13.2.1 分式的运算 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

本讲义聚焦分式的运算核心知识点，系统梳理分式乘除法（统一为乘法并约分）、乘方（分子分母分别乘方并定符号）、同分母加减（分母不变分子加减）、异分母加减（先通分再加减）的法则，构建从基础运算到混合运算的学习支架，衔接整式运算与分式应用。 资料亮点在于分层题型设计，含例题解析、跟踪训练及实际应用（如工程问题、浓度问题），通过规范步骤培养运算能力与推理意识，结合生活实例渗透模型意识，课中助力教师精准教学，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13.2 分式的运算 知识点一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：. （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 知识点二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 知识点三、同分母分式的加减 同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点四、异分母分式的加减 1、分式的通分 异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分数的加减法法则进行计算.异分母分式的加减与之类似.将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.. （1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 2、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为. （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 题型01 分式的乘除 【例1】计算.(1) · ； (2) · . 【例2】计算：（1） ； （2）． 【跟踪训练】 1.计算： ． =_________ 2.计算：(１）． （２）． （３）． （４）． 3.计算：（１）．（２）．（３）． 4．计算的结果是 ． 5.计算 (1) (2) (3) 6．计算:(1) ; (2)．(3) （4） 题型02 分式的乘方 【例3】计算：． 【例4】计算： (1)；(2)；(3)． 【跟踪训练】 1.下列计算中，错误的是（ ）． A、 B、 C、 D、 2．计算： (1)；(2)． 3.计算：． 4．计算： (1)； (2)． 题型03 含乘方的分式乘除混合运算 【例5】计算：． 【跟踪训练】 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2.计算：． 3.计算题 (1) (2) 4.计算： (1)； (2)． 5.化简： 6.先化简，后求值：，其中． 题型04 最简公分母 【例6】分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 【跟踪训练】 1. ，的最简公分母为___． 2．分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 3．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 题型05 通分 【例7】通分： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练】 1.通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06 同分母分式的加减 【例8】化简的结果为　　 A． B． C． D． 【例9】计算：＝　 　． 【跟踪训练】 1．计算： ． 2．计算： ． 3．计算 ． 4.计算：（   ） A． B． C． D．2 题型07 异分母分式的加减 【例10】化简： 【例11】计算： 【跟踪训练】 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 2．计算： ． 3.计算： （1） （2） 4.计算： （1） （2） 题型08 整式与分式的加减 【例12】计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【例13】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.计算的结果是 　　． 2.化简：　　． 3.计算下列各式． (1) (2) 4. 化简： 题型09 分式的混合运算 【例14】计算： (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练】 1．化简： 2．计算：． 3．化简：． 题型10 分式混合运算的化简求值 【例15】先化简，再求值：，并从，2，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 【例16】已知，化简求值：． 【跟踪训练】 1.先化简，再求值：，其中． 2.先化简，再求值：，其中满足． 3.先化简，再求值：，其中是方程． 题型11 根据分式恒等式求分子 【例17】已知，则 ， ． 【例18】已知是恒等式，请分别求、的值． 【跟踪训练】 1．若恒成立，则的值是 ． 2.若，则 ， ． 3.已知，其中，，，为常数，则 ． 题型12 分式加减的实际应用 【例19】甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 【例20】为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 【跟踪训练】 1．学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 2．在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示） 3.有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元． (1)哪箱水果的单价要高些？ (2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？ 1、 选择题 1．代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3.化简的结果为　　 A． B． C． D． 4.在下列各式中：①；②；③；④， 相等的两个式子是（ ）． A、①② B、①③ C、②③ D、③④ 5．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 6.有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．计算 ． 8．计算： ． 9．计算： ． 10．计算： ． 11.计算：． 12.已知，，　　． 13.计算的结果是________ 14.计算：　　． 15.计算： ． 16.若，则的值为_______ 17．如果，那么的值为 ． 18.如果，，那么，的值为______ 3、 解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20.计算： （1）； （2）； （3）． 21.计算：(1) (2) . 22.先化简，再求值：，其中． 23.先化简，再求值：，其中． 24.一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 25.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“帅哥分式”．如：，则 是“帅哥分式”． (1)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = ． (2)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 26.【阅读材料】 材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：． 材料2：类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：；． 材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： 0 1 2 3 4 无意义 1 【学以致用】请根据上述材料完成下列问题： （1）将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式：　　；　　； （2）当时，随着的增大，分式的值 　　（填“增大”或“减小” ； （3）当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由； （4）请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13.2 分式的运算 知识点一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：. （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式. （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘. （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分. （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 知识点二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 知识点三、同分母分式的加减 同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点四、异分母分式的加减 1、分式的通分 异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分数的加减法法则进行计算.异分母分式的加减与之类似.将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.. （1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 2、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为. （1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 题型01 分式的乘除 【例1】计算.(1) · ； (2) · . 解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式． 解：(1)·＝－＝－＝－； (2)·＝·＝·＝－. 方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分． 【例2】计算：（1） ； （2）． 【详解】解：（1）原式． （2） 【跟踪训练】 1.计算： ． =_________ 【答案】 2.计算：(１）． （２）． （３）． （４）． 【答案】（１）（２）（３）（４） 3.计算：（１）．（２）．（３）． 解： 4．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5.计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 6．计算:(1) ; (2)．(3) （4） 【答案】 【答案】 题型02 分式的乘方 【例3】计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用． 【例4】计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【跟踪训练】 1.下列计算中，错误的是（ ）． A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】正确答案为． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用． 2．计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3.计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 题型03 含乘方的分式乘除混合运算 【例5】计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序． 【跟踪训练】 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2.计算：． 【分析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案． 【解答】解：原式＝﹣•• ＝﹣． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 3.计算题 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据积的乘方先展开，再根据整式的乘除法运算即可求解； （2）先通分，去括号，再根据分式的性质，分式的乘除法 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，分式的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5.化简： 【答案】-x． 【分析】先分别将分子和分母分解因式，除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： =-x． 【点睛】本题考查的是分式的乘除法，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键． 6.先化简，后求值：，其中． 【答案】． 【解析】原式 ． 当时，原式=． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用． 题型04 最简公分母 【例6】分式，，的最简公分母为（ ） A． B． C． D．12ab 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是； 故选：A． 【跟踪训练】 1. ，的最简公分母为___． 【答案】a（a+b）（a-b） 【分析】确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】 ，的分母分别是：a（a-b），a（a+b），∴它的最简公分母是：a（a+b）（a-b）．故答案为a（a+b）（a-b）． 【点睛】本题考查了最简公分母，关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 2．分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的最简公分母，因式分解，掌握分式的最简公分母的定义，因式分解方法是解题关键． 先将分式分母因式分解，然后根据最简公分母的确定方法解答即可． 【详解】解：先将分式分母因式分解， ∴分式的最简公分母是． 故选：D． 3．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是， 故选：B． 题型05 通分 【例7】通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）（2）（3）根据最简公分母的确定方法确定最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）∵，的最简公分母是， ∴； （2）∵ ，的最简公分母是， ∴； （3）∵的最简公分母是， ∴． 【跟踪训练】 1.通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 题型06 同分母分式的加减 【例8】化简的结果为　　 A． B． C． D． 【分析】根据同分母的分式相加减法则进行计算即可． 【解答】解： ， 故选：． 【例9】计算：＝　 　． 【分析】首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算． 【解答】解：原式＝＝＝x+y．故答案为x+y． 【点评】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式． 【跟踪训练】 1．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握其运算法则是关键，根据同分母分式的加减法运算即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减． 直接同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：原式= ． 4.计算：（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，同分母分式相减，分母不变，分子直接相减，即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 题型07 异分母分式的加减 【例10】化简： 【答案】- 【分析】先通分化为同分母分式再进行相加减,最后化为最简分式即可． 【详解】解：原式= = = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减运算,掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【例11】计算： 【答案】 【分析】找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可． 【详解】解： = = = = =． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题关键是找出最简公分母和通分，将异分母化成同分母． 【跟踪训练】 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3.计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 4.计算： （1） （2） 【答案】； 题型08 整式与分式的加减 【例12】计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【例13】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【跟踪训练】 1.计算的结果是 　　． 【分析】通分，化成同分母的分式，然后根据同分母分式相加减的法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 2.化简：　　． 【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可． 【解答】解：原式 ； 故答案为：． 3.计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式减法法则计算即可； （2）通分化为同分母分式减法计算即可． 【详解】（1） （2） 4. 化简： 【答案】 【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键． 题型09 分式的混合运算 【例14】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)x (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘出法即可求解； （2）根据同分母分式加减法运算法则计算即可； （3）先对括号里进行通分相加，再把除法运算化为乘法运算，因式分解后约分即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【跟踪训练】 1．化简： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握是解题的关键． 先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 题型10 分式混合运算的化简求值 【例15】先化简，再求值：，并从，2，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从，2，4中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ， 或时，原分式无意义， ， 当时，原式． 【例16】已知，化简求值：． 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体思想代入求值． 【解答】解：原式 ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 2.先化简，再求值：，其中满足． 【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【解答】解： ， 满足， 即， 原式 ． 3.先化简，再求值：，其中是方程． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解： ， ， ， ，， ，，， ，，， 当时，原式． 题型11 根据分式恒等式求分子 【例17】已知，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式的加减运算；先对等式右边进行通分化简，然后根据题意列方程，进行计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【例18】已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 【跟踪训练】 1．若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 2.若，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 3.已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 题型12 分式加减的实际应用 【例19】甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 【答案】甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 【分析】本题考查了分式除法的应用，由题意得甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，则，然后根据分式运算法则进行求解即可，读懂题意，列出分式进行计算是解题的关键． 【详解】解：甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为， 故甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 【例20】为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 【答案】(1)米/天 (2)天 【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键． （1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解； （2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解； 【详解】（1）解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成， 甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天， 甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． 答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． （2）解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为， 则完成工程需要的时间为：（天） 答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天． 【跟踪训练】 1．学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【答案】D 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 2．在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查分式除法运算的应用．由题意易得一个人每天插秧的工作效率为，一台插秧机每天的工作效率为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：一个人每天插秧的工作效率为，则一台插秧机每天的工作效率为， ∴； 答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍． 故答案为：． 3.有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元． (1)哪箱水果的单价要高些？ (2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？ 【答案】(1)箱水果的单价高些 (2) 【分析】本题考查了分式的减法的应用，分式的除法的应用，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． （1）根据单价总价数量，列出算式，计算即可得出答案； （2）根据题意列出算式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴箱水果的单价高些； （2）解：由题意得：， ∴两箱水果中高的单价是低的单价的倍． 1、 选择题 1．代数式化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键． 先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 3.化简的结果为　　 A． B． C． D． 【分析】先将分母因式分解，再同分，最后进行分式的加减． 【解答】解： ． 故选：． 4.在下列各式中：①；②；③；④， 相等的两个式子是（ ）． A、①② B、①③ C、②③ D、③④ 【答案】B 【解析】①； ②； ③； ④． 【总结】本题主要考查分式的乘除运算，在计算时要注意法则的准确运用． 5．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 6.有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 2、 填空题 7．计算 ． 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先将运用平方差公式进行分解，然后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法，再约分计算． 【详解】解： = = 故答案为：． 11.计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序． 12.已知，，　　． 【分析】将、代入原式，计算可得． 【解答】解：当、时， 原式 ， 故答案为：． 13.计算的结果是________ 【分析】根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可． 【解答】解：， 14.计算：　　． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为： 15.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 16.若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【详解】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 17．如果，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】先根据已知条件用b分别表示c和，然后把它们代入所求的分式中，化简即可得到分式的值． 【详解】解：∵a+=1， ∴b=, ∵b+=1， ∴+=1， ∴=1， ∴c+2-2a=c-ac， 化简得：ac+2=2a ∴===2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的化简求值：先根据已知条件用一个字母表示另外两个字母，然后代入所求的分式中进行计算是解题关键． 18.如果，，那么，的值为______ 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 3、 解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 20.计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算． 21.计算：(1) . 【详解】(1) ． (2)原式 22.先化简，再求值：，其中． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 当时，原式． 23.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握分式的运算法则是关键．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 24.一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 25.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“帅哥分式”．如：，则 是“帅哥分式”． (1)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = ． (2)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)，2 或 【分析】本题考查的是分式的化简，分式的加减运算的逆运算； （1）把化为，再进一步变形即可； （2）先计算分式的除法运算，再计算减法运算，最后化为，再结合为整数， 为整数以及分式有意义的条件可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； ； ∵为整数， ∵当或 时， 为整数， ∴x 的值可以是 0 或 或 2 或 ． 又∵分式有意义时，x 的值不能为 0、1、 、 ， ∴或 ． 26.【阅读材料】 材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再将剩余的部分写成一个真分数．例如：． 材料2：类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：；． 材料3：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： 0 1 2 3 4 无意义 1 【学以致用】请根据上述材料完成下列问题： （1）将下面的分式写成一个整式与一个真分式的和的形式：　　；　　； （2）当时，随着的增大，分式的值 　　（填“增大”或“减小” ； （3）当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由； （4）请你将写成一个整式与一个真分式的和的形式． 【分析】（1）把所求分式分别写成分子和分母相同的分式与另一个分式的形式，再把分子和分母相同的分式写成整式即可； （2）根据（1）中的结果，先判断分式的增减性，从而判断真分式的增减性即可； （3）把分式 写成整式与真分式和的形式，然后根据所写分式的增减性，从而进行判断即可； （4）分式分子的前两项当作分子，把分式写成分母是的两个分式相加，把第一个分式约分，第二个分式写成整式与真分式和的形式，再进行化简即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：，； （2），是随的增大而减小， 是随的增大而减小， 故答案为：减小； （3）分式 的值无限趋近3，理由如下： ， 随着的增大， 越来越小，无限趋近于0， 随着的增大，分式 的值无限趋近3； （4）， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $