专题07 两个计数原理与排列组合6大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题07 两个计数原理与排列组合 6大高频考点概览 考点01 两个计数原理及其运用 考点02 组合数与排列数 考点03 相邻与不相邻问题的排列 考点04 元素（位置）有限制的排列 考点05 组合中的分组分配 考点06 实际问题中的组合计数问题 地 城 考点01 两个计数原理及其运用 1．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 3．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 4．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·甘肃白银·期末)小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 6．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（    ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 7．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 8．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有 种出站方法． 9．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 地 城 考点02 组合数与排列数 10．(24-25高二上·甘肃白银·期末)已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 11．(22-23高二下·山西忻州名校·月考)若，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)方程的解为 . 13．(22-23高二下·山西朔州平鲁区李林中学·月考)方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 14．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 15．解方程： (1)； (2)解方程：. 地 城 考点03 相邻与不相邻问题的排列 16．(23-24高二下·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟·期中)东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（    ）种. A．120 B．240 C．480 D．720 17．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 18．(22-23高二上·甘肃庆阳宁县第二中学·期末)五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 19．(22-23高二下·江苏扬州·期末)某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（    ） A．若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法 B．若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法 C．若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法 D．若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法 20．第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 21．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 22．现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排 （1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？ 23．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 地 城 考点04 元素（位置）有限制的排列 24．(21-22高三上·全国一卷老高考部分学校·)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 25．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 26．(23-24高三上·江苏淮安、连云港·调研)某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（    ） A．108种 B．90种 C．72种 D．36种 27．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 28．(22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔第八中学校·期中)A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（    ） A．若A，不相邻，有72种排法 B．若A，不相邻，有48种排法 C．若A，相邻，有48种排法 D．若A，相邻，有24种排法 29．(21-22高二上·福建漳州·期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（    ） A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种 B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种 C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种 D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 30．(23-24高二上·湖北武汉东湖中学·期中)为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 31．(24-25高二上·辽宁名校联盟（东三）·调研)甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 32．(21-22高二下·上海松江二中·期末)（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？ （2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项． 33．(22-23高二下·山东青岛九校联盟·期中)2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求： (1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法； (2)3名宇航员互不相邻的概率； (3)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率. 地 城 考点05 组合中的分组分配 34．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 35．(22-23高二上·安徽亳州涡阳第一中学·期末)中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 36．(22-23高二下·江苏盐城·期末)为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（    ） A．6种 B．8种 C．9种 D．12种 37．(23-24高二上·江西“三新”协同教研共同体·)某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 38．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 40．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 41．(21-22高二下·广东广州天河中学·期中)（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，问有多少种参赛方案？ （2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？ （3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？ 42．(24-25高二上·甘肃·期末)甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 地 城 考点06 实际问题中的组合计数问题 43．(24-25高二上·甘肃·期末)已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 44．(21-22高二下·广东佛山南海区南海中学·)从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有（    ）种. A．120种 B．60种 C．20种 D．40种 45．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（    ） A． B． C． D． 46．(24-25高二上·河北盐山中学·月考)从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 47．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 48．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 49．(23-24高二下·黑龙江方正县高楞高级中学校·期末)在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 50．(24-25高二上·甘肃白银·期末)小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 两个计数原理与排列组合 6大高频考点概览 考点01 两个计数原理及其运用 考点02 组合数与排列数 考点03 相邻与不相邻问题的排列 考点04 元素（位置）有限制的排列 考点05 组合中的分组分配 考点06 实际问题中的组合计数问题 地 城 考点01 两个计数原理及其运用 1．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】满足条件的放法可分为两类，第一类，每个盒子放；两个球，第二类，一个盒子放一个球，另一个盒子放个球，结合分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的放法可分为两类， 第一类，每个盒子放；两个球，满足条件的放法有3种； 第二类，一个盒子放一个球，另一个盒子放个球，满足条件的放法有种， 由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的放法共有种． 故选：C. 2．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】C 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果. 【详解】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告， 则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告， 共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告， 则有6种方法； 由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种. 故选：C 3．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【分析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．根据分步乘法计算原理运算求解. 【详解】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 4．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即可. 【详解】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为. 故选：D 5．(24-25高二上·甘肃白银·期末)小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】应用分步计数的乘法原理求选择方案数. 【详解】由分步计数原理，得不同的选择方案共有种. 故选：B 6．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（    ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果. 【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有种． 故选：D 7．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 【答案】90种 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）. 故答案为：90种 8．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有 种出站方法． 【答案】256 【分析】根据分步乘法计数原理来求得正确答案. 【详解】每位乘客都有4种出站选择，根据分步计数原理可得种． 故答案为： 9．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两种情况讨论：（i）测试次找到所有次品；（ii）测试次找到所有的次品.求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可. 【详解】（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种. （2）分以下两种情况讨论： （i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种； （ii）测试次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为种. 综上所述，不同的测试情况种数为种. 地 城 考点02 组合数与排列数 10．(24-25高二上·甘肃白银·期末)已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 【答案】C 【分析】由组合数公式及已知等量关系列方程，即可求参数. 【详解】根据题意，得或，解得（舍去）或. 故选：C 11．(22-23高二下·山西忻州名校·月考)若，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】利用组合数的计算即可求解 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：BC. 12．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)方程的解为 . 【答案】1或3（只写一个不得分） 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质列式求解. 【详解】由及组合数的性质，得或， 整理得或，解得或，所以该方程的解为1或3. 故答案为：1或3 13．(22-23高二下·山西朔州平鲁区李林中学·月考)方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 14．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【分析】根据不共线的三点确定一个圆，可得从10个点任选3个点取法有，即可求得答案. 【详解】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 15．解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【详解】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 地 城 考点03 相邻与不相邻问题的排列 16．(23-24高二下·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟·期中)东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（    ）种. A．120 B．240 C．480 D．720 【答案】B 【分析】根据米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，将米、佳艳、刘西捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列求解. 【详解】解：因为米一同学想与佳艳､刘西排一起， 所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有种 ， 又因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，则佳艳､刘西全排列有种， 所以全部排法有：种， 故选：B 17．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 18．(22-23高二上·甘肃庆阳宁县第二中学·期末)五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得． 【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 故选：C． 19．(22-23高二下·江苏扬州·期末)某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（    ） A．若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法 B．若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法 C．若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法 D．若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法 【答案】BCD 【分析】A选项，采用捆绑法进行求解；B选项，利用排列知识进行求解；C选项，采用插空法进行求解；D选项，分两种情况，前2个节目都是语言类节目和前2个节目中有1个是语言类节目，分别求出排法后相加即可. 【详解】A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况， 综上，共有种情况，A错误； B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确； C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种， 综上，共有种情况，C正确； D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况， 前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况， 综上，有种不同的排法，D正确. 故选：BCD 20．第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 【答案】336 【分析】分两种情况，前排含有两种不同名称的吉祥物和前排含有三种不同名称的吉祥物，结合排列组合知识进行求解. 【详解】由题意可分两种情形： ①前排含有两种不同名称的吉祥物， 首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有种情况， 从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法， 选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边， 由于属于不同的吉祥物，故有种排法， 综上，有种排法； 其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物， 故有种排法，故共有种不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物， 先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有种选法， 再进行全排列，故有种排法； 同理后排有种排法，此时共有种排法； 因此，共有种排法， 故答案为：336. 21．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用插空法结合分步乘法计数原理求解； （2）将满足条件的站法分为两类，乙站在排头或排尾，甲、乙都不站排头或排尾，结合捆绑法及分类加法计数原理求解. 【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法． 再插空排甲、乙．有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）满足条件的站法可分为两类， 第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法． 第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法． 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 22．现有编号分别为，，，，，，的7个不同的小球，将这些小球排成一排 （1）若要求，，相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若要求排在正中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？ 【答案】（1）720；（2）216. 【分析】（1）利用“捆绑法”可求； （2）分，，中有1个在的左侧和有2个在的左侧讨论求解. 【详解】（1）把，，看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有（种）． （2）在正中间，所以的排法只有1种． 因为，，互不相邻， 所以，，不可能同时在的左侧或右侧． 若，，中有1个在的左侧，2个在的右侧且不相邻，则不同的排法有（种）， 若，，中有2个在的左侧且不相邻，1个在的右侧，则不同的排法有（种）． 故所求的不同排法有（种）． 23．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 地 城 考点04 元素（位置）有限制的排列 24．(21-22高三上·全国一卷老高考部分学校·)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答. 【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法： 若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种； 若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙 被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种， 综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为. 故选：B 25．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【分析】分两类为都被选出、被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对应方案数，即可得答案. 【详解】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有 种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有 种； 综上，共有72种. 故选：C 26．(23-24高三上·江苏淮安、连云港·调研)某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（    ） A．108种 B．90种 C．72种 D．36种 【答案】A 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案. 故选：A 27．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法可判断AC；定序问题使用除法可判断B；先排“射”，然后全排可判断D. 【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 28．(22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔第八中学校·期中)A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（    ） A．若A，不相邻，有72种排法 B．若A，不相邻，有48种排法 C．若A，相邻，有48种排法 D．若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 29．(21-22高二上·福建漳州·期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（    ） A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种 B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种 C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种 D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 【答案】BC 【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确； 对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确； 对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确. 故选：BC 30．(23-24高二上·湖北武汉东湖中学·期中)为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 31．(24-25高二上·辽宁名校联盟（东三）·调研)甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】(1)120 (2)144 (3)540 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 32．(21-22高二下·上海松江二中·期末)（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？ （2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项． 【答案】（1）600；（2）193. 【分析】（1）根据题意，先排首位，再排其它位置，进而结合分步计数乘法原理得到答案； （2）根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240 135小，当首位数字为2时考虑比240 135小的数字，进而根据排列数公式和分类加法计数原理得到答案. 【详解】（1）由于是五位数，首位数字不能为0， 首位数字有种排法； 其它位置有种排法； 所以，用0，1，2，3，4，5可以组成个无重复数字的五位数. （2）由于是六位数，首位数字不能为0， 首位数字为1有个数， 首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数， ∴从小到大排列，240 135是第＋＋1＝193个， 即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，240 135是数列的第193项 33．(22-23高二下·山东青岛九校联盟·期中)2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求： (1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法； (2)3名宇航员互不相邻的概率； (3)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率. 【答案】(1)12 (2) (3). 【分析】（1）利用分步乘法计数原理以及排列数的计算求得排法数. （2）利用插空法、排列数以及古典概型的知识求的所求概率. （3）根据名航天科学家之间的人数进行分类讨论，利用古典概型的知识求得所求的概率. 【详解】（1）第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员， 所以总共有（种）. （2）先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种）， 5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：. （3）①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，； ②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，， 故. 地 城 考点05 组合中的分组分配 34．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 35．(22-23高二上·安徽亳州涡阳第一中学·期末)中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 【答案】A 【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【详解】由题知，6名航天员安排三舱， 三舱中每个舱至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：分人数为的三组，共有种； 第二种：分人数为的三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种. 故选：A. 36．(22-23高二下·江苏盐城·期末)为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（    ） A．6种 B．8种 C．9种 D．12种 【答案】A 【分析】先分组，再分配即可. 【详解】由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种， 再分配到两所学校，有种， 故共有种安排方法. 故选：A. 37．(23-24高二上·江西“三新”协同教研共同体·)某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果. 【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、， 若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组， 则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种； 若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇， 只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种. 接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校， 因此，不同的安排方案种数为种. 故选：C. 38．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先从10人中选出3人上早班，从剩下的7人中选出3人上中班，再从剩下的4人中选出3人上中班，即可得到答案. 【详解】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 39．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 40．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 【答案】36 【分析】先将课外读物分为3组，继而分给3个同学，根据分组分配的方法，即可求得答案. 【详解】由题意，将4本不同的课外读物按数量为2、1、1分为3组，有种分法， 再将这3组读物分给3个同学，有种分法， 故共有不同的分配方法， 故答案为：36 41．(21-22高二下·广东广州天河中学·期中)（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，问有多少种参赛方案？ （2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？ （3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？ 【答案】（1）360（2）15（3）42 【分析】（1）直接应用排列数的意义求解（2）直接应用组合数的意义求解（3）不同元素的分配，先分份，再分配 【详解】（1） （2） （3）第一步，剔除一个项目 第二步，把四名同学分成1，3或2，2两份 第三步，把两份不同的元素放入两个不同的位置 则根据分步计数原理，不同的参赛方案有： 42．(24-25高二上·甘肃·期末)甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）由题意可知有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，根据排列与组合的知识求解即可； （2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一项工作，求解即可. 【详解】（1）解：甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作， 故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作， 共有种情况． （2）解：甲做工作的情况有2种： ①甲只做工作，共有种情况； ②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况， 所以甲做工作的情况有种， 故所求概率为． 地 城 考点06 实际问题中的组合计数问题 43．(24-25高二上·甘肃·期末)已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】由组合知识，结合分步计数原理得到答案. 【详解】先从四个楼层中选取两层，方案有种， 从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查， 方案有种， 综上，不同的选取方式有种. 故选：A 44．(21-22高二下·广东佛山南海区南海中学·)从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有（    ）种. A．120种 B．60种 C．20种 D．40种 【答案】C 【分析】由组合数的定义结合题意即可求出答案. 【详解】从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动有种方法. 故选：C. 45．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 故选：B． 46．(24-25高二上·河北盐山中学·月考)从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分步计数原理结合排列组合求解即可. 【详解】第一步，选出5人，共有种不同选法； 第二步，选出5个岗位，共有种不同选法； 第三步，将5人分配到5个岗位，共有种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有（种）. 故选：D. 47．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任选人、男女的方法数，以及古典概型概率计算公式来求得正确答案. 【详解】设事件为“选中1男1女”， 由题知活动方需从报名的2男2女中选取2人， 则共有种不同的选法， 其中选取的2人中为1男1女的有种不同的选法， 故． 故选：C 48．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 49．(23-24高二下·黑龙江方正县高楞高级中学校·期末)在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【分析】根据分步乘法计数原理、排列数和组合数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 50．(24-25高二上·甘肃白银·期末)小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择. 【答案】10 【分析】根据题意可知两瓶香水没有顺序要求所以是组合数. 【详解】根据题意可得小沉的选择种数为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $