专题 17.4 因式分解全章复习（8大考点12类题型 ）- 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过“基础篇-培优篇”分层框架构建因式分解全章知识体系，涵盖8大考点12类题型，以知识框架图梳理从定义、公因式、公式法到综合应用的逻辑脉络，突出基础与培优的重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题（如因式分解定义辨析、提取公因式）与综合题（如公式法与提取公因式综合、规律探究）结合例题变式，培养推理能力与模型意识，助力不同层次学生提升，支持教师实施精准化复习教学。

专题 17.5 因式分解全章复习（8大考点12类题型 ） 目录 一.基础篇 1 考点一：因式分解定义 1 【★题型1】因式分解定义 1 【★题型2】利用因式分解定义求参数 2 考点二：公因式 2 【★题型3】求公因式 2 考点三：提取公因式 3 【★题型4】提取公因式 3 考点四：公式法 3 【★题型5】判断能否用公式法进行因式分解 3 【★题型6】运用公式法进行因式分解 3 【★★题型7】运用公式法进行因式分解 3 二培优篇 4 考点五：平方差公式和完全平公式式组综合 4 【★★题型8】提取公因式 4 考点六：提取公因式与公式法综合 4 【★★题型9】提取公因式与公式法综合 4 考点七：利用因式分解求值 5 【★★题型10】利用因式分解求值 5 【★★题型11】利用因式分解证明 5 考点八：用因式分解与规律问题 6 【★★题型12】利用因式分解进行规律探究 6 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 考点一：因式分解定义 【★题型1】因式分解定义 【例题 1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【★题型2】利用因式分解定义求参数 【例题2】（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 考点二：公因式 【★题型3】求公因式 【例题3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 考点三：提取公因式 【★题型4】提取公因式 【例题4】（25-26七年级上·全国·期中）因式分解 （1） （2） 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 考点四：公式法 【★题型5】判断能否用公式法进行因式分解 【例题5】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【★题型6】运用公式法进行因式分解 【例题7】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解： （1）； （2）． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 （1） （2） 【★★题型7】运用公式法进行因式分解 【例题7】（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： （1）； （2）． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【变式2】（25-26八年级上·山东·阶段练习）因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 二培优篇 考点五：平方差公式和完全平公式式组综合 【★★题型8】提取公因式 【例题8】（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2） 【变式1】（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： （1）； （2）． 考点六：提取公因式与公式法综合 【★★题型9】提取公因式与公式法综合 【例题9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解： （1）． （2） 【变式1】（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解： ． 【变式2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）因式分解： （1）； （2）． （3）． 考点七：利用因式分解求值 【★★题型10】利用因式分解求值 【例题10】先因式分解，再计算求值： （1），其中，； （2），其中． 【变式1】先因式分解，然后计算求值： （1），其中，． （2），其中，． 【变式2】先因式分解，再求值：，其中，． 【★★题型11】利用因式分解证明 【例题11】阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解：． （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【变式1】观察下列式子． ①； ②； ③； ④． （1）求________． （2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是________，并给予证明． 【变式2】观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）的结果是3的__________倍； （2）设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 考点八：用因式分解与规律问题 【★★题型12】利用因式分解进行规律探究 【例题12】通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． （1）如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． （2）根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【变式1】（1）通过计算，探索规律： ，可写成， ，可写成， ，可写成， ，可写成， …… ，可写成________，，可写成________； （2）一个正整数的个位数是5，若去掉个位上的数字5之后的数为a，则该正整数可以表示为________； （3）证明：任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【变式2】数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． （1）指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） （2）受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 17.5 因式分解全章复习（8大考点12类题型 ） 目录 一.基础篇 1 考点一：因式分解定义 1 【★题型1】因式分解定义 1 【★题型2】利用因式分解定义求参数 3 考点二：公因式 4 【★题型3】求公因式 4 考点三：提取公因式 5 【★题型4】提取公因式 5 考点四：公式法 6 【★题型5】判断能否用公式法进行因式分解 6 【★题型6】运用公式法进行因式分解 8 【★★题型7】运用公式法进行因式分解 9 二培优篇 11 考点五：平方差公式和完全平公式式组综合 11 【★★题型8】提取公因式 11 考点六：提取公因式与公式法综合 13 【★★题型9】提取公因式与公式法综合 13 考点七：利用因式分解求值 15 【★★题型10】利用因式分解求值 15 【★★题型11】利用因式分解证明 17 考点八：用因式分解与规律问题 20 【★★题型12】利用因式分解进行规律探究 20 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 考点一：因式分解定义 【★题型1】因式分解定义 【例题 1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 解：、等式从左到右是整式乘法运算，不符合题意； 、等式从左到右是整式乘法运算，不符合题意； 、等式从左到右属于因式分解，符合题意； 、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 解：A、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C. 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式的积的形式． 解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：变形为整式乘法，不是因式分解； 选项C：变形为整式乘法，不是因式分解； 选项D：右边为，是积的形式，符合因式分解． 故选D． 【★题型2】利用因式分解定义求参数 【例题2】（25-26八年级上·北京·期中）若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可． 解： ， 由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，， 解得； ∴ ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 考点二：公因式 【★题型3】求公因式 【例题3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 【答案】B 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行求解． 解：， 所以公因式； 故选C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，首先把整体作为公因式提出来，可得：原式，再提公因式． 解： ． 故选：B． 考点三：提取公因式 【★题型4】提取公因式 【例题4】（25-26七年级上·全国·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解： （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可． 【小题1】解： 【小题2】解： 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 解：∵ ，， ∴ 故答案为：． 考点四：公式法 【★题型5】判断能否用公式法进行因式分解 【例题5】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 【变式1】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 解：①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 【★题型6】运用公式法进行因式分解 【例题6】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，熟记、乘法公式是解答的关键． （1）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 解：（1）解：； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【★★题型7】运用公式法进行因式分解 【例题7】（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． （1）先提取公因式2，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先把原多项式化成一般式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用平方差公式进行因式分解，然后各括号内合并同类项； （2）先提出负号，再用完全平方公式因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·山东·阶段练习）因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． （1）提取公因式，即可解题； （2）将式子整理为，再提取公因式，即可解题； （3）利用平方差公式和提公因式法分解因式，即可解题； （4）先去括号，再利用完全平方公式求解，即可解题； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 二培优篇 考点五：平方差公式和完全平公式式组综合 【★★题型8】提取公因式 【例题8】（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将化为之后，提公因式即可； （2）将化为之后，提公因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可； （2）利用提取公因式法分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 考点六：提取公因式与公式法综合 【★★题型9】提取公因式与公式法综合 【例题9】（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可． 解： ． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）因式分解： （1）； （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行分解． 解：（1） ； （2） ； （3） ． 【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，整体思想，是解决本题的关键． 考点七：利用因式分解求值 【★★题型10】利用因式分解求值 【例题10】先因式分解，再计算求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查代数式的因式分解以及代数式求值： （1）直接提取公因式，进而分解因式得出即可； （2）直接提取公因式，进而得出答案． 解：（1）解：， 将，代入得： 原式； （2）解： ， 将代入得出：原式． 【变式1】先因式分解，然后计算求值： （1），其中，． （2），其中，． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解． 解：（1）解： 当，时， 原式. （2）， . 当，时， 原式. 【变式2】先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：利用平方差公式法进行因式分解，再代值计算即可． 解：原式 ； 当，时，原式． 【★★题型11】利用因式分解证明 【例题11】阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解：． （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见分析． 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 解：（1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 【变式1】观察下列式子． ①； ②； ③； ④． （1）求________． （2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是________，并给予证明． 【答案】（1）；（2）8的倍数，证明见分析 【分析】本题考查平方差公式的应用，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键： （1）根据题意得出； （2）理由平方差公式得出，即可得出两个连续奇数的平方差能被8整除． 解：（1）解：由题意得， 故答案为： （2）解： ， 为整数， ∴任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数， 故答案为：8的倍数． 【变式2】观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）的结果是3的__________倍； （2）设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得，即可得证． 解：（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 考点八：用因式分解与规律问题 【★★题型12】利用因式分解进行规律探究 【例题12】通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． （1）如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． （2）根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】（1），；（2）①② 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 解：（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 【变式1】（1）通过计算，探索规律： ，可写成， ，可写成， ，可写成， ，可写成， …… ，可写成________，，可写成________； （2）一个正整数的个位数是5，若去掉个位上的数字5之后的数为a，则该正整数可以表示为________； （3）证明：任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【答案】（1）；；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查了数字变化的规律，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知数据得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知数据得出变化规律即可； （2）由题意可知原数的十位及以上部分组成的数为a，个位数为5，因此原数可表示为； （3）任意一个个位数是5的正整数都可以写成，再利用完全平方公式分析即可． 解：（1）根据题意可得，，可写成； ，可写成， 故答案为：；； （2）一个正整数去掉个位上的数字5之后的数为a， 原数的十位及以上部分组成的数为a，个位数为5， 因此原数可表示为 （3）任意一个个位数是5的正整数都可以写成，即， 为奇数， 为25的倍数， 能被25整除， 任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【变式2】数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． （1）指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） （2）受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 【答案】（1）；；；；（2）； 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，因式分解，正确得出规律是解题的关键． （1）（Ⅰ）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （Ⅱ）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （2）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 解：（1）解：（Ⅰ） （Ⅱ） （2）设，、是连续的正整数， ； ， ． 一定是正数的平方数． 故答案为：；． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $