重难点专题01 解直角三角形（专项训练）数学浙教版九年级下册

重难点专题01解直角三角形 1.1锐角三角函数 重难点一 正弦的相关求解 在直角三角形中，锐角(A)的正弦值等于其对边与斜边的比值， 求解步骤： 1. 确定直角三角形：明确已知图形为直角三角形（若题目未直接给出，需通过垂直关系或已知角度推导）。 2. 定位锐角及其对边、斜边： · 锐角(A)的“对边”是指与直接相对的直角边，记为(a)； · “斜边”是直角三角形中最长的边（直角所对的边），记为(c)。 3. 代入定义计算：若已知对边和斜边的长度，直接代入公式求；若已知其中一边和的值，可通过方程求解另一边（如或）。 1．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则 ． 3．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 重难点二 余弦的相关求解 一、余弦的定义 在直角三角形中，锐角(A)的邻边与斜边的比值叫做(∠A)的余弦，记作，即： （其中(∠A)为直角三角形的一个锐角，(b)是(∠A)的邻边，(c)是斜边） 二、已知直角三角形两边求余弦值 方法步骤： 1. 确定锐角及其邻边、斜边：在直角三角形中，明确目标锐角(A)，找出其邻边（与(∠A)相邻的直角边）和斜边（直角所对的边）。 2. 代入定义计算：直接用“邻边长度÷斜边长度”求出，结果需化为最简分数或小数。 1．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 3．在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，与交于点K．若时，求的值． 重难点三 正切的相关求解 一、正切的定义及基础公式 在直角三角形中，对于锐角∠A，其正切值定义为对边与邻边的比值，即： tan A = ∠A的对边长度 / ∠A的邻边长度 （注：邻边指直角三角形中与∠A相邻的直角边，对边指与∠A相对的直角边，斜边不参与正切计算） 二、已知直角三角形两边，求锐角正切值 方法步骤： 1. 明确锐角的对边与邻边：在直角三角形中，确定目标锐角后，区分其“对边”（非斜边的对边）和“邻边”（非斜边的邻边）。 2. 代入定义公式计算：直接用“对边长度 ÷ 邻边长度”求得正切值，结果可表示为分数（化简后）或小数。 1．如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么 ． 3．已知在正方形中，点是边上一点，点关于直线的对称点是点． (1)如图1，如果点在对角线上，求的值； (2)如图2，延长交边于点． ①求证：； ②过点作交边于点，连接、，如果与相似，求的值． 重难点四 网格中的三角函数 一、利用网格特性构造直角三角形 在网格中，每个小正方形的边长通常视为单位长度“1”，其对角线长度为√2（根据勾股定理：1²+1²=√2²）。对于网格中的锐角，需先确定其所在的直角三角形，若角的两边未直接构成直角，则需通过作垂线（水平或竖直方向）构造包含该角的直角三角形，确保三角形的两条直角边分别与网格线平行，以便利用网格边长计算边长。 二、确定直角三角形的三边长 1. 水平与竖直边长计算： 直角边若沿网格线方向，直接数出小正方形的边长数量即为长度。例如，水平方向跨越3个小正方形，长度为3；竖直方向跨越2个小正方形，长度为2。 2. 斜边长计算： 若直角边不沿网格线（如沿小正方形对角线），或斜边为网格中斜线时，需通过勾股定理计算：设直角边长度为a、b，则斜边长c=√。例如，直角边分别为1和2的直角三角形，斜边长为√=√5。 1．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求 ． 3．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，分别是边与网格线的交点，连接．点均为格点． (1)求的长； (2)求． 1.2锐角三角函数的计算 重难点一 特殊三角形的三角函数 一、含30°角的直角三角形（30°-60°-90°） 性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。设30°角所对直角边为(a)，则斜边为(2a)，另一直角边为。 三角函数值： · 对30°角：，，； · 对60°角：，，。 二、等腰直角三角形（45°-45°-90°） 性质：两条直角边相等，设直角边为(a)，则斜边为。 三角函数值： · 对45°角：，，。 1．的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．计算 ． 3．计算下列各式： (1)； (2)． 重难点二 由三角函数值判断三角形的性状 一、锐角三角形的判定 在△ABC中，若∠A、∠B、∠C均为锐角（即均小于90°），则满足以下条件： 1. 正弦值特征：任意锐角的正弦值均小于1（sinA<1，sinB<1，sinC<1），且由于锐角的正弦值随角度增大而增大，当角度在0°~90°之间时，正弦值范围为0~1。 2. 余弦值特征：任意锐角的余弦值均大于0（cosA>0，cosB>0，cosC>0），且余弦值随角度增大而减小，0°时余弦值为1，90°时为0。 3. 正切值特征：任意锐角的正切值均大于0（tanA>0，tanB>0，tanC>0），正切值在0°~90°之间从0增大到+∞。 判定方法：若三角形三个内角的三角函数值均满足上述锐角三角函数的取值范围（sin<1、cos>0、tan>0），且通过三角函数值计算出的三个角度之和为180°，则可初步判断为锐角三角形。进一步验证可通过最大角的余弦值：若最大角的余弦值大于0，则该角为锐角，从而三角形为锐角三角形（因为三角形中最大角为锐角时，其余两角必为锐角）。 二、直角三角形的判定 在△ABC中，若存在一个角为直角（如∠C=90°），则： 1. 直角的三角函数值：sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在（或记为“无意义”）。 2. 锐角与直角的关系：若已知某角的正弦值为1（sinA=1），则∠A=90°；若某角的余弦值为0（cosA=0），则∠A=90°；若某角的正切值不存在，则该角为直角。 3. 勾股定理的间接验证：若通过三角函数值求出两边长度（如已知sinA=a/c=1，则a=c，结合勾股定理a²+b²=c²可推出b=0，矛盾，故需结合角度计算，实际中若某角正弦值为1，则直接判定为直角）。 判定方法：若三角形中某内角的正弦值等于1，或余弦值等于0，或正切值不存在，则该角为直角，三角形为直角三角形。 三、钝角三角形的判定 在△ABC中，若存在一个角为钝角（如∠C>90°），则： 1. 钝角的三角函数值特征：钝角的正弦值仍为正值（因为钝角在90°~180°之间，正弦值=sin=sinα，其中α为锐角，故sin钝角=sin(180°-钝角)=sin锐角，取值范围0<sin钝角<1）；钝角的余弦值为负值（cos钝角=cos=-cosα<0）；钝角的正切值为负值（tan钝角=tan=-tanα<0）。 2. 最大角的判断：三角形中最大角为钝角时，该角的余弦值小于0，正切值小于0。因此，若通过三角函数值计算出某角的余弦值为负数（cosA<0）或正切值为负数（tanA<0），则该角为钝角。 判定方法：若三角形中某内角的余弦值小于0（cosA<0）或正切值小于0（tanA<0），则该角为钝角，三角形为钝角三角形。 1．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 2．如果中，，那么是 三角形． 3．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 重难点三 特殊的三角函数值的混合运算 一、明确特殊角的三角函数值 在进行混合运算前，必须熟记30°、45°、60°这三个特殊锐角的三角函数值，这是运算的基础。具体数值如下： · 30°角：sin30°=，cos30°=，tan30°= · 45°角：sin45°=，cos45°=，tan45°=1 · 60°角：sin60°=，cos60°=，tan60°= 二、运算顺序遵循数学基本法则 特殊三角函数值的混合运算与常规代数式运算顺序一致，严格按照“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序进行；若算式中有括号，则先计算括号内的式子。例如：计算时，先算乘方，再算乘法，最后算加法。 三、灵活运用运算定律简化计算 在混合运算过程中，可运用加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律、分配律等运算定律简化计算步骤。例如：计算，观察到式子符合乘法分配律的逆运算形式，可变形为，代入数值可得，从而简化运算过程。 1．的值为（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) 重难点四 三角函数综合应用 1. 问题转化：将实际问题抽象为直角三角形模型，明确已知元素（边或角）和未知元素 2. 关系建立：根据已知条件选择合适的三角函数（正弦/余弦/正切）建立等量关系 3. 精准计算：使用计算器按"三角函数键→角度值→等号"顺序计算，注意角度单位设置（°） 1．如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．正方形、正方形如图放置，点在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于，有下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数有 3．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01解直角三角形 1.1锐角三角函数 重难点一 正弦的相关求解 在直角三角形中，锐角(A)的正弦值等于其对边与斜边的比值， 求解步骤： 1. 确定直角三角形：明确已知图形为直角三角形（若题目未直接给出，需通过垂直关系或已知角度推导）。 2. 定位锐角及其对边、斜边： · 锐角(A)的“对边”是指与直接相对的直角边，记为(a)； · “斜边”是直角三角形中最长的边（直角所对的边），记为(c)。 3. 代入定义计算：若已知对边和斜边的长度，直接代入公式求；若已知其中一边和的值，可通过方程求解另一边（如或）。 1．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了中位线的性质，求角的正弦值，根据中位线的性质可得，进而求得，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：点、分别为、的中点， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 3．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 重难点二 余弦的相关求解 一、余弦的定义 在直角三角形中，锐角(A)的邻边与斜边的比值叫做(∠A)的余弦，记作，即： （其中(∠A)为直角三角形的一个锐角，(b)是(∠A)的邻边，(c)是斜边） 二、已知直角三角形两边求余弦值 方法步骤： 1. 确定锐角及其邻边、斜边：在直角三角形中，明确目标锐角(A)，找出其邻边（与(∠A)相邻的直角边）和斜边（直角所对的边）。 2. 代入定义计算：直接用“邻边长度÷斜边长度”求出，结果需化为最简分数或小数。 1．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦等于邻边比斜边．先利用勾股定理求出斜边，再计算． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 2．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 3．在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，与交于点K．若时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，由相似三角形的判定即可求解； （2）根据勾股定理得到，由旋转和相似得到，，是直角三角形，，设，则，在中由勾股定理列式求解即可； （3）过点作交于点，交于点，证明，得出，设，则，，进而勾股定理求得，则，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：将绕点C旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ∴， 由（1）得到，， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴设，则， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C旋转得到， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，求余弦，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 重难点三 正切的相关求解 一、正切的定义及基础公式 在直角三角形中，对于锐角∠A，其正切值定义为对边与邻边的比值，即： tan A = ∠A的对边长度 / ∠A的邻边长度 （注：邻边指直角三角形中与∠A相邻的直角边，对边指与∠A相对的直角边，斜边不参与正切计算） 二、已知直角三角形两边，求锐角正切值 方法步骤： 1. 明确锐角的对边与邻边：在直角三角形中，确定目标锐角后，区分其“对边”（非斜边的对边）和“邻边”（非斜边的邻边）。 2. 代入定义公式计算：直接用“对边长度 ÷ 邻边长度”求得正切值，结果可表示为分数（化简后）或小数。 1．如图，在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 根据锐角的正切等于对边比邻边作答即可． 【详解】解：在中，，则． 故选：C． 2．如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数．根据已知条件证明，根据对应边成比例列出等式，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 3．已知在正方形中，点是边上一点，点关于直线的对称点是点． (1)如图1，如果点在对角线上，求的值； (2)如图2，延长交边于点． ①求证：； ②过点作交边于点，连接、，如果与相似，求的值． 【答案】(1) 的值为； (2) 证明过程见解析； 的值为或． 【分析】（1）连接，由已知可得垂直平分线段，可得，，可证明，由正方形的性质可得，从而可得，由勾股定理可得，可得，从而可得的值； （2）连接，，由已知可得垂直平分线段，由正方形的性质，结合线段垂直平分线的性质，可得，，可得，，设，，由四边形的内角和可得，从而可得，可证明，可得，即可证得结论；由正方形的性质，结合已知可得，如果与相似，那么或，分类讨论：当时，由（1）所得结论，结合线段之间的关系可得的值；当时，由已知可得，，由三角形相似的性质，结合角平分线的性质，可得，由平行线分线段对应成比例，可得，证明，可得，可得，即可得的值． 【详解】（1）解：连接， ∵点关于直线的对称点是点， ∴垂直平分线段， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． （2）解：证明：连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点关于直线的对称点是点， ∴垂直平分线段， ∴， ∴，， ∴， 设，， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 如果与相似，那么或， 当时，，点在对角线上， 由（1）得， 设，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设点到的距离为，点到的距离为，则点到的距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，同角的余角相等，勾股定理，平行线分线段对应成比例，四边形的内角和，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质． 重难点四 网格中的三角函数 一、利用网格特性构造直角三角形 在网格中，每个小正方形的边长通常视为单位长度“1”，其对角线长度为√2（根据勾股定理：1²+1²=√2²）。对于网格中的锐角，需先确定其所在的直角三角形，若角的两边未直接构成直角，则需通过作垂线（水平或竖直方向）构造包含该角的直角三角形，确保三角形的两条直角边分别与网格线平行，以便利用网格边长计算边长。 二、确定直角三角形的三边长 1. 水平与竖直边长计算： 直角边若沿网格线方向，直接数出小正方形的边长数量即为长度。例如，水平方向跨越3个小正方形，长度为3；竖直方向跨越2个小正方形，长度为2。 2. 斜边长计算： 若直角边不沿网格线（如沿小正方形对角线），或斜边为网格中斜线时，需通过勾股定理计算：设直角边长度为a、b，则斜边长c=√。例如，直角边分别为1和2的直角三角形，斜边长为√=√5。 1．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理， 先画出图形，再根据勾股定理求出，然后根据正弦定义求解. 【详解】解：标注点D，， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 2．如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，连接，由图形得到与垂直，得到为直角三角形，利用勾股定理求出与的长，利用锐角三角函数定义即可求出的值． 【详解】解：连接，根据图形得到，即， 根据勾股定理得：，， 则， 故答案为：． 3．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，分别是边与网格线的交点，连接．点均为格点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，余弦的定义，勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）如图，根据网格的特征证明，得到，求出，再证明，得到，求出，由即可求解； （2）由（1）知，即可求出，利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 1.2锐角三角函数的计算 重难点一 特殊三角形的三角函数 一、含30°角的直角三角形（30°-60°-90°） 性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。设30°角所对直角边为(a)，则斜边为(2a)，另一直角边为。 三角函数值： · 对30°角：，，； · 对60°角：，，。 二、等腰直角三角形（45°-45°-90°） 性质：两条直角边相等，设直角边为(a)，则斜边为。 三角函数值： · 对45°角：，，。 1．的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，直接代入计算． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，二次根式的乘法，熟记特殊角的三角函数值与掌握二次根式法则是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 重难点二 由三角函数值判断三角形的性状 一、锐角三角形的判定 在△ABC中，若∠A、∠B、∠C均为锐角（即均小于90°），则满足以下条件： 1. 正弦值特征：任意锐角的正弦值均小于1（sinA<1，sinB<1，sinC<1），且由于锐角的正弦值随角度增大而增大，当角度在0°~90°之间时，正弦值范围为0~1。 2. 余弦值特征：任意锐角的余弦值均大于0（cosA>0，cosB>0，cosC>0），且余弦值随角度增大而减小，0°时余弦值为1，90°时为0。 3. 正切值特征：任意锐角的正切值均大于0（tanA>0，tanB>0，tanC>0），正切值在0°~90°之间从0增大到+∞。 判定方法：若三角形三个内角的三角函数值均满足上述锐角三角函数的取值范围（sin<1、cos>0、tan>0），且通过三角函数值计算出的三个角度之和为180°，则可初步判断为锐角三角形。进一步验证可通过最大角的余弦值：若最大角的余弦值大于0，则该角为锐角，从而三角形为锐角三角形（因为三角形中最大角为锐角时，其余两角必为锐角）。 二、直角三角形的判定 在△ABC中，若存在一个角为直角（如∠C=90°），则： 1. 直角的三角函数值：sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在（或记为“无意义”）。 2. 锐角与直角的关系：若已知某角的正弦值为1（sinA=1），则∠A=90°；若某角的余弦值为0（cosA=0），则∠A=90°；若某角的正切值不存在，则该角为直角。 3. 勾股定理的间接验证：若通过三角函数值求出两边长度（如已知sinA=a/c=1，则a=c，结合勾股定理a²+b²=c²可推出b=0，矛盾，故需结合角度计算，实际中若某角正弦值为1，则直接判定为直角）。 判定方法：若三角形中某内角的正弦值等于1，或余弦值等于0，或正切值不存在，则该角为直角，三角形为直角三角形。 三、钝角三角形的判定 在△ABC中，若存在一个角为钝角（如∠C>90°），则： 1. 钝角的三角函数值特征：钝角的正弦值仍为正值（因为钝角在90°~180°之间，正弦值=sin=sinα，其中α为锐角，故sin钝角=sin(180°-钝角)=sin锐角，取值范围0<sin钝角<1）；钝角的余弦值为负值（cos钝角=cos=-cosα<0）；钝角的正切值为负值（tan钝角=tan=-tanα<0）。 2. 最大角的判断：三角形中最大角为钝角时，该角的余弦值小于0，正切值小于0。因此，若通过三角函数值计算出某角的余弦值为负数（cosA<0）或正切值为负数（tanA<0），则该角为钝角。 判定方法：若三角形中某内角的余弦值小于0（cosA<0）或正切值小于0（tanA<0），则该角为钝角，三角形为钝角三角形。 1．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 2．如果中，，那么是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 3．已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 重难点三 特殊的三角函数值的混合运算 一、明确特殊角的三角函数值 在进行混合运算前，必须熟记30°、45°、60°这三个特殊锐角的三角函数值，这是运算的基础。具体数值如下： · 30°角：sin30°=，cos30°=，tan30°= · 45°角：sin45°=，cos45°=，tan45°=1 · 60°角：sin60°=，cos60°=，tan60°= 二、运算顺序遵循数学基本法则 特殊三角函数值的混合运算与常规代数式运算顺序一致，严格按照“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序进行；若算式中有括号，则先计算括号内的式子。例如：计算时，先算乘方，再算乘法，最后算加法。 三、灵活运用运算定律简化计算 在混合运算过程中，可运用加法交换律、结合律以及乘法交换律、结合律、分配律等运算定律简化计算步骤。例如：计算，观察到式子符合乘法分配律的逆运算形式，可变形为，代入数值可得，从而简化运算过程。 1．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，直接代入特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的化简，锐角三角函数，实数的混合运算． 根据负数的绝对值等于它的相反数，非零数的零次幂等于1，代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：0． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 重难点四 三角函数综合应用 1. 问题转化：将实际问题抽象为直角三角形模型，明确已知元素（边或角）和未知元素 2. 关系建立：根据已知条件选择合适的三角函数（正弦/余弦/正切）建立等量关系 3. 精准计算：使用计算器按"三角函数键→角度值→等号"顺序计算，注意角度单位设置（°） 1．如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与x轴的交点为M，过点作轴于点N，先证明，得到，设，，根据题意，得，，解得，得到即，利用三角函数解答即可． 【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，点C的坐标， ∴，， ∵以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F． ∴，， 设与x轴的交点为M，过点作轴于点N， ∵， ∴， ∴， 设，， 根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 2．正方形、正方形如图放置，点在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于，有下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数有 【答案】①③⑤ 【分析】根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的应用解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数是解题的关键． 【详解】解：∵正方形、正方形 ∴，， ，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故①正确； ∵正方形 ∴， ∴， ∵ ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 根据题意，得， ∵，， ∴， 故， 故⑤正确； 若，则， 故，无法证明这个结论是成立的， 故②错误． 故答案为：①③⑤． 3．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $