3.1平面图形与立体图形（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“平面图形与立体图形”核心内容，系统梳理多面体（棱柱、棱锥、棱台、正多面体）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的定义，通过有无顶点、是否有曲面等标准构建分类体系，并配套思维导图搭建知识支架。 该资料以思维导图强化几何直观与空间观念，练习题结合深圳地标、日常物品等生活实例培养应用意识，分层设计（30分提至70分）适配基础薄弱学生。课中助力教师高效授课，课后辅助学生查漏补缺，发展推理意识与模型意识。

3.1平面图形与立体图形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 多面体：由平面多边形围成的几何体。 · 棱柱：有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形，侧棱平行且相等。按底面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 · 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。按底面多边形边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 · 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。按由几棱锥截得可分为三棱台、四棱台、五棱台等。 · 正多面体：各面都是全等的正多边形，各多面角都是全等的多面角。仅有正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。 旋转体：由平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。 · 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 · 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。 · 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分；也可看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体。 · 球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。 按有无顶点分类： · 有顶点：如棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆台。 · 无顶点：如球、圆柱。 按是否有曲面分类： · 全由平面构成：如棱柱、棱锥、棱台、正多面体。 · 含有曲面：如圆柱、圆锥、圆台、球。 型 习 练 题 常见的几何体 1．下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体．根据棱柱的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，属于棱柱的有，，， ∴属于棱柱的有3个 故选：B 2．观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆柱体的识别，属于简单题，熟悉立体图形的定义是解题关键． 根据圆柱的上下底面是两个等圆判断即可． 【详解】解：A．此物体给我们以圆台的形象，不符合题意； B．此物体给我们以长方体的形象，不符合题意； C．此物体给我们以圆锥的形象，不符合题意； D．此物体给我们以圆柱的形象，符合题意； 故选：D． 3．图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的认识，根据常见几何体的特征识别即可解答． 【详解】解：该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥． 故选：D． 4．深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【答案】C 【分析】本题考查常见的几何体． 根据地标建筑几何体的特征，对各选项对应的地标建筑进行分析判断即可． 【详解】解：A．平安金融中心不能近似看成球体，不符合题意； B．华润大厦不能近似看成圆柱，不符合题意； C．深业上城主副塔可以近似看成棱柱，符合题意； D．深圳湾区之光摩天轮不能近似看成圆锥，不符合题意． 故选：C． 5．下列物体中，可以抽象成圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据每一个几何体的特征判断即可． 【详解】解：A、可抽象成球体，故不符合题意； B、可抽象成圆柱，故符合题意； C、可抽象成圆台，故不符合题意； D、可抽象成圆锥，故不符合题意； 故选：B． 立体图形的分类 6．下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查棱柱的定义，熟记定义并正确识别各种物体的形状是解题的关键． 棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面是矩形，据此判断即可． 【详解】解：∵①篮球是球体，不符合棱柱特征；②圆柱形笔筒是圆柱体，底面是圆，侧面是曲面，不符合棱柱特征；③地球仪是球体，不符合棱柱特征；④课本是长方体，底面是矩形，侧面是矩形，符合棱柱特征；⑤热水瓶是圆柱体，不符合棱柱特征；⑥粉笔盒是长方体，符合棱柱特征． ∴类似棱柱的有④和⑥，共2个． 故选B 7．下列几何体中，为旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转体与多面体的概念，掌握旋转体是由平面图形绕着一条直线（旋转轴）旋转而成的几何体，多面体是由多个平面多边形围成的几何体的相关知识是解决问题的关键．解题思路是根据旋转体和多面体的定义，逐一分析每个选项的几何体类型． 【详解】解：A：正方体是由六个正方形平面围成的多面体，属于多面体，不是旋转体； B：圆柱是由矩形绕着其中一边所在直线旋转而成的几何体，属于旋转体； C：长方体是由六个矩形平面围成的多面体，属于多面体，不是旋转体； D：四棱柱是由多个平面多边形围成的多面体，属于多面体，不是旋转体． 故选：B． 8．下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查棱柱，掌握相关知识是解决问题的关键．棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面为四边形且相邻边平行，侧棱平行且相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据棱柱的定义第一个图形是四棱柱， 第四个图形是三棱柱， 第五个图形是五棱柱， 而第二个图形是圆柱，第三个图形是圆锥， ∴共有3个棱柱． 故选：B． 9．下列四个几何体中，是棱锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体几何图形的识别，解题的关键是掌握棱锥的定义； 根据立体几何图形的定义选出正确选项． 【详解】A选项是四棱锥； B选项是圆柱； C选项是长方体； D选项是三棱柱． 故选：A． 10．如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面， 三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形， 六棱柱由两个六边形和六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选：B． 平面图形形状的识别 11．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形， 共5个图形，属于平面图形， 故选：D． 12．下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形，据此判断即可求解，掌握平面图形和立体图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是平面图形，符合题意； 故选：． 13．如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有（　　） A．三角形、长方形 B．三角形、正方形、长方形 C．三角形、长方形、梯形 D．正方形、长方形、梯形 【答案】C 【分析】本题考查了认识平面图形．根据三角形、梯形、正方形以及长方形的定义进行解答． 【详解】解：图中的几何图形有：三角形，长方形以及梯形． 故选：C． 14．两个完全一样的三角形，可以拼成（   ）个平行四边形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的拼接，根据两个完全一样的三角形拼成的四边形对边相等，结合平行四边形的特征即可判断． 【详解】解：两个完全一样的三角形，可以以三组对应相等的边为对角线可以拼成三个平行四边形， 故选：C． 15．下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义． 【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 组合几何体的构成 16．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 17．一个圆柱的上下两个面是 ，它们的大小 ，周围的面是 ，两个底面之间的距离叫作圆柱的 ． 【答案】 圆形底面 完全相同 曲面（侧面） 高 【分析】本题考查圆柱的基本概念，根据圆柱的定义直接填写即可． 【详解】圆柱的上下两个面称为底面，它们是完全相同的圆形；圆柱的周围面称为侧面；两个底面之间的垂直距离称为高； 故答案为：圆形底面、完全相同、曲面（侧面）、高． 18．分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 19．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 三、解答题 20．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1平面图形与立体图形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 多面体：由平面多边形围成的几何体。 · 棱柱：有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形，侧棱平行且相等。按底面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 · 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。按底面多边形边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 · 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。按由几棱锥截得可分为三棱台、四棱台、五棱台等。 · 正多面体：各面都是全等的正多边形，各多面角都是全等的多面角。仅有正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。 旋转体：由平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。 · 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 · 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。 · 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分；也可看作是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体。 · 球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。 按有无顶点分类： · 有顶点：如棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆台。 · 无顶点：如球、圆柱。 按是否有曲面分类： · 全由平面构成：如棱柱、棱锥、棱台、正多面体。 · 含有曲面：如圆柱、圆锥、圆台、球。 型 习 练 题 常见的几何体 1．下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（   ） A． B． C． D． 3．图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 4．深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 5．下列物体中，可以抽象成圆柱的是（   ） A． B． C． D． 立体图形的分类 6．下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列几何体中，为旋转体的是（   ） A． B． C． D． 8．下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．下列四个几何体中，是棱锥的是（　　） A． B． C． D． 10．如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 平面图形形状的识别 11．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 13．如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有（　　） A．三角形、长方形 B．三角形、正方形、长方形 C．三角形、长方形、梯形 D．正方形、长方形、梯形 14．两个完全一样的三角形，可以拼成（   ）个平行四边形 A．1 B．2 C．3 D．4 15．下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 组合几何体的构成 16．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 17．一个圆柱的上下两个面是 ，它们的大小 ，周围的面是 ，两个底面之间的距离叫作圆柱的 ． 18．分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 19．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 三、解答题 20．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 学科网（北京）股份有限公司 $