专题06 直线与圆的位置关系 8大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题06 直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 判断直线与圆的位置关系 考点02 切线的性质应用Ⅰ 考点03 切线的性质应用Ⅱ 考点04 切线的性质应用Ⅲ 考点05 作图题；直线与圆的位置关系的实际应用 考点06 内切圆 考点07 直线与圆的位置关系的综合应用 考点08 解答题 地 城 考点01 判断直线与圆的位置关系 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故选：A． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 3．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）的半径为5 ， 若直线与该圆相交， 则圆心到直线的距离可能是 （    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与 ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，清楚与 的大小与直线和圆的位置关系的对应关系是解题关键．根据与 的大小关系，即可判断． 【详解】∵的最大弦长为，即的直径为， ∴的半径， ∵，即， ∴直线与相离． 故答案为：相离． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）的半径为，直线上的一点到圆心的距离是，则直线与的位置关系是（    ） A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切或相离 D．上三种情况都有可能 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆位置关系的判定，要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系，本题中直线上的点到圆心的距离没有明确是圆心到直线的距离，所以运用分类讨论是正确解题的关键所在． 设直线上的一点为点，没有明确的长度就是圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系要分情况讨论． 【详解】解：设直线上的一点为点， ，且为圆心， 当直时，圆心到直线的距离等于半径，即直线与相切； 当不与直线垂直时，根据“垂线段最短”知：圆心到直的距离要小于的半径，即直线与相交； 因此存在两种位置关系：相切或相交． 故选：A． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即， ∴与该直线相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 地 城 考点02 切线的性质应用Ⅰ 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的切线，为切点，连结、，若，则 ．    【答案】/70度 【分析】本题主要考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，根据圆的切线的性质可得是解题的关键． 由切线的性质证明，则，因为，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，连接，由切线的性质推导出，而，所以，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与相切，切点为点， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆切线性质，直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是求出，．利用切线性质证明，利用圆周角定理得出，即可求出，进而得解． 【详解】解：如图，连接， ∵切与点C， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·浙江金华·二模）如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；连接，根据切线性质得，再由三角形的内角和求出的度数，并根据同圆的半径相等求出结论． 【详解】解：连接，    是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，连接，由切线的性质得出，设，由勾股定理得出 ，即，解方程即可得出答案，掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于 ． 【答案】3 【分析】连接，因为是的切线，得，结合已知在中运用勾股定理即可求解． 【详解】连接， ∵是的切线， ∴， ， 在中， ， 即， ∴， 解得， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键． 地 城 考点03 切线的性质应用Ⅱ 1．（2021·广东深圳·三模）如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵与分别相切， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 故选：B． 2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，是的切线，为切点，连接、．若，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形；根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴在，， 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆O的直径，C为半圆上一点，过点C作半圆O的切线交延长线于点E，如果，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆与三角形综合问题，包括切线的性质定理，圆周角定理，理解题意，作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质定理得到，结合图形，利用各角之间的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵与⊙O相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，切于过圆心O点，是弦，，则 °． 【答案】25 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ， ，， ， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理以及四边形内角和定理，得出的度数是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理得出，再利用四边形内角和定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵、是的两条切线，切点分别为， ∴， ， ， 在四边形中， ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知，过圆外一点P作圆的切线，分别切于点A，B，点C在优弧上．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 地 城 考点04 切线的性质应用Ⅲ 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，过点作半径为1的圆，过点作的切线，Q为切点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理， 先连接，根据点的坐标可知，再根据勾股定理求出，然后根据切线的性质得，接下来根据勾股定理可得答案． 【详解】如图所示， 连接， ∵点， ∴． 根据勾股定理，得． ∵是的切线，， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，掌握切线性质是解答的关键．先根据切线性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点D， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质及等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，再根据直角三角形的性质、勾股定理计算，即可求得的长度． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为(   ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点，连接、相交于点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 即N、M分别是的路中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、垂线定义、平行线分线段成比例定理以、勾股定理及三角形的中位线性质，熟练掌握切线的性质、垂线定义以及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 地 城 考点05 作图题；直线与圆的位置关系的实际应用 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，点A在上，甲、乙两人利用直尺与圆规，过A点作的切线．他们的做法如下： 甲：如图2，作射线，在射线上截取；分别以O，B为圆心，相同的长度（大于）为半径画弧，交于C，D两点，直线即为所求． 乙：如图3，以A点为圆心，长为半径画弧交于点B，作射线，截取，直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的判定，根据切线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：如图2中．由作图可知． 直线是的切线．故甲正确； 如图3中，连接，． 由作图可知， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线．故乙正确． 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °． ∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是我国古代数学的瑰宝，其第九卷中有著名的“勾股容圆”问题，原文为：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”意思是“今有直角三角形，较短直角边长8步，较长直角边长15步，问此直角三角形内切圆的直径是多少步？”我们用学过的知识可求该内切圆的直径是 步． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心．先利用勾股定理计算出斜边，证明四边形是正方形，利用切线长定理求解即可． 【详解】解：如图，为切点， 根据题意，，，，，， 直角三角形的斜边为， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设直角三角形的内切圆的半径为，则， ∴，， ∴， 解得， 所以直角三角形的内切圆的直径为6步． 故答案为：6． 4．（23-24九年级上·浙江·期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 【答案】6 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边， 内切圆直径（步， 故答案为：6． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为的正方形空地，点O在边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以O为圆心，为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交于点N．以为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域作为小区的休闲区，则该休闲区的面积为（　　）． A．1000 B．140 C．800 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、勾股定理和正方形的性质．先证明、为的切线，利用切线长定理得到，，设，则，，在中根据勾股定理得到，解方程得到，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：如图，设与相切于点F， 四边形为正方形， ，， ，， 、为的切线， 切于， ，， ∵正方形的边长为， ∴设，则，， 在中，， 解得， ， 直角梯形面积． 故选：A． 地 城 考点06 内切圆 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，根据即可得到的周长． 【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了圆的切线长定理，熟悉圆的切线长定理是解题的关键． 根据圆的切线长定理知：，，，再根据周长计算即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴，，， ∵的周长为16， ∴，即，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ． 【答案】/ 【详解】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． 【解答】解：在中， ∵， ，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 连接，设，先证明共线，再证明，求出，然后利用面积法求出，进而可求出的周长． 【详解】解：连接，设， ∵与的各边分别相切于点D，E，F， ∴，，，， ∴，平分， ∵， ∴，， ∴共线． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ．地 城 考点07 直线与圆的位置关系的综合应用 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系； 过C作于D，利用勾股定理求出，根据三角形的面积求出，然后结合圆与直线的位置关系得出答案． 【详解】解：过C作于D， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与直线相交， ∴半径r的值或取值范围为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于H，由切线的性质推出半径，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由圆周角定理得到，因此，由补角的性质推出，判定，推 ，求出，得到，即可求出的值． 【详解】解：连接，延长交于H， ∵切于点， ∴半径， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三 角形的性质，关键是判定． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为平面直角坐标的原点，直线与两坐标轴交于两点，，，若的圆心在直线上，且与所在直线相切，则圆心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查切线的性质、勾股定理、三角形和梯形的面积及一次函数图像上点的坐标特征，根据的圆心在直线上设，分点在直线下方和点在直线上方两种情况，利用切线的性质及三角形面积公式和梯形面积公式列方程求出的值即可得答案． 【详解】解： 如图，当点在直线下方时，作，连接、， ∵，， ∴， ∵的圆心在直线上， ∴设， ∵与所在直线相切于、， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴． 当点在直线上方时，连接、、， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 综上所述：圆心的坐标是或， 故答案为：或 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC． 【详解】解：如图，作圆O的直径，连接， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， 连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接、、、，在中，，则，进而得到当取最大值时，最小，由勾股定理可求出，根据题意证明，从而得到，设，则，得到，求出的最大值，即可求解． 【详解】解：连接、、、，    在中，， ， ， 当取最大值时，最小， ，， ， 又，， ， 即、、共线， 为的切线， ， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， 的最大值为， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，路径最短问题，解题的关键是综合运用这些知识． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键． 如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点， ∵的半径是5， ∴，， ∵点都在圆上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴当的值最大时，四边形面积有最大值， ∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为， ∴四边形面积的最大值是， 故选：D ． 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点D．地 城 考点08 解答题 (1)求证：是的切线； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定，等边对等角，求弓形面等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据等边对等角得到，然后求出，即可证明； （2）如图所示，连接，首先求出，，然后根据阴影部分面积代数求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴ ∵是以的边为直径的圆， ∴是的切线； （2）如图所示，连接 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴阴影部分面积． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，为上一点，作半切于点，交于点，连结． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)连结，则，即可得，有，结合半径相等得，即可得结论； (2)作于得，由平行得，即可判定，则，即可解得． 【详解】（1）证明∶连结，如图， 切于点， ， 又， ∴， ， ， ， ， 即平分； （2）解∶作于，如图， ， ， ， 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查平行线的判定、切线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，在中，应用勾股定理求得，证明，得到，，求得，已经条件，为直径即可得到的半径长度． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， 与点F， ， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）连接， ∵是的直径，    ∵   ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理 ， ， ， ， ∵是的直径， 的半径． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，⊙是的外接圆，是直径，点是⊙上的一个点，且． (1)求证：． (2)是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为⊙的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得结论； （2）根据直径所对圆周角是直角可以得到，平分得到，可得，进而可得结果． 【详解】（1）证明：， ， （同弧所对的圆周角相等）， ； （2）证明：是的外接圆，是直径， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 又是半径， 为的切线． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点在⊙上，，点在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为12 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及方程思想，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，可得，由，可得，由同角的余角相等可得．再由，则可得，即可证明结论； （2）设则，在中，由勾股定理可得方程求解即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， 设 则 ∴ 又∵， ∴ 在中，由勾股定理可得： ， 解得：或（舍去）． ∴， ∴的半径为12． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由题意得，，证明即可； （）设的半径为，由可得，再由勾股定理即可求解； 此题考查了切线的判定，三角函数，全等三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴与相切； （2）设的半径为，由（）得：， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴，解得（负值舍去）， ∴的半径为． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，平分，点在斜边边上，以为直径的经过点． (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）如图所示，连接，由角平分线和等边对等角得到，证明出，进而求解即可； （2）首先由余弦概念得到，然后得到，设，则，得到，求出点E是中点，然后利用直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵平分 ∴直线为的切线； （2）， ∴ ∵ 设，则， ， ， ∴ ∴点E是中点 ∵ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，等边对等角，解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)如图，若是的直径，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，然后由垂径定理推论得，又，则，从而求证； （）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，，则，即，故，从而有，然后由圆周角定理得，由直角三角形性质得性质，通过勾股定理求得，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作交于点，交射线于点，于点，连接，，． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，，求的面积 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接根据为的直径，得为直角三角形，根据等腰三角形的性质，及点为的中点，得为的中位线，即可得出结论； （2）连接，根据，为的直径，在证，即可解答； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质在证为直角三角形， 然后根据直角三角形的性质定理和勾股定理得，设，则，求出，，，根据三角形面积公式计算出结果即可； 【详解】（1）为的直径， ， ， 点为中点， 又点为的中点， 为的中位线， ． （2）如图，连接． 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图，过点作于点． 且， 平分， 又，， ．由（2）得， ， ． ， 为直角三角形， 点为斜边的中点， ．设，则， ， ， 即， 解得或（舍去）， ， ， ， ． 【点睛】主要考查了三角形中位线的判定与性质、平行线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是能添加恰当的辅助线并灵活运用已学知识进行求解． 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交x轴于点P，且，求； (3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) (3)的值不变， 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角得，根据即可得； （2）连接，，，根据点M的坐标为得，根据5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D得，根据得，在中，根据勾股定理得，，根据和是的圆周角得，根据和是的圆周角得，即可得，则，计算得，在中，根据勾股定理得，，则，根据，即可得； （3）连接，根据为切线得，可得，根据得，则，即，计算得，当G点与A点重合时，；当G点与B点重合时，；当G点不与A、B重合时，根据得，则，即，而，可得，根据得，可得，即可得． 【详解】（1），理由如下： 解：如图1所示， ∵和是的圆周角， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接，，， ∵点M的坐标为， ∴， ∵5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵和是的圆周角， ∴， ∵和是的圆周角， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3所示，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当G点与A点重合时，； 当G点与B点重合时，； 当G点不与A、B重合时， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的值不变． 【点晴】本题考查了圆的综合题，掌握圆周角定理，切线得性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线是解题的关键． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，，点P是内一个动点，且． (1)试找出与相等的角，并说明理由． (2)如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接 ①求证； ②求的最小值． (3)在如图2的条件下，若，求证： 【答案】(1)，理由见解析 (2)①证明见解析；② (3)证明见解析 【分析】（1）根据，等量代换即可得到； （2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到，即可证明； ②连接、，由，得到，当经过圆心时，的值最小，过点作交于点，则是的中点，连接，则、、三点共线，则是的垂直平分线，再由，得到，即可求的最小值为； （3）由题意可知点上，则，过点作交于点，设，则，分别求出，再由，即可证明． 【详解】（1）解：∵， （2）①证明：∵， ②连接、， 当经过圆心时的值最小，过点作交于点， 则是的中点，连接，则、、三点共线， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）证明：∵， ∴点上， ∴， 过点作交于点， 设则 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，直径所对的圆周角是，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 判断直线与圆的位置关系 考点02 切线的性质应用Ⅰ 考点03 切线的性质应用Ⅱ 考点04 切线的性质应用Ⅲ 考点05 作图题；直线与圆的位置关系的实际应用 考点06 内切圆 考点07 直线与圆的位置关系的综合应用 考点08 解答题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　）地 城 考点01 判断直线与圆的位置关系 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）的半径为5 ， 若直线与该圆相交， 则圆心到直线的距离可能是 （    ） A．3 B．5 C．6 D．10 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与 ． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）的半径为，直线上的一点到圆心的距离是，则直线与的位置关系是（    ） A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切或相离 D．上三种情况都有可能 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 地 城 考点02 切线的性质应用Ⅰ 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的切线，为切点，连结、，若，则 ．    2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江金华·二模）如图，是的弦，与相切于点，经过圆心．若，则 ．    5．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为 ． 6．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于 ． 地 城 考点03 切线的性质应用Ⅱ 1．（2021·广东深圳·三模）如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，是的切线，为切点，连接、．若，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是半圆O的直径，C为半圆上一点，过点C作半圆O的切线交延长线于点E，如果，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，切于过圆心O点，是弦，，则 °． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为 ． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，已知，过圆外一点P作圆的切线，分别切于点A，B，点C在优弧上．若，则 °． 地 城 考点04 切线的性质应用Ⅲ 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，过点作半径为1的圆，过点作的切线，Q为切点，则的长为 ． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点D，与交于点E，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为(   ) A．1 B． C． D． 地 城 考点05 作图题；直线与圆的位置关系的实际应用 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，点A在上，甲、乙两人利用直尺与圆规，过A点作的切线．他们的做法如下： 甲：如图2，作射线，在射线上截取；分别以O，B为圆心，相同的长度（大于）为半径画弧，交于C，D两点，直线即为所求． 乙：如图3，以A点为圆心，长为半径画弧交于点B，作射线，截取，直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °． ∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是我国古代数学的瑰宝，其第九卷中有著名的“勾股容圆”问题，原文为：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”意思是“今有直角三角形，较短直角边长8步，较长直角边长15步，问此直角三角形内切圆的直径是多少步？”我们用学过的知识可求该内切圆的直径是 步． 4．（23-24九年级上·浙江·期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为的正方形空地，点O在边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以O为圆心，为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交于点N．以为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域作为小区的休闲区，则该休闲区的面积为（　　）． A．1000 B．140 C．800 D． 地 城 考点06 内切圆 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（    ） A．14 B． C．16 D．18 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内切圆，切点分别为．已知的周长为16，，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是 ． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，，则的半径为 ．地 城 考点07 直线与圆的位置关系的综合应用 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为平面直角坐标的原点，直线与两坐标轴交于两点，，，若的圆心在直线上，且与所在直线相切，则圆心的坐标是 ． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为 ． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，过上的动点作半径为的的切线，切点为，若为的中点，则的最小值为 ．    7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．25 B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点D．地 城 考点08 解答题 (1)求证：是的切线； (2)求阴影部分面积． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，为上一点，作半切于点，交于点，连结． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，⊙是的外接圆，是直径，点是⊙上的一个点，且． (1)求证：． (2)是延长线上的一点，连接，若恰好平分．求证：为⊙的切线． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为的直径，点在⊙上，，点在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，平分，点在斜边边上，以为直径的经过点． (1)求证：直线为的切线． (2)如图2，连接，若，，求的长． 8．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)如图，若是的直径，，，求的长． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以为直径作交于点，交射线于点，于点，连接，，． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，，求的面积 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，以点为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D． (1)与相似吗？为什么？ (2)如图2，弦交x轴于点P，且，求； (3)如图3，过点D作的切线，交x轴于点Q．点G是上的动点是否变化？若不变，请求出比值，若变化，请说明理由． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，，点P是内一个动点，且． (1)试找出与相等的角，并说明理由． (2)如图2，连接并延长交的外接圆于点Q，交于点D，连接 ①求证； ②求的最小值． (3)在如图2的条件下，若，求证： 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $