1.4有理数的加法（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

1.4有理数的加法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 示例： · 正数+正数：(+3)+(+5)=+(3+5)=+8（即8） · 负数+负数：(-2)+(-4)=-(2+4)=-6 2. 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 · 示例： · 正数+负数（正数绝对值大）：(+7)+(-3)=+(7-3)=+4（即4） · 正数+负数（负数绝对值大）：(+2)+(-5)=-(5-2)=-3 · 互为相反数：(+4)+(-4)=0 3. 一个数同0相加：仍得这个数。 · 示例：，(+8)+0=+8（即8） 运算步骤 1. 确定类型：判断两个加数是同号、异号还是与0相加。 2. 确定符号：根据法则确定结果的符号。 3. 计算绝对值：同号相加取“和”，异号相加取“差”（大减小），与0相加直接得原数。 运算律（简化计算） 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 · 公式： · 示例：(-5)+(+3)=(+3)+(-5)=-2 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 · 公式：(a + b) + c = a + (b + c) · 示例：(-2)+(+5)+(-4)=[(-2)+(-4)]+(+5)=(-6)+(+5)=-1 常见技巧 1. 凑整法：将能凑成整数（或0）的数结合相加。 · 示例：++(+3)=0+3=3 2. 同号结合法：先将所有正数相加，所有负数相加，再进行异号运算。 · 示例：(-3)+(+5)+(-2)+(+1)=[(+5)+(+1)]+[(-3)+(-2)]=6+(-5)=1 3. 拆分法：将带分数拆为整数和分数，分别相加后再合并。 · 示例： 易错点 1. 符号错误：忽略负数的绝对值或混淆“同号相加”与“异号相加”的符号规则。 · 反例：(-3)+(-2)=+5（错误，应为） 2. 漏算符号：进行异号运算时，忘记用较大绝对值减去较小绝对值。 · 反例：(+2)+(-5)=+3（错误，应为） 3. 运算律误用：交换或结合时忘记带上数前面的符号。 · 反例：(-3)+(+2)=-3+2=-1（正确），若写成（错误，符号未跟随数字） 型 习 练 题 有理数加法运算 1．在如图所示的星形图案中，每条“直线”上的四个数字之和都相等，则图中字母a，b，c，d的和是 （    ） A．38 B．43 C．45 D．48 2．已知，，，则的计算结果为（   ） A． B．或 C．或 D． 3．已知，且，则等于（　　） A．2 B． C． D．8 4．计算的结果等于（　　） A．7 B． C．17 D． 5．计算的结果是（   ） A． B．8 C． D．4 有理数加法中的符号问题 6．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 7．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 8．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 有理数加法在生活中的应用 10．如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．五个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示（如：当北京时间为8：00时，东京时间为9：00），我市2025年初中毕业学业检测与高中阶段学校招生考试于2025年6月16日上午9时开始，此时应是（    ） A．纽约时间2025年6月16日晚上22时 B．多伦多时间2025年6月15日晚上21时 C．伦敦时间2025年6月15日凌晨1时 D．东京时间2025年6月16日上午8时 12．某快递员在一条东西走向的街道上派件，从出发点开始，先向东走，再向西走，最后向东走，此时快递员与出发点的位置关系是（   ） A．出发点东边 B．出发点西边 C．出发点东边 D．出发点西边 13．一只海豚从水面潜入水下米，然后又上升米，此时海豚的位置是（    ） A．水下米 B．水下米 C．水下米 D．水下米 14．某便利店一周内商品库存变化情况（进货为正，出货为负）：件，件，件，件，件，件，件，该周最终库存变化为（   ） A．增加20件 B．减少20件 C．增加10件 D．减少10件 有理数加法运算律 15．宜春市某天早晨气温是℃，中午气温上升了10℃，则中午时的气温是（    ） A．8℃ B．℃ C．10℃ D．℃ 16．这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 17．计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 18．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 19．若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．6 20．下列各式能用加法运算律简化运算的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4有理数的加法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 示例： · 正数+正数：(+3)+(+5)=+(3+5)=+8（即8） · 负数+负数：(-2)+(-4)=-(2+4)=-6 2. 异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 · 示例： · 正数+负数（正数绝对值大）：(+7)+(-3)=+(7-3)=+4（即4） · 正数+负数（负数绝对值大）：(+2)+(-5)=-(5-2)=-3 · 互为相反数：(+4)+(-4)=0 3. 一个数同0相加：仍得这个数。 · 示例：，(+8)+0=+8（即8） 运算步骤 1. 确定类型：判断两个加数是同号、异号还是与0相加。 2. 确定符号：根据法则确定结果的符号。 3. 计算绝对值：同号相加取“和”，异号相加取“差”（大减小），与0相加直接得原数。 运算律（简化计算） 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 · 公式： · 示例：(-5)+(+3)=(+3)+(-5)=-2 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 · 公式：(a + b) + c = a + (b + c) · 示例：(-2)+(+5)+(-4)=[(-2)+(-4)]+(+5)=(-6)+(+5)=-1 常见技巧 1. 凑整法：将能凑成整数（或0）的数结合相加。 · 示例：++(+3)=0+3=3 2. 同号结合法：先将所有正数相加，所有负数相加，再进行异号运算。 · 示例：(-3)+(+5)+(-2)+(+1)=[(+5)+(+1)]+[(-3)+(-2)]=6+(-5)=1 3. 拆分法：将带分数拆为整数和分数，分别相加后再合并。 · 示例： 易错点 1. 符号错误：忽略负数的绝对值或混淆“同号相加”与“异号相加”的符号规则。 · 反例：(-3)+(-2)=+5（错误，应为） 2. 漏算符号：进行异号运算时，忘记用较大绝对值减去较小绝对值。 · 反例：(+2)+(-5)=+3（错误，应为） 3. 运算律误用：交换或结合时忘记带上数前面的符号。 · 反例：(-3)+(+2)=-3+2=-1（正确），若写成（错误，符号未跟随数字） 型 习 练 题 有理数加法运算 1．在如图所示的星形图案中，每条“直线”上的四个数字之和都相等，则图中字母a，b，c，d的和是 （    ） A．38 B．43 C．45 D．48 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，解题关键是根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算． 根据每条“直线”上的四个数字之和都相等进行计算即可． 【详解】解：由题意得： 解得：， 解得：，     所以，每条“直线”上的四个数字之和均为， 所以，， 解得：，， 所以． 故选：B． 2．已知，，，则的计算结果为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义及不等式的应用，关键是根据大小关系确定字母的取值； 根据绝对值的定义，和  各有正负两种可能，结合条件  筛选出满足条件的组合，再计算 的值. 【详解】∵， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 当时，； 当时，； 其他组合均不满足， ∴ 的值为或 . 故答案选：B. 3．已知，且，则等于（　　） A．2 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据题意，求出的值，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 4．计算的结果等于（　　） A．7 B． C．17 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可． 【详解】解：． 故选B． 5．计算的结果是（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法运算，两个负数相加，结果为负，绝对值相加，据此进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：A． 有理数加法中的符号问题 6．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 7．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 8．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 9．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 10．如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点在数轴上的计算问题，根据a、b在数轴上的位置，可知，由此可对选项逐一进行判断． 【详解】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 有理数加法在生活中的应用 11．五个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示（如：当北京时间为8：00时，东京时间为9：00），我市2025年初中毕业学业检测与高中阶段学校招生考试于2025年6月16日上午9时开始，此时应是（    ） A．纽约时间2025年6月16日晚上22时 B．多伦多时间2025年6月15日晚上21时 C．伦敦时间2025年6月15日凌晨1时 D．东京时间2025年6月16日上午8时 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，解题时要把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想，根据数轴上表示的正负数关系推断时间即可解决． 【详解】解： A、由数轴可知，纽约时间比北京晚：个小时，可得当北京时间2025年6月16日上午9时，纽约时间是2025年6月15日20时，选项A错误； B、由数轴可知，多伦多时间比北京晚：个小时，可得当北京时间2025年6月16日上午9时，多伦多时间是2025年6月15日21时，选项B正确； C、由数轴可知，伦敦时间比北京晚：个小时，可得当北京时间2025年6月16日上午9时，伦敦时间是2025年6月16日1时，选项C错误； D、由数轴可知，东京时间比北京早：个小时，可得当北京时间2025年6月16日上午9时，东京时间是2025年6月16日10时，选项D错误； 故选：B． 12．某快递员在一条东西走向的街道上派件，从出发点开始，先向东走，再向西走，最后向东走，此时快递员与出发点的位置关系是（   ） A．出发点东边 B．出发点西边 C．出发点东边 D．出发点西边 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算的应用．向东走记为正，向西走记为负，再计算加法即可求解． 【详解】解：，此时快递员与出发点的位置关系是出发点东边， 故选：A． 13．一只海豚从水面潜入水下米，然后又上升米，此时海豚的位置是（    ） A．水下米 B．水下米 C．水下米 D．水下米 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，（米）， ∴海豚的位置是水下米， 故选：． 14．某便利店一周内商品库存变化情况（进货为正，出货为负）：件，件，件，件，件，件，件，该周最终库存变化为（   ） A．增加20件 B．减少20件 C．增加10件 D．减少10件 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用．根据题意列式计算即可． 【详解】解： （件）， 该周最终库存变化为减少20件， 故选：B． 15．宜春市某天早晨气温是℃，中午气温上升了10℃，则中午时的气温是（    ） A．8℃ B．℃ C．10℃ D．℃ 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算解应用题，理解题意是解决问题的关键． 根据题意，直接由有理数加法计算即可得到答案． 【详解】解：某天早晨气温是℃，中午气温上升了10℃，则中午时的气温是℃， 故选：A． 有理数加法运算律 16．这道题计算时应用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】B 【分析】本题主要考查了加法的运算定律，涉及到对加法交换律、加法结合律的知识； 观察所给的算式，根据所学运算律的特征进行分析判断即可． 【详解】解：，运用了加法结合律． 故选：B． 17．计算：． 解： 第一步的依据是什么?（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法运算律的应用．观察第一步的变形，将原式中的加数重新分组并交换位置，需结合加法交换律和结合律进行判断． 【详解】解：由题意可知，将原式中与的位置交换，使与相邻，与相邻，使用了加法交换律，将相邻的加数分组结合，形成和两部分，使用了加法结合律， 因此，第一步同时应用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 18．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】解：这个运算中运用了加法的结合律和交换律， 故选：C． 19．若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据绝对值的非负性，有理数的加减运算解答即可． 本题考查了有理数的非负性，有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 20．下列各式能用加法运算律简化运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 根据加法运算律进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，能用加法运算律简化运算 ，C符合要求； A、B、D不能用加法运算律简化运算，故不符合要求； 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $