专题5.1 导数的概念及其意义（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的概念及其意义，以平均变化率为起点，逐步过渡到瞬时变化率（导数定义），通过三步法构建求导方法体系，最终落脚于导数的几何意义（割线到切线斜率的转化），形成完整的递进式学习支架。 该资料特色在于结合火箭发射、水库蓄水量等实例培养数学眼光，通过定义辨析和极限推理发展数学思维，题型分层设计（典例+变式）强化数学语言表达。课中即学即练提升授课效率，课后练习题覆盖重难点，助力学生查漏补缺。

专题5.1 导数的概念及其意义 教学目标 1.初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。 2.会求函数的平均变率与瞬时变化率。 3.能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。 教学重难点 1.重点 求函数的平均变化率与瞬时变化率.，在与过的切线问题，利用定义求导数. 2.难点 在与过的切线问题、利用图象理解导数的几何意义. 知识点01 平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的________； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①________：求出和②________：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【即学即练】 1．（1）如果当时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的 （也称 ），记作 或 ，即 ． （2）当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），记为（或），即． 2．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 知识点02 导数的概念 函数在处瞬时变化率是________________，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 【即学即练】 1．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 知识点03 求导数的方法 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：________________________．也可称为三步法求导数． 【即学即练】 1．设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 知识点04 导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，．换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的________． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 【即学即练】 1．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点05 曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数③得切线方程________________ （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否________________，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将________代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【即学即练】 1．已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 2．曲线在处的切线方程为 . 题型01 函数的平均变化率 【典例1】下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量．（3）得平均变化率． 【变式1】下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【变式2】已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【变式3】一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于0时，的 是，这时就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度. 题型02 求瞬时速度 【典例1】某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量．（2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式1】如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【变式2】一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 题型03 求函数在某点处的导数 【典例1】若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量． （2）求平均变化率．（3）求极限．　　 【变式1】已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2】某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【变式3】设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 题型04 求切线方程 【典例1】已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【变式1】已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2】过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 【变式3】已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 题型05 利用图象理解导数的几何意义 【典例1】物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式1】函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．的图象与 的图象在处的公切线为 【变式2】建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【变式3】已知的图象如图所示，则与的大小关系是 ．    题型06 过某点的曲线的切线 【典例1】已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 （1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． （2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 第一步：设切点． 第二步：建立方程． 第三步：解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式1】已知函数在处的导数，则 ． 【变式2】如图，线段AB是函数的图像，则（   ） A． B． C．3 D． 【变式3】已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型07 利用定义求导函数 【典例1】已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2024 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量．（2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 【变式1】已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ． 【变式2】若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式3】已知在上可导，则（　　） A． B． C． D． 1．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 2．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 3．已知曲线在点处的切线与曲线恰有一个公共点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．过曲线：上异于原点的一点作的切线交于点，过点作的切线，则直线与直线的斜率之比为（   ） A．2 B． C． D． 5．曲线在处的切线斜率为（   ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 6．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 7．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面15km处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.约14min后，探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 8．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法是（    ）. A．野生水葫芦每月的面积增长率为1 B．野生水葫芦的面积从蔓延到只需1.5个月 C．设野生水葫芦面积蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦的面积从第1个月到第3个月蔓延的平均速度等于其从第2个月到第4个月蔓延的平均速度 9．对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 10．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 11．若，则（ ） A． B． C．1 D．3 12．设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 13．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 导数的概念及其意义 教学目标 1.初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。 2.会求函数的平均变率与瞬时变化率。 3.能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。 教学重难点 1.重点 求函数的平均变化率与瞬时变化率.，在与过的切线问题，利用定义求导数. 2.难点 在与过的切线问题、利用图象理解导数的几何意义. 知识点01 平均变化率问题 1、变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”．如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2、平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为： ①本质：如果函数的自变量的“增量”为，且，相应的函数值的“增量”为，，则函数从到的平均变化率为 ②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小． 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从秒到秒的平均变化率即为秒到秒这段时间的平均速度． 3、如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即． （1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 【即学即练】 1．（1）如果当时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的 （也称 ），记作 或 ，即 ． （2）当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），记为（或），即． 【答案】 导数 瞬时变化率 【分析】略 【详解】略 2．已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 知识点02 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数． ②时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 即存在一个常数与无限接近． ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． 【即学即练】 1．已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2．若，则（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】, 故选：C 知识点03 求导数的方法 求导数值的一般步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③求极限，得导数：．也可称为三步法求导数． 【即学即练】 1．设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解. 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 2．函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，变形后，即可求解. 【详解】，故， 由导数的定义可知，. 故选：B 知识点04 导数几何意义 1、平均变化率的几何意义——曲线的割线 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率． 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线的斜率． 事实上，．换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线，则有． 2、导数的几何意义——曲线的切线 图1 如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？ 我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线． 定义：如图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率． 即：． 【即学即练】 1．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 2．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 知识点05 曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标； ②求出函数在点处的导数③得切线方程 （2）在点处的切线与过点的切线的区别． 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点的切线，则强调切线是过点，此点可以是切点，也可以不是切点．因此在求过点的切线方程时，先应判断点是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点代入，求得切点的坐标，进而求过点的切线方程． 【即学即练】 1．已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 2．曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】直接由导数的几何意义可得出. 【详解】由，可得.当时，，， 则曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 题型01 函数的平均变化率 【典例1】下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【详解】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 求平均变化率的主要步骤 （1）先计算函数值的改变量． （2）再计算自变量的改变量．（3）得平均变化率． 【变式1】下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可. 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 【变式2】已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【分析】根据平均变化率的概念求解. 【详解】函数的平均变化率为. 故选：B. 【变式3】一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于0时，的 是，这时就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度. 【答案】极限 题型02 求瞬时速度 【典例1】某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量．（2）求平均速度． （3）求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度，即． 【变式1】如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 【变式2】一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 【变式3】已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【分析】由导数的定义先求，由求出，进而得代入即可求解. 【详解】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 题型03 求函数在某点处的导数 【典例1】若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量． （2）求平均变化率．（3）求极限．　　 【变式1】已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的定义得解. 【详解】由导数的定义知． 故选：B 【变式2】某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的物理意义直接求解即可. 【详解】， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：D. 【变式3】设f(x)是可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算即可得解 【详解】由可得， 所以， 故选：A 题型04 求切线方程 【典例1】已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 【变式1】已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 【变式2】过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论. 【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故． 故选：B 【变式3】已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】假设切点，然后利用导数求得斜率表示出切线方程代点计算即可. 【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，解得，所以切线方程为. 故答案为： 题型05 利用图象理解导数的几何意义 【典例1】物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． （1）曲线在附近的变化情况可通过处的切线刻画．说明曲线在处的切线的斜率为正值，从而得出在附近曲线是上升的；说明在附近曲线是下降的． （2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 【变式1】函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．的图象与 的图象在处的公切线为 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，所以，A正确； 因为的图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误； 因为，，所以，解得，，C正确； 所以的图象与的图象在处的公切线方程为，D正确. 故选：ACD． 【变式2】建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】BD 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【详解】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 【变式3】已知的图象如图所示，则与的大小关系是 ．    【答案】 【分析】利用导数的几何意义,根据图形中函数图象在点处的切线下降和陡峭程度判断即可. 【详解】和分别表示函数图象在点处的切线斜率，    由图知: 函数图象在点处的切线斜率均为负，且处切线更陡， 所以， 所以． 故答案为：. 题型06 过某点的曲线的切线 【典例1】已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D （1）首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． （2）过点与曲线相切的直线方程的求法步骤 第一步：设切点． 第二步：建立方程． 第三步：解方程得，，，从而写出切线方程． 【变式1】已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】如图，线段AB是函数的图像，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由导数的定义，结合图像即可求解； 【详解】因为， 根据图像， 所以. 故选：D. 【变式3】已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数与极限的定义求解． 【详解】， 所以， 故选：D 题型07 利用定义求导函数 【典例1】已知为函数的导函数，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D．2024 【答案】B 【分析】求出导数，代入计算即可. 【详解】由题可得：，所以， 则, 则, 则. 故选：B 导函数求法： 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量．（2）求平均变化率． （3）取极限，得导数． 【变式1】已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 【变式3】已知在上可导，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合导数的定义，即可求解. 【详解】由导数的定义，可得． 故选：B． 1．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】首先对两函数求导，然后确定取最小值的条件，进而求出两点的坐标，从而求出的最小值. 【详解】因为，所以. 设， 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 当两切线平行且斜率相等时，最小，即两切线与直线垂直时，最小. 所以令，则；令，则. 此时. 所以. 故选：A. 2．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：2． 3．已知曲线在点处的切线与曲线恰有一个公共点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的切线方程，然后结合题意分和两种情况讨论，进而确定的取值范围. 【详解】由题意得，则，切线方程为，即， 又直线与曲线只有一个公共点， 当时，得，联立，解得，符合题意； 当时，可得方程有且仅有一个解，化简得，即，解得或， 综上所述，，1，9，故的取值范围为． 故选：. 4．过曲线：上异于原点的一点作的切线交于点，过点作的切线，则直线与直线的斜率之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义可求，联立曲线方程和切线方程后可求的横坐标为，故根据导数的几何意义计算直线的斜率比为定值． 【详解】设，因为，所以的方程为， 由得，又时，， 故点的横坐标为，则的斜率为， 故直线与的斜率之比为． 故选：C. 5．曲线在处的切线斜率为（   ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】对给定的函数求导，再将代入导函数中，得到的结果就是曲线在处的切线斜率. 【详解】因为，所以曲线在处的切线斜率为． 故选：B. 6．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在点处导数的概念进行判断即可. 【详解】因为. 故选：D 7．2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面15km处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.约14min后，探测器成功在月球预选地着陆.记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据定义直接计算可得. 【详解】因为探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以. 因为探测器的速度逐渐减小，所以. 故选：D. 8．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法是（    ）. A．野生水葫芦每月的面积增长率为1 B．野生水葫芦的面积从蔓延到只需1.5个月 C．设野生水葫芦面积蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦的面积从第1个月到第3个月蔓延的平均速度等于其从第2个月到第4个月蔓延的平均速度 【答案】AC 【分析】根据函数图象过的点求得，然后求解增长率判断A；计算面积判断B；利用指对互化求出判断C；分别求出从第1个月到第3个月蔓延的平均速度和从第2个月到第4个月蔓延的平均速度，即可判断D. 【详解】设指数函数的解析式为， 由题图可知图象过点，代入可得，解得，即， 则，即野生水葫芦每月的面积增长率为1，故A正确. 当时，，当时，由，解得，故B不正确. 令，可得，解得， 同理可得，， 则， ，，故C正确. 由平均变化率的定义，可得从第1个月到第3个月的平均变化率为， 从第2个月到第4个月的平均变化率为，故D不正确. 故选：AC. 9．对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 【答案】C 【分析】根据增量和的概念判断即可. 【详解】可为正、可为负、不可为0；可为正、可为负、可为0. 故选：C. 10．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，然后根据切点坐标求出切线的斜率和切线方程. 【详解】因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 11．若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据导数的定义可直接得解. 【详解】根据导数的定义，. 故选：D. 12．设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以． 故选：D. 13．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $