专题01 集合与充要条件（讲义）-2026年福建省（学业水平考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年福建省（中职学考）二轮复习《数学考纲专题练》依据福建省中等职业学校学业水平考试《中职数学》科目考试说明及福建省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年福建省（中职学考）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026年福建省（中职学考）《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 一、考纲解读 1. 集合 · (1)理解元素与集合的关系，掌握列举法和描述法。 · (2)集合之间的关系：理解子集、真子集、相等的概念，能判断集合间的包含关系。 · (3)集合的运算：掌握交集、并集、补集的定义及运算规则。 2. 充要条件 · (1)理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，能区分条件与结论的逻辑关系。 · (2)能结合函数、不等式、几何等知识，判断具体问题中的条件类型 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 4 集合的概念，空集的定义，集合相等 5 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：集合与充要条件几乎每年都有涉及，分值一般在10分左右。 （3）内容：集合的概念与关系、集合的运算均有考查；充要条件通常与立体几何、方程等知识点结合考查。 选择题 13 充分必要条件（与立体几何结合考查） 5 2024 选择题 1 元素与集合，集合与集合之间的关系 5 2023 选择题 1 常用数集的字母表示 5 2022 选择题 2 集合的运算（并集） 5 选择题 14 充分必要条件（与方程结合考查） 5 三、考点预测 根据2026年福建中职学考数学科目考试说明中的考试范围与要求、考试分数占比，结合2022-2025年学考真题考情，预估2026年福建省中职学业水平考试有2道题目分别考查集合与充分必要条件，题型均设置为单项选择题，分值各5分，共10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 集合的含义 · 集合之间的关系 · 集合的运算 · 充要条件的判断（与其他模块知识结合） 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集    　A⊆B　　或    B⊇A　　  真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 五、10分钟小测验 1．下列各项中，不可以组成集合的是（    ） A．所有的正数 B．等于2的数 C．非常接近于0的数 D．不等于0的偶数 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若则实数a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 4．由不大于3的自然数组成的集合，用列举法表示，正确的是（   ）. A． B． C． D． 5．已知集合，则集合真子集的个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 6．下列给出的命题，正确的是（    ） A．高中数学课本中的难题可以构成集合 B．有理数集是最大的数集 C．空集是任何非空集合的真子集 D．自然数集中最小的数是1 7．已知集合，，则（   ） A． B． C．或 D． 8．，则（    ） A． B． C． D． 9．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．C 【分析】根据集合的概念即可求解. 【详解】选项A中，正数的定义是明确的，满足集合元素的确定性，可以组成集合，不符合题意， 选项B中，只有一个确定的数2，满足集合元素的确定性，可以组成集合，不符合题意， 选项C中，“非常接近”是一个模糊的概念，没有明确的标准， 所以不能组成集合，符合题意， 选项D中，偶数是能够被2所整除的整数， 对于一个数是否为偶数以及是否不等于0是可以明确判断的， 满足集合元素的确定性，可以组成集合，不符合题意， 故选：C. 2．B 【分析】根据元素与集合的关系及常用集合的字母表示即可得解. 【详解】对A：因为为自然数集，所以，故A项错误； 对B：因为为实数集，所以，故B项正确； 对C：因为为整数集，所以，故C项错误； 对D：因为为有理数集，为无理数，所以，故D项错误. 故选：B. 3．A 【分析】根据集合与集合的关系和元素的互异性即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时集合为，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 当时集合为，满足题意， 所以实数a的值为. 故选：A. 4．D 【分析】将不大于3的自然数一一列举出来即可. 【详解】“不大于”即“小于等于”， 所以不大于的自然数组成的集合为， 故选：D. 5．D 【分析】根据集合元素的个数和真子集的概念，即可求解. 【详解】因为集合， 所以集合真子集的个数为， 故选：D. 6．C 【分析】根据集合的概念判断A；根据常见数集判断BD；根据空集的性质判断C. 【详解】高中数学课本中的难题，没有明确的标准，不可以构成集合，故A错误； 实数集是比有理数集大的数集，故B错误； 空集是任何非空集合的真子集，故C正确； 自然数集中最小的数是0，故D错误. 故选：C. 7．B 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由题意得，集合，， 则. 故选：B. 8．D 【分析】利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 9．C 【分析】根据并集和补集的定义求解即可. 【详解】集合，，则， 且全集，则. 故选：C. 10．B 【分析】先解绝对值不等式,再根据推出关系易得答案. 【详解】因为,解得或,不能推出, 因为能推出或, 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选:B. 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】集合的关系与运算 1．（24-25高三下·福建·模拟预测）下列描述正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空集的定义解答本题. 【详解】空集指的是不包含任何元素的集合，并且任何集合都包含空集， 因此选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：C. 2．（19-20高三·福建泉州·模拟预测）设全集，集合，，则集合可表示成（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集、补集以及并集的定义即可求解． 【详解】全集，集合，， ，， ，， 故集合可表示成． 故选：B． 3．若集合，且（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 4．设全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】因为全集，， ． 故选：C. 5．（10-11高三·福建漳州·一模）已知全集不大于5的正整数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求解即可. 【详解】易知，则，， . 故选：B. （二）充要条件 【考试题型1】充要条件的判断 6．（19-20高三·福建泉州·模拟预测）已知，则“”是“成等比数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合等比中项的性质，及充分性、必要性的概念，即可求解． 【详解】若，，即，则一定成等比数列，即充分性成立； 若，且成等比数列，则，解得，故必要性不成立； 所以“”是“成等比数列”的充分非必要条件． 故选：A． 7．（10-11高三·福建漳州·一模）是的（    ）条件. A．充分且不必要 B．必要且不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可解得 【详解】“”可以推出“”,故充分性成立； “”不能推出“”,必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A 8．“有一个角是”是“是等边三角形”的什么条件（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 【详解】等边三角形的三个角都为但只有一个角为的三角形不一定是等边三角形. 即三角形的一个角为不能推出该三角形为等边三角形， 等边三角形可以推出该三角形的三个角均为， 所以“有一个角是”是“是等边三角形的必要不充分条件”. 故选：. 9．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出， 所以“”是“x、y至少有一个为零”的充要条件． 故选：C． 10. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时解得,所以充分性不成立，当时，显然有，所以必要性成立.故答案选B. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1、集合的基本概念与运算 集合表示：列举法、描述法。 集合关系：子集、真子集、相等。 特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U 集合运算：交集、并集、补集（全集）。 2、充要条件的核心逻辑 充分条件：p ⇒ q（有 p 必有 q） 必要条件：q ⇒ p（无 p 必无 q） 充要条件：p ⇔ q（p 与 q 等价） 集合包含法（重点！）： p 是 q 的充分条件 ⇔ P ⊆ Q p 是 q 的必要条件 ⇔ Q ⊆ P p 是 q 的充要条件 ⇔ P = Q （其中 P = {x | p(x)}, Q = {x | q(x)}） （二）、解题策略与技巧 集合问题 数轴法：解不等式型集合（尤其含参数） 步骤： ① 画数轴标边界； ② 讨论参数临界点； ③ 验证端点是否取等（易错点！） 充要条件问题 充要条件快速判定 口诀记忆： "前推后是充分，后推前是必要；双推等价是充要" （三）、易错点总结 集合运算 混淆子集与真子集：注意“子集”与“真子集”的区别，空集是任何集合的子集。 化简集合出现错误：化简由二次不等式、绝对值不等式组成的集合出现错误。 求并集时出现错误：把并集当作交集。 充要条件判断 逻辑方向混淆：混淆充分/必要方向的推理。 （四）、复习建议 专题训练侧重： 强化集合语言与数学表达的转换（如 "A∩B=∅" 等价于 "方程无公共解"）； 重点训练含参集合的讨论能力（占高考中档题分值）。 学生能力提升： 建立逻辑推理思维树：从定义出发，用集合工具可视化充要条件； 整理错题本：聚焦"空集遗漏"、"参数端点"、"逻辑方向反"三类高频错误。 真题演练方向： 近三年高考题中集合与充要条件的结合题（常以选择题前4题出现）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $