7.1随机现象与随机事件课件（第2课时）-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦随机事件、必然事件、不可能事件及交并事件、互斥与对立事件，通过高斯、韦达等数学家案例引入随机现象与样本空间，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于融合数学史创设情境，以骰子试验、抽牌问题等典例引导学生用数学眼光观察事件关系，通过集合语言运算培养数学思维与表达能力。结构化的典例与练习助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第七章 概率 第1节 随机现象与随机事件 1.3随机事件 1.4随机事件的运算 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解随机事件、必然事件和不可能事件. 2、理解交事件和并事件. 3、掌握事件的互斥和对立. 1、理解随机事件 2、理解交事件和并事件. 3、掌握事件的互斥和对立. 1、会进行交事件和并事件的运算. 2、理解互斥与对立的区别与联系. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果的现象，称为随机现象． 1、什么叫做随机现象？ 2、什么叫做样本空间？ 3、什么叫做样本点？ 将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空 间,记作Ω. 样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的 样本点,记作ω. 3 新 知 引 入 韦 达 A是Ω的一个子集。 当“掷出偶数点”时，意味着子集 A=(2,4,6}中的一个样本点发生; 反之,若子集A={2,4,6}中的一个样本点出现,则意味着事件“掷出偶数点”发生. 在试验E“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”的样本空间为Ω=_____________________ {1,2,3,4,5,6} 当进行试验时,人们不仅关心试验的所有结果,还常常关心满足某些特定要求的试验结果.比如： 在试验E1“抛掷一枚骰子,掷出的点数为偶数”的样本空间为A=_____________________ {2,4,6} 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示. 随机事件 在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现一 个；反之，当这一子集中的一个样本点出现时，这一事件必然发生。 样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件. 必然事件 空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件. 不可能事件 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)3>2必然事件.( ) (2)明天下雨是不可能事件.( ) (3)“在常温下焊锡融化”是不可能事件.( ) (4)“掷一枚硬币,出现正面朝上”是必然事件.( ) (5)“导体通电后发热”是必然事件.( ) (6)某国发射航天飞机成功是必然事件.( ) √ √ √ × × × 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 （1）x∈R，x2＋2<0是随机事件.( ) （2）某商船航行中遭遇海盗是随机事件.( ) （3）任给x∈R，x＋2＝0是随机事件.( ) （4）“一个三角形的三边长分别为1,2,3”是随机事 件.( ) （5）“抛掷一枚硬币三次，三次都正面向上”是不可 能事件．(　 　) （6）从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中任取3 个，3个都是次品，是随机事件．(　 　) 练1、判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) × × × × √ √ 7 典 例 引 路 柯 西 例2、从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是(　　) A．3人都是男生   B．至少有1名男生 C．3人都是女生   D．至少有1名女生 解：由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生． B 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　 　) A．3个数字相邻             B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5       D．3个数字两两互质 解：从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． C 9 典 例 引 路 牛 顿 例3、在试验E“连续抛掷一枚骰子2次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义: (1) 事件A ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}; (2)事件B={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}; (3)事件C={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}. 解:由前面的分析可知试验E的样本空间为Ω= { (1,1)， (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)， (5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)， (6,6) } (1)事件A的含义是：连续抛掷一枚骰子2次，第二次掷出的点数是1； (2)事件B的含义是：连续抛掷一枚骰子2次，第二次掷出的点数比第一 次的大1； (3)事件C的含义是：连续抛掷一枚骰子2次，2次掷出的点数之和为5. 10 同 步 练 习 黎 曼 练3、试验E:从1,2,3,4这4个数字中,不放回地取两次,每次取一个,观察取出的数字. (1)写出试验的样本空间. (2)指出下列随机事件的含义: ①事件A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}; ②事件B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}. 解:(1)用(x,y)表示取出的两个数,x,y=1,2,3,4,且x≠y,所以样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}. (2)①事件A的含义为:取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍. ②事件B的含义为:取出的两个数差的绝对值为1. 11 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 在试验中，一些随机事件往往存在一定的关系。 事件 的运算 定义 图形表示 符号表示 交事件 并事件 一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B 或 AB 一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B 或 A+B 12 典 例 引 路 狄利克雷 例4、某款学习用品有a,b,c,d,e 5种品牌在某文具店销售,同学甲随机选择这款学习用品的某一种品牌购买. (1)试用样本点表示下列事件: ①事件C表示“选择a品牌”; ②事件D表示“选择a品牌或b品牌”; ③事件E表示“选择a品牌或c品牌”; ④事件F表示“选择a品牌或b品牌或c品牌”; ⑤事件G表示“选择d品牌或e品牌”. (2)请用集合的关系和运算回答下列问题: ①C与D有什么关系? ②D∪E与哪个集合相等? ③D∩E与哪个集合相等? ④E与G有公共元素吗?F与G呢? ⑤用集合的形式怎样表示E∩G,F∩G,F∪G? C={a} D={a,b} E={a,c} F={a,b,c} G={d,e} C包含于D D∪E=F D∩E=C 没有;没有 E∩G=⌀,F∩G=⌀,F∪G=Ω 13 同 步 练 习 庞加莱 练4、（1）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＋B表示向上的点数是1或2或3 C．A＝B D．AB表示向上的点数是1或2或3 解：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3. B （2）在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C. 解：A∩B＝∅， A∪B＝{出现点数1，3或4}， A∪D＝{出现点数1，2，4或6}． B∩D＝{出现点数4}．B∪C＝{出现点数1，3，4或5}． 14 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 定义 图形表示 符号表示 互斥事件 对立事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B=∅）称为互斥事件. A∩B=∅ 若A∩B=Ø，且A∪B=Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 . A∩B=Ø， 且A∪B=Ω 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 总之,互斥不一定对立,对立一定互斥. 注意： 15 典 例 引 路 皮 亚 诺 (1)对于事件A与事件B,如果事件A发生,事件B一定发生,那么 A∩B=A.( ) (2)若事件A发生,事件B不发生,则事件A与事件B互为对立事 件.( ) (3)事件A与事件B在任何一次试验中不同时发生,则事件A与 事件B互斥.( ) (4)在试验“抛掷一枚骰子,观察骰子掷出的点数”中,“出 现2点”和“出现5点”是互斥事件.( ) (5)事件A+B发生包含两层意思:A发生B不发生,A不发生B发 生.( ) 例5、判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. √ √ √ × × 16 同 步 练 习 莱布尼兹 (1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件．(　 　) (2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　 　) (3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．(　 　) (4) 若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　 　) (6)如果事件A、B互斥，记,分别为事件A，B的对立事件，那么 与一定互斥．(　 　) 练5、判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. √ × × × √ 17 典 例 引 路 华罗庚 例6、从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各10张)中,任抽一张.判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,若是互斥事件,是否为对立事件,并说明理由: (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”. 解:既不是互斥事件,也不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌的点数为10.因此,两事件既不是互斥事件,也不是对立事件. 解:是互斥事件,但不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此,两个事件不是对立事件. 解:是互斥事件,也是对立事件.理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,也是对立事件. 18 同 步 练 习 洛必达 练6、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女． (1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件． (2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件． (4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 19 典 例 引 路 贝叶斯 例7、从一批产品中取出三件,设事件A表示“三件产品全不是次品”,B表示“三件产品全是次品”,C表示“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是(　　) A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任两个均互斥 D.任两个均不互斥 解:由题意知事件C包括三种情况:一是有两件次品,一件正品;二是有一件次品,两件正品;三是三件都是正品,没有次品.由此可知A与B是互斥事件,但不是对立事件;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件. B 20 同 步 练 习 陈景润 练7、某人在打靶时,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的互斥事件是(　　) A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶 C 解:“至少有1次中靶”与“2次都不中靶”不能同时发生,因而是互斥事件. 21 典 例 引 路 傅里叶 例8、试验E:甲、乙、丙三人各投篮一次,观察投中的情况.设事件A表示“甲投中”,B表示“乙投中”,C表示“丙投中”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件: (1)甲、乙投中但丙没投中; (2)甲、乙、丙都投中; (3)甲、乙、丙三人至少有一人投中; (4)只有乙投中. 解:(1)丙没投中用表示,即事件A,B,同时发生,所以甲、乙投中但丙没投中,用AB示. (2)甲、乙、丙都投中,即事件A,B,C同时发生,所以用ABC表示. (3)甲、乙、丙三人至少有一人投中,用A∪B∪C表示. (4)只有乙投中,即甲、丙没投中,乙投中,故事件,B,同时发生, 所以只有乙投中,用B 22 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的运算表示下列事件: (1)仅B发生; (2)A,B,C都不发生; (3)A,B,C都发生; (4)A,B,C不都发生; (5)A,B,C至少有一个发生; (6)A,B,C恰有一个发生; (7)A,B,C至多有一个发生. B ABC A∪B∪C A ∪B∪ C ∪A ∪B∪ C 23 全 课 总 结 一、随机事件、必然事件和不可能事件 二、交事件和并事件 三、互斥事件和对立对立 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $