第十一单元　9.2用样本估计总体专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十一单元　用样本估计总体 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025盐城中学模拟]某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛,他们在预赛中所得的积分互不相同,只有积分在前15名的同学才能进入决赛.若某同学知道自己的积分后,要判断自己能否进入决赛,则他只需要知道这29位同学的预赛积分的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.中位数 B.众数 C.平均数 D.极差 2.[2025重庆一中高一期末]样本数据2,3,5,8,11,14,15,17的第25百分位数是(　　) A.4 B.3 C.5 D.8 3.[2025北京五中高一期中]如图是甲、乙两地10月1日至10月7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为,标准差为s1;乙地每天最低气温的平均数为,标准差为s2.根据上述信息,下列结论中正确的是(　　) A.<,s1<s2 B.<,s1>s2 C.>,s1<s2 D.>,s1>s2 4.[2025大同一中高一期末]若一组样本数据为x1,x2,x3,…,xn,另一组样本数据2x1+4,2x2+4,2x3+4,…,2xn+4的方差为8,则x1,x2,x3,…,xn的方差为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 5.【教材变式】[2025福州一中高一期末]在如图所示的两种分布形态中(　　) A.(1)中的中位数大于平均数 B.(1)中的众数大于平均数 C.(2)中的众数小于中位数 D.(2)中的中位数大于平均数 6.[2025河北省衡水市、廊坊市等2地NT20名校高一期末]用抽签法抽取的一个容量为10的样本x1,x2,…,x10的平均数为12,方差为6,用随机数表法抽取的一个容量为20的样本y1,y2,…,y20的平均数为15,方差为9,则样本x1,x2,…,x10,y1,y2,…,y20的方差为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 7.[2024新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表: 亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 8.[2025丰城中学模拟]甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数,根据下面四名同学的统计结果,可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是(　　) 甲同学:中位数为22,众数为20; 乙同学:中位数为25,平均数为22; 丙同学:40%分位数为22,极差为2; 丁同学:有一个数据为30,平均数为24,方差为10.8. A.1 B.2 C.3 D.4 多项选择题 9.[2025沈阳二中高一期末]已知数据x1,x2,x3,…,x10满足x1<x2<…<x10,若去掉x1,x10后组成一组新数据,则新数据与原数据相比,不可能变大的是(　　) A.平均数 B.中位数 C.极差 D.方差 10.[2025佳木斯一中模拟改编]为了关注学生的健康成长,学校开展了一次高三年级的学生身高的抽样调查,随机抽取了100名学生,将他们的身高划分成了A,B,C,D,E五个层次,根据抽样结果得到如下统计图,则下列说法正确的是(　　) A.样本中A层次身高的女生少于男生 B.样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% C.样本中E层次身高的男生有6人 D.已知样本中学生的身高情况为:男生样本平均数为175,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本标准差为12 11.[2025四川省乐山市调研]某学校为了提高高一年级学生的某学科成绩,在第一次月考后采取了“培优补短”等一系列举措.为了更好地总结经验,现从高一年级1 000名学生中随机抽取100名学生,将其前后两次月考成绩(满分150分)分别按照[50,70),[70,90),…,[130,150]分成五组,绘制成频率分布直方图,如图所示.下列说法正确的是(　　)  A.m=0.02 B.估计该年级第二次月考成绩在[130,150]内的学生比第一次月考对应分数段的多10人 C.估计第二次月考学生成绩的平均分比第一次月考学生成绩的平均分高10.6 D.与第一次月考相比,第二次月考成绩在[50,90)内的学生人数减少,在[110,150]内的学生人数增加 填空题 12.[2025辽宁省实验中学、东北育才学校、东北师大附中等校模拟]为了了解学校质量监测成绩,现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析,并绘制频率分布直方图,若该频率分布直方图的组距为10,且样本中成绩在区间[92.5,102.5)这一组内的学生有40人,则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为　　　　.  13.【探索新定义】[2025河北衡水中学、衡水二中联考]加密运算在信息传送中具有重大作用,对于一组数据a1,a2,…,an,其密钥s=ai,定义算法bi=ai s=其中i=1,2,…,n.将数据a1,a2,…,an加密为b1,b2,…,bn的过程称为I型单向加密.现将一组数据4,1,6,8,4,7进行I型单向加密,则加密后的新数据的60%分位数为　　　　.  14.[2025柳州高级中学高一期中]为了调查某高中高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度,对5个班级进行问卷调查,得到这5个班级中每班热爱数学程度较高的学生人数为x1,x2,x3,x4,x5(具体数据丢失),但已知这5个数据的方差为4,平均数为+-1的最小值(其中x+y=,x,y>0)且这5个数互不相同,则这5个数据中的最大值为　　　　,数据的极差为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)[2025石家庄一中高一期末]为坚持健康第一的教育理念,帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志,某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动,甲班两位同学在近期训练中的跳绳数(单位:次/分)如下: A同学:124,140,130,132,136,104,130 B同学:130,136,126,130,120,124,130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差; (2)计算两组数据的平均数和方差(方差的结果保留两位小数),并比较两位同学的跳绳水平. 16.(15分)[2025杭州七中高一入学考试]甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫,质检员在两个工厂各抽查六次进行质检.每次随机抽取100件,获得数据后绘制成如图所示统计图并对数据统计如下表,公司规定合格率大于等于92%视作本次质检通过. 工厂 通过次数 平均数(件) 中位数(件) 众数(件) 甲工厂 a c 94.5 97 乙工厂 b 94 d 94 (1)求a,b,c,d的值. (2)公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产,请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂,从多个角度分析数据,简述推荐理由. 17.(15分)[2025临川一中高一月考]某地红心猕猴桃因富含维生素C及K,Ca,Mg等多种矿物质和18种氨基酸,被誉为“维C之王”,某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质,从该基地的8 000个猕猴桃中随机抽取100个猕猴桃进行测量,其质量全部分布在区间[60,120]内(单位:克),将所得数据分成6组:[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120],得到频率分布直方图如图所示. (1)求抽取的100个猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数; (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃,并提出了以下两种收购方案: 方案一:所有猕猴桃均以10元/千克收购; 方案二:小于90克的猕猴桃以5元/千克收购,不小于90克的猕猴桃以15元/千克收购. 请你就这两种方案,通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) 18.(17分)[2025恩施高中月考]某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答,并按学段人数比例分层随机抽样,从中抽取220名学生,对其分数进行统计分析,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值,并估计该地区所有学生知识问答分数的众数; (2)分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书,试估计获得“防溺水达人”的最低分数; (3)教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数:x1,x2,x3,…,x10,已知这10个分数的平均数=90,方差s2=25,若剔除其中的最高分98和最低分86,求剩余8个分数的平均数与方差. 参考数据:982=9 604,862=7 396,89.52=8 010.25. 19.(17分)[2025南昌二中高一期末]随着手机和网络的普及,外卖行业得到迅速发展.某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分,系统自动将评分按从大到小顺序排列如下: 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)请你估计该地区所有用户评分的21%,95%分位数; (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本,有一个数据不小心丢失了,抽到的其他9个用户的评分分别为92,84,86,78,89,74,78,77,89,且这10个数据的平均数=83,记这10个数据的方差为s2,若用户的满意度评分在(-s,+s)内,则满意度等级为“A级”,试用样本估计总体的思想,根据所抽到的10个数据,估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比; (3)平台为拓展客流,开发了一个新的评价系统.把(2)中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据,且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的,新系统得出的评分平均数为89分,方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差. 参考数据:≈5.48,≈5.74,≈5.92. 参考答案 1.A　因为29位同学的预赛积分的中位数是第15名同学的预赛积分,所以知道中位数即可判断是否在前15名,即是否能进入决赛. 2.A　这组样本数据共8个数,而且已经从小到大排列,由8×0.25=2,可知这组数据的第25百分位数是=4. 3.B　甲地1日至7日最低气温均不高于乙地,则甲地最低气温的平均值小于乙地,即<;标准差是反应一组数据的波动性的量,由题图可知甲地最低气温明显波动性较大,则标准差要大,即s1>s2. 4.D　设x1,x2,x3,…,xn的方差为s2,则22s2=8,得s2=2( 若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1+b,ax2+b,ax3+b,…,axn+b的方差为a2s2). 5.D　众数是最高的矩形的中点横坐标,因此(1)中的众数为第二个矩形的中点横坐标,第二、三个矩形数据较多,且右侧拖尾,所以平均数大于中位数,即在(1)中,众数<中位数<平均数;同理在(2)中,平均数<中位数<众数. 6.B　由题知x1,x2,…,x10,y1,y2,…,y20的平均数为z==14,则所求方差s2=×{10×[6+(12-14)2]+20×[9+(15-14)2]}=10. 7.C　A(✕)因为前3组的频率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4组的频率之和0.36+0.30=0.66>0.5(题眼),所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100). B(✕)100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%=66%<80%. C(√)因为1 200-900=300,1 150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间. D(✕)由题表知,小于1 000的数据远少于大于1 000的数据,所以100块稻田亩产量的平均值大于1 000 kg( 100块稻田亩产量的平均值约为×(925×6+975×12+1 025×18+1 075×30+1 125×24+1 175×10)=1 067(kg)). 8.C　甲(√)甲同学的5个数据的中位数为22,众数为20,则数据中必有20,20,22,余下两个数据都大于22,且不相等,所有数据一定都不小于20. 乙(✕)乙同学的5个数据的中位数为25,平均数为22,当5个数据为17,18,25,25,25时,符合题意,而有小于20的数,不满足所有数据一定都不小于20. 丙(√)丙同学的5个数据的40%分位数为22,极差为2,则5个数据由小到大排列后的第二和第三个数只可能是22,22或21,23,由极差为2知,所有数据一定都不小于20. 丁(√)丁同学的5个数据中有一个数据为30,平均数为24,设其余4个数据依次为x1,x2,x3,x4,则方差s2=[36+(x1-24)2+(x2-24)2+(x3-24)2+(x4-24)2]=7.2+[(x1-24)2+(x2-24)2+(x3-24)2+(x4-24)2],若x1,x2,x3,x4中有小于20的数,则s2≥7.2+5=12.2>10.8,不符合题意,因此x1,x2,x3,x4均不小于20,验证可知,当5个数为21,21,24,24,30时可满足条件. 综上,可以判断所有数据一定都不小于20的同学人数为3. 9.BCD　A(✕)若数据为1,3,4,5,6,7,8,9,11,12,原数据的平均数为6.6,去掉1和12后,新数据的平均数为,但>6.6,故平均数可能变大. B(√)原数据和新数据的中位数均为,故中位数不变. C(√)由于x1<x2<…<x10,所以原数据的极差为x10-x1,新数据的极差为x9-x2,故极差变小. D(√)去掉x1,x10后,极差变小,数据波动性变小,故方差变小(极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感,一般情况下,极差大,则数据较分散,数据的波动性大,方差大;极差小,则数据相对集中,数据的波动性小,方差小). 10.ABD　A(√)样本中女生人数为4+12+10+8+6=40,则样本中男生人数为60,样本中A层次身高的男生人数为60×15%=9,女生人数为4,所以样本中A层次身高的女生少于男生. B(√)样本中D层次身高的女生有8人,男生有60×15%=9(人),所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的百分比为=17%. C(✕)样本中E层次身高的男生有60×(1-40%-25%-15%-15%)=60×5%=3(人). D(√)总体样本的平均数为=171,则总体样本方差为=144,则总体样本标准差为=12. 11.BCD　A(✕)因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以20×(0.002 5×2+0.007 5+0.015+m)=1,解得m=0.022 5. B(√)由题图,可估计该年级第二次月考成绩在[130,150]内的学生人数为0.003×20×1 000=60,第一次月考成绩在[130,150]内的学生人数为0.002 5×20×1 000=50,所以估计该年级第二次月考成绩在[130,150]内的学生比第一次月考对应分数段的多10人. C(√)第一次月考成绩平均分约为60×0.05+80×0.3+100×0.45+120×0.15+140×0.05=97,第二次月考成绩平均分约为60×0.04+80×0.06+100×0.44+120×0.4+140×0.06=107.6,107.6-97=10.6. D(√)由频率分布直方图可知,第一次月考成绩在[50,90)内的频率为20×(0.002 5+0.015)=0.35,第二次月考成绩在[50,90)内的频率为20×(0.002+0.003)=0.1,第一次月考成绩在[110,150]内的频率为20×(0.002 5+0.007 5)=0.2,第二次月考成绩在[110,150]内的频率为20×(0.02+0.003)=0.46,所以与第一次月考相比,第二次月考成绩在[50,90)内的学生人数减少,在[110,150]内的学生人数增加(由频率分布直方图,易得第一次月考成绩在[50,90)内的两个小矩形面积之和明显大于第二次月考成绩在[50,90)内的两个小矩形面积之和,故与第一次月考相比,第二次月考成绩在[50,90)内的学生人数减少;同理可得第二次月考成绩在[110,150]内的学生人数增加). 12.0.02　由题意,知成绩在区间[92.5,102.5)内学生的频率为=0.2,因此该组数据对应的矩形高度为==0.02. 13.6　 14.12　6　对x+y=,x,y>0,有+-1≥+-1=-1=-1=9,当且仅当x=y=时,等号成立,即+-1的最小值为9( 遇到最值问题优先考虑基本不等式、二次函数的性质等,基本不等式作为求最值的工具,可跟多数知识结合,运用时要注意条件“一正二定三相等”),所以x1,x2,x3,x4,x5的平均数为9.由于这5个数据的方差为4,故++++=20,由于这5个数据两两不同,且人数为整数,所以只可能有{x1-9,x2-9,x3-9,x4-9,x5-9}={0,-1,1,-3,3},从而{x1,x2,x3,x4,x5}={6,8,9,10,12},因此这5个数据的最大值为12,极差为12-6=6. 15.【解析】 (1)将题目中的数据,按照从小到大排列可得: A同学:104,124,130,130,132,136,140, B同学:120,124,126,130,130,130,136, A同学跳绳数的众数为130,中位数为130,极差为140-104=36,(3分) B同学跳绳数的众数为130,中位数为130,极差为136-120=16.(6分) (2)A同学跳绳数的平均数为==128,(7分) 方差=×[(124-128)2+(140-128)2+(130-128)2+(132-128)2+(136-128)2+(104-128)2+(130-128)2]≈117.71.(9分) B同学跳绳数的平均数为==128,(10分) 方差=×[(130-128)2+(136-128)2+(126-128)2+(130-128)2+(120-128)2+(124-128)2+(130-128)2]≈22.86.(12分) 因为=,>,所以两位同学的平均水平相当,但B同学发挥较稳定.(13分) 16.【解析】 (1)先由折线图找出甲、乙工厂通过的次数,然后利用平均数的计算方法求出平均数,再对乙工厂的数据从小到大进行排列,找到居于中间的两个数求出中位数即可. 由折线图可以得到甲工厂合格率大于等于92%的有4次,乙工厂合格率大于等于92%的有5次,所以a=4,b=5.(3分) 甲工厂的平均数为=94,所以c=94,(6分) 乙工厂的数据从小到大排列后居于中间的两个数为94,94,所以d==94, 因此,a=4,b=5,c=94,d=94.(8分) (2)根据折线图的走势和中位数、平均数作比较即可进行决策.推荐甲工厂,虽然甲工厂的质检通过次数比乙工厂少一次,但是平均数与乙相同,中位数、众数均大于乙,并且从折线统计图看,甲工厂在质检中衬衫的合格数量越来越多,而乙越来越少.(15分) 17.【解析】 (1)由频率分布直方图可知,质量不小于90克的频率为(0.03+0.025+0.005)×10=0.6, 故抽取的100个猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数为100×0.6=60.(5分) (2)由频率分布直方图可估计每个猕猴桃的平均质量=65×0.1+75×0.1+85×0.2+95×0.3+105×0.25+115×0.05=91.5(克),(8分) 方案一:所有猕猴桃均以10元/千克收购,则收入约为×91.5×10=7 32(元).(10分) 方案二:由频率分布直方图,知质量小于90克的每个猕猴桃的平均质量约为×(0.1×65+0.1×75+0.2×85)=77.5(克),质量不小于90克的每个猕猴桃的平均质量约为×(0.3×95+0.25×105+0.05×115)≈100.8(克). 方案二的收入约为 =8 497.6(元).(13分) 因为8 497.6>7 320,故方案二为最佳的出售方案.(15分) 18.【解析】 (1)由10×(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)=1, 解得a=0.030.(2分) 由题图可知,众数为75, 用样本估计总体,知该地区所有学生知识问答分数的众数约为75分.(5分) (2)前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90, 前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90, 故90%分位数落在第5组,设为x,则0.70+(x-80)×0.025=0.90,解得x=88, 即估计“防溺水达人”的最低分数为88分.(10分) (3)由题意,剩余8个分数的平均数为===89.5.(12分) 因为这10个分数的方差s2==25, 所以+…+=10×25+10×902=81 250,(15分) 所以剩余8个分数的方差 ====21, 即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5,21.(17分) 19.【解析】 (1)第一步:将所有用户评分按从小到大排列 由题表可知这40个用户评分按从小到大排列如下:63,66,72,73,74,74,75,76,76,76,77,78,78,78,79,79,80,81,81,81,82,82,83,83,84,84,85,85,86,86,88,88,89,89,91,92,93,95,96,97.(1分) 第二步:根据百分位数的定义求解 因为40×21%=8.4,40×95%=38, 所以这40个用户评分的21%,95%分位数分别为第9个数据、第38个和第39个数据的平均数,分别为76,=95.5, 据此估计该地区所有用户评分的21%,95%分位数分别为76和95.5.(5分) (2)第一步:根据平均数的计算公式求出丢失的数据 设丢失的数据为m, 则=(92+84+86+78+89+74+78+77+89+m)=83,解得m=83.(6分) 第二步:计算方差 所以s2=[(92-83)2+(84-83)2+(86-83)2+(78-83)2+(89-83)2+(74-83)2+(78-83)2+(77-83)2+(89-83)2+(83-83)2]=33.(8分) 第三步:根据评分范围求解“A级”用户所占的百分比 由题意知评分在(83-,83+),即(77.26,88.74)内的满意度等级为“A级”, 10个样本数据中评分在(77.26,88.74)内的有5个, 则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比为×100%=50%.(10分) (3)第一步:列出新老系统各自的平均数和方差 设老系统的平均数与方差分别为,,新系统的平均数与方差分别为,,新老系统所有评分的平均数与方差分别为,,由题意知=83,=89,=33,=12.(11分) 第二步:根据分层随机抽样的平均数与方差公式求解 因为老系统的总数据占两个系统所有数据总和的, 所以新老系统所有评分的平均数==87, 方差={[33+(83-87)2]+2[12+(89-87)2]}=27, 即新老系统所有评分的方差为27.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $