7.3.1 复数的三角表示式 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦复数的三角表示式，从复数代数形式及其几何意义切入，通过复平面内向量的模与方向角，引导学生从几何视角探究复数的新表示方法，衔接复数运算与棣莫弗定理的学习基础。 本设计以问题驱动引导学生自主建构知识，通过向量模与方向角的几何直观培养直观想象，结合辐角主值范围辨析发展逻辑推理，设置代数与三角形式互化例题提升数学运算能力，助力学生深化数形结合认知，为教师提供清晰的教学实施框架。

7.3.1 复数的三角表示式教学设计 教材分析 本节课通过复数与复平面内向量的对应关系，引导学生从几何角度出发，利用向量的模和方向角表示复数，从而引出复数的三角形式，并明确辐角与辐角主值的概念。教学过程以问题驱动，借助图形探究复数的另一种表达方式。该内容承接复数的代数形式与几何意义，是复数运算、棣莫ivre定理学习的基础。通过代数与几何的结合，提升学生的数学抽象、直观想象能力，强化数形结合思想，为后续研究复数的乘除运算及三角形式的应用提供必要工具。 学情分析 针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了复数的代数形式及其几何意义，理解复数与复平面内点和向量的一一对应关系，并熟悉向量的模和方向的基本概念，具备三角函数的基本知识，如、的定义及在单位圆中的表示，这为从几何角度刻画复数提供了知识基础；高中阶段的学生抽象思维能力逐步发展，能够接受用参数和描述复数的方式，但对辐角的多值性及主值概念的理解仍需引导，容易在角度范围和三角恒等变换上出现混淆；本节课要求学生能将复数从代数形式转化为三角形式，理解模与辐角满足、的联系，掌握复数三角表示式的结构特征，并认识其在运算和几何意义中的优势，有助于提升数形结合能力和数学表达的多样性认知。 教学目标 1. 理解复数三角表示式的概念，能够解释中各参数的含义，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 掌握复数代数形式与三角形式的互化方法，能够根据计算模和辐角，达到数学运算核心素养水平二的要求。 3. 理解复数辐角的多值性及主值概念，能够确定复数在范围内的辐角主值，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。 4. 能够运用复数三角表示式解决几何问题，理解复数与向量之间的对应关系，达到直观想象核心素养水平二的要求。 5. 掌握复数相等的判定条件，能够根据模和辐角主值判断两个非零复数是否相等，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。 重点难点 教学重点：复数的三角形式定义，即，其中，为辐角；复数代数形式与三角形式的互化。 教学难点：辐角的概念及主值范围的理解，非零复数三角表示的唯一性条件。 课堂导入 同学们，之前我们学习了复数的代数形式，知道它与复平面内的点及向量一一对应。比如在复平面中，向量对应复数。那大家想一下，向量除了用坐标表示，还能用什么表示呢？没错，还能用大小和方向。向量的大小就是模，方向可以用与轴非负半轴所成的角来描述。那既然复数与向量紧密相关，能不能借助向量的模和这个角来表示复数呢？这就是我们今天要探究的内容——复数的三角表示式。 复数的三角表示式 探究新知 （一）知识精讲 我们知道，复数 （其中 ）在复平面上可以对应一个点 ，也可以对应从原点 指向该点的向量 。这种几何表示为我们提供了从向量的角度理解复数的可能性。 如图所示，向量 的大小由其模长决定，记作 ，这也就是复数 的模。而向量的方向则可以通过以 轴非负半轴为始边，射线 为终边所形成的角 来刻画。这个角 称为复数 的辐角（argument of a complex number）。 由三角函数的定义，在直角三角形中可得： 将上述关系代入复数的代数形式 ，得到： 其中 ，且当 时，。这样，我们就用向量的模 和方向角 将复数 表示了出来。 一般地，任何一个复数 都可以写成 的形式，这种表示方法称为复数的三角表示式，简称三角形式。与之相对， 称为复数的代数表示式，简称代数形式。 需要指出的是，任何一个不等于零的复数都有无穷多个辐角，它们彼此相差 的整数倍。例如，若 是一个辐角，则所有形如 （）的角都是它的辐角。为了唯一确定一个角度值，我们规定：在区间 内的辐角值称为辐角的主值，记作 ，即满足 。例如： ， ， ， 。 对于复数 ，由于它对应的向量是零向量，方向任意，因此它的辐角也是任意的，没有确定的主值。 每一个非零复数由它的模和辐角主值唯一确定。因此，两个非零复数相等，当且仅当它们的模相等且辐角的主值相等。 （二）师生互动 教师提问：我们已经知道复数可以用代数形式 表示，现在又学习了三角形式 。那么，请思考：为什么我们需要引入复数的三角形式？它相比代数形式“新”在哪里？ 学生可能回答：因为三角形式把复数和向量的大小与方向联系起来了，更直观。 教师追问：很好！那如果已知一个复数的代数形式，比如 ，你能尝试把它化为三角形式吗？关键步骤有哪些？ 学生思考并尝试计算：先求模 ；再根据 ，判断 所在象限，并找出对应的角。由于实部为负、虚部为正， 在第二象限，所以 。于是 。 教师总结：非常正确！这个过程体现了代数形式与三角形式之间的相互转化。接下来的问题是：如果两个复数都写成了三角形式，我们如何判断它们是否相等？ 学生回答：应该看它们的模是不是相等，辐角主值是不是一样。 教师补充：对！特别注意，只有当两个复数的模相等、且辐角主值相等时，这两个复数才相等。即使两个复数的辐角不同但相差 的整数倍，只要主值相同，它们就表示同一个复数。 （三）设计意图 通过引导学生回顾复数的几何意义，建立复数与平面向量之间的对应关系，使学生理解复数不仅可以从代数角度描述，还可以借助向量的模与方向进行表达，从而自然引出三角形式的概念。在推导过程中保留完整的代换逻辑，强化数形结合的思想，帮助学生构建清晰的知识结构。通过设置层层递进的问题，促进学生主动参与公式转化与概念辨析，提升其逻辑推理与运算能力。采用贴近教材语言风格的叙述方式，确保术语规范、表述准确，符合高中阶段学生的认知发展水平。整个设计注重从具体到抽象的过渡，强调数学表达形式之间的内在联系，培养学生多角度认识数学对象的能力，同时渗透数学简洁性与统一性的美学价值。 新知应用 例1题目： 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1) (2) 解答： (1) 复数 对应的点为 ，在复平面上位于第一象限。 我们先求其模 ： 再求辐角 ，由定义有： 满足这两个条件且在第一象限的角度是 。 因此，该复数的辐角主值为 。 所以，三角形式为： 对应的向量如图所示： (2) 复数 对应的点为 ，位于第四象限。 求模 ： 求 和 ： 在第四象限，满足上述三角函数值的角度是 或等价地取正角 （因为 ），这是辐角主值。 所以，三角形式为： 对应的向量如图所示： 例2题目： 分别指出下列复数的模和一个幅角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式： (1) (2) 解答： (1) 给定复数为 。 直接可得： 模 （因为三角形式前无系数，隐含 ）； 一个辐角 。 利用三角函数值： 所以： 对应向量从原点指向 ，沿负实轴方向，如图所示： (2) 给定复数为 。 显然： 模 ； 一个辐角 （即 ，位于第四象限）。 计算代数形式： 所以： 对应向量终点为 ，方向在第四象限，如图所示： 新知巩固 题目： 第1题：已知复数满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 解答： 我们已知复数满足，说明复数在复平面上对应的点位于以原点为圆心、半径为1的单位圆上。 设，其中，且满足。 我们要求的是的最大值。 这个表达式表示复数与复数之间的距离。 令点对应复数，点对应复数，即点。 那么，即点到定点的距离。 由于点在单位圆上运动，因此该距离的最大值就是点到圆心的距离加上圆的半径。 先计算。 而单位圆的半径为1，所以点到点的最大距离为： 因此，的最大值为。答案选C。 题目： 第2题：若复数，（），其中是虚数单位，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 解答： 已知： ，是一个固定的复数； ，这是复数的三角形式，表示模为1、辐角为的复数。 因此，对应的点在复平面上是以原点为圆心、半径为1的单位圆上的动点。 我们要求的是的最大值，即固定点到单位圆上动点的距离的最大值。 记点对应，点在单位圆上。 先计算点到原点的距离： 由于在单位圆上，所以点到点的最大距离等于： 这是因为当点位于从原点出发指向点方向的反向延长线上时（即与同向），距离达到最大。 因此，的最大值为。答案选C。 板书设计 复数的三角表示式 几何背景 复数 对应点 对应向量 由模 和方向角 唯一确定 三角形式定义 表达式： 其中： （模） ：辐角，满足 辐角的主值：，规定 代数形式 ↔ 三角形式 转化依据： 互化原则：根据需要灵活转换 特性 非零复数：模唯一，辐角主值唯一 复数相等 ⇔ 模相等 且 辐角主值相等 零复数：模为 ，辐角任意 注记 辐角多值性： 典型例子： 　 教学反思 本节课教学设计从复数的几何意义引入，通过探究引导学生思考能否用向量的大小和方向表示复数，进而得出复数的三角表示式，还介绍了辐角、辐角主值及代数形式与三角形式的互化。课程基本完成教学任务，多数学生能理解复数三角表示式相关概念。成功之处在于借助向量知识引导，符合学生认知规律，便于理解；通过探究活动激发学生思考。不足之处在于对复数辐角主值概念的讲解深度可能不够，部分学生理解较模糊；在三角形式与代数形式互化的练习环节，留给学生思考和实践的时间稍短，部分学生掌握不够熟练。 学科网（北京）股份有限公司 $