第十五章 综合与实践——最短路径问题 课件2025－2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦最短路径问题，通过“林霄将军”情境导入，先复习垂线段最短和两点之间线段最短基础，再以四大行军关卡（两点一线、一点两线、两点两线、造桥选址）逐步深入，构建从基础到复杂的探究支架。 其亮点在于情境化设计，以将军行军故事让学生用数学眼光观察现实问题，探究中通过轴对称转化、平移等方法推理证明（如两点一线作对称点用线段公理解决），培养推理能力与空间观念，总结模型帮助学生用数学语言表达规律，既激发学生兴趣，又为教师提供结构化情境素材，提升教学实效。

综合与实践——最短路径问题 各位小军师久等了!我乃镇守边 关的林霄将军,常年驻守营地、勘察 地形。战场之上,最短路径是保命制 胜的关键!接下来我有四大行军难关 攻克前先考大家两个基础难题,看看 各位的真本事! 【创设情境 引入新知】 A C 生活中的问题:将军骑马从营地A出发, 到一条笔直的渭水 饮马 ,怎样走路径最短?为什么? 垂线段最短 数学问题:点A到直线最短路径是什么? A B 生活中的问题:将军骑马从营地A出发,到驿站B,怎样走路径最短?为什么? 两点之间线段最短 数学问题:点A到点B的最短路径是什么? 第一关 边陲狼烟起,将军林霄率千余将士戍守西疆,粮草将尽需驰援,前路险关重重,首遇饮马困局。 彼时将士行军至渭水之畔,烈日灼心,人畜渴极,营地设于渭水北岸 A 处,将士牵马饮水后,需赶往北岸驿站 B 处汇合取粮,马行乏力,需寻最短路径省体力。渭水为直线河道,饮马点设北岸何处,能让 A 至饮马点再至 B 的折线距离最短? 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 【自主学习,探究新知】 C A B l 数学问题 实际问题 抽象成 作图问题:在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 【操作尝试】 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 【尝试交流】 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 问题1 现在假设点A、B分别是直线 l 异侧的两个点,如何在 l 上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短? 根据是“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. A l B C 【尝试交流】 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 问题2 如果点A、B分别是直线 l 同侧的两个点,又应该如何解决? 利用轴对称,作出点B关于直线l的对称点B′. 想一想:对于问题2,如何将点B“移”到l 的另一侧B′处,满足直线l 上的任意一点C,都保持CB 与CB′的长度相等? A B l B′ 【尝试交流】 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交于点C. 则点C 即为所求. A B l B ′ C 【证明结论】 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合),连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知, BC =B′C,BC′=B′C′. ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′, ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′. 在 AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短. A B l B ′ C C ′ 【归纳总结】 【探究1】将军饮马(两点一线)问题 1.求直线上一点到同侧两点的距离和最小问题,一般是通过作一点关于直线的对称点,转化为异侧两点距离和最小问题,再根据两点之间线段最短解决问题. 2.距离和最小的证明是一种较特殊的证明方法,通常是任选一个异于所求的点,再算距离和,与最小的距离和进行比较,因为选点具有任意性,所以结论具有一般性. 【探究2】将军饮马拓展(一点两线)问题 第二关 驰援北疆后,林霄率军回守西疆,未及整备,又闻边境哨所遭袭,需携军械火速支援。前路需经两道交错险隘,恰遇一点两线路径难题,再陷困局。 将士需从主营地 A 出发,先至西侧隘口防线 L₁检查军械战备,再至北侧隘口防线 L₂传递军令,两道防线呈相交直线,山路陡峭多碎石,军械沉重难携,绕行则耗时过久,哨所恐难支撑。 【操作尝试】 【探究2】将军饮马拓展(一点两线)问题 抽象成 求将士们所走的路径最短,就是求 AEF的周长最小 【尝试交流】 【探究2】将军饮马拓展(一点两线)问题 A O E F M N 作法:如图,①作点A关于射线OM、ON的对称点A1、A2; ②连接AA1、AA2与OM、ON的交点为E、F; ③此时 AEF的周长最小,即将士们所走的路径最短. A1 A2 【探究3】将军饮马拓展(两点两线)问题 第三关 朔风卷着残雪,拍打在雁门关的城楼上。平北将军林霄盯着案上的舆图,指节因用力而泛白 —— 再过三个时辰,需派一队轻骑从军营 A 地出发,先到城外的 “青原草地” 沿线集结战马,再到 “雁门河” 沿线饮马补水,最后集结在B地,趁夜突袭三十里外的突厥粮仓。若路径有误,轻则延误战机,重则被突厥游骑察觉,全军覆没皆有可能。该如何规划路线? 【操作尝试】 【探究3】将军饮马拓展(两点两线)问题 抽象成 如图,求轻骑队所走的路径最短,就是求AE+EF+FB的和最小. 【尝试交流】 【探究3】将军饮马拓展(两点两线)问题 作法:如图,①分别作点A、B关于OM、ON的对称点A1、B1; ②连接AA1、BB1与OM、ON的交点为E、F; ③此时AE+EF+FB的和最小,即轻骑队所走的路径最短. A1 B1 A O E F M N B 【探究4】将军饮马拓展(造桥选址)问题 第四关 北疆边关告急。将军林霄麾下主力部队驻守于河之南岸要塞 A(靖远营),而粮草军备囤积于河之北岸重镇 B(丰粮仓)。此河名为“界河”,两岸为平行直线,水流湍急,无法徒涉,需筑一座垂直于河岸的石桥 MN 连通两岸(桥身与河岸垂直)。近日匈奴骑兵袭扰频繁,粮草运输路线若过长,极易遭劫。 将军林霄需敲定桥的选址,使运粮队伍从靖远营(A)出发,经石桥 MN(先到 N 点登桥,过桥至 M 点),再抵达丰粮仓(B)的整条路径ANMB最短,以最快速度完成粮草转运,解边关燃眉之急。 【操作尝试】 【探究4】将军饮马拓展(造桥选址)问题 A B M N 抽象成 【尝试交流】 【探究4】将军饮马拓展(造桥选址)问题 如图,平移B到B1,使BB1等于河宽,连接B1A交河岸于N作桥MN,此时路径BM+MN+AN最短. 理由:另任作桥M1N1,连接BM1,AN1,B1N1. 由平移性质可知,BM=B1N,BB1=MN=M1N1,BM1=B1N1. BM+MN+AN转化为BB1+B1A,而BM1+M1N1+AN1转化为BB1+B1N1+AN1. 在 B1N1A中,因为B1N1+AN1>B1A 因此BM1+M1N1+AN1> BM+MN+AN. A B B1 M N N1 M1 【随堂训练,即时提升】 1.如图,在等腰Rt ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置. 2.如图,在 ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M的位置. 【反思构造,课堂小结 】 原理 线段公理和垂线段最短 将军饮马问题 解题方法 造桥选址问题 关键是将固定线段“桥”平移 最短路径问题 轴对称知识+线段公理 解题方法 1.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是坐标轴上一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当 ABC的周长最小时,点C的坐标是 ( ) A.(0,0) B.(0,1) C.(0,2) D.(0,3) 【课后作业,应用拓展】 2.如图,四边形ABCD中,∠BAD=120 ,∠B=∠D=90 ,在BC,CD上分别找一点M,N,使 AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 各位小军师果然聪慧!你们的智谋助我破解四大行军难关,边境安稳多亏大家!林霄深表谢意,愿各位永葆机敏才思。日后若有需,我必鼎力相护,今日暂别,盼来日再聚,共商妙计,再会! THANK YOU $