5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第1课时）周期性与奇偶性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，从图象联系入手，通过“五点作图法”回顾旧知，引导观察图象“周而复始”规律引出周期性，经定义辨析、公式推导过渡到奇偶性，构建从图象到概念到应用的学习支架。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，通过定义辨析（如判断“2π/3是否为周期”强调任意性）、公式推导（例2用换元法得出T=2π/|ω|），结合数形结合观察图象对称判断奇偶性。学生能提升抽象思维与推理能力，教师可借助“问题-探究-应用”链条高效教学。

x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  正弦曲线 y=sinx xR 正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？ 形状完全一样只是位置不同 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  余弦曲线 y=cosx，x∈R 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 问题1：大家还记得正弦函数、余弦函数的简图怎么画吗？ 五点作图法 y＝sin x                   y＝cos x 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2025/11/28 2 问题2：探究：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质? x O 1 -1 观察正弦函数图象，可以发现，在图像上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同得点，这正是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。 即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等. 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等． 另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2025/11/28 3 5.4.2正弦函数余弦函数的性质 周期性与奇偶性 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.理解周期函数的概念,会利用周期性定义求简单函数的周期，达到数学抽象和逻辑推理核心素养水平一的要求. 2. 会利用公式求简单三角函数的周期; 3.根据之前所学和图象来研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性,达到逻辑推理核心素养水平的要求. 4.能利用性质解决一些简单问题. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 一般地，设函数 的定义域为，如果存在一个非零常数T，使得对每一个 都有，且 那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 1、周期性的概念: 学习新知1 练习(第203页)概念理解 不满足任意性 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2025/11/28 6 练习(第203页) 习题5.4(第214页) 应用新知1 1) 、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？ 2)、已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，1)时，f(x)=x－4，求f(100). 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 x 0 1 -1 ２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上 ，且 ,常数都是它的周期． 如果在周期函数所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 附:今后本书中所涉及的周期,如果不加特别说明,都是指最小正周期. 正、余弦函数的周期性: 学习新知1 根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数， 且 都是它的周期， 最小正周期是. 类似地，余弦函数也是周期函数， 且 都是它的周期，最小正周期是. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2025/11/28 8 例2：求下列函数的最小正周期 （1）y=3sinx （2）y=cos2x （3）y=2sin(x-) 应用新知1 分析 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例2：求下列函数的最小正周期 （1）y=3sinx （2）y=cos2x （3）y=2sin(x-) (1)y=3sinx “3”作为sinx 的系数,不影响自变量x的变化， 对于∀x∈R,有y=3sin（x+2π）=3sinx. 所以2π就是原函数的周期. 应用新知1 （2）令z=2x,对于∀x∈R,z∈R. y=cosz的周期2π. 即cos(z+2π)=cosz 于是cos（2x+2π）=cos2x 所以cos2(x+π)=cos2x，x∈R 由周期函数定义可知，原函数的周期是π. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 例2：求下列函数的最小正周期 （1）y=3sinx （2）y=cos2x （3）y=2sin(x-) 应用新知1 T=2π （3）y=2sin(x-) 令z=x-.对于∀x∈R,z∈R ∴y=2sinz的周期是2π 即2sin（z +2π）=2sinz 于是2sin(x-+2π)=y=2sin(x-) 所以2sin[(x+4π)-]=2sin(x-) 由周期函数定义可知，原函数的周期是4π. 问题4：回顾例2得解答过程，你能发现这些函数周期与解析式中哪些量有关吗？ T=π T=4π 与的系数有关 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 形如 其中为常数，且的周期与有关. 推导过程自行阅读教材203页“探究与发现”. 推广：如果函数 y=的周期 ， 那么函数 y=的周期是 函数最小正周期为： 学习新知1 归纳总结 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2025/11/28 12 练习(第203页) 求函数最小正周期的常用方法:(1)定义法 (2)公式法 (3)图象法 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=sinx xR x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=cosx，x∈R 问题5：观察正弦曲线和余弦曲线,还可以看到什么？ 可以看到正弦曲线关于原点中心对称，余弦曲线关于x轴对称。 学习新知2 2、正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. y=sinx (xR) sin(-x)= - sinx (xR) 是奇函数 y=cosx (xR) cos(-x)= cosx (xR) 是偶函数 定义域关于原点对称 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 2025/11/28 14 练习(第203页) (6)f(x)＝|sin x|＋cos x； 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 （2） 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 习题5.4(第214页) 19．容易知道，正弦函数y = sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？对余弦函数，讨论上述同样的问题． 探究新知 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 问题6：继续观察图像，正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？ x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=sinx xR x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=cosx，x∈R 正弦曲线关于点(,0)和直线对称. 余弦曲线关于点( 和直线 x=对称. 继续观察相邻对称轴(或对称中心)的距离是 继续观察相邻对称轴和对称中心的距离是 观察对称轴(或对称中心)的正(余)弦值有什么特点？ 探究新知 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 18 课堂总结 方法与能力 数学抽象 数学应用 数形结合 数学运算 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听！ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 (5)f(x)＝sin； (7)f(x)＝x2cos. (8)f(x)＝＋. $