27.3位似第二课时教学设计2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦位似图形的坐标变换规律，通过复习位似性质及平移、轴对称的坐标变化规律导入，搭建旧知支架，引导学生探究位似与坐标的内在关联。 此资料以探究式教学为主，学生通过具体案例自主归纳原点位似坐标规律，结合几何画板动态演示坐标与图形变化，渗透转化思想解决非原点位似问题，分层任务适配不同学生。培养几何直观、推理意识与模型意识，助力学生突破难点，教师易操作，提升课堂效率。

27.3位似 第二课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学九年级（下册）第27章“相似”的第三节。内容包括：位似图形在平面直角坐标系中的坐标变换规律，包括以原点为位似中心、非原点为位似中心的位似图形坐标变化特点，以及利用坐标变换绘制位似图形、解决简单几何图形位似相关坐标问题。 （二）教学内容解析 本节课是位似知识的延伸应用，衔接平面直角坐标系与图形变换，是“几何图形+坐标量化”的核心衔接点。核心内容是原点为位似中心时，位似图形对应点坐标的“乘位似比”规律，非原点为位似中心可通过坐标平移转化为原点模型解决，既是对相似、位似概念的深化，也是后续函数图像变换、几何综合题解题的基础，兼具几何直观性与代数计算性，体现数形结合思想。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】用图形的坐标变化表示图形的位似变换，掌握位似图形对应点坐标的规律。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 掌握以原点为位似中心的位似图形对应点坐标变换规律，能利用规律求位似图形对应点坐标、绘制位似图形；了解非原点为位似中心的坐标变换简单转化方法。 2.通过观察、计算、推理，经历位似坐标规律的探究过程，提升数形结合能力与几何推理能力。 3.感受坐标变换与图形变换的关联，体会数学知识的连贯性，增强几何问题量化解决的意识。 （二）教学目标解析 达成知识与技能目标：能准确说出“原点为位似中心，位似比为k时，对应点坐标(x,y)变为(kx,ky)”，能独立完成对应点坐标计算，且能按要求（已知原图、位似中心、位似比）画出位似图形。 达成过程与方法目标：能通过小组讨论，从具体坐标案例中归纳位似坐标规律，能将非原点位似问题转化为原点位似问题分析。 达成情感态度与价值观目标：在解决坐标与位似综合问题时，能主动运用数形结合思路，不畏惧几何与代数结合类题目。 三、学生学情分析 1. 已有基础：学生已掌握位似图形的定义、性质，能识别位似图形、确定位似中心与位似比；熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标表示，具备基础的坐标计算能力，此前接触过平移、对称的坐标变换，对“图形变换对应坐标变化”有初步认知。 2. 现存难点：一是难以快速建立“位似图形形状变化”与“坐标数值变化”的关联，易混淆位似比正负与图形位置（同侧/异侧）的关系；二是面对非原点为位似中心的问题时，缺乏“坐标平移转化”的思维，难以迁移原点位似规律；三是绘制位似图形时，易出现坐标计算错误或图形标注不规范的问题。 3. 认知特点：九年级学生逻辑归纳能力、数形结合意识逐步提升，但抽象思维仍需具体案例支撑，对“规律类知识”需通过具象探究逐步内化。 基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】理解相似比为负值时对应点坐标的含义，能准确作出不同相似比的位似图形，区分位似与平移、轴对称、旋转等变换。 四、教学策略分析 1. 探究式教学：通过给出具体坐标图形（如三角形）及对应位似图形，让学生计算对应点坐标差，自主归纳原点位似的坐标规律，避免直接灌输，强化规律理解。 2. 转化思想渗透：针对非原点位似问题，引导学生通过“平移图形使位似中心与原点重合→用原点规律计算坐标→反向平移还原坐标”的步骤，迁移已有知识，突破难点。 3. 分层任务设计：基础任务聚焦原点位似坐标计算与图形绘制，提升任务聚焦非原点位似问题解决，适配不同基础学生，确保全员参与。 4. 直观辅助教学：借助几何画板展示“原图→位似图形”的动态变化，同步呈现坐标实时变化，直观体现位似比与坐标的关联，降低抽象理解难度。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1. 提问回顾：①位似图形的核心性质的是什么？（对应点连线过位似中心，对应边平行/共线，对应边比等于位似比）②此前学过的平移、轴对称，对应点坐标有何变化规律？（如平移向右a个单位，x加a；关于x轴对称，y变负） 2. 导入新课：位似作为特殊的相似变换，在平面直角坐标系中，对应点坐标会有怎样的规律？今天我们聚焦“位似与坐标变换”，探究其内在关联。设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 知识点一：位似图形的坐标特征与画法 探究1如图，在直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0)．以原点 O 为位似中心，相似比为，把线段 AB 缩小.把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ 问题1：可能有哪些情况？ 问题2：如何画出缩小后的线段？ ①画出线段AB； ②画射线AO、BO； ③找到相似比为的对应点A′、B′并连接A′B′. 问题3：对应点的坐标是多少？有什么变化？ 探究2：如图，△AOC 三个顶点的坐标分别为 A(4，4)，O(0，0)，C(5，0)．以点 O 为位似中心，相似比为 2，将△AOC 放大，写出对应点的坐标，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 【归纳】位似图形的坐标规律：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)． 2 4 6 5 x 图4 A B O 例　如图4，△ABO的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0)．以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为． 知识点二：平移、轴对称、旋转和位似变换之间的区别与联系 至此，我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似图形的变化方式，你能在下图所示的图案中找到它们吗？ 平移 轴对称 旋转 位似 【小结】平移、轴对称、旋转和位似变换之间的区别与联系： 【针对训练】 1.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1） 3.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（    ） A． B．或 C． D．或 4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝_____． 5. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形OABC与正方形ODEF关于原点O位似，且相似比为2：3．若点B的坐标为（2，2），则点E的坐标为（　　） A．（1，1） B．（3，3） C．（4，4） D．（5，5） 2．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△DEF是位似图形，位似中心是原点O．若A（12，8），D（6，4），E（2，3），则点B的坐标为（　　） A．（4，4） B．（4，6） C．（5，6） D．（5，4） 3．如图，在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　） A． B．（﹣2，3） C． D．（﹣3，2） 4．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（2，1），以原点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大为原来的2倍得到△OA′B′，则点B′的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣4，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点A（﹣1，2）和点D（2，﹣4）是对应点，则△ABC内的点P（m，n）的对应点P′的坐标为（　　） A．（2m，2n） B．（﹣2m，﹣2n） C．（2m，﹣2n） D．（﹣2m，2n） 6．如图，在△AOB中，AB∥x轴，A（2，2），AB＝2，以原点O为位似中心，将△AOB缩小后得到△DOE．若DE＝1，则点E的坐标为（　　） A．（1，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（4，2） 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形．点B（﹣6，3）的对应点为B′（2，﹣1），若AA′＝12，则A的坐标为　 　 ． 8．如图，已知O是坐标原点，点B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原来的2倍得到△OB′C′； （2）如果△OBC周长为m，则△OB′C′的周长为　 　； （3）若线段BC上有一点P（a，b），请直接写出点P的对应点P′的坐标　 　． 9．如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为（4，2），（6，﹣2）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OMN的位似△OPQ，所作新图形与原图形的相似比为1：2，并写出M，N的对应点P，Q的坐标； （2）求△OPQ的面积． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $