专题4.1 线段（8大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版（五四制） 六年级数学上册同步培优讲义

本讲义聚焦线段专题，系统梳理点、直线、射线、线段的概念、表示方法及区别联系。从点的基本元素出发，通过“点动成线”引出直线、射线、线段，结合两点确定一条直线、两点之间线段最短等基本事实，构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于题型设计贴近生活，如建筑工人拉线、蚂蚁觅食路径等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过尺规作图训练和逻辑辨析题提升推理能力，规范符号表示强化数学语言表达，课中辅助分层教学，课后助力巩固知识查漏补缺。

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题4.1 线段 知识点一、点 点是图形的基本元素之一.通常用一个大写字母来表示点，记为“点A”. 点动成线，得到各种形。 知识点二、直线、射线、线段 1、直线。 （1）直线的特征：两点确定一条直线． （2）直线的表示：记作“直线AB”或“直线BA”.有时为了简便也可以用一个小写字母表示，也可以记作“直线l”. 要点： （3）点与直线的位置关系： 点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． 点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2、射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，记作“射线AB”. 要点： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 3、线段 （1）线段的概念：直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段. （2）线段的表示：线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. （3） “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 知识点三、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 知识点四、两点间的距离 关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 知识五、线段的度量与大小比较 任意画两条线段AB、CD,将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，且端点B在射线CD上.端点B有以下三种可能的位置情况，如表4-1所示. 线段的度量需要先取单位长度.有了单位长度，线段的长度就可以用一个数来描述长短.一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度量.进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较. 在不产生混淆的前提下，AB(或a)也可以用以表示线段AB(或线段a)的长度.例如，在表4-1的结论中，情况一可记为AB<CD,情况二可记为AB=CD,情况三可记为AB>CD. 如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短.如图4-1-7所示. 题型01：直线、射线、线段的表示 【例1】下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．下列线段表示正确的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2.下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02：直线、射线、线段的联系与区别 【例2】如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 【跟踪训练】 1.如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 2．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 3．如图， （1）点B在直线AD ，点F在直线 上； （2）点C在直线AD ，点E是直线 和 的交点； （3）经过点C的直线共有 条，它们分别是 ． 题型03：两点确定一条直线 【例3】如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【跟踪训练】 1．挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 2．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 3．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 题型04：两点之间线段最短 【例4】如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离 【跟踪训练】 1．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 2.如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 3.如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ． 4．如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 题型05：尺规作图 【例5】已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹） 【跟踪训练】 1．如图，已知线段，求作一线段，使它等于.作法：①画射线；②在射线上截取；③在射线上顺次截取；④在线段上截取.那么所求作的线段是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．已知点是线段中点，则下列结论不成立的是　　 A． B． C． D． 3.已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 4.如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    5．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按下列要求作图： (1)作直线； (2)作射线； (3)连接； (4)在上确定一点E，使E到点B和D的距离之和最小． 题型06：尺规作图的语句辨析 【例6】下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【跟踪训练】 1．下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 2.下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 3.下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 题型08：线段的大小比较 【例7】如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【跟踪训练】 1．如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）    2．两根木条，与，将它们一端重合且放在同一条直线上如图所示，此时 （填“”，“”或“”）． 3．已知线段和，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，点在线段上，那么 ．（填“”、“”或“”） 4．如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 题型09：直线、射线、线段的数量问题 【例8】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车（　　）种车票． A．20 B．11 C．12 D．13 【例9】如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【跟踪训练】 1．如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 2．如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 3．已知站与站之间有个车站，那么往返于站与站之间的客车，应安排（   ）种车票． A．10 B．6 C．12 D．8 4．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 题型10：直线相交的交点个数问题 【例10】在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 2.【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 一、选择题 1．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 2．为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线 3.下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 4.已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5.下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 6．图中，AB、AC是射线，图中共有（    ）条线段． A．7 B．8 C．9 D．11 二、填空题 7．从甲村到乙村共有三条路（如图所示），小明要尽快到达乙村应选择第 条路，用数学知识解释为 ． 8.如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 9.如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 10．在线段之间加入了7个点，则共增加了 条线段． 11．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ． 三、解答题 12．如下图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线交于点． (2)画线段交于点． (3)画射线． (4)连接交于点． (5)连接，并将其反向延长． (6)取一点，使点既在直线上又在直线上． 13．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： (1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段； (2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段； (3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 14.如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 15．【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 16.如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题4.1 线段 知识点一、点 点是图形的基本元素之一.通常用一个大写字母来表示点，记为“点A”. 点动成线，得到各种形。 知识点二、直线、射线、线段 1、直线。 （1）直线的特征：两点确定一条直线． （2）直线的表示：记作“直线AB”或“直线BA”.有时为了简便也可以用一个小写字母表示，也可以记作“直线l”. 要点： （3）点与直线的位置关系： 点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． 点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2、射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，记作“射线AB”. 要点： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 3、线段 （1）线段的概念：直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段. （2）线段的表示：线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. （3） “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 知识点三、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 知识点四、两点间的距离 关于线段的基本事实：两点之间，线段最短. 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离. 知识五、线段的度量与大小比较 任意画两条线段AB、CD,将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，且端点B在射线CD上.端点B有以下三种可能的位置情况，如表4-1所示. 线段的度量需要先取单位长度.有了单位长度，线段的长度就可以用一个数来描述长短.一旦单位长度确定，我们就可以用相应的刻度尺对线段进行度量.进一步，线段的长短也可以通过长度来加以比较. 在不产生混淆的前提下，AB(或a)也可以用以表示线段AB(或线段a)的长度.例如，在表4-1的结论中，情况一可记为AB<CD,情况二可记为AB=CD,情况三可记为AB>CD. 如果没有刻度尺，我们还可以借助圆规比较两条线段的长短.如图4-1-7所示. 题型01：直线、射线、线段的表示 【例1】下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线． 故选：B． 【跟踪训练】 1．下列线段表示正确的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查线段的表示方法，根据线段可以用一个小写字母表示，或者用表示线段两个端点的大写字母表示，逐项判断，即可解题． 【解答】解：因为线段可以用一个小写字母表示，或者用表示线段两个端点的大写字母表示， 所以线段可以表示为线段， 故选：B． 2.下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段的表示，直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线；线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段（或线段）．据此判断即可． 【详解】解：有关线段或者直线的表示方法，正确的是： 故选：C． 题型02：直线、射线、线段的联系与区别 【例2】如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段等知识点，根据直线、射线、线段的意义作答即可，能理解直线、射线、线段的意义是解此题的关键． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法正确；故本选项不符合题意； B、射线与射线是同一条射线，原说法正确；故本选项不符合题意； C、射线和射线不是同一射线，原说法错误；故本选项符合题意； D、线段和线段是同一线段，原说法正确；故本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练】 1.如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判断即可 【详解】解：A． 直线和直线是同一条直线，故该选项错误，不符合题意； B． 射线和射线是同一条射线，故该选项错误，不符合题意； C． 点在线段上，故该选项正确，符合题意； D． 直线没有端点，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，下列说法正确的是（   ） A．图中共有5条线段 B．直线与直线是指同一条直线 C．射线与射线是指同一条射线 D．点在直线上 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，点与直线的位置关系，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义和点与直线的位置关系对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：A．图中有线段、、，，，，共6条线段，原说法错误，不符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，符合题意； C．射线与射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； D．点不在直线上，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．如图， （1）点B在直线AD ，点F在直线 上； （2）点C在直线AD ，点E是直线 和 的交点； （3）经过点C的直线共有 条，它们分别是 ． 【答案】 上 BC和AE 外 AE CD 3 直线AC、BC、DC 【分析】根据图形即可直接作出解答． 【详解】解：（1）点B在直线AD上，点F在直线和上， 故答案为：上；和； （2）点C在直线AD外，点E是直线AE和CD的交点， 故答案为：外；AE；CD； （3）经过点C的直线共有三条，它们分别是：直线、、, 故答案为：3；直线、、. 【点睛】解这类题必须分清个元素之间的位置关系，能用规范的语言表达． 题型03：两点确定一条直线 【例3】如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【答案】B 【分析】由两点确定一条直线可直接得出答案． 此题主要考查了两点确定一条直线，理解题意是解题关键． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 【跟踪训练】 1．挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题的关键．直接利用直线的性质进而分析得出答案． 【详解】解：挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 2．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 【答案】B 【分析】根据直线的性质，分析将细木条固定在墙上最少用2个钉子的原理，从而选择正确选项．本题主要考查了直线的性质，熟练掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 【详解】解：因为两点确定一条直线，所以用2个钉子能将细木条固定在墙上，使其位置确定． 故选：B． 3．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 题型04：两点之间线段最短 【例4】如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：蚂蚁选择第②条路径的理由是“两点之间线段最短”． 故选：B 【跟踪训练】 1．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该知识点． 利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，根据是两点之间线段最短， 故选：B． 2.如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，熟知两点之间，线段最短是解题的关键． 【详解】解：从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是两点之间线段最短， 故选：B． 3.如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据两点确定一条直线解答． 【详解】解：准星与目标是两点， 利用的数学知识是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 4．如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解题的关键是理解题意；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【解答】解：由题意可知这样做的理由是两点之间的所有连线中，线段最短； 故选C． 题型05：尺规作图 【例5】已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可． 【解析】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段， 线段即为所求． 【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，已知线段，求作一线段，使它等于.作法：①画射线；②在射线上截取；③在射线上顺次截取；④在线段上截取.那么所求作的线段是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，熟练掌握线段的和差是解题关键． 根据线段的和差即可得． 【解答】解：∵，，， ∴， 故选：D． 2．已知点是线段中点，则下列结论不成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段的中点定义及表示方法进行判断便可． 【解析】解：点是线段中点， ，， 、B、D选项成立，C选项不成立， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的中点的定义与性质，熟练掌握中点的定义与性质是解题的关键． 3.已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 4.如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：如图，当点在点的左侧， ；    当点在点的右侧， ；    综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键． 5．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按下列要求作图： (1)作直线； (2)作射线； (3)连接； (4)在上确定一点E，使E到点B和D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质∶两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据直线的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）根据线段的定义画图即可； （4）结合线段的性质，连接BD，交AC于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图，直线即为所求． （2）解：如上图，射线即为所求． （3）解：如上图，线段即为所求． （4）解：如上图，连接，交于点E，则点E在上， 根据两点之间线段最短，所以当B，D，E三点共线时，最短，即为的长度， 则点E即为所求． 题型06：尺规作图的语句辨析 【例6】下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练】 1．下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 【答案】C 【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键． 【解析】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线，该选项表述错误，不符合题意； B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线，该选项表述错误，不符合题意； C、画线段，在线段上任取一点说法正确，符合题意； D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点为端点画射线，而不是以点为端点画射线，该选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 2.下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 3.下列关于画图的语言叙述正确的是（   ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段、直线的定义知识点，掌握相关定义成为解题的关键． 根据基本作图的方法、逐项分析即可解答． 【详解】解：A、直线没有长度，故 A 选项错误，不符合题意； B、射线没有长度，故 B 选项错误，不符合题意； C、延长线段到点C，说法正确，符合题意； D、三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 题型08：线段的大小比较 【例7】如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段长度的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【解答】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知． 故选：C． 【跟踪训练】 1．如图，用圆规比较两条线段和的长短，则 ．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】根据比较线段长短的方法解答即可． 【详解】解：由题图可知，． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了比较线段的长短，解题的关键是掌握比较线段长短的方法． 2．两根木条，与，将它们一端重合且放在同一条直线上如图所示，此时 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的长短比较，根据图形上线段的长短即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：． 3．已知线段和，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，点在线段上，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了线段比较长短，根据题意画出图形求解即可．正确理解题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，， 故答案为：． 4．如图，已知三点A，B，C． (1)作图：画线段，画射线，画直线； (2)在（1）的条件下，比较线段的大小：______（填“>”“<”或“=”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)>；两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段、射线、直线的作图以及线段大小比较的原理，解题的关键是掌握三种线的作图方法和理解两点之间线段最短这一基本原理． 明确线段、射线、直线的作图要求并进行作图； 根据两点之间线段最短的原理比较线段大小． 【详解】（1）画线段：用直尺连接点A和点B，线段有两个端点A和B ，长度是固定的， 画射线：以A为端点，向C的方向无限延伸画出射线，射线有一个端点，向一端无限延伸， 画直线：用直尺经过点B和点C向两端无限延伸画出直线，直线没有端点，向两端无限延伸， 如图： （2）因为A，B两点之间，线段是最短路径．而表示从经过到的路径长度，根据两点之间，线段最短，所以． 故答案为：>；两点之间，线段最短． 题型09：直线、射线、线段的数量问题 【例8】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车（　　）种车票． A．20 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了线段条数的计算，应按照一定的顺序,才能做到不遗漏，不重复，还需注意每条线段应印2种车票．根据线段的定义找出线段的条数，再根据车票的起始站的不同，乘以2即可得到车票的种数． 【详解】解:图中线段有：， 共（条）， 每条线段应印2种车票， 共需（种）， 故选：A． 【例9】如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 【跟踪训练】 1．如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 2．如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 【答案】 射线 射线（或射线） 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的概念即可求解，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：图中线段为，，，，，，共条，以点为端点的射线有条，它们分别是射线，射线（或射线）， 故答案为：；；射线；射线（或射线）． 3．已知站与站之间有个车站，那么往返于站与站之间的客车，应安排（   ）种车票． A．10 B．6 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的实际应用，设站与站之间有个车站为站和站，且站靠近站，分两种情况：当客车从站开往站时；当客车从站开往站时． 【解析】如图所示，设站与站之间有个车站为站和站，且站靠近站． 当客车从站开往站时，安排的车票为： ，，，，，，共种． 同理，当客车从站开往站时，安排的车票共种． 所以，应该共安排车票种． 故选：C 4．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段．根据题意可以画出适合条件的几种情况，从而可以解答本题． 【解析】如下图所示：则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有3条：倾斜的三颗黑色的，水平的三颗白色的，右上角的白子到左下角的白子． 故选B． 题型10：直线相交的交点个数问题 【例10】在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 【跟踪训练】 1．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【解析】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 2.【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 一、选择题 1．下列各直线、线段、射线的表示中，正确的是（    ） A．直线： B．射线： C．线段： D．线段： 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中直线不能用两个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； B．射线用它的端点和射线方向上的另外任意一点的两个字母表示，表示方法中起点字母总是放在第二个字母的前面，图中应该表示射线，故该选项说法错误，不符合题意； C．线段，故该选项说法正确，符合题意； D．线段用两个端点的大写字母或用一个小写字母表示，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】两个学生看成点，根据两点确定一条直线的知识解释即可． 【解析】∵两点确定一条直线， ∴选A． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线的原理，正确理解原理是解题的关键． 3.下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 E． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，线段、射线的定义，两点之间的距离，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：A、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法错误，不符合题意； D、线段与线段是同一条线段，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4.已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 5.下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线，点与直线的关系等语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 如图1，直线、相交于点，描述相符，故该选项不符合题意； B. 如图2，直线与线段有公共点，描述不相符，故该选项符合题意； C. 如图3，延长线段，描述相符，故该选项不符合题意； D. 如图4，直线不经过点，描述相符，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．图中，AB、AC是射线，图中共有（    ）条线段． A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据线段的定义，线段有两个端点，找出所有的线段后再计算个数． 【解析】解：图中的线段有AD、CD、BD、DE、BE、CE、BC、AB、AC，共有9条． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的定义，熟练掌握线段有两个端点，还要注意按照一定的顺序找出线段，要做到不遗漏，不重复是解题的关键． 二、填空题 7．从甲村到乙村共有三条路（如图所示），小明要尽快到达乙村应选择第 条路，用数学知识解释为 ． 【答案】 ② 两点之间线段最短 【分析】根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接甲乙两村的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可． 【解析】解：小明要尽快到达乙村应选择第②条路，用数学知识解释为：两点之间线段最短， 故答案为：②；两点之间线段最短． 【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短． 8.如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 9.如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 10．在线段之间加入了7个点，则共增加了 条线段． 【答案】35 【分析】本题考查点与线段的数量关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．先计算加入7个点之后共有几个点，一共有多少条线段，再减去原来的线段即可得解． 【详解】解：根据题干分析可得， 在之间加入7个点，则组成的子线段有8条， 则共有条， 所以增加了条， 故答案为：35． 11．平面内三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直线相交的交点个数，代数式求值，根据平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，即可求解． 【详解】解：当三条直线相交于同一点时，交点只有1个，即， 当三条直线的交点不是同一点时，交点最多有3个，即， 所以． 故答案为：． 三、解答题 12．如下图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线交于点． (2)画线段交于点． (3)画射线． (4)连接交于点． (5)连接，并将其反向延长． (6)取一点，使点既在直线上又在直线上． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查尺规作图，准确根据题意画图是解题的关键． （1）根据题意尺规作图即可； （2）根据题意尺规作图即可； （3）根据题意尺规作图即可； （4）根据题意尺规作图即可； （5）根据题意尺规作图即可； （6）根据题意尺规作图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：如图所示： （5）解：如图所示： （6）解：如图所示： 13．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题： (1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段； (2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段； (3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程． 【答案】(1)3 (2)6 (3)条，见解析 【分析】（1）根据线段定义即可求解． （2）根据线段的定义即可求解． （3）由（1）（2）找出规律即可求解． 【解析】（1）解：由图可得： 直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC， 则可以确定3条线段， 故答案为：3． （2）有图可得： 直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD， 则可以确定6条线段， 故答案为：6． （3）由（1），（2）可得， 当直线上有n个点，则： ． 【点睛】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键． 14.如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及线段的和差关系． （）依据绝对值非负性，因，两个非负的绝对值相加为，则各自为，所以，解得； （）结合线段和差关系，由，得到，化简后得； （）分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（）知：， ∴ ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 则， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 15．【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 16.如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值． (2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (3) 【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据，依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （2）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （3）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $