期末复习04：解决问题的策略（知识梳理+1个易错点练习+拔尖训练）-六年级数学上学期易错题型举一反三培优（苏教版）

该小学数学讲义通过表格对比、步骤拆解与示例分析构建解决问题策略的知识体系，清晰呈现替换和假设策略的核心思想、关键步骤及典型问题，用示意图辅助理解两种策略的区别与联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，易错点专项突破与拔尖训练结合，通过鸡兔同笼等实例强化假设策略的推理意识，用线段图培养几何直观，帮助学生建立模型意识，支持教师精准教学与学生自主复习提升。

期末复习04：解决问题的策略 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 一、解决问题的基本策略 1 二、两种策略的区别与联系 2 三、解题关键步骤 2 四、常见错误警示 3 五、策略拓展应用 3 易错点练习 3 易错点一：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 3 拔尖训练 5 知识梳理 一、解决问题的基本策略 1.替换策略 意义：把两种不同数量的物体，通过“替换”转化为同一种数量的物体，使复杂问题简单化。 适用场景：已知两种量的总数量及它们之间的等量关系（如“1个大杯的容量=3个小杯的容量”）。 解题步骤： ① 找出两种量之间的替换关系（明确“1个A相当于几个B”或“1个B相当于几个A”）； ② 用一种量替换另一种量，将两种量转化为同一种量； ③ 根据总数量求出单一量，再求另一种量。 示例：6个小杯和1个大杯的总容量是720毫升，1个大杯的容量相当于3个小杯。求小杯和大杯的容量。 解：把1个大杯替换成3个小杯，总杯数=6+3=9（个）， 小杯容量=720÷9=80（毫升）， 大杯容量=80×3=240（毫升）。 2.假设策略 意义：通过假设某种情境成立，再根据已知条件与假设的差异进行调整，从而解决问题。 适用场景：已知两种量的总数量及它们的“单量差”（如鸡兔同笼问题中“鸡和兔的总头数和总脚数”）。 解题步骤： ① 假设全部是其中一种量（设A为x，B为总数量-x）； ② 计算假设情况下的总量与实际总量的差异； ③ 根据“单量差”求出另一种量的数量，再求第一种量。 示例：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。求鸡和兔各有多少只？ 解：假设全是鸡，总腿数=35×2=70（条）， 腿数差=94-70=24（条）， 兔的只数=24÷(4-2)=12（只）， 鸡的只数=35-12=23（只）。 二、两种策略的区别与联系 策略 核心思想 关键步骤 典型问题 替换策略 用一种量替换另一种量 找等量关系→转化为单一量→求结果 不同容器容量、物品单价问题 假设策略 假设后根据差异调整 假设全为A→算差异→按单量差调整 鸡兔同笼、得分问题 联系：两种策略均通过“转化”将复杂问题简化，常需结合画图（线段图、示意图）辅助分析。 三、解题关键步骤 1.理解题意：明确已知条件（总量、单量、数量关系）和所求问题，圈画关键词（“相当于”“共”“多/少”等）。 2.选择策略： 若两种量存在“1个A=几个B”的等量关系，用替换策略； 若已知“总数量”和“单量差”，用假设策略。 3.列式计算：根据策略步骤逐步求解，注意单位统一。 4.检验反思：将结果代入原题，验证是否符合所有条件（如总数量、等量关系等）。 四、常见错误警示 1.替换策略误区：未找准“等量关系”，如混淆“1个A比1个B多几”与“1个A相当于几个B”，导致替换后总量计算错误。 ▶ 对策：用线段图直观表示两种量的关系，明确替换前后的数量变化。 2.假设策略误区：假设后“差异方向”判断错误，如鸡兔同笼中假设全是鸡，腿数比实际少，应用“实际腿数-假设腿数”求差异。 ▶ 对策：假设后先算“假设总量”，再与“实际总量”比较，确定差异是“多了”还是“少了”。 3.检验遗漏：只检验一种量是否正确，忽略另一种量是否符合条件。 ▶ 对策：同时验证两种量的“总数量”和“关系条件”（如大盒比小盒多装的数量）。 五、策略拓展应用 1.与分数、比结合：解决问题时，可先根据分数或比的关系确定替换或假设的依据。 示例：男生人数是女生的，男女生共50人，求男女生人数。（用替换策略：设女生为3份，男生为2份，每份=50÷5=10人）。 2.多种策略综合：复杂问题可结合画图、列表辅助替换或假设，使数量关系更清晰。 易错点练习 易错点一：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 例题：师徒二人共加工240个零件，师傅给徒弟40个，他们俩加工的个数就同样多。原来师傅和徒弟各加工多少个零件？ 【答案】160个；80个 【分析】根据题意可知，两人一共加工了240个零件，师傅比徒弟多加工40×2个，根据和差公式，较小数＝（和－差）÷2，据此求出徒弟加工的零件个数，进而求出师傅加工的零件个数。 【详解】（240－40×2）÷2 ＝160÷2 ＝80（个）； 240－80＝160（个） 答：原来师傅加工了160个零件，徒弟加工了80个零件。 【点睛】此题可根据按照和差问题来解决，注意两人加工的数量差是40×2＝80个。 【变式训练1】5千克苹果和4千克梨共46元，1千克苹果比1千克梨贵2元。每千克苹果和每千克梨各多少元？ 【答案】每千克苹果6元，每千克梨4元 【分析】首先根据，1千克苹果比1千克梨贵2元，可得5千克苹果比5千克梨贵2×5＝10（元），所以5＋4＝9（千克）梨的价格是46－10＝36（元）；然后根据单价＝总价÷数量，用36除以9，即可求出梨的单价是多少，梨的单价加上2就是苹果的单价。 【详解】（46－2×5）÷（5＋4） ＝36÷9 ＝4（元） 4＋2＝6（元） 答：每千克苹果6元，每千克梨4元。 【点睛】此题主要考查了乘法、除法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系，并判断出9千克梨的价格是36元。 【变式训练2】某运输队为商店运输暖瓶500箱，每箱6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5.5元，如果损坏一个暖瓶，要赔偿成本11.5元（这只暖瓶的运费当然得不到），结果运输队共得到1553.6元。问：共损坏了多少个暖瓶？ 【答案】8个 【分析】根据已知托运暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶，则可以求出一共有500×6＝3000个暖瓶，再由每10个暖瓶的运费为5.5元，可得每个暖瓶的运费是5.5÷10＝0.55元；根据每损坏一个，不但不付运费还要赔偿11.5元的条件可知，则损坏一个暖瓶的要扣11.5＋0.55＝12.05元，假设一个暖瓶也没有损坏，则应该得运费3000×0.55＝1650元，这比已知的1553.6元多了1650－1553.6＝96.4元，所以96.4元里面有几个12.05元，就有几个损坏的。 【详解】一共有暖瓶：500×6＝3000（个） 每个暖瓶的运费是：5.5÷10＝0.55（元） （3000×0.55－1553.6）÷（11.5＋0.55） ＝96.4÷12.05 ＝8（个） 答：共损坏了8个暖瓶。 【点睛】此题是典型的鸡兔同笼的问题，一般用假设法，比较简便，解答此题的关键是求出暖瓶的总个数和每个暖瓶的运费。 【变式训练3】甲、乙两个仓库共有45吨粮食，从甲仓库调拨2.5吨给乙仓库，两个仓库的粮食就一样多，甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？（先画图表示数量关系，再解答） 【答案】作图见详解；甲仓库25吨， 20吨 【分析】根据和差问题的解题方法，根据从甲仓库调拨2.5吨给乙仓库，两个仓库的粮食就一样多，先求出甲乙两个仓库的粮食质量的差，用（总质量－差）÷2＝乙仓库粮食质量，总质量－乙仓库粮食质量＝甲仓库粮食质量。 【详解】 （45－2.5×2）÷2 ＝（45－5）÷2 ＝40÷2 ＝20（吨） 45－20＝25（吨） 答：甲仓库原来有粮食25吨，乙仓库原来有粮食20吨。 【点睛】关键是求出两个仓库粮食质量的差，（和－差）÷2＝较小数。 拔尖训练 1．有10元和5元的人民币共13张，合计80元，其中5元的人民币有（    ）。 A．3张 B．6张 C．8张 D．10张 【答案】D 【分析】用假设法解决，假设每张都是10元，这时会多出50元。因为把5元的看成10元，每张5元就多算了5元，50元里面有几个5元，就有几张5元的人民币。 【详解】假设全是10元的人民币。 13×10－80 ＝130－80 ＝50（元） 50÷（10－5） ＝50÷5 ＝10（张） 所以，5元的人民币有10张。 故答案为：D 2．一个直角三角形的三个内角的度数比是，则表示的度数是（    ）。 A．30° B．60°或90° C．30°或90° D．30° 【答案】C 【分析】直角三角形必定有一个角是90°，三角形内角和为180°。已知三个内角的度数比是x：2：3，由于不确定哪个角是直角，所以分情况讨论。 情况一：假设x对应的角是直角，即x＝90°，然后根据比例计算另外两个角的度数，并验证内角和是否为180°。 情况二：假设3对应的角是直角，即3份对应的度数是90°，先求出1份的度数，再计算x对应的角的度数，并验证内角和是否为180°。 【详解】情况一：假设x对应的角是直角，那么x＝90°。因为三个角的度数比是x：2：3，把90°看作5份（为了和后面的2＋3＝5份对应，方便计算），1份的度数为90°÷5＝18°。2份对应的角的度数为2×18°＝36°，3份对应的角的度数为3×18°＝54°。三个角分别为90°、36°、54°，内角和为90°＋36°＋54°＝180°，符合三角形内角和定理。 情况二：假设3份对应的角是直角，那么3份对应的度数是90°。1份的度数为90°÷3＝30°。2份对应的角的度数为2×30°＝60°。x对应的角占1份，所以x对应的角的度数是1×30°＝30°。三个角分别为30°、60°、90°，内角和为30°＋60°＋90°＝180°，符合三角形内角和定理。 x表示的度数是30°或90°。 故答案为：C 3．买2张同样的桌子和5把同样的椅子共用去6000元，每把椅子的价钱是桌子单价的，假设全部买椅子，那么这些钱可以买（    ）把。 A．3 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】把桌子的价格看作单位“1”，设每张桌子x元，则每把椅子x元。2张桌子的总价＋5把椅子总价＝6000元，根据等量关系列方程解答，即可求桌子的单价，进而求出椅子的单价。再用6000元除以椅子的单价，即可求出这些钱可以买多少把椅子。 【详解】解：设每张桌子x元，则每把椅子x元。 2x＋x×5＝6000 2x＋x＝6000 3x＝6000 x＝2000 2000×＝400（元） 6000÷400＝15（把） 那么这些钱可以买15把。 故答案选：C 【点睛】此题解答关键是确定单位“1”，再找出等量关系列方程解答。 4．小兰身上的钱可以买5支钢笔或15本笔记本，她先买了2支钢笔，剩下的钱可以买（    ）本笔记本。 A．6 B．9 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由“小兰身上的钱可以买5支钢笔或15本笔记本”可知买一支钢笔的钱相当于买3本笔记本的钱，她先买了2支钢笔，则剩下3支钢笔的钱，相对应的可以买9本笔记本。 【详解】由分析可知：买一支钢笔的钱相当于买3本笔记本的钱 5－2＝3，3×3＝9（本） 故答案为：B 【点睛】本题考查等量代换的应用，关键是掌握买一支钢笔的钱相当于买3本笔记本的钱这一等量关系。 5．5个大盒和2个小盒共装了260个球，1个大盒比1个小盒多装10个。假设7个全是大盒，球的总数比260个（    ）。 A．多50个 B．多20个 C．少50个 D．少20个 【答案】B 【分析】根据题意，5个大盒和2个小盒共装了260个球，1个大盒比1个小盒多装10个，假设7个全是大盒，即每个小盒多算10个，两个大盒多算了20个，即比260个多20个。 【详解】根据题意得： 260＋2×10＝280（个） 即5个大盒和2个小盒共装了260个球，1个大盒比1个小盒多装10个，假设7个全是大盒，球的总数比260个多20个。 故答案为：B 【点睛】本题关键是理解好把2个小盒换成大盒，就是7个大盒，然后再根据题意进一步解答。 6．三个连续的偶数中，中间的一个是x，最大的一个是( )，最小的一个是( )。这三个连续偶数的和是( )。 【答案】 x+2 x-2 3x 【分析】已知三个连续的偶数中，中间的一个是x，可假设，那么与4相邻的两个偶数分别是2和6，即2比4小2，可得到最小的偶数比中间的偶数小2；6比4大2，可得到最大的偶数比中间的偶数大2，它们的和就是三个数相加，即，据此解答。 【详解】由分析可知，三个连续的偶数中，中间的一个是x，最大的一个是，最小的一个是。这三个连续偶数的和是。 7．王老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共用去52元。已知每支钢笔比每支圆珠笔贵3元。如果把4支钢笔换成圆珠笔，总共要花( )元，则每支圆珠笔( )元；如果把6支圆珠笔换成钢笔，总共要花( )元，则每支钢笔( )元。 【答案】 ；；；。 【分析】每支钢笔比每支圆珠笔贵3元，把4支钢笔换成圆珠笔，总共就要少花元，总钱数减去少花的钱就对应着支圆珠笔的钱，可以算出圆珠笔单价；把6支圆珠笔换成钢笔，总共就要多花元，总钱数加上多花的钱就对应着支钢笔的钱，可以算出钢笔单价。 【详解】（元） （元） （元） （元） 王老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共用去52元。已知每支钢笔比每支圆珠笔贵3元。如果把4支钢笔换成圆珠笔，总共要花元，则每支圆珠笔元；如果把6支圆珠笔换成钢笔，总共要花元，则每支钢笔元。 【点睛】可以用假设的方法把两个未知量替换成一个未知量，从而降低难度。 8．某小学购买了5个篮球和8个足球，正好用去900元。已知足球的单价是篮球的，每个足球( )元，每个篮球( )元。 【答案】 50 100 【分析】假设购买的球全是篮球，由于足球单价是篮球的一半，意味着2个足球的价值等同于1个篮球。那么8个足球就可以替换成8×＝4个篮球，此时总花费900元就相当于买了5＋4＝9个篮球，由此可算出篮球单价为900÷9＝100元，进而得出足球单价为100×＝50元。 【详解】篮球单价： 900÷（5＋8×） ＝900÷（5＋4） ＝900÷9 ＝100（元） 足球单价：100×＝50（元） 所以每个足球50元，每个篮球100元。 9．全班46人去公园划船，租12只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船共坐( )人，租的小船共坐( )人。 【答案】 25 21 【分析】假设12只船全是大船，那么一共可以坐：12×5＝60人，这比实际46人多出了：60－46＝14人，1只大船比1只小船多坐：5－3＝2人，由此即可求得小船有：14÷2＝7只，进而再求得大船的只数；最后用船的只数乘每只船能坐的人数，分别求出大船和小船共坐了多少人。 【详解】假设全是大船，则小船有： （12×5－46）÷（5−3） ＝（60－46）÷2 ＝14÷2 ＝7（只） 则大船有：12－7＝5（只） 5×5＝25（人） 7×3＝21（人） 租的大船共坐25人，租的小船共坐21人。 10．学校食堂购进1大袋和5小袋面粉，共重130千克。如果1大袋比1小袋面粉重10千克，1大袋面粉重( )千克。 【答案】30 【分析】根据题意可得，等量关系式：1大袋面粉的质量＋5小袋面粉的质量＝130千克、1大袋面粉的质量＝1小袋面粉的质量＋10千克。设每小袋面粉x千克，根据等量关系式，列出方程，解答求出每小袋面粉的质量，进而求出每大袋面粉的质量。 【详解】解：设每小袋面粉重x千克，则每大袋面粉重（x＋10）千克。 5x＋（x＋10）＝130 5x＋x＋10＝130 6x＋10＝130 6x＋10－10＝130－10 6x＝120 6x÷6＝120÷6 x＝20 20＋10＝30（千克） 即1大袋面粉重30千克。 11．有46个同学共分成11组，正在下象棋和跳棋。象棋每2人一组，跳棋每6人一组，下象棋的有( )组，下跳棋的有( )人。 【答案】 5 36 【分析】设下跳棋有x组，一共11组，则象棋有（11－x）组，象棋每2人一组，（11－x）组有2×（11－x）人，跳棋每6人一组，x组有6x人，一共46个同学，列方程：6x＋2×（11－x）＝46，解方程，即可解答。 【详解】解：设下跳棋有x组。 6x＋2×（11－x）＝46 6x＋2×11－2x＝46 4x＋22＝46 4x＝46－22 4x＝24 x＝24÷4 x＝6 象棋组：11－6＝5（组） 跳棋人数：6×6＝36（人） 有46个同学共分成11组，正在下象棋和跳棋。象棋每2人一组，跳棋每6人一组，下象棋的有5组，下跳棋有36人。 12．李轩买了2支钢笔和5支自动笔，一共用去57元。如果买一支钢笔的价格可以买7支自动铅笔，那么钢笔每支( )元，自动铅笔每支( )元。 【答案】 21 3 【分析】买一支钢笔的价格可以买7支自动铅笔，则买2支钢笔的价格可以买（2×7）支自动铅笔，所以买了2支钢笔和5支自动笔，相当于买（14＋5）支自动笔，一共57元，根据单价＝总价÷数量，用57÷（14＋5）即可求出自动笔的单价，再乘7即可求出钢笔的单价。 【详解】2×7＝14（支） 自动笔的单价： 57÷（14＋5） ＝57÷19 ＝3（元） 钢笔的单价： 3×7＝21（元） 钢笔每支21元，自动铅笔每支3元。 13．水果店有7箱苹果，如果从每箱中取出12千克，那么7只箱子里剩下的苹果质量正好等于原来4箱苹果的质量，原来每箱苹果为( )千克。 【答案】28 【分析】根据题意可知，水果店里有7箱苹果，如果从每箱中取出12千克，那么拿出来（12×7）千克苹果，现在7只箱子里剩下的苹果质量正好等于原来4箱苹果的质量，说明少了3箱苹果的质量，拿出来（12×7）千克苹果等于3箱苹果的质量，每箱苹果的质量可以求出。 【详解】（12×7）÷（7－4） ＝84÷3 ＝28（千克） 故原来每箱苹果为28千克。 14．实验小学合唱队的女生人数与男生人数的比是7∶9，男生比女生多12人。实验小学合唱队的男生、女生各有多少人？（用方程解） 【答案】 男生有54人，女生有42人 【分析】实验小学合唱队的女生人数与男生人数的比是7∶9，即女生是男生的，把男生人数看成单位“1”，则女生人数＝男生人数×，设男生有人，根据男生人数－女生人数＝12，列出方程并求解即可。 【详解】解：男生有人，女生有人。 （人） 答：男生有54人，女生有42人。 15．要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个，一共用了10个盒子。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 【答案】大盒子3个；小盒子7个；填表见详解 【分析】通过假设大盒子的个数，根据盒子总数求出小盒子个数，再计算装入乒乓球个数并与89比较，进而找出答案。 假设大盒子有1个：因为一共用了10个盒子，所以小盒子个数为10－1＝9个。装入乒乓球个数为1×11＋9×8＝11＋72＝83个，83＜89，不符合要求。 假设大盒子有2个：小盒子个数为10－2＝8个。装入乒乓球个数为2×11＋8×8＝22＋64＝86个，86＜89，不符合要求。 假设大盒子有3个：小盒子个数为10－3＝7个。装入乒乓球个数为3×11＋7×8＝33＋56＝89个，89＝89，符合要求。 【详解】假设大盒子有1个： 小盒子个数：10－1＝9（个） 1×11＋9×8＝11＋72＝83（个） 83＜89，不符合要求。 假设大盒子有2个： 小盒子个数：10－2＝8（个） 2×11＋8×8＝22＋64＝86（个） 86＜89，不符合要求。 假设大盒子有3个： 小盒子个数：10－3＝7（个） 3×11＋7×8＝33＋56＝89（个） 89＝89，符合要求。 填表如下： 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 1 9 83 少 2 8 86 少 3 7 89 一样多 答：需要大盒子3个，小盒子7个。 16．为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 【答案】7道；3道 【分析】根据“答对1题得5分，答错1题得﹣8分”可以知道答对一题与答错一题相差了13分，假设10道题都答对，就应该得（5×10）分，现在只得11分，相差了（50－11）分，用（50－11）除以13，就是答错的题数，再用10减去答错的题数即可。 【详解】5＋8＝13（分） 答错：（5×10－11）÷13 ＝（50－11）÷13 ＝39÷13 ＝3（道） 答对：10－3＝7（道） 答：答对7道，答错3道。 17．李阿姨的服装店昨天卖出一种上衣3件，一种裤子5件。每件上衣比每条裤子贵50元，一共收入950元，上衣和裤子的单价各多少元？ 【答案】上衣：150元；裤子：100元 【分析】可以设每条裤子x元，则每件上衣（x＋50）元；用单价乘数量分别计算出购买3件上衣的价钱和购买5件裤子的价钱，根据数量关系：3件上衣的价钱＋5件裤子的价钱＝950，列出方程，解方程即可解答。 【详解】解：设每条裤子x元，则每件上衣（x＋50）元。 上衣的单价：100＋50＝150（元） 答：上衣的单价是150元，裤子的单价是100元。 18．1辆大货车和3辆小货车一起运22吨的货物。每辆大货车比每辆小货车多运6吨，1辆大货车和1辆小货车分别运多少吨？ 【答案】10吨；4吨 【分析】假设全是小货车，即一共有3＋1＝4辆小货车；将1辆大货车看作1辆小货车，就少运货6吨，那么4辆小货车运货总吨数就是22－6＝16吨，用16÷4＝4吨即可求出1辆小货车的运货吨数，再用4＋6＝10吨即可求出1辆大货车的运货吨数。 【详解】假设全是小货车： （22－6）÷（3＋1） ＝16÷4 ＝4（吨） 4＋6＝10（吨） 答：1辆大货车运货10吨，1辆小货车运货4吨。 19．学校买来羽毛球拍和乒乓球拍各20副，共用去1980元。每副羽毛球拍的价钱比每副乒乓球拍价钱的3倍还多3元，每副羽毛球拍和每副乒乓球拍各多少元？ 【答案】羽毛球拍75元，乒乓球拍24元 【分析】等量关系：每副羽毛球拍的价钱×20＋每副乒乓球的价钱×20＝1980，每副羽毛球拍的价钱－每副乒乓球的价钱×3＝3，将每副羽毛球拍的价钱用每副乒乓球拍的价钱代替，计算即可得出每副乒乓球拍的价钱，进而可得出每副羽毛球拍的价钱。 【详解】每副乒乓球拍的价钱：（1980－3×20）÷（20×3＋20） ＝（1980－60）÷（60＋20） ＝1920÷80 ＝24（元） 每副羽毛球拍的价钱：24×3＋3 ＝72＋3 ＝75（元） 答：每副羽毛球拍75元，每副乒乓球拍24元。 【点睛】解答此题的关键是根据每副羽毛球拍的价钱－每副乒乓球的价钱×3＝3，将每副羽毛球拍的价钱用每副乒乓球拍的价钱代替解答。 20．把7.2升果汁倒入三层铁架上放置的1只大杯、2只中杯和10只小杯中（如图），正好全部倒满且每层存放果汁的容量正好相等，大杯和所有小杯中存放的果汁共多少升？ 【答案】5.6升 【分析】等量关系：一个大杯＋一个中杯＝一个中杯＋4个小杯＝6个小杯，所以1个大杯＝4个小杯，题中有1个大杯和10个小杯，本题中先计算出每层放果汁的容量即果汁的总升数÷铁架的层数，再计算出每个小杯的容量，即每层放果汁的升数÷第三层小杯的数量，最后乘大杯和所有小杯的个数相当于小杯的总个数，计算即可得出答案。 【详解】7.2÷3÷6×（4＋10） ＝2.4÷6×14 ＝0.4×14 ＝5.6（升） 答：大杯和所有小杯中存放的果汁共5.6升。 【点睛】解答此题的关键是：1个大杯＝4个小杯，问题即可逐步得解。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04：解决问题的策略 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 一、解决问题的基本策略 1 二、两种策略的区别与联系 2 三、解题关键步骤 2 四、常见错误警示 3 五、策略拓展应用 3 易错点练习 3 易错点一：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 3 拔尖训练 4 知识梳理 一、解决问题的基本策略 1.替换策略 意义：把两种不同数量的物体，通过“替换”转化为同一种数量的物体，使复杂问题简单化。 适用场景：已知两种量的总数量及它们之间的等量关系（如“1个大杯的容量=3个小杯的容量”）。 解题步骤： ① 找出两种量之间的替换关系（明确“1个A相当于几个B”或“1个B相当于几个A”）； ② 用一种量替换另一种量，将两种量转化为同一种量； ③ 根据总数量求出单一量，再求另一种量。 示例：6个小杯和1个大杯的总容量是720毫升，1个大杯的容量相当于3个小杯。求小杯和大杯的容量。 解：把1个大杯替换成3个小杯，总杯数=6+3=9（个）， 小杯容量=720÷9=80（毫升）， 大杯容量=80×3=240（毫升）。 2.假设策略 意义：通过假设某种情境成立，再根据已知条件与假设的差异进行调整，从而解决问题。 适用场景：已知两种量的总数量及它们的“单量差”（如鸡兔同笼问题中“鸡和兔的总头数和总脚数”）。 解题步骤： ① 假设全部是其中一种量（设A为x，B为总数量-x）； ② 计算假设情况下的总量与实际总量的差异； ③ 根据“单量差”求出另一种量的数量，再求第一种量。 示例：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿。求鸡和兔各有多少只？ 解：假设全是鸡，总腿数=35×2=70（条）， 腿数差=94-70=24（条）， 兔的只数=24÷(4-2)=12（只）， 鸡的只数=35-12=23（只）。 策略 核心思想 关键步骤 典型问题 替换策略 用一种量替换另一种量 找等量关系→转化为单一量→求结果 不同容器容量、物品单价问题 假设策略 假设后根据差异调整 假设全为A→算差异→按单量差调整 鸡兔同笼、得分问题 联系：两种策略均通过“转化”将复杂问题简化，常需结合画图（线段图、示意图）辅助分析。 二、两种策略的区别与联系 三、解题关键步骤 1.理解题意：明确已知条件（总量、单量、数量关系）和所求问题，圈画关键词（“相当于”“共”“多/少”等）。 2.选择策略： 若两种量存在“1个A=几个B”的等量关系，用替换策略； 若已知“总数量”和“单量差”，用假设策略。 3.列式计算：根据策略步骤逐步求解，注意单位统一。 4.检验反思：将结果代入原题，验证是否符合所有条件（如总数量、等量关系等）。 四、常见错误警示 1.替换策略误区：未找准“等量关系”，如混淆“1个A比1个B多几”与“1个A相当于几个B”，导致替换后总量计算错误。 ▶ 对策：用线段图直观表示两种量的关系，明确替换前后的数量变化。 2.假设策略误区：假设后“差异方向”判断错误，如鸡兔同笼中假设全是鸡，腿数比实际少，应用“实际腿数-假设腿数”求差异。 ▶ 对策：假设后先算“假设总量”，再与“实际总量”比较，确定差异是“多了”还是“少了”。 3.检验遗漏：只检验一种量是否正确，忽略另一种量是否符合条件。 ▶ 对策：同时验证两种量的“总数量”和“关系条件”（如大盒比小盒多装的数量）。 五、策略拓展应用 1.与分数、比结合：解决问题时，可先根据分数或比的关系确定替换或假设的依据。 示例：男生人数是女生的，男女生共50人，求男女生人数。（用替换策略：设女生为3份，男生为2份，每份=50÷5=10人）。 2.多种策略综合：复杂问题可结合画图、列表辅助替换或假设，使数量关系更清晰。 易错点练习 易错点一：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 例题：师徒二人共加工240个零件，师傅给徒弟40个，他们俩加工的个数就同样多。原来师傅和徒弟各加工多少个零件？ 【变式训练1】5千克苹果和4千克梨共46元，1千克苹果比1千克梨贵2元。每千克苹果和每千克梨各多少元？ 【变式训练2】某运输队为商店运输暖瓶500箱，每箱6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5.5元，如果损坏一个暖瓶，要赔偿成本11.5元（这只暖瓶的运费当然得不到），结果运输队共得到1553.6元。问：共损坏了多少个暖瓶？ 【变式训练3】甲、乙两个仓库共有45吨粮食，从甲仓库调拨2.5吨给乙仓库，两个仓库的粮食就一样多，甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？（先画图表示数量关系，再解答） 拔尖训练 1．有10元和5元的人民币共13张，合计80元，其中5元的人民币有（    ）。 A．3张 B．6张 C．8张 D．10张 2．一个直角三角形的三个内角的度数比是，则表示的度数是（    ）。 A．30° B．60°或90° C．30°或90° D．30° 3．买2张同样的桌子和5把同样的椅子共用去6000元，每把椅子的价钱是桌子单价的，假设全部买椅子，那么这些钱可以买（    ）把。 A．3 B．10 C．15 D．25 4．小兰身上的钱可以买5支钢笔或15本笔记本，她先买了2支钢笔，剩下的钱可以买（    ）本笔记本。 A．6 B．9 C．12 D．13 5．5个大盒和2个小盒共装了260个球，1个大盒比1个小盒多装10个。假设7个全是大盒，球的总数比260个（    ）。 A．多50个 B．多20个 C．少50个 D．少20个 6．三个连续的偶数中，中间的一个是x，最大的一个是( )，最小的一个是( )。这三个连续偶数的和是( )。 7．王老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共用去52元。已知每支钢笔比每支圆珠笔贵3元。如果把4支钢笔换成圆珠笔，总共要花( )元，则每支圆珠笔( )元；如果把6支圆珠笔换成钢笔，总共要花( )元，则每支钢笔( )元。 8．某小学购买了5个篮球和8个足球，正好用去900元。已知足球的单价是篮球的，每个足球( )元，每个篮球( )元。 9．全班46人去公园划船，租12只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船共坐( )人，租的小船共坐( )人。 10．学校食堂购进1大袋和5小袋面粉，共重130千克。如果1大袋比1小袋面粉重10千克，1大袋面粉重( )千克。 11．有46个同学共分成11组，正在下象棋和跳棋。象棋每2人一组，跳棋每6人一组，下象棋的有( )组，下跳棋的有( )人。 12．李轩买了2支钢笔和5支自动笔，一共用去57元。如果买一支钢笔的价格可以买7支自动铅笔，那么钢笔每支( )元，自动铅笔每支( )元。 13．水果店有7箱苹果，如果从每箱中取出12千克，那么7只箱子里剩下的苹果质量正好等于原来4箱苹果的质量，原来每箱苹果为( )千克。 14．实验小学合唱队的女生人数与男生人数的比是7∶9，男生比女生多12人。实验小学合唱队的男生、女生各有多少人？（用方程解） 15．要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个，一共用了10个盒子。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 16．为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 17．李阿姨的服装店昨天卖出一种上衣3件，一种裤子5件。每件上衣比每条裤子贵50元，一共收入950元，上衣和裤子的单价各多少元？ 18．1辆大货车和3辆小货车一起运22吨的货物。每辆大货车比每辆小货车多运6吨，1辆大货车和1辆小货车分别运多少吨？ 19．学校买来羽毛球拍和乒乓球拍各20副，共用去1980元。每副羽毛球拍的价钱比每副乒乓球拍价钱的3倍还多3元，每副羽毛球拍和每副乒乓球拍各多少元？ 20．把7.2升果汁倒入三层铁架上放置的1只大杯、2只中杯和10只小杯中（如图），正好全部倒满且每层存放果汁的容量正好相等，大杯和所有小杯中存放的果汁共多少升？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $