第二十五章 图形的相似 同步练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

第二十五章 图形的相似 一、单选题 1．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　） A．1、2、3、7 B．1、2、2、4 C．3、6、9、13 D．1、9、11、15 2．下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则的长为（　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，D为上一点，E为上一点，若，，，则当______时，以D、B、E为顶点的三角形与相似．（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．或5 5．如图，在中，，，点是边的中点，取内一点，使，并构造矩形，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（   ） A．30 B．25 C．20 D．18 二、填空题 8．如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 9．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 10．如图，中，点在边上，，交于点，，则 ． 11．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ． 12．如图，在中，，点为边上一点，交于，交于，若四边形是正方形，，，则的长为 ． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． (1)与的相似比是___________． (2)请在图中画出，并求出的面积为___________； (3)若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 14．如图，在梯形中，，，是延长线上的点，连接，交于点． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 15．已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点O，过点O作，分别交边、于点E、F． (1)求线段的长； (2)如果的面积等于4，求梯形的面积． 16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 17．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查成比例线段的判定．判断线段是否成比例，将四条线段长度按从小到大排序后，验证第一和第四项的乘积是否等于第二和第三项的乘积．若相等，则成比例． 【详解】解： A．，故不成比例； B．，故成比例； C．，故不成比例； D．，故不成比例． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查的是相似图形的定义，掌握相似图形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形”是解题的关键． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是相似图形， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到,进而代入已知数据求出的长． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，或，根据相似三角形得出比例关系式求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， ∵，，， ∴， 此时； 当时，， ∵，，， ∴， 此时； 综上所述，或5时，以D、B、E为顶点的三角形与相似． 故选：D 5．A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 延长交于点H，利用相似三角形的判定和性质得出，确定，点H为的中点，再由矩形的性质及直角三角形斜边中点的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，点H为的中点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；故A不符合题意； 当时，；故B不符合题意； 当，即时，；故D不符合题意； 当，不能判定，故C符合题意； 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，由正方形的性质可得，，，由可求出，由勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 8．9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 9．/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质得到相似三角形，再根据相似三角形的性质求解． 先根据平行四边形的性质得出且，结合得到与的比例关系，进而证明，利用相似三角形的性质求出与的比例关系，最后结合的长度求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， ， 则，即． ， ． ． 设，则， ，且， ，解得． ． 故答案为：5.4． 11． 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 设，证明求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，设， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 13．(1) (2)见解析，3 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—位似，画位似图形，两点距离计算公式，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）根据两点距离计算公式可得的长，再根据位似图形的性质可推出，，则可得，据此可得答案； （2）把A、C的横纵坐标都缩小为原来的一半可得到的坐标，描出，再顺次连接，最后根据三角形面积计算公式求出对应的三角形面积即可； （3）把点M的横纵坐标都缩小为原来的一半即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵与关于原点位似， ∴，， ∴ ∴与的相似比为； （2）解：如图所示，即为所求，； （3）解：∵边上有一点， ∴在边上与点对应的点的坐标是． 14．(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，对顶角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，由，通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，得，然后求出，再代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 15．(1)线段的长为4 (2)梯形的面积为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和梯形面积的计算．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）因为，所以，由相似三角形对应边成比例得出，进而得到，又因为，所以，根据相似三角形对应边成比例求出，同理求出，最后得出． （2）由，且相似比为，根据三角形面积比等于相似比的平方，结合的面积求出的面积，再根据与、高相同，底的比例关系，求出与的面积，最后将四个三角形的面积相加即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， ， ， 同理，， ， ． （2）解：由（1）知，且相似比为， ， ， 与的高相同，底的比为， ， 同理，， 梯形的面积． 16．(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． 【详解】（1）证明：由作法得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （2）解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $