第二章 有理数及其运算【章末复习】 课件2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了有理数的基本概念（负数、有理数、数轴等八个核心概念）和运算（加减乘除、乘方及运算律），通过“定义-性质-应用”的逻辑链条串联知识点，如数轴与绝对值为大小比较和运算提供直观工具，构建完整知识网络。 其亮点在于“探究新知”模块结合生活实例（如股市涨跌记录、天体距离科学记数法），培养抽象能力和模型意识，设计分层练习（基础比较大小、综合混合运算、拓展规律探究），助力学生巩固知识发展运算能力，也为教师提供系统复习框架和精准教学支持。

北师大（2024）版数学七年级上册 第二章 有理数及其运算 章末复习 一、有理数的基本概念 一、知识框架（总览全局） 二、核心知识点梳理（夯实基础） （一）有理数的相关概念 正数与负数： 正数：大于 0 的数（如 + 3、2.5，可省略 “+”）； 负数：小于 0 的数（如 - 5、-1.8，“-” 不可省略）； 0：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。 有理数分类（两种标准）： 按定义分：整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数）； 按符号分：正数（正整数、正分数）+ 0 + 负数（负整数、负分数）。 数轴： 三要素：原点（0）、正方向（通常向右）、单位长度（统一）； 性质：数轴上的点与有理数一一对应，右边的数总比左边的数大。 相反数： 定义：只有符号不同的两个数（如 3 与 - 3、-2.1 与 2.1）； 性质：互为相反数的两数和为 0（a + (-a) = 0）；0 的相反数是 0； 数轴表示：关于原点对称（到原点距离相等）。 绝对值： 定义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离（记为 | a|）； 性质： 非负性：|a| ≥ 0（绝对值最小的数是 0）； 符号法则：|a| = a（a ≥ 0），|a| = -a（a < 0）； 常用结论：|a| = |b| ⇨ a = b 或 a = -b。 倒数： 定义：乘积为 1 的两个数（如 2 与 1/2、-3/4 与 - 4/3）； 注意：0 没有倒数；互为倒数的两数符号相同；倒数等于本身的数是 1 和 - 1。 科学记数法： 表示形式：a×10ⁿ（1 ≤ |a| < 10，n 为整数）； 确定 n 的方法：原数绝对值≥10 时，n 为正整数，n = 整数位数 - 1；原数绝对值 < 1 时，n 为负整数，n = -（第一个非 0 数字前 0 的个数）。 （二）有理数的运算 加法运算： 法则（符号优先）： 同号相加：取相同符号，绝对值相加（如 3 + 5 = 8，-2 + (-3) = -5）； 异号相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如 4 + (-7) = -3，-5 + 9 = 4）； 互为相反数相加得 0（如 6 + (-6) = 0）；0 加任何数得原数。 减法运算： 法则：减去一个数等于加这个数的相反数（a - b = a + (-b)）； 关键：将减法转化为加法，统一成 “加” 运算后再计算。 乘法运算： 法则（符号优先）： 同号得正，异号得负，绝对值相乘； 任何数乘 0 得 0；多个非 0 数相乘，积的符号由负因数个数决定（奇负偶正）。 除法运算： 法则：除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数（a ÷ b = a×(1/b)，b≠0）； 符号规则：同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以任何非 0 数得 0。 乘方运算： 定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算（记为 aⁿ，a 叫底数，n 叫指数）； 符号规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0 的任何正次幂是 0； 易错提醒：-aⁿ与 (-a)ⁿ的区别（如 - 2² = -4，(-2)² = 4）。 混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有括号的先算括号内（小括号→中括号→大括号）； 同级运算从左到右依次进行。 三、易错点辨析（规避陷阱） 易错点 错误示例 正确认知 绝对值非负性忽略 认为 “ a 乘方符号错误 计算 (-3)² = -9、-3² = 9 负数的偶次幂为正（(-3)²=9），-aⁿ是 aⁿ的相反数（-3²=-9） 减法转化错误 计算 3 - (-2) = 1 减去负数等于加正数，3 - (-2) = 3 + 2 = 5 多个数相乘符号判断错误 计算 (-1)×(-2)×(-3) = 6 负因数个数为 3（奇数），积为负，结果应为 - 6 科学记数法 a 的范围错误 表示 123000 为 12.3×10⁴ 1 ≤ 倒数与相反数混淆 认为 “-2 的倒数是 2” 倒数是乘积为 1，-2 的倒数是 - 1/2；相反数是符号相反，-2 的相反数是 2 四、典型例题（学以致用） 例 1：有理数概念辨析 题目：下列说法正确的是（ ） A. 0 是最小的有理数 B. 绝对值等于本身的数是正数 C. 互为倒数的两数符号相同 D. 有理数分为正有理数和负有理数 解析：A 选项错误（没有最小的有理数）；B 选项错误（绝对值等于本身的数是正数和 0）；C 选项正确（互为倒数乘积为 1，符号必相同）；D 选项错误（有理数含 0）； 答案：C 例 2：有理数运算（混合运算） 题目：计算：(-2)² + 3×(-4) - |-5| + 2÷(-1/2) 解析：按顺序计算： 乘方：(-2)² = 4； 乘除：3×(-4) = -12，2÷(-1/2) = -4； 绝对值：|-5| = 5； 加减：4 + (-12) - 5 + (-4) = 4 - 12 - 5 - 4 = -17； 答案：-17 例 3：科学记数法应用 题目：用科学记数法表示 3800000，并用科学记数法表示的数 1.05×10⁶还原成原数。 解析： 3800000：整数位数 7，n=7-1=6，表示为 3.8×10⁶； 1.05×10⁶：n=6，小数点向右移 6 位，还原为 1050000； 答案：3.8×10⁶；1050000 例 4：实际应用（收支计算） 题目：某超市一周收支情况如下（收入为正，单位：元）：+5200，-2300，+1800，-1400，+2700，-3500，+4200。求该超市一周的总收入、总支出及净利润。 解析： 总收入：5200 + 1800 + 2700 + 4200 = 13900（元）； 总支出：2300 + 1400 + 3500 = 7200（元）； 净利润：总收入 - 总支出 = 13900 - 7200 = 6700（元）； 答案：总收入 13900 元，总支出 7200 元，净利润 6700 元。 五、巩固练习（强化提升） 基础题 填空题： -3 的相反数是______，绝对值是______，倒数是______；（答案：3、3、-1/3） 用科学记数法表示 690000 为______，还原 3.2×10⁵为______；（答案：6.9×10⁵、320000） 计算：(-1)³ + 2×(-3) = ______；（答案：-7） 选择题： 下列运算正确的是（ ） A. (-2)×(-3) = -6 B. (-3)² = -9 C. 1 - (-2) = 3 D. |-4| = -4（答案：C） 若 | a| = 4，|b| = 2，且 a < b，则 a + b 的值为（ ） A. 6 或 2 B. -6 或 - 2 C. -6 或 2 D. 6 或 - 2（答案：B） 提升题 计算题： 计算：(-1/2)×(-4) + 3×(-5) - (-2)³； 解析：2 + (-15) - (-8) = 2 - 15 + 8 = -5； 答案：-5 应用题： 某地区一天的气温变化范围是 - 8℃到 12℃，求该地区这天的温差（最高温与最低温的差）。 解析：温差 = 12 - (-8) = 12 + 8 = 20（℃）； 答案：20℃ 探究题： 已知 | x - 2| + (y + 3)² = 0，求 x + y 的值。 解析：绝对值和平方数均非负，和为 0 则各自为 0，故 x=2，y=-3，x+y= -1； 答案：-1 六、本章总结 核心能力：有理数的符号判断能力、运算准确性、实际问题转化能力； 学习目标：掌握有理数的概念及运算法则，能熟练进行混合运算，能用科学记数法表示大数，能解决简单实际问题； 衔接提示：本章是代数运算的基础，为后续 “整式的加减”“一元一次方程” 等内容的运算提供支撑，务必夯实符号处理和运算步骤规范。 1.负数 2.有理数 3.数轴 4.相反数 5.倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法 探究新知 1.负数 在正数前面加“-”的数； 0 既不是正数，也不是负数. 探究新知 整数和分数统称有理数. 2.有理数 （ ）数 （ ）数 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 有理数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 整 分 探究新知 3.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 探究新知 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数； （3）所有有理数都可以用数轴上的点表示. 探究新知 4.相反数 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 探究新知 （1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）； （2）0的相反数是0； （3）若a、b互为相反数，则 a+b = 0. 探究新知 5.倒数 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数. （1）a 的倒数是 （a ≠ 0）； （3）若 a 与 b 互为倒数，则 ab = 1. （2）0没有倒数 ； 探究新知 6.有理数的绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 探究新知 若 a＞0，则︱a︱= ____； 若 a＜0，则︱a︱= ____； 若 a = 0，则︱a︱= ____. a （1） -a 0 （2）对任何有理数 a，总有︱a︱≥0. 探究新知 7.有理数的大小比较 （1）利用数轴比较： 在数轴上的两个数，右边的数 总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0； 正数大于一切负数. 探究新知 （2）利用绝对值比较 两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 若 a＜0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，则a ＜ b. 探究新知 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a×10n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 8.科学记数法 55 000 000 = 5.5×107 探究新知 二、有理数的运算 1.有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 若a>0，b>0，则 a + b = |a| + |b| 若a<0，b<0，则 a + b = -( |a| + |b| ) 探究新知 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 若a>0，b<0，|a| > |b|，则a + b = |a| - |b|. 若a>0，b<0，|a| < |b|，则a + b = -(|b| - |a|). 探究新知 （3）一个数同0相加，仍得这个数. a 是任一个有理数，则 a + 0 = a. 探究新知 2.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. a - b = a + ( - b ) 探究新知 3.有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同0相乘，积仍为0. 探究新知 若a>0，b>0，则 ab = +|a|×|b|. 若a<0，b<0，则 ab = +|a|×|b|. 若a>0，b<0，则 ab = -|a|×|b|. 若a<0，b>0，则 ab = -|a|×|b|. 同号 异号 探究新知 4.有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 探究新知 除以一个数等于乘上这个数的倒数. a÷b = a× (b ≠ 0) 探究新知 5.有理数的乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方. a×a ×… ×a ×a n个a = an 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 探究新知 混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的. 探究新知 有理数的运算律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 (a + b ) + c = a + ( b + c ) 乘法交换律 乘法结合律 ab = ba (ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律 a( b + c ) = ab + ac 探究新知 1.下表记录了某星期内股市的涨跌情况，请完成下表： -50 +60 -30 +2 探究新知 2.用数轴上的点表示下列各有理数，并求其相反数和绝对值： - 0.5， - 3.5，7， - 4.5， - 4． -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 5 6 7 - 0.5 - 3.5 - 4.5 - 4 7 探究新知 2.用数轴上的点表示下列各有理数，并求其相反数和绝对值： - 0.5， - 3.5，7， - 4.5， - 4． 相反数： 绝对值： 0.5 0.5 3.5 3.5 -7 7 4.5 4.5 4 4 探究新知 3. 下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请将下列各数填在适当的圈中： 负数集合 整数集合 探究新知 4. 比较下列每组数的大小： 探究新知 探究新知 探究新知 5. 从下图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数．看看你画出了什么. 探究新知 6.在如图所示的圆圈内填上彼此都不相等的数，使得每条线上的三个数之和为零。你有几种填法? 解：有无数种填法，列出一种填法如图所示。 探究新知 7. 计算： (1) ( -8 )-( -1 )； (2) 45+( -30 )； (3) ( -1.5 )-( -11.5 )； (4) ( )-( )； (5) 15 - [ 1- (-20 - 4)]； (6) (-40)-28-(-19)+(-24)； -7 15 10 -10 -73 探究新知 (9) 2.4-( )+(-3.1)+ ； (10) ( ) + ( ) - ( -2 )； (11) - ( ) + ( ) ； (12) 11 + ( -22 ) - 3×( -11 )； (7) 7.54+(-4.4)+(-2.54)+4.4； (8) ( )-( )； 5 0.7 1 22 探究新知 (13) (-0.1)÷ ×(-100)； (14) ( )×( )×0 ； (15) ( -2 )3 - 32； (16) 23÷[( -2 )3-( -4 )]； (17) ( )÷( )； (18) ( -60 )×( ). 20 0 -17 -95 探究新知 天体名称 围绕太阳公转的轨道半长径/km 科学记数法 水星 58 000 000 金星 110 000 000 地球 150 000 000 火星 230 000 000 8.请用科学记数法表示下表中的数据： 5.8×107 1.1×108 1.5×108 2.3×108 探究新知 天体名称 围绕太阳公转的轨道半长径/km 科学记数法 木星 780 000 000 土星 1 500 000 000 天王星 2 900 000 000 海王星 4 500 000 000 7.8×108 1.5×109 2.9×109 4.5×109 探究新知 9. 计算1-2+3-4+5-6+… + 99-100. 探究新知 10. 点 A，B，C，D 所表示的数如图所示，回答下列问题: (1) C，D 两点间的距离是多少? (2) A，B 两点间的距离是多少? (3) A，D 两点间的距离是多少? 探究新知 探究新知 11. “一只闹钟一昼夜误差在 ± 20 s之内.” 这句话是什么含义? 这只闹钟工作一昼夜后的时间与标准的时间相比较，时差最多不能超过 20s (包括快 20s 和慢 20s ). 探究新知 12．下列说法是否正确？请将错误的改正过来． （1）所有的有理数都能用数轴上的点表示； （2）符号不同的两个数互为相反数； √ × 符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数. 探究新知 （3）有理数分为正数和负数； （4）两数相加，和一定大于任何一个加数； （5）两数相减，差一定小于被减数． × 有理数分为正有理数、负有理数和零. × 两数相加，和不一定大于任何一个加数. × 两数相减，差不一定小于被减数. 探究新知 13.写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数； （2）最大的负整数； （3）大于 - 3 且小于 2 的所有整数； 1 -1 -2，-1，0，1 探究新知 （4）绝对值最小的有理数； （5）绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数； （6）在数轴上，与表示 - 1 的点的距离为 2 的所有数． 0 -3和-4 -3和1 探究新知 14. 填空： （1）两个互为相反数的数（0除外）的商是________； （2）两个互为倒数的数的积是_______. -1 1 探究新知 15. 观察下面的每组数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由. （1）-23，-18，-13，______，______； （2） ， ， ， ，______，______； （3）2，-4，8 ，-16，______，______；（4）-2，-4，0，-2，2，______，______. -8 -3 32 -64 0 4 探究新知 解：理由只要合理即可. 如：(1)后一个数比前一个数大5，后面两个数为-8，-3； (2)分母扩大2倍，分子加1，并且正负相间，后面两个数为 ， ； 探究新知 (3)每个数等于( -1 )n+1·2n( n 代表每个数的序号，即 n ≥1)，后面两个数为32，-64； (4)第 1 个数减 2 得到第 2 个数，第 2 个数加 4得到第 3 个数，第 3 个数减 2 得到第 4 个数，第 4 个数加 4 得到第 5 个数，后面两个数为0，4. 探究新知 16. 小于 的最大整数是多少？ 解：因为 ，所以小于 的最大整数是 -5. 探究新知 考点1 九个概念 概念1 具有相反意义的量 1.［2025汕头期末］在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹 表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”。若向北走80米记作“ 米”， 则向南走40米记作( ) C A.米 B.米 C.米 D. 米 探究新知 53 概念2 正数和负数 2.下列各数为负数的是( ) A A. B.0 C.3 D.5 探究新知 54 概念3 有理数 3.［2025重庆期末］把下列有理数填在相应的集合内：3， ，0， ，，， 。 正有理数集合：____________ ； 负有理数集合：________________ ； 整数集合：__________ ； 分数集合：_____________________ 。 , , , , 探究新知 55 概念4 相反数 4.如果和2 025互为相反数，那么 表示的数是( ) A A. B. C.2 025 D. 探究新知 56 概念5 绝对值 5.［2025宿迁一模］有理数 的绝对值等于__。 探究新知 57 6. 手机信号的强弱通常用负数来表示，绝对值越小表示 信号越强，则下列信号单位： 最强的是( ) A A. B. C. D. 探究新知 58 概念6 数轴 7.数与 在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是( ) C A. B. C. D.无法确定 探究新知 59 概念7 倒数 8. 的倒数是( ) D A. B. C. D. 探究新知 60 概念8 科学记数法 9.［2025宁波期末］2025年全国普通高校毕业生规模预计达1 222万人。 其中“1 222万”用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 探究新知 61 概念9 近似数 10.下列说法正确的是( ) D A.近似数5.20和近似数5.2的精确度相同 B.近似数5.20和近似数5.21的精确度不同 C.近似数6千万和近似数6 000万的精确度相同 D.近似数42.0和近似数4.2的精确度相同 探究新知 62 考点2 一个运算——有理数的运算 11.（16分）计算： （1） ； 解：原式 。 （2） ； 解：原式 。 （3） ； 解：原式 。 探究新知 63 （4） 。 解：原式 。 探究新知 64 考点3 一个应用——有理数运算的实际应用 12.（12分）［2025北京丰台区期中］已知某粮库6天内粮食进出库的吨 数如下（单位：吨，“”表示进库，“-”表示出库）， ， ，， ， ，第6天的数据被污染了，且经过这6天， 粮库里的粮食减少了37吨。 （1）经过这6天，仓库管理员结算发现粮库里还存粮450吨，求6天前粮 库里存粮多少吨； 解： （吨）， 即6天前粮库里存粮487吨。 探究新知 65 （2）求被污染的数据是多少； 解：，即被污染的数据是 。 （3）如果进出粮食的装卸费都是每吨50元，求这6天要付多少元装卸费。 解： （元）， 即这6天要付8 250元装卸费。 探究新知 66 考点4 两种思想 思想1 分类讨论思想 13.数轴上与表示 的点距离2个单位长度的点所表示的数是_______。 或1 探究新知 67 思想2 数形结合思想 14.（12分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了 到达小 明家，继续向东走了到达小红家，然后向西走了 到达小 刚家，最后返回百货大楼。 探究新知 68 （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示 ，请 你在如图所示的数轴上标出小明、小红、小刚家的位置。（小明家用点 表示，小红家用点表示，小刚家用点 表示） 解：小明、小红、小刚家的位置在数轴上表示如图所示。 （2）小明家与小刚家相距多远？ 解：由（1）得点表示4，点表示 ， 所以小明家与小刚家相距 。 探究新知 69 （3）若货车每千米耗油 ，则这辆货车此次送货共耗油多少升？ 解：货车一共行驶了 ， 所以这辆货车此次送货共耗油 。 探究新知 70 谢谢观看！ $