学易金卷：高一数学上学期第三次月考01（上海专用，沪教版2020必修第一册第一章～第五章+三角）

2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】；； 2．【答案】 3．【答案】2.88 4．【答案】 5．【答案】； 6．【答案】16； 7. 【答案】 8. 【答案】 9. 【答案】9 10．【答案】. 11．【答案】； 12．【答案】； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13 14 15 16 D A D D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．【提示】（1）由题意可得，在第四象限，利用同角三角函数的基本关系先求出，再求出即可； （2）利用，即可求出的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，均为锐角， 可得在第四象限， 则， 所以；【6分】 （2）由， 得， .【14分】 【说明】本题属于三角比的化简、求值——同角三角比基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 主要考查了两角和与差的三角比，考查角的变换；正确运用公式是解题的关键； 18．【解析】（1）当时，由，得，符合题意； 当时，可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或；【6分】 （2）由题意可知且. 可得解得， 综上，实数的取值范围是；【14分】 19．【解析】（1）因为辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时， 且每两辆货车的间隔等于千米， 第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站， 最后一辆车行驶的总路程为千米， 所以，【6分】 （2）因为，其中， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当千米/时，等号成立， 所以，当千米/时，取最小值；【14分】 20．【提示】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解； （2） 结合函数的单调性的定义即可判断和证明； （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解 【答案】（1）； （2）在上单调递减，证明见解析； （3）； 【解析】（1）由题意可知，即，得，经检验成立；【4分】 （2）在上单调递减.证明如下： 由（1）可知，设， 则， 因为，， 所以， 所以，，即， 所以，在上单调递减；【12分】 （3）由题易知，又， 由（2）可知在上单调递减， ，解得， 所以，不等式的解集为.【18分】 21． 【提示】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得； 【答案】（1）最小值，最大值为；是； （2）； （3）8； 【解析】（1）根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”.【4分】 （2） ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：.【10分】 （3） 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为.【18分】 【说明】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第1章~第5章+三角 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合 是 2．已知角θ的终边经过点，则等于 3．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为__________． 4．代数式所有可能取值的集合为 ． 5．已知，则 6．若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 7. 已知函数则______. 8. 已知函数，若，则____________. 9. 已知，且，则的最小值是 . 10．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 11．已知，则 12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（     ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 14． 已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15. 17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A. B. C. D. 16．已知是奇函数，实数、均小于，为自然对数底数，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，均为锐角，且，； （1）求的值；（2）求的值； 18．已知集合． （1）若，求：实数的取值范围； （2）若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. 19．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）； （1）将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数； （2）当取何值时，有最小值. 20．已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式。 21．对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值， 且满足，则称是区间上的“聚集函数”； 现给定函数； （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第1章~第5章+三角 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合 是 2．已知角θ的终边经过点，则等于 3．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为__________． 4．代数式所有可能取值的集合为 ． 5．已知，则 6．若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 7. 已知函数则______. 8. 已知函数，若，则____________. 9. 已知，且，则的最小值是 . 10．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 11．已知，则 12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（     ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 14． 已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15. 17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A. B. C. D. 16．已知是奇函数，实数、均小于，为自然对数底数，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，均为锐角，且，； （1）求的值；（2）求的值； 18．已知集合． （1）若，求：实数的取值范围； （2）若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. 19．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）； （1）将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数； （2）当取何值时，有最小值. 20．已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式。 21．对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值， 且满足，则称是区间上的“聚集函数”； 现给定函数； （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 答题卡 请在各题目的容题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在各题日的容题区域内作答，超出黑色师形边框限定区域的容案无效！ 姓名： 四、解答题（共8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(14分) 17.(14分) 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非迭择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 圈：字体工整、笔迹清张。 3。请按题号顺序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的容案无效：在草稿纸，试题参上答题 无效， 此栏考生禁填 缺考口 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 标记 5.正确填徐■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 6. 8 10. 12. ! 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第1516 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) I3【A]BIC]IDI 14 [A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16 [A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的客避区域内作答，超出感色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区城内作答，超出温色矩形边框限定区城的答案无效 请在各愿目的答愿区域内作答，超出幅色苑形边框限定区域的答案无效！ 请在各题】 9.(14分) 20.(18分) 21.(18分) 数学第4页（共6页） 数学第5页（共6页） 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考卷01 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册第1章~第5章+三角 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合 是 【提示】先求出集合，图中的阴影部分表示的集合为且 【答案】；； 【解析】因为，，， 所以，且. 2．已知角θ的终边经过点，则等于 【答案】 【解析】，故在单位圆上，根据三角函数值的定义， 的横坐标的值即为，故. 3．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为__________． 【答案】2.88 【解析】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则， 由题意可知，所以， 所以该扇环形屏风的面积为： . 故答案为：2.88. 4．代数式所有可能取值的集合为 ． 【答案】 【解析】因为， 由已知可得角的终边不在坐标轴上， 当角的终边在第一象限，则原式， 当角的终边在第二象限，则原式， 当角的终边在第三象限，则原式， 当角的终边在第四象限，则原式， 故所有可能取值的集合为， 故答案为： 5．已知，则 【答案】； 【解析】. 6．若函数是幂函数，且满足，则的值为________. 【提示】设，根据 【答案】16； 【解析】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 7. 已知函数则______. 【提示】利用分段函数的性质依次计算即可. 【答案】 【解析】由题意可知. 故答案为： 8. 已知函数，若，则____________. 【提示】利用函数的奇偶性计算即可； 【答案】 【解析】易知，即为奇函数， 所以. 故答案为：. 9. 已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 10．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【提示】先由三角不等式，求出，解对应的不等式，即可得出结果； 【答案】. 【解析】因为， 当且仅当时，等号成立； 要对任意恒成立， 只需，即：， 所以或， 解得：或， 所以，实数的取值范围为. 【说明】本题主要考查解绝对值不等式，考查绝对值不等式恒成立问题 11．已知，则 【提示】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【答案】； 【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 【说明】本题主要考查了用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题； 12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为 . 【提示】根据定义作出函数的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可. 【答案】； 【解析】根据定义作出函数的图像如图:(实线部分的曲线). 其中,即. 当时,当或时,由,解得：或; 当时,当时,由解得：. 由图像知,若函数在区间上的值域为， 则区间长度的最大值为. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（     ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【解析】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 14． 已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15. 17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有.现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（ ） 真数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000 A. B. C. D. 【提示】通过对数的性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位的范围，得出的值； 【答案】D； 【解析】设， 因为， 所以. 由表格可知，， 所以的最高位的数值为. 故选：D. 16．已知是奇函数，实数、均小于，为自然对数底数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【提示】利用函数奇偶性的性质可得出，由已知可得出，，由结合对数函数的单调性可得出，可得出，可得出，并推导出、，即可得解； 【答案】D； 【解析】对任意的，，则函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，可得，所以，， ，则函数为奇函数，符合题意； 因为，， 则，， 因为，则， 所以，即，即， 即， 因为，，则，则，故，即， 又因为，即，可得或， 则或，即，同理可知，，故. 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，均为锐角，且，； （1）求的值；（2）求的值； 【提示】（1）由题意可得，在第四象限，利用同角三角函数的基本关系先求出，再求出即可； （2）利用，即可求出的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，均为锐角， 可得在第四象限， 则， 所以；【6分】 （2）由， 得， .【14分】 【说明】本题属于三角比的化简、求值——同角三角比基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 主要考查了两角和与差的三角比，考查角的变换；正确运用公式是解题的关键； 18．已知集合． （1）若，求：实数的取值范围； （2）若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，由，得，符合题意； 当时，可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或；【6分】 （2）由题意可知且. 可得解得， 综上，实数的取值范围是；【14分】 19．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）； （1）将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数； （2）当取何值时，有最小值. 【解析】（1）因为辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时， 且每两辆货车的间隔等于千米， 第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站， 最后一辆车行驶的总路程为千米， 所以，【6分】 （2）因为，其中， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当千米/时，等号成立， 所以，当千米/时，取最小值；【14分】 20．已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式。 【提示】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解； （2） 结合函数的单调性的定义即可判断和证明； （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解 【答案】（1）； （2）在上单调递减，证明见解析； （3）； 【解析】（1）由题意可知，即，得，经检验成立；【4分】 （2）在上单调递减.证明如下： 由（1）可知，设， 则， 因为，， 所以， 所以，，即， 所以，在上单调递减；【12分】 （3）由题易知，又， 由（2）可知在上单调递减， ，解得， 所以，不等式的解集为.【18分】 21．对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值， 且满足，则称是区间上的“聚集函数”； 现给定函数； （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【提示】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得； 【答案】（1）最小值，最大值为；是； （2）； （3）8； 【解析】（1）根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”.【4分】 （2） ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：.【10分】 （3） 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为.【18分】 【说明】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $