8 ＝11＋8 ＝19（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是19千米。 拔尖训练 1．用一张长78厘米、宽20厘米的长方形彩纸做直角三角形小旗，每面小旗的直角边分别是20厘米和10厘米。这张彩纸最多可以做（    ）面小旗。（不能拼接） A．14 B．12 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，2个直角边是20厘米、10厘米的直角三角形小旗可以拼成一个小长方形，78厘米里面有几个10厘米，就有几个小长方形的个数（用去尾法保留整数），再用小长方形的个数乘2即可求得最多做的小旗的面数，据此解答。 【详解】（个） （个） 这张彩纸最多可以做14面小旗。 故答案为：A 2．橄榄油是迄今所发现的油脂中最适合人体营养的油脂。一瓶橄榄油连瓶重2.7千克，倒出一半后，连瓶重1.45千克，瓶里原来有（    ）千克橄榄油。 A．2.3 B．2.5 C．2.6 D．3.5 【答案】B 【分析】用2.7减去1.45算出一半油的质量，再乘2即可求出原来油的质量。 【详解】（2.7－1.45）×2 ＝1.25×2 ＝2.5（千克） 所以，瓶里原来有2.5千克橄榄油。 故答案为：B 3．甲、乙两数的商是0.4，如果被除数扩大为原来的100倍，除数也扩大为原来的100倍，那么商是（    ）。 A．0.4 B．4 C．40 D．400 【答案】A 【分析】商的不变规律是被除数、除数同时扩大相同的倍数，商不变，据此解答。 【详解】甲÷乙＝0.4，被除数、除数同时扩大为原来的100倍，商不变，仍是0.4。 故答案为：A 4．在一道减法算式中，差是3.2，被减数、减数、差的和是10，减数是（    ）。 A．6.8 B．1.8 C．13.2 D．3.4 【答案】B 【分析】根据题意，用10－3.2＝6.8求出被减数和减数的和，因为被减数＝减数＋差，故6.8也等于减数＋3.2＋减数，用6.8减去3.2就等于2个减数的和，然后用结果除以2即可求得减数的值。据此解答即可。 【详解】10－3.2＝6.8 6.8－3.2＝3.6 3.6÷2＝1.8 在一道减法算式中，差是3.2，被减数、减数、差的和是10，减数是1.8。 故答案为：B 5．一张长方形纸，长17厘米，宽12厘米，把它剪成两条直角边分别是3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪（    ）面。 A．34 B．16 C．30 D．32 【答案】D 【分析】两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形，在长方形纸剪两条直角边分别是3厘米、4厘米的直角三角形，先算可以剪多少个长4厘米，宽3厘米的长方形，再乘2即可。 沿着长方形纸的长最多可以剪（17÷4）个（结果用去尾法保留近似数）；沿着宽最多可以剪（12÷3）个，沿长剪的个数×沿宽剪的个数＝剪的总个数，据此求出剪成的长方形总个数，再乘2即可。 【详解】（17÷4）×（12÷3）×2 ≈4×4×2 ＝32（面） 最多可以剪32面。 故答案为：D 6．由3个1和5个0.1组成的数是( )，35个0.01组成的数是( )。 【答案】 3.5 0.35 【分析】这个小数的整数部分是3，小数部分的十分位是5，据此写出小数；35个0.01相当于，据此解答。 【详解】根据分析： 所以3个1和5个0.1组成的数是3.5，35个0.01组成的数是0.35。 7．甲、乙两杯水，如果从甲杯向乙杯中倒入0.14升水后，两杯水一样多，那么原来甲杯比乙杯多（    ）升水。 【答案】0.28 【分析】由题意可知，如果从甲杯向乙杯中倒入0.14升水后，两杯水一样多，说明原来甲杯水比乙杯水多2个0.14升，即0.14×2，据此解答。 【详解】 0.14×2＝0.28（升） 所以，原来甲杯比乙杯多0.28升水。 8．100粒大米大约重2克。照这样推算，1亿粒大米的重量大约是( )千克。 【答案】2000 【分析】100粒大米重约2克，则先计算1粒大米的重量，即2÷100，也就是2的小数点向左移动两位变化为0.02，所以1粒大米重约0.02克。100000000粒大米的重量则用1粒大米的重量乘大米粒数，即0.02×100000000，也就是0.02的小数点向右移动八位变化为2000000，所以100000000粒大米重约2000000克。因为1千克＝1000克，2000000克里面有2000个1000克，也就是2000000克里面有2000个1千克，即2000000克＝2000千克，所以100000000粒大米重约2000千克。 【详解】2÷100＝0.02（克） 1亿＝100000000 100000000×0.02＝2000000（克） 2000000克＝2000千克 因此，100粒大米大约重2克。照这样推算，1亿粒大米的重量大约是2000千克。 9．小马虎同学在计算一道题时，得到的结果是一个两位小数，在书写结果时却把小数点丢掉了，这样所得的结果就比正确的结果多123.75，正确的结果是 。 【答案】1.25 【分析】一个两位小数，当把它的小数点去掉后，根据小数点位置移动引起数的大小变化规律，相当于把这个两位小数的小数点向右移动了两位。小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍。也就是说去掉小数点后的数是原数的100倍，那么去掉小数点后的数比原数大了100－1＝99倍，用多的123.75除以多的倍数列式解答即可。 【详解】123.75÷（100－1） ＝123.75÷99 ＝1.25 所以正确的结果是1.25。 10．小明把31.5米长的彩条平均分成18段，每段长多少米？小明用下方的竖式解决了这个问题，竖式中框出的数表示90( )。（填写长度单位） 【答案】厘米/cm 【分析】先用竖式计算31.5÷18，18 先除31得1……13；小数点后，继续把13后面的小数5（即 13.5）当作135 来除以18，商7……9； 剩下的9对应的是0.9米，再“添 0”就成90（厘米），继续除以18得5……0。 【详解】9对应的是0.9米。 则竖式中框出的数表示90厘米。 11．东东带100元去文具店，买文具盒用了23元，剩下的钱买笔记本，每本笔记本8元。东东最多能买( )本这样的笔记本。 【答案】9 【分析】根据题意，用东东的总钱数减去买文具盒花去的钱数，求出剩下的钱数，已知每本笔记本8元，再用剩下的钱数÷8，即可求出东东用剩下的钱最多能买的笔记本的本数，结果用“去尾法”取整数。 【详解】（100－23）÷8 ＝77÷8 ≈9（本） 东东最多能买9本这样的笔记本。 12．新型国产电动汽车行30千米耗电4.8度，照这样计算，平均每度电可以行驶( )千米，平均行驶1千米耗电( )度。 【答案】 6.25 0.16 【分析】行驶距离÷耗电量＝每度电行驶距离，耗电量÷行驶距离＝每千米耗电量；据此列式计算。 【详解】（千米） （度） 新型国产电动汽车行30千米耗电4.8度，照这样计算，平均每度电可以行驶6.25千米，平均行驶1千米耗电0.16度。 13．据市车管部门最新统计：A区私家车保有量达7.2万辆，B区私家车保有量达10.08万辆，则B区私家车保有量是A区私家车保有量的( )倍。 【答案】1.4 【分析】根据求一个数是另外一个数的几倍，用除法计算，代入数据计算即可解答。 【详解】10.08÷7.2＝1.4 所以，B区私家车保有量是A区私家车保有量的1.4倍。 14．直接写出得数。 0.66－0.6＝            9.25＋1.65＝            31.2÷100＝            0.24×200＝ 4.8＋4.2＝              0.2－0.09＝            1.2×20＝            3.5÷5＝ 【答案】0.06；10.9；0.312；48； 9；0.11；24；0.7 【解析】略 15．列竖式计算。（带※的要验算） 37.5－2.35＝             0.076＋0.54＝              ※0.38×15＝               ※2.1÷25＝ 【答案】35.15；0.616；5.7；0.084 【分析】37.5－2.35：小数点对齐，从最低位减起，不够减时向前一位借1当10。 0.076＋0.54：小数点对齐，从最低位加起，满十进一。 0.38×15：按整数乘法计算38×15，再看因数共有两位小数，从积的右边数出两位点上小数点；验算时用积除以其中一个因数，看是否等于另一个因数。 2.1÷25：按照小数除法法则，将除数变为整数（被除数和除数同时乘100），再进行计算；验算时用商乘除数，看是否等于被除数。 【详解】37.5－2.35＝35.15                                    0.076＋0.54＝0.616                                            0.38×15＝5.7                                         2.1÷25＝0.084 验算：             验算： 16．怎样简便就怎样算。                                                    【答案】13.28；3.7；36.36 5.2；14.656；0.16 【分析】根据加法结合律把原式化为3.28＋（4.3＋5.7）进行简算； 根据乘法交换律和结合律把原式化为3.7×（2.5×0.4）进行简算； 先把10.1拆成10＋0.1，再根据乘法分配律把原式化为3.6×10＋3.6×0.1进行简算； 根据减法的性质的逆运算把原式化为14.26－4.26－4.8进行计算； 先算乘法、除法，再算加法； 先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法。 【详解】 ＝3.28＋（4.3＋5.7） ＝3.28＋10 ＝13.28 ＝3.7×（2.5×0.4） ＝3.7×1 ＝3.7 ＝3.6×（10＋0.1） ＝3.6×10＋3.6×0.1 ＝36＋0.36 ＝36.36 14.26－（4.26＋4.8） ＝14.26－4.26－4.8 ＝10－4.8 ＝5.2 3.6×4＋6.4÷25 ＝14.4＋0.256 ＝14.656 0.5×[（7.2－2.4）÷15] ＝0.5×[4.8÷15] ＝0.5×0.32 ＝0.16 17．斗是古代盛粮食的器具。现在有一斗的大米，大米和斗共重9.7千克。用掉一半的大米后，斗和剩下的大米共重5.62千克。斗重多少千克？大米原来有多少千克？ 【答案】斗重1.54千克；大米原来有8.16千克 【分析】依据“斗的重量始终不变”这一关键，通过总量变化差求出部分量。已知大米和斗共重9.7千克，用掉一半大米后，斗和剩余大米共重5.62千克，两者的重量差（9.7－5.62）即为一半大米的重量（4.08千克）；由此可算出大米原来的重量为一半大米重量的2倍（4.08×2＝8.16千克）；最后用大米和斗的总重量减去大米原来的重量，就能得到斗的重量（9.7－8.16＝1.54千克）。 【详解】（9.7－5.62）×2 ＝4.08×2 ＝8.16（千克） 9.7－8.16＝1.54（千克） 答：斗重1.54千克，大米原来有8.16千克。 18．一块三角形花圃，底是25米，高20.8米，平均每平方米可产鲜花50枝，这块花圃可以产鲜花多少枝？ 【答案】13000枝 【分析】已知三角形花圃的底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出花圃的面积，再乘平均每平方米可产鲜花的枝数，求出这块花圃可以产鲜花的总枝数。 【详解】25×20.8÷2 ＝520÷2 ＝260（平方米） 260×50＝13000（枝） 答：这块花圃可以产鲜花13000枝。 19．在一天中的2时、6时、10时、14时、18时、22时，气象站测得的气温分别是15℃、18℃、28℃、29℃、27℃、25℃。求这一天的平均气温。（得数保留一位小数） 【答案】 23.7℃ 【分析】计算平均气温需将所有测得温度相加，再除以测量次数；结果保留一位小数，求近似数时，先看到百分位，≥5时向前进一再舍去，＜5时直接舍去。 【详解】测得温度总和为： 平均气温为： 答：这一天的平均气温是23.7℃。 20．每升汽油可供汽车行驶9.05千米，2升汽油可供汽车行驶多少千米？汽车的油箱里有18升汽油，行驶200千米，中途要加油吗？ 【答案】18.1千米；要加油 【分析】根据题意，用每升汽油可供汽车行驶的路程乘2，求出2升汽油可供汽车行驶的路程； 用每升汽油可供汽车行驶的路程乘18，求出18升汽油可供汽车行驶的路程，再与200千米进行比较，得出是否需加油。 【详解】9.05×2＝18.1（千米） 9.05×18＝162.9（千米） 162.9＜200 答：2升汽油可供汽车行驶18.1千米。汽车的油箱里有18升汽油，行驶200千米，中途要加油。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $