第六章对概率的进一步认识练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第六章对概率的进一步认识练习题 一、单选题 1．为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 2．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，且取吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是的概率是（　　） A． B． C． D． 4．为激发同学们的民族自豪感，让大家更深刻地感受中国科学家的卓越贡献，郑州市第十九初级中学准备开展“致敬中国科学”的主题活动，老师收集了4位近代中国科学家的画像，其中包括“中国现代数学之父”华罗庚、“杂交水稻之父”袁隆平、“两弹一星”元勋钱学森、诺贝尔物理学奖得主杨振宁．若从这4幅画像中随机抽取2幅布置教室，求抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的概率是（　　） A． B． C． D． 5．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 6．《数学之美》特种邮票于今年3月日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 8．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 9．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 10．如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 11．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 12．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（    ） A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理 C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼 二、填空题 13．如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘A，B．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配得紫色的概率为 ． 14．爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有 种． 15．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 16．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 17．某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为 ．    18．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 三、解答题 19．一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 20．为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 21．如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． (2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 22．为传承中华优秀文化，丰富居民文娱活动，某社区在元宵节举办了猜灯谜活动.猜中灯谜者，可获得一次抽奖机会，奖品有四类，设有四个抽签，分别记为，每次抽奖都出示四个抽签． (1)小明获得一次抽奖机会，则他抽到类奖品的概率为_____； (2)小军获得两次抽奖机会，请用列表或画树状图的方法，求他两次抽到的是不同类奖品的概率． 23．某中学化学实验课上，李老师带来了（镁）、（铝）、（铜）三种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将三张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） 抽取规则如下：3张卡片背面朝上洗匀，小明先随机抽取一张，记录下抽取的卡片不放回，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则小明上台实验；其他的情况，则小华上台实验．这个规则对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 24．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 2．C 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵随机闭合开关中的两个，共有种等可能的情况：、、．能让灯泡发光的情况是，共种． ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有的可能情况：，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由摘取顺序可知，共有三种等可能的结果， ∴清洗时第二个取下的吊灯是的概率是， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果以及抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的结果，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将这4幅画像分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的结果有：，，共2种， ∴抽到的2幅画像中恰好包含华罗庚，杨振宁画像的概率为， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 6．C 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先画出树状图，再根据概率公式求解． 【详解】解：把邮票图案分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”、“莫比乌斯带”的4张邮票分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，两次抽取的邮票图案名称不相同的结果有种， ∴两次抽取的邮票图案名称不相同的概率是， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 10．A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 11．D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 12．A 【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解． 【详解】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键． 13． 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．将转盘A，B的红色部分和黄色部分分别等分成两部分,分别记为红1，红2，黄1，黄2，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将转盘A，B的红色部分和黄色部分分别等分成两部分,分别记为红1，红2，黄1，黄2， 画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有1种， 所以配成紫色的概率是． 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查了列举法列举所有等可能结果，解题的关键是理解“蜜蜂只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行”． 本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所有可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法． 【详解】解：本题可分两种情况： ①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有： 一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4； 共有3种爬法； ②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有： 一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4； 三、0⇒1⇒2⇒4；四、0⇒1⇒3⇒4；五、0⇒1⇒3⇒2⇒4； 共5种爬法； 因此不同的爬法共有3+5=8种． 故答案为8． 15．小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 16． 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 17． 【分析】根据可得阴影部分面积占总面积的，进而即可得到答案． 【详解】∵， ∴阴影部分面积占总面积的，即：顾客转动一次可以打折的概率为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查几何图形与概率，掌握概率公式是解题的关键． 18． 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 19．(1)3 (2) 【分析】本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案； （2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， ∴布袋中红球的个数为（个）， 答：布袋中红球的个数为3个． （2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3， 从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）， 共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果， 所以一次性摸出2个球都是红球的概率为． 20．(1)90 (2)乙班方差较小，乙班获得冠军 (3) 【分析】本题考查了方差、平均数、概率的计算： （1）根据①单项比赛计分规则进行计算即可； （2）求出乙班和丙班的方差，方差小的获得冠军； （3）采用列举法即可解答． 【详解】（1）解：裁判打分：， 去掉最高分95和最低分85，剩余分数为， 平均分， 故丙班第二个单项得分， 故答案为：90； （2）解：乙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 ； 丙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 结论：乙班方差更小，因此乙班获得冠军； （3）解：两班独立选择三种图书，共有9种等可能结果： ， 其中选择相同的有三种，概率． 21．(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的结果为7种， 故． 22．(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B类奖品的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的是不同类奖品的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有4类，抽取1类， ∴抽到B类的概率是． （2）解：画树状图： 可能的结果有16种，其中抽到不同类奖品的情况有12种， 两次抽到的是不同类奖品的概率是． 23．不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是掌握树状图或列表求概率． 利用树状图求出概率，然后进行比较即可． 【详解】解：不公平，理由如下： 画树状图如下， 共有6种等可能结果， 其中均能置换出氢气的结果有2种， 所以小明上台实验的概率为， 则小华上台实验的概率为， ， ∴不公平． 24．(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的结果有6种，再由概率公式求解即可； （2）根据（1）求出小刚获胜的概率，再比较两人获胜的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下： 由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种， ∴小刚获胜的概率为， ∵， ∴小刚获胜的概率比小明的大， ∴这个游戏规则不公平． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $