专题06 抛物线的标准方程及性质6大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期人教A版

专题06 抛物线的标准方程及性质 6大高频考点概览 考点01 抛物线的定义及标准方程 考点02 抛物线的简单性质 考点03 抛物线的弦长 考点04 与抛物线有关的最值 考点05 直线与抛物线 考点06 抛物线的实际应用 地 城 考点01 抛物线定义及标准方程 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标. 【详解】由已知抛物线， 则焦点，准线， 又点到焦点的距离为， 结合抛物线定义可知， 点到准线的距离， 则， 所以中点横坐标， 即中点到轴的距离为， 故选：A. 2．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)抛物线的焦点到其准线的距离是（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线方程求焦点和准线方程，进而得解. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离是． 故选：． 3．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可. 【详解】设焦点为，则，解得．    故选：D 4．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为， 所以，得，故所求抛物线的标准方程为. 故选：A. 5．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 地 城 考点02 抛物线的简单性质 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程可得右焦点为，则，即可求得. 【详解】由椭圆的标准方程可知，，即，所以右焦点为， 又抛物线的焦点与重合， 所以，所以. 故选：D. 3．(24-25高二上·宁夏银川一中·期末)点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，故，即可求解． 【详解】抛物线， 焦点,准线方程为. 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， 到该抛物线焦点的距离，解得， ∴点的横坐标为3. 故选:B． 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线上的点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆方程可求得右焦点坐标，即抛物线的焦点，从而求得抛物线方程，进而利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】对于椭圆，， 则，则椭圆的右焦点为， 即抛物线的焦点为，故， 所以抛物线上的点到其焦点的距离为. 故选：C. 5．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 6．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)已知抛物线，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B（其中A在x轴上方），A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若，，则（    ） A． B．2 C．3 D．4. 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出. 【详解】如图， 由题意知，，，则, 由轴，可知，则， ，，， . 故选：A. 二、多选题 7．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期末)对抛物线,下列描述正确的是（    ） A．开口向左，焦点为 B．开口向左，准线方程为 C．开口向下，准线方程为 D．开口向下，焦点为 【答案】CD 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出其开口方向以及准线方程、焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，可得， 所以，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，其开口向下， 故选：CD. 8．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 9．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 10．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据抛物线得焦半径公式即可求得，再利用两点之间的距离公式以及焦半径公式一一判断即可得到结果. 【详解】设．由题意知，直线l的斜率， 则直线l的方程为，将其代入抛物线C，得， 得，由，得，选项A正确; 抛物线C的方程为，所以， 所以，选项C正确; 将直线l的方程为与准线联立，得， 所以，选项B正确; ，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题 11．(23-24高二上·宁夏固原·期末)抛物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线方程求出，判断焦点位置，从而可得答案. 【详解】因为抛物线方程为， 所以， 又因为抛物线焦点在轴上， 所以抛物线的准线方程为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题. 地 城 考点03 抛物线的弦长 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏固原·期末)直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点， 且与该抛物线交于不同的两点、， 则. 故选：D. 二、填空题 2．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长 【答案】8 【分析】利用抛物线的定义即可得出． 【详解】由题设知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为， 由抛物线的定义知：． 故答案为：8 地 城 考点04 与抛物线有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得三点共线，求出此时点坐标，可求的面积. 【详解】如图，， 作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处）， 将代入中，求得点，所以， 在边上的高为1， 故其面积为. 故选：A. 2．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点为上的任意一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求椭圆的焦点，再求抛物线方程，利用坐标表示，最后根据基本不等式求最值. 【详解】因为椭圆方程为：，因此双曲线焦点为. 因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点， 所以，所以，， 设，则， 当时， ， 当且仅当时取等号； 当时，. 故选：B. 二、多选题 3．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．焦点到准线的距离是4 C．若点P的坐标为，则的最小值为5 D．若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是 【答案】BD 【分析】根据抛物线方程即可判断AB；过点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线得定义结合图象即可判断C；假设Q的坐标是，利用点差法求出直线的方程，再判断焦点是否在直线上，即可判断D. 【详解】由题意，焦点到准线的距离是，故A错误，B正确； 对于C，过点作垂直于准线，垂足为， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，假设Q的坐标是，设， 则， 由直线l交抛物线于M，N两点， 得，两式相减得， 即， 所以，即， 所以直线的方程为，即， 将代入得， 所以直线过点，符合题意， 所以Q的坐标可以是，故D正确. 故选：BD.    4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（    ） A．与圆相切 B．当时， C．的最小值为 D．满足的点有且仅有2个 【答案】AD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和圆相切，A选项正确； B选项，当时，，此时，故或， 当时，，则； 当时，，； 故或，B选项错误； C选项，， 当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误； D选项， 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：AD. 三、填空题 5．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设求得的最小值，进而可得利用二倍角的余弦公式可求. 【详解】由题意知圆故半径为1， 设则当且仅当即时，等号成立， 即当时，取得最小值，且    所以又 所以 故答案为：. 6．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【分析】由题意可计算出抛物线方程，结合抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离计算即可得. 【详解】设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 所以，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 在方程中取可得， 所以点在抛物线内，如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为5. 故答案为：5. 7．(23-24高二上·宁夏银川四校·期末)已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】过作准线的垂线，垂足为，则， 显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，最小，其最小值为． 故答案为：    地 城 考点05 直线与抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】分直线与抛物线相切和与对称轴平行求解. 【详解】解：因为点A在C上， 所以过点A且与C相切的直线只有1条，该切线满足题意． 过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点， 所以满足题意的直线有2条． 故选：C 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理， 【详解】因为点在直线上，且，所以， 直线的方程为，整理得， 设、，联立得， 恒成立， 所以，，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 二、多选题 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过点作两条均不垂直于轴的直线，，使得与抛物线均只有一个公共点，分别为，则（    ） A．抛物线的方程为 B． C．直线经过点 D．的面积为定值 【答案】ABC 【分析】选项A，根据题意设出抛物线方程，结合焦点坐标即可得抛物线方程；选项B，设出点的坐标及直线，的方程，与抛物线方程联立，结合直线与抛物线只有一个公共点及根与系数的关系可得，进而可得；选项C，写出直线的两点式方程，化为点斜式，可得直线经过点；选项D，根据写出的表达式，利用基本不等式可得解． 【详解】选项A：由题可设抛物线的方程为， 所以，所以抛物线的方程为，故A正确． 选项B：易知的准线方程为，故可设点的坐标为， 直线的斜率为，则直线的方程为，即， 与抛物线的方程联立，消去并整理得． 因为与抛物线只有一个公共点，所以， 所以．设直线的斜率为，同理可得， 所以是一元二次方程的两个实数根， 所以，所以，故B正确． 选项C：设，则直线的方程为， 由B可得， 所以，化简并整理得， 所以直线经过点，故C正确． 选项D：解法一  因为，所以 当且仅当时取等号，所以D错误． 解法二  设直线的方程为，代入抛物线方程， 整理得，设，则． 所以， 因为，所以， 则点到直线的距离， 所以，当且仅当时取等号，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系，对考生运用所学知识寻找合理的运算途径以及运算求解能力提出了较高要求． 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（    ） A．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点 B．若为上的动点，则的最小值为5 C．直线与抛物线相交所得弦长为8 D．抛物线与圆交于两点，则 【答案】CD 【分析】利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项A；利用抛物线的定义进行距离转化进而判断选项B；利用焦点弦公式计算并判断选项C；由抛物线方程设出点M坐标，利用M到圆心的距离等于半径求出M的坐标，就可以判断选项D. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以， 从而抛物线的方程是.过点可以作2条直线与抛物线相切， 而直线与抛物线相交，只有1个交点，从而过点恰有3条直线与抛物线有且只有一个公共点，故A不正确； 抛物线的准线方程是，设T到准线的距离为，则； 过P作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义知，所以，所以的最小值为4，故B不正确； 抛物线的焦点为，直线过焦点， 不妨设直线与抛物线的两个交点分别是，， 则，又得，则， 所以，故C正确； 抛物线与圆交于两点，则关于轴对称. 设(t>0)，则，解得，所以，故D正确； 故选：CD 三、解答题 5．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知抛物线的焦点F在直线上，A，B，C是E上的三个点． (1)求E的方程； (2)已知，且直线经过点F，，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线写出焦点坐标，代入直线方程求得的值，得到抛物线解析式； （2）设点坐标和直线方程，联立直线方程和抛物线方程，整理得到一元二次方程，由根与系数的关系得到两点横坐标的关系式，列出直线的斜率，由垂直建立方程，代入两点横坐标的关系式得到关于参数的方程，求出参数即可求得直线方程. 【详解】（1）由题可知， 所以，解得，所以E的方程为． （2）设，，由题可知，， 依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为． 由整理得， 则，． ，， 因为，所以，     所以，， 解得，所以直线的方程为． 6．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)，焦点为 (2). 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【详解】（1）易知抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且，所以，解得， 所以抛物线方程为，焦点为. （2）由（1）知抛物线的焦点，易知直线的斜率不为0， 不妨设直线的方程为，，， 联立消去并整理得， 此时，由韦达定理得，， 所以， 又，所以，， 因为，所以， 即， 可得，解得， 所以直线的方程为，即. 7．(21-22高二上·青海西宁·期末)已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积求得得抛物线方程； （2）设，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可得直线方程． 【详解】（1）由题可得，代入抛物线方程得，， ∴， ∴的面积， ∴， ∴所求抛物线的标准方程为； （2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：， 设，由，在抛物线上得：, 两式相减化简得：， 又∵，，代入上式解得：. 故所求直线的方程为：. 即. 8．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，由线段的中点坐标为，得， 则，两式相减得，整理得， 因此直线的斜率，其方程为，即， 所以直线的方程为.    9．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出，即可得到抛物线方程； （2）设过点与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由得到，即可求出的坐标，从而表示出中点的坐标，即可得到其轨迹方程. 【详解】（1）解：双曲线的一条渐近线为， 又抛物线的焦点的坐标为，         由题可得：，解得，故抛物线方程为：. （2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立抛物线方程可得， 则，又，则， 所以，，                 设点的坐标为，则，即，代入， 可得，又，故； 则点的轨迹方程为：. 10．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知抛物线上一点到焦点F的距离. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l与抛物C交于A，B两点（A，B异于点P），且，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点 【解析】（1）根据抛物线定义以及点在抛物线上列方程组解得，，即得结果； （2）先根据坐标化简得，再设直线方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理解得，即可判断定点坐标. 【详解】（1）由题可得：，解得，， 抛物线的方程为. （2）设直线l的方程为，， 联立，消x得：，， ，， ，同理， 又，，， 直线l的方程为：，过定点. 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线过定点问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 11．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5. （1）求E的标准方程； （2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题可知，求解即可得到抛物线的方程；（2）先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点. 【详解】（1）由题可知，解得. 所以的标准方程为； （2）由（1）知，，且，解得，所以. 设，则，同理可得，， 则，即. 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. 所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. 12．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知焦点为的抛物线经过点． (1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积； (2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)准线为， (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△的面积； （2）设为，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得的中点N点横坐标，根据到准线的距离等于列方程得，即可证结论并确定定点坐标. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，即． 故抛物线的方程为，焦点，准线方程为. 所以 （2） 设直线的方程为． 由 得：，又有． 设则，． 设的中点为，则. 所以到准线的距离， ， 依题意有，即， 整理得，解得，满足． 所以直线过定点． 13．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)已知抛物线上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为，．求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由焦半径公式求C的方程； （2）设直线AB方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出，，代入中化简求值即可. 【详解】（1）设点，则，所以，解得． 因为，所以．所以抛物线C的方程为． （2）由题知，，，直线AB的斜率必存在，且不为零． 设，，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为， 由，得． 所以，， 且，即． 所以 所以的值为0． 地 城 考点06 抛物线的实际应用 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 二、填空题 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面上升1m后，桥洞内水面宽为 m．      【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，根据已知求出抛物线方程，进一步利用纵坐标代入抛物线方程得横坐标，即可得解. 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：    设抛物线方程为， 由题意当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，即点在抛物线上， 所以，解得，所以抛物线方程为， 设当水面上升1m后，不妨设， 则，解得， 所以，即此时桥洞内水面宽为m． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $null