精品解析：山东省淄博市临淄区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（五四制）

2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选C． 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 3. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 4. 小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：用科学计算器求这条斜坡倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：A． 5. 若抛物线上有，，三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，掌握当抛物线当开口向下时，距离对称轴越远的点函数值越小是解题的关键． 由于，抛物线开口向下，对称轴为．由二次函数的性质可得当抛物线开口向下时，距离对称轴越远的点函数值越小，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴， ∵， ∴开口向下，函数值在对称轴处最大，且距离对称轴越远函数值越小． 点到对称轴距离为， 点到对称轴距离为， 点到对称轴距离为， ∵， ∴． 故选B． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B. 若，则 C. D. 若为锐角，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键. 根据三角函数的定义和性质判断：A中是比值，边扩大但比值不变；B中在锐角范围内小于1；C中三角函数值不能直接相加角度；D中由可推导． 【详解】解：A．在中，，当两个邻边都扩大5倍时，比值不变，即不变，故A错误，不符合题意； B．当时，从减小到，即，故B错误，不符合题意； C．，，两者之和，，故C错误，不符合题意； D．由，设对边，邻边，则斜边，即，故D正确，符合题意． 故选D． 7. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”以及平移坐标轴与平移图像的相对性是解题的关键． 根据平移坐标轴与平移图像的相对性可知将抛物线向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，再运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，相当于将抛物线向下平移3个单位长度，向右平移1个单位长度，即． 故选C． 8. 一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，则， 二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴， 故选：B． 9. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 10. 如图，某同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，，的值，得到了它的函数图象，请借助学习函数的经验，推断输入的，，的值满足( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，能根据所给函数图象得出的正负是解题的关键．结合所给函数图象，得出及，再结合时，得出的取值范围即可． 【详解】解：由题知，，即， 由函数图象可知， 取不到的值为正数， 所以． 当时，． 因为时，， 则， 所以， 所以， 所以，，． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 广场上一个大型艺术字版块在地上的投影如图所示，则该投影属于_____．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】找出光源即可得出结果. 【详解】如图可知，该投影属于中心投影. 故答案为中心投影 【点睛】平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点．主要从形成投影的光线来比较两者的区别． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点是，        当时，． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象如图所示，则的值可能是______(填写其中一个答案即可)． 【答案】3(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据点和点的坐标，得出的取值范围，即可解答． 【详解】解：该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ， 该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ， ， 的值可能是， 故答案为：3(答案不唯一)． 14. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上，连接交轴正半轴于点，连接，，若，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，相似的判定和性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达，熟练掌握相似的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．过点作轴于，过点作轴于，证明和相似得，则，设，则，其中，进而得点，点，利用待定系数法求出直线的表达为，继而得点，则，由此得． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： ， ， ， 设，则，其中， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的表达式为：， 得 将代入①得 设直线的表达式为：， 当时， ， 故答案为：． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，，． （1）求点的坐标； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长． （1）过点作于点，由点的坐标为，得到，求出，由锐角的正弦定义求出，由勾股定理求出，即可得到点的坐标为； （2）求出的长，由锐角的正切定义即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 点的坐标为， ， ，， ， ， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 ，， ， ． 18. 炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足二次函数表达式：，具体数据如下表： 0 1 3 5 … 2 27 47 27 … （1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为______米； （2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间． 【答案】（1）47 （2）炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应，根据已知数据求出抛物线对称轴是解题关键． (1)根据抛物线过点，可得抛物线的对称轴，那么可得抛物线的顶点坐标，结合表中所给的数据可得炮弹飞行的最大高度； (2)用顶点式表示出抛物线的解析式，取可得炮弹此时的飞行时间． 【小问1详解】 根据抛物线过点，可得抛物线的对称轴为直线， 那么结合表中所给的数据可得抛物线的顶点坐标为， 则炮弹飞行的最大高度为47米． 故答案为：47； 【小问2详解】 拋物线的顶点， 设抛物线表达式为：． 抛物线过点， ． ． ． 当时，， 或4． 答：炮弹高度为42米时，炮弹的飞行时间为2或4秒． 19. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】（1），，或； （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； 【小问2详解】 解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 20. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 21. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】（1）线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； （2）y＝（x≥3）； （3） 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L， 理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【解析】 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【小问1详解】 解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； 【小问2详解】 解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在上，随的增大而增大，求的取值范围； （3）直线与二次函数的图象分别相交于点，，且． ①若且，求的值； ②若且，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）①； ②当时，，则函数为，， 点在函数的图象上， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系． （1）将代入，即可求解． （2）分和，两种情况分析，根据二次函数的性质列出不等式，解不等式，即可求解； （3）根据题意得出；①当时，的图象与轴的交点为，，，根据根与系数的关系得出，即可求解；②当时，，则函数为，，根据题意得出代入等式的坐标，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为直线， 点在该函数上， ， ， 【小问2详解】 由（1）可得，该函数的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上， 该函数在上，随的增大而增大， ， ， 当时，抛物线的开口向下， 该函数在上，随的增大而增大， ， ， 综上所述，或； 【小问3详解】 由（1）可得，， 该函数的表达式为， ①当时，的图象与轴的交点为，，， ，， ，， ， ， 方法二：当时，的图象与轴的交点为，，（）， ， 又， ，， 将代入，得． ②略 23. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．通过前面的学习，我们掌握了，和角的三角函数值，下面一起探究角的正切值吧！ 方法一：已知在中，，． 操作步骤 用含角的直角三角形构造角； 找到含角的直角三角形，并表示出角的对边与邻边； 计算角的正切值． 图示 具体过程 如上图，延长至点，使，连接，可以找到的角有2个； 在中，设，则，，所以； 所以______ 方法二：已知在等腰三角形中，，． 操作步骤 在顶角为角的等腰三角形中构造角； 找到含角的直角三角形，并表示出角的对边与邻边； 计算角的正切值． 图示 具体过程 如上图，过点作于点，过点作于点，可以找到的角有______个； 在中，设……（请将具体过程补充完整） 所以______ 【特例探究】请在表格内填空，并将方法二的具体过程补充完整； 【类比研究】根据角正切值的探索学习，请从角的正切值、角的余弦值中，任意选择一个进行求解． 【延伸拓展】进一步探索，已知任意锐角（）的正切值，请根据前面的探究过程，尝试用含有的式子表示． 【答案】 【特例探索】方法一：如图所示，延长到点D，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，设，则，， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：2；； 方法二：过点E作，垂足为H，过点G作，垂足为P， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴可以找到的角有3个； 具体过程： 在中，设， 则，； ； 在中，， 故答案为：，； 【类比研究】；． 【延伸拓展】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定． [特例探索]方法一：如图所示，延长到点D，使，连接，先由等边对等角得到，再由三角形外角的性质得到，在中，设，则，，进而得到，在中，； 方法二：过点E作，垂足为H，过点G作，垂足为P，根据等边对等角得到，由三线合一定理和三角形内角和定理得到，，在中，设，则，则，在中，； [类比研究]①如图所示，在中，，延长到点D，使，连接，先根据等边对等角得到，，则由三角形外角的性质得到，在中，设，则，，则，在中，；②在等腰三角形中，，，在上取一点，使，则，证明，得到，过点作于点，进而求得，在根据余弦的定义，即可求解； [延伸拓展] 根据前面的探究过程，用两种方法用含有的式子表示． 【详解】【特例探索】 略 【类比研究】①若求 如图，在中，，，延长到点，使，连接； ，， ， ， 在中，设，则，， ， 在中，， ． ②若求 如图，在等腰三角形中，，，， 在上取一点，使，则， ， ， ， ， 即点是的黄金分割点， ， ， 过点作于点，则， ， ． 【延伸拓展】方法一：如图，在，中，延长至点使，过点作于点，设，，，则 在中，， ，即， ， 在中，， ． 方法二：如图，在中，延长至点使，过点， 设，，，，则， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 3. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线上有，，三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B. 若，则 C. D. 若为锐角，，则 7. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移3个单位长度，将轴向左平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，，的值，得到了它的函数图象，请借助学习函数的经验，推断输入的，，的值满足( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 广场上一个大型艺术字版块在地上的投影如图所示，则该投影属于_____．（填写“平行投影”或“中心投影”） 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是__________． 13. 在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象如图所示，则的值可能是______(填写其中一个答案即可)． 14. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 15. 如图，点在反比例函数上，点在反比例函数上，连接交轴正半轴于点，连接，，若，则的面积是______． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，，． （1）求点的坐标； （2）求． 18. 炮弹被射出后，在不计空气阻力的情况下其运动形成的轨迹是抛物线，高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足二次函数表达式：，具体数据如下表： 0 1 3 5 … 2 27 47 27 … （1）结合表中所给的数据，可知炮弹飞行的最高高度为______米； （2）若炮弹高度为42米时，求炮弹的飞行时间． 19. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若轴上存在点，使，求点的坐标． 20. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图像上，则 ； （2）证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 21. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）若该函数在上，随的增大而增大，求的取值范围； （3）直线与二次函数的图象分别相交于点，，且． ①若且，求的值； ②若且，求证：． 23. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．通过前面的学习，我们掌握了，和角的三角函数值，下面一起探究角的正切值吧！ 方法一：已知在中，，． 操作步骤 用含角的直角三角形构造角； 找到含角的直角三角形，并表示出角的对边与邻边； 计算角的正切值． 图示 具体过程 如上图，延长至点，使，连接，可以找到的角有2个； 在中，设，则，，所以； 所以______ 方法二：已知在等腰三角形中，，． 操作步骤 在顶角为角的等腰三角形中构造角； 找到含角的直角三角形，并表示出角的对边与邻边； 计算角的正切值． 图示 具体过程 如上图，过点作于点，过点作于点，可以找到的角有______个； 在中，设……（请将具体过程补充完整） 所以______ 【特例探究】请在表格内填空，并将方法二的具体过程补充完整； 【类比研究】根据角正切值的探索学习，请从角的正切值、角的余弦值中，任意选择一个进行求解． 【延伸拓展】进一步探索，已知任意锐角（）的正切值，请根据前面的探究过程，尝试用含有的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $