精品解析：广东省深圳市福田某校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期 高一年级 期中考试 数学学科试题 答题注意事项： 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷，不按要求答卷不得分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】集合，， 则. 故选：A. 2. 函数的图像大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的幂函数的值域排除两个选项，再利用函数图象在第一象限的特征判断作答. 【详解】由得，函数的图象在x轴及上方，B、D都不正确， 函数的图象是曲线，在时，该曲线在直线的下方，且增长速度逐渐变慢，C不正确，A满足条件. 故选：A 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，利用作差法判断D. 【详解】对于A：不妨设，，满足，但是，故A错误； 对于B：不妨设，，满足，但是，，则，故B错误； 对于C：不妨设，，满足，但是，，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，， 所以，所以，故D正确. 故选：D 4. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案. 【详解】的定义域为． 对于A，定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于D，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：B． 5. 已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m 的取值范围为（ ） A. {m|2<m≤3} B. {m|2≤m<3} C. {m|2≤m≤3} D. {m|2<m<3} 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，集合元素的个数与子集的关系确定集合A的元素个数，再求m的取值范围. 【详解】因为A有8个子集，所以集合A中含有3个元素，则2<m≤3. 故选: A. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数单调性比较出大小，再根据中间值可比较出大小关系. 【详解】因为在上单调递增，所以，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以， 故选：D. 7. 若函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增，必须保证每一段为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则有，解之可得：， 所以实数的取值范围为， 故选：. 8. 已知，且，则下列说法错误的是（　　） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最小值为16 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】解：因为，且， 则，当且仅当时取等号，A正确； ， 当且仅当，即，时取等号，B正确； 由题意可得，且， 则 ， 根据二次函数性质可知，当时，上式取得最小值12，C错误； 由， 则，当且仅当时取等号，D正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，都有”的否定是“存在，使得” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断. 【详解】当时,当时,即 即,解得或, 所以“”是“”的充分不必要条件,故A正确; 命题“任意，都有”的否定是“存在，使得”，故B错误; 当时可取，不满足且， 所以“且”是“”的充分不必要条件,故C错误; 时，由可得且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选:AD. 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，并且，是方程的两个根，再利用韦达定理可得，，再分析选项即可. 【详解】对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以错误； 对于，，由可得不等式解集为，所以正确； 对于，当时，，，所以正确； 对于，由题得，因为，所以，所以， 所以不等式的解集是，所以正确． 故选：. 11. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. ，，使得 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若指数函数的图象经过点，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【详解】因为指数函数图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 13. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先说明函数的单调性，即可画出函数图象，数形结合可得，，即可得解. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减， 令，解得，； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的图象如图所示， 因为存在，使，令， 则， 由图可得，关于点对称，， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，全集. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据交集的定义求； （2）由得到，再根据集合间的包含关系列不等式即可. 【小问1详解】 由得，因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以，①当时,；②当时，，即，综上所述，. 16. 计算： （1）； （2）； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算公式即可求解； （2）根据对数的运算公式即可求解； （3）根据指数的运算公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得，则. 17. 已知幂函数在上单调递增. （1）求解析式； （2）若在上的最小值为，求m的值. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得， 则. 【小问2详解】 由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 18. 已知函数是定义在上的函数. （1）求函数的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）求函数在上的值域. 【答案】（1）奇函数 （2）在上是增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断； （2）设任意，满足，判断的符号即可证明单调性； （3）利用单调性即可求出函数的值域. 【小问1详解】 因为的定义域为关于原点对称，且， 满足，所以是奇函数. 【小问2详解】 设任意，满足， 则， 由于，则，，即，又， 则有，即，则在上是增函数. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上是增函数，所以，即， 所以函数在上的值域为. 19. 已知函数. （1）当时，求的值. （2）当时，恒成立，求的取值范围. （3）当时，设.把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由 【答案】（1）0 （2） （3）存在，或3 【解析】 【分析】（1）求出函数值即可得解. （2）令，将给定不等式等价变形并分离参数得，再利用单调性求出最大值，借助恒成立求解即可. （3）化简函数，借助单调性得，利用的奇偶性可得的图象关于对称，由此求出并由不等式有解建立关系求解. 【小问1详解】 当时，，，， 所以. 小问2详解】 ，恒成立， 令，则，，于是对恒成立， 令函数，而函数与在上单调递增，则在上单调递增. 由，得，因此，解得或， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 函数的定义域为，， 即函数是上的奇函数， ，令，函数在上递增，则， 即，因此， 把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，，由为奇函数， 得函数的图象关于对称，则，， 于是 ，两式相加得， 则，由不等式有解，得，解得， 所以存在正整数或3，使不等式有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高一年级 期中考试 数学学科试题 答题注意事项： 1.本试卷满分150分；考试用时120分钟； 2.本试卷分二卷，不按要求答卷不得分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图像大致为（　　） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m 的取值范围为（ ） A. {m|2<m≤3} B. {m|2≤m<3} C. {m|2≤m≤3} D. {m|2<m<3} 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则下列说法错误的是（　　） A. 的最小值为8 B. 最小值为 C. 的最小值为16 D. 的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，都有”的否定是“存在，使得” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 10. 不等式解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 11. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. ，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若指数函数的图象经过点，则的值为______. 13. 函数的定义域为_____________. 14. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，，全集. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 计算： （1）； （2）； （3）若，求的值. 17. 已知幂函数在上单调递增. （1）求解析式； （2）若在上的最小值为，求m的值. 18. 已知函数是定义在上函数. （1）求函数奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）求函数在上的值域. 19. 已知函数. （1）当时，求的值. （2）当时，恒成立，求的取值范围. （3）当时，设.把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $