专题 17.3 十字相乘法与分组分解法（ 知识梳理 +题型精析 + 同步练习）-2025-2026学年人教版八年级数学上册 基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义以“十字相乘法与分组分解法”为核心，通过“知识点梳理-题型精析”的递进结构构建知识体系，用表格归纳分组分解法的分组策略与特点，清晰呈现十字相乘法“看两端、凑中间”的解题逻辑，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，基础巩固与能力提升各16题，题型含★基础题至★★综合题，如首项系数不为1的十字相乘法例题结合变式训练，培养运算能力与推理意识。综合题融合多种分解方法，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题 17.3 十字相乘法与分组分解法 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 1 【★题型1】十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 1 知识点（二）十字相乘法——首项系数不为1的十字相乘法 3 【★题型2】十字相乘法——首项系数不为1的二次三项式 4 知识点（三）分组分解法 6 【★题型3】分组分解法——“一三”分组法 7 【★题型4】分组分解法——“二四”分组法 8 【★★题型5】因式分解法——综合题 10 二.同步练习 13 【★基础巩固（16题）】 13 【★★能力提升（16题）】 20 一.知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点（一）十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则当存在，则 【要点提示】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【★题型1】十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 【例题 1】（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】（1）；（2）7，，2， 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 解：（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 【变式1】请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 解：（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解﹒根据十字相乘法公式进行分解即可﹒ 解：﹒ 【变式3】（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，十字相乘法分解因式就是把三项式的两个平方项分别分解成两个单项式的乘积，单项式交叉相乘的和等于中间项，然后再横向书写． 解： ． 知识点（二）十字相乘法——首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【★题型2】十字相乘法——首项系数不为1的二次三项式 【例题 2】（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： （1）将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； （2）若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】（1）；（2）图见分析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 解：（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：    ，，，16． 【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 解：（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，然后再运用十字相乘法进行因式分解即可． 解： ． 【要点提示】（1）分解思路为“看两端，凑中间”；（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点（三）分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【要点提示】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【★题型3】分组分解法——“一三”分组法 【例题3】（23-24七年级下·湖南常德·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握分组法和公式法因式分解成为解题的关键． 分组可得，运用完全平方公式分解因式可得，最后运用平方差公式因式分解即可． 解： ． 【变式1】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式，解题的关键正确分组，首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案． 解： ． 【变式2】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法，能正确分组是解题的关键．先分组为，再利用公式法进行因式分解，即可求解． 解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键． 将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可． 解： 【★题型4】分组分解法——“二四”分组法 【例题 4】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解： （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法和公式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 解：（1）解： ； （2）解： 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．先将前两项分作一组，后两项分作一组，各组提公因式后，两组再提公因式，最后再用平方差公式因式分解即可． 解： ． 【变式2】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用提取公因式法分解因式即可． 解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，把原式化为，再进一步分解即可． 解：原式． 【★★题型5】因式分解法——综合题 【例题5】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先连续提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （3）现根据完全平方公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·四川资阳·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法因式分解是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项，再提取公因式，最后再利用完全平方公式逆运算． （2）先运用完全平方公式去括号，然后合并同类项，再运用十字相乘法分解因式，最后运用平方差公式得到最后结果． （3）先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． （4）先把看作是整体，计算乘法运算，再利用十字乘法与公式法分解因式即可． （5）先提取公因式后，再利用十字相乘法进行分解即可． 解：（1）解： = = = =； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 二.同步练习 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 解：时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的恒等性质，熟练掌握性质是解题的关键，将展开，根据对应系数相等即可求出答案． 解：由题意可得： ∴， 故答案为：C． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是（　　） A．7 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用十字相乘法因式分解即可． 解：， ∴表示， 故选：C． 【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 4．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 5．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 解： ； 故选D 二、填空题 7．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握十字相乘法的原理（找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项）是解题的关键． 通过十字相乘法，寻找两个数，使其和为，积为，进而对二次三项式进行因式分解． 解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法进行因式分解即可． 解： 故答案为 ：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1） ， （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据十字相乘法可进行分解因式． 解：（1）， 故答案为； （2）， 故答案为． 10．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 解：， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 解： 故答案为： 12．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法分解因式，先分组并用完全平方公式分解，再用平方差公式分解． 解： ． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先利用十字相乘法因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可． 解： 15．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 解： ． 16．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是判断是否分解正确且彻底．     对各选项逐一进行因式分解验证即可． 解：A.，A正确，符合题意． B.，原选项分解有误，B错误，不符合题意． C.，原选项未彻底分解，C错误，不符合题意． D.，原选项分解不彻底，D错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期中）下列因式分解中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的方法，根据分解因式的方法求解即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，属于整式的乘法，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 5．（22-23七年级上·湖南怀化·阶段练习）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 解： ． 故选：A． 【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 6．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 解：原式 ； 故选B． 【点拨】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 二、填空题 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 解： 原式 故答案为：. 8．（24-25七年级上·北京·开学考试） ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握正体换元法是解题的关键；可先提取公因式，然后再根据换元法进行因式分解即可 解：原式， 令，故， 原式 ； 故答案为． 9．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答． 解： ． 故答案为：． 10．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 解：， 故答案为：． 11．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解一分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 先分组得到原式，再利用立方和公式和提公因式法分别对各组分解因式，再提公因式，然后把余下的因式利用十字相乘法分解． 解： ， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等．本题利用分组分解法，公式法和提公因式法进行因式分解即可． 解： ． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查因式分解的十字相乘法，将二次三项式分解为两个一次二项式的乘积；十字相乘法的关键是熟练的“拆两头，凑中间”；在中，准确找到两个合适的数，使得它们的和等于中间项的系数为，它们的积等于首项的系数和末项的系数的乘积，所以需要两个数，它们的积为 ，它们的和为，这两个数为和，再进行因式分解即可． 解：根据分析，使用十字相乘法得： 14．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先整体思想，利用十字相乘法进行因式分解即可． 解：原式 . 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法，分组分解法因式分解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 解：（1）解： （2） ． 16．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）分解因式：；           （2）分解因式：． （3）三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）；（3）是等腰三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等． （1）先分组分解，再综合提公因式法和平方差公式进行分解； （2）先分组分解，再综合完全平方公式和平方差公式分解； （3）先将等号左边进行因式分解得到，那么或者，则或者，再根据等腰三角形的定义判断即可． 解：（1） ； （2） ； （3）， ∴， ∴， ∴或者， 即：或者， ∴是等腰三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 17.3 十字相乘法与分组分解法 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 1 【★题型1】十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 1 知识点（二）十字相乘法——首项系数不为1的十字相乘法 2 【★题型2】十字相乘法——首项系数不为1的二次三项式 2 知识点（三）分组分解法 4 【★题型3】分组分解法——“一三”分组法 4 【★题型4】分组分解法——“二四”分组法 4 【★★题型5】因式分解法——综合题 5 二.同步练习 5 【★基础巩固（16题）】 5 【★★能力提升（16题）】 7 一.知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 知识点（一）十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则当存在，则 【要点提示】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 【★题型1】十字相乘法——首项系数为1的二次三项式 【例题 1】（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【变式1】请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【变式3】（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 知识点（二）十字相乘法——首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式（≠0）中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【★题型2】十字相乘法——首项系数不为1的二次三项式 【例题 2】（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： （1）将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； （2）若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【变式1】（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： （1）； （2）． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【要点提示】（1）分解思路为“看两端，凑中间”；（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点（三）分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【要点提示】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 【★题型3】分组分解法——“一三”分组法 【例题3】（23-24七年级下·湖南常德·期中）因式分解：． 【变式1】因式分解： 【变式2】因式分解： 【变式3】（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【★题型4】分组分解法——“二四”分组法 【例题 4】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式： （2）分解因式： 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）因式分解：． 【变式2】（23-24七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：； 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）因式分解：． 【★★题型5】因式分解法——综合题 【例题5】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级上·四川资阳·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） 二.同步练习 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）若多项式可因式分解为，则b的值为（    ） A． B．3 C． D．54 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是（　　） A．7 B．2 C． D． 4．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： （1） ， （2） ． 10．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解： ． 11．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 12．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 15．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 16．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： （1）； （2）． 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期中）下列因式分解中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 5．（22-23七年级上·湖南怀化·阶段练习）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 8．（24-25七年级上·北京·开学考试） ． 9．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 10．（20-21七年级下·河北石家庄·期末）因式分解： ． 11．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）分解因式： ． 12．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）分解因式： ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 14．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 15．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）因式分解 （1） （2） 16．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）分解因式：；           （2）分解因式：． （3）三边a，b，c满足，判断的形状． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $