学易金卷：高一数学上学期第三次月考卷（沪教版，沪教版2020必修第一册第一章～第五章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】 2．【答案】或 3．【答案】5 4. 【答案】 5. 【答案】 6. 【答案】； 7. 【答案】 8. 【答案】； 9. 【答案】5； 10. 【答案】； 11. 【答案】①②； 12. 已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13 14 15 16 D A B A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．【解析】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得， 则，所以．【6分】 （2）由集合或和， 若选择①：由，即，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择②：由“”是“”的必要条件，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择③：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为.【14分】 18．【解析】（1）由已知（，且），， 则，；【4分】 （2）由已知，得， 所以函数为偶函数；【8分】 （3）证明：任取，，且令，即， 则， 即， 所以函数在上是增函数.【14分】 19． 【提示】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可. 【答案】（1） （2）一年游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万 【解析】（1）由题意得，【6分】 （2）当时，单调递增，此时． 当时，， 此时． 当时，， 当且仅当，即时取等号．此时． 综上，一年的游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万．【14分】 20．【解析】（1）由比远离，则， 解得或，所以的取值范围是；【4分】 （2）由，， 则，，，当且仅当时，上述不等式等号成立， 所以，当且仅当时等号成立；【10分】 （3）若证比远离， 即证， 因为， 则，且， 所以即证， 即证， 又， 所以， 即， 即比远离.【14分】 21．【提示】（1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒恒等式求解即得. （3）根据给定条件可得，再按、讨论分段函数零点即可得解. 【答案】（1）与不是关于“维交换”，理由见解析 （2） （3） 【解析】（1）函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，， 令，即，即，， 即方程无解. 所以，与不是关于“维交换”. （2）依题意，对任意，恒有成立， 即对任意，存在二次函数，， 显然等式左边是关于的次多项式，则设， 于是， 由奇次项系数得，又，则，，解得， 因此存，使得与关于“任意交换”，所以. （3）令，依题意，函数在上有个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，，函数在时只有个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点、， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点、， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点、， 当时，在时无零点，当时，在时有个零点， 综上所述，当时，有个零点， 所以当与关于“维交换”时，. 故实数的取值范围是. 【说明】本题综合性强，注意仔细阅读理解；涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 答题卡 请在各题目的容题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各题日的容题区域内作答，超出黑色师形边框限定区域的容案无效！ 姓名： 四、解答题（共8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(14分) 17.(14分) 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非迭择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 圈：字体工整、笔迹清张。 3。请按题号顺序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的容案无效：在草稿纸，试题参上答题 无效， 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 标记 5.正确填徐■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 6. 8 10. 12. ! 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第1516 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) I3【A]BIC]IDI 14 [A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16 [A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的客避区域内作答，超出感色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出温色矩形边框限定区城的答案无效 请在各愿目的答愿区域内作答，超出幅色苑形边框限定区域的答案无效！ 请在各题】 9.(14分) 20.(18分) 21.(18分) 数学第4页（共6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第1章~第5章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 2．用反证法证明命题：“若，则”时，应假设 . 3．若不等式的解集为，则 ． 4. 函数的定义域为______. 5. 已知，则 ． 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 7. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是 8. 已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是________. 9. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 10. 对任意，使不等式恒成立的的取值范围是 11. 已知函数的定义域为，对于任意的，若此函数同时满足： ①当时有；②当时有， 则称函数为函数． 在下列函数中： ①；②；③ 是函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号） 12. 已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．下列命题中正确的是（     ） ①与表示同一个集合 ； ②方程的所有解的集合可表示为； ③由1，2，3组成的集合可表示为或；  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 14． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 16．小申、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小申每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ） A. 小申两次购买葡萄的平均价格比小海低 B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小申低 C. 小申与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D. 两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答； 间题：已知集合． （1）当时，求：； （2）若 ，求：实数的取值范围。 18．已知（，且），． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）证明函数在上是增函数． 19．红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 20．若实数、、满足，则称比远离； （1）若比远离，求：的取值范围； （2）对任意正数，，证明：； （3）对任意两个不相等的正数，，证明：比远离； 21．已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； （3）设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第1章~第5章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 2．用反证法证明命题：“若，则”时，应假设 . 3．若不等式的解集为，则 ． 4. 函数的定义域为______. 5. 已知，则 ． 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 7. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是 8. 已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是________. 9. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 10. 对任意，使不等式恒成立的的取值范围是 11. 已知函数的定义域为，对于任意的，若此函数同时满足： ①当时有；②当时有， 则称函数为函数． 在下列函数中： ①；②；③ 是函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号） 12. 已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．下列命题中正确的是（     ） ①与表示同一个集合 ； ②方程的所有解的集合可表示为； ③由1，2，3组成的集合可表示为或；  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 14． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 16．小申、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小申每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ） A. 小申两次购买葡萄的平均价格比小海低 B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小申低 C. 小申与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D. 两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答； 间题：已知集合． （1）当时，求：； （2）若 ，求：实数的取值范围。 18．已知（，且），． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）证明函数在上是增函数． 19．红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 20．若实数、、满足，则称比远离； （1）若比远离，求：的取值范围； （2）对任意正数，，证明：； （3）对任意两个不相等的正数，，证明：比远离； 21．已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； （3）设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第1章~第5章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则 【提示】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得； 【答案】 【解析】依题意，，而， 所以 . 【说明】本题考查分数不等式的解法与集合运算； 2．用反证法证明命题：“若，则”时，应假设 . 【提示】利用反证法的概念直接求解. 【答案】或 【解析】用反证法证明命题“若，则”，应假设为“或”. 故答案为：或. 【说明】本题考查了命题与反证法的概念辨析 3．若不等式的解集为，则 ． 【答案】5 【解析】由题意可知：为方程的两根， 则，即， 所以. 故答案为：5； 【说明】本题考查了一元二次不等式的解法与“一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数”之间的相互联系； 4. 函数的定义域为______. 【提示】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量的取值范围，再求交集即可； 【答案】 【解析】因为 所以 解得且， 所以函数的定义域为( . 故答案为：. 【说明】本题考查了函数定义域的求法与不等式解法、集合运算； 5. 已知，则 ． 【答案】 【解析】令，， ， 即. 故答案为：； 【说明】本题考查了函数解析式的概念与求法，以及换元法； 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 【提示】解不等式求得集合，由，可得，求解即可； 【答案】； 【解析】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 【说明】本题考查了不等式解法，利用集合之间的关系求参数，数形结合思想； 7. 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是 【提示】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案； 【答案】； 【解析】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以； 【说明】本题考查了平均值不等式的应用，与结合恒成立问题求参数； 8. 已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是________. 【提示】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可； 【答案】； 【解析】设，则，解得，所以，， 因为在和上单调递减，， 或或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【说明】本题主要考查了幂函数的概念与性质，以及解不等式组； 9. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是_______小时. 【提示】根据给定条件求出k值，再由排放的污染物含量不超过的1%列出不等式求解即得； 【答案】5； 【解析】依题意，过滤5小时，污染物数量，于是得，解得， 排放污染物时，，即，解得，， 所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时. 故答案为：5； 【说明】本题考查了阅读理解，指数幂与对数运算； 10. 对任意，使不等式恒成立的的取值范围是 【提示】　令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin. 【答案】； 【解析】　方法1：对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号. ∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]. 方法2：t＝|x＋1|＋|x＋2|＝ ∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]. 【说明】本题考查了运用绝对值不等式求最值与范围； 1、本题也可利用绝对值的几何意义求解； 2、对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值； 11. 已知函数的定义域为，对于任意的，若此函数同时满足： ①当时有；②当时有， 则称函数为函数． 在下列函数中： ①；②；③ 是函数的为 ．（填出所有符合要求的函数序号） 【提示】根据函数的定义逐项判断即可. 【答案】①②； 【解析】对于①，函数为奇函数，时，即， 则，所以满足， 又在上单调递增，所以时即， 由，所以为函数. 对于②，令，， 且与都在上单调递增，所以在上单调递增， 时，即， 则，所以满足， 时即， 由，所以为函数. 对于③，令，若，满足， 而，不符合. 故答案为：①② 【说明】本题考查了函数新定义、函数奇偶性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 12. 已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 【提示】由函数解析式可知为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调性，利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得的取值范围可求得结果； 【答案】； 【解析】根据函数解析式可知函数的定义域为， 且满足，故得为偶函数， 当时，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在单调递增， 且在时，取得最小值：； 由对称性可得，又； 再由偶函数性质可知其图象如下图所示： 因函数的图象与有两个交点，由图象可知或； 因此的最小值为3. 故答案为：3. 【说明】本题综合考查了研究函数的方法与过程，数形结合思想； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．下列命题中正确的是（     ） ①与表示同一个集合 ； ②方程的所有解的集合可表示为； ③由1，2，3组成的集合可表示为或；  ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有③ 【答案】D 【解析】对于①，为空集，是0为元素的单元素集合，故①错误； 对于②，方程的所有解的集合可表示为，故②错误； 对于③，由1，2，3组成的集合可表示为或，故③正确； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误； 所以命题正确的只有③. 故选：D. 14． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【提示】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断. 【答案】A 【解析】因为，等价于， 且，等价于， 又因为可以推出，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 15．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【提示】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【答案】B 【解析】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 16．小申、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小申每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ） A. 小申两次购买葡萄的平均价格比小海低 B. 小海两次购买葡萄的平均价格比小申低 C. 小申与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D. 两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 【提示】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【答案】A 【解析】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小申两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小申两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．在①；②“”是“”的必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答； 间题：已知集合． （1）当时，求：； （2）若 ，求：实数的取值范围。 【解析】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得， 则，所以．【6分】 （2）由集合或和， 若选择①：由，即，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择②：由“”是“”的必要条件，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为； 若选择③：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为.【14分】 18．已知（，且），． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）证明函数在上是增函数． 【解析】（1）由已知（，且），， 则，；【4分】 （2）由已知，得， 所以函数为偶函数；【8分】 （3）证明：任取，，且令，即， 则， 即， 所以函数在上是增函数.【14分】 19．红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【提示】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可. 【答案】（1） （2）一年游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万 【解析】（1）由题意得，【6分】 （2）当时，单调递增，此时． 当时，， 此时． 当时，， 当且仅当，即时取等号．此时． 综上，一年的游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万．【14分】 20．若实数、、满足，则称比远离； （1）若比远离，求：的取值范围； （2）对任意正数，，证明：； （3）对任意两个不相等的正数，，证明：比远离； 【解析】（1）由比远离，则， 解得或，所以的取值范围是；【4分】 （2）由，， 则，，，当且仅当时，上述不等式等号成立， 所以，当且仅当时等号成立；【10分】 （3）若证比远离， 即证， 因为， 则，且， 所以即证， 即证， 又， 所以， 即， 即比远离.【14分】 21．已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”. （1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由； （2）设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式； （3）设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围. 【提示】（1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断. （2）由与关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出，借助恒恒等式求解即得. （3）根据给定条件可得，再按、讨论分段函数零点即可得解. 【答案】（1）与不是关于“维交换”，理由见解析 （2） （3） 【解析】（1）函数与关于“维交换”，理由如下： 显然，， 令，即，即，， 即方程无解. 所以，与不是关于“维交换”. （2）依题意，对任意，恒有成立， 即对任意，存在二次函数，， 显然等式左边是关于的次多项式，则设， 于是， 由奇次项系数得，又，则，，解得， 因此存，使得与关于“任意交换”，所以. （3）令，依题意，函数在上有个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，，函数在时只有个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点、， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点、， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点、， 当时，在时无零点，当时，在时有个零点， 综上所述，当时，有个零点， 所以当与关于“维交换”时，. 故实数的取值范围是. 【说明】本题综合性强，注意仔细阅读理解；涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 1 / 2 言身寸 学科网（北京）股份有限公司 $