专题03 导数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题03 导数 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）函数，若对成立，则（    ） A．对成立 B．对成立 C．对成立 D．对成立 二、填空题 2．（2024·四川预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 3．（2024·四川预赛）已知函数，若在定义域内为增函数，则实数的最小值为 ． 4．（2024·吉林预赛）已知函数．若，使得，则实数的最大值为_____． 5．（2024·新疆预赛）函数的最小值为_____． 6．（2024·上海预赛）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 7．（2023·江西预赛）函数的单调递增区间是_____． 8．（2023·四川预赛）设是轴上异于原点的任意一点，过点且平行于轴的直线与曲线交于点，曲线在点处的切线交轴于点，则的面积的最小值为_____． 9．（2023·新疆预赛）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____． 10．（2022·甘肃预赛）函数，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 11．（2022·苏州预赛）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为_____． 三、解答题 12．（2025·福建预赛）已知函数． （1）设为的极小值，求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 13．（2024·广东预赛）已知方程有两个不同的零点，分别记为，且． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围． 14．（2024·福建预赛）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围． 15．（2024·内蒙古预赛）已知函数． (1)当时，讨论在上的极值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 16．（2024·重庆预赛）已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证：． 17．（2023·吉林预赛）已知函数．若，有成立，求实数的取值范围． 18．（2022·浙江预赛）设为大于1的正整数，函数． (1)当，求的最大值； (2)证明对任意，有． 19．（2022·福建预赛）已知函数． (1)若恒成立，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围． 20．（2022·甘肃预赛）设函数． (1)若函数在上单调递增，求的值； (2)当时， (i)证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大； (ii)在(i)的结论下，证明：． 21．（2022·吉林预赛）已知函数，若存在，使得，求实数的最小可能值． 一、多选题 1．（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 二、填空题 2．（2025·全国二卷）若是函数的极值点，则 3．（2025·全国一卷）若直线是曲线的一条切线，则 . 三、解答题 4．（2025·上海卷）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 5．（2025·全国二卷）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 6．（2025·北京卷）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 7．（2025·天津卷）已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）函数，若对成立，则（    ） A．对成立 B．对成立 C．对成立 D．对成立 【答案】C 【详解】若对成立， 可得，解得； 若，即， 又因为对恒成立， 且对恒成立， 即对成立，符合题意； 综上所述：． 因为，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， 由可知选项AB错误； 由可知选项D错误； 结合单调性可知：对成立，故C正确； 故选：C． 二、填空题 2．（2024·四川预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】， 当时，，， 在上递增， 而，， 时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，， 时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4， 3．（2024·四川预赛）已知函数，若在定义域内为增函数，则实数的最小值为 ． 【答案】1 【详解】∵函数，，． 要使在定义域内为增函数， 只需在上恒成立即可， 即在上恒成立，即在上恒成立． ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴，即实数的最小值为1． 4．（2024·吉林预赛）已知函数．若，使得，则实数的最大值为_____． 【答案】． 【详解】设，则， 当时，，即存在，使得， 符合题意． 当时，． 设，则， 当时，，当时，， 即在单调递增，在单调递减 知为的极大值点，也是最大值点， 所以． 所以当时，对，有，不符合题意， 综上，． 5．（2024·新疆预赛）函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】当时，单调递减． 当时，此时，单调递减． 当时，，令， 因此，在处取得最小值． 6．（2024·上海预赛）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由条件，设， 则， 于是在区间上单调递增，在区间上单调递减， 从而． 结合图形知，所以实数的取值范围是． 7．（2023·江西预赛）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】 所以函数的单调递增区间是． 8．（2023·四川预赛）设是轴上异于原点的任意一点，过点且平行于轴的直线与曲线交于点，曲线在点处的切线交轴于点，则的面积的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，令， 则．又，于是． 令，得． 设，只需考虑时的情形． 此时． 所以当时，的面积的最小值为． 9．（2023·新疆预赛）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】设，则，由， 且函数在上单调递增，于是． 易知函数的最大值为，所以的取值范围是． 10．（2022·甘肃预赛）函数，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】时，在(0，1)上单调递增，在上单调递减，且，于是． 当时， 在上单调递增，且时，， 从而存在满足． 此时在上单调递减，在上单调递增， ，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 11．（2022·苏州预赛）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】e 【详解】由单调递增且， 当时，又在(0，1)上单调递减，在上单调递增，于是． 所以实数的最大值为e． 三、解答题 12．（2025·福建预赛）已知函数． （1）设为的极小值，求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）． 因为时，时，， 所以在区间上递增，上递减． 因为， 所以存在，使得，且当时，；当时，；当时，． 因此在区间上递减，在上递增，在上递减． 所以的极小值为． 因为， 所以． 所以． （2）由知，，即． 设，则，且，于是上述不等式化为，即． 下面求当时，的取值范围． 由，知时，时，． 所以在区间上递减，在上递增． 因为，且时，， 所以时，的取值范围为． 因为恒成立，所以时，不等式恒成立． 设，则． 因此时，时，． 于是在上递减，在上递增． 所以在上的最小值为． 所以． 所以的取值范围为． 13．（2024·广东预赛）已知方程有两个不同的零点，分别记为，且． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】(1)记， 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 又时，时，，于是 所以实数的取值范围为． (2)依题意，， 设 若时，在上单调递增，且， 则在上恒成立，满足题意； 若时，在上单调递减，则在上恒成立，矛盾． 综上，正数的取值范围为． 14．（2024·福建预赛）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)0； (2)． 【详解】(1) ， 由于，， 则存在满足在，上单调递减，在上单调递增，且，同理． 所以的最小值为0． (2)当时，由(1)知，对恒成立，满足题意； 当时，对(1)中的或，与恒成立矛盾． 所以的取值范围为． 15．（2024·内蒙古预赛）已知函数． (1)当时，讨论在上的极值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上的极大值为，无极小值 (2) 【详解】（1）若，则，， 构建， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 可知当时，；当时，； 注意到当时，与的符号性一致， 即当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以在上的极大值为，无极小值． （2）因为， 对于函数，且， 可知存在实数，使得在内恒成立， 构建函数， 可知当时，与符号相同，且， 所以是的极小值点等价于是的极小值点， 因为，则， 构建，则， ①当，即时，则存在， 使得在内单调递减，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递增，在内单调递减， 可知是的极大值点，不合题意； ②当，即时，则存在， 使得在内单调递增，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递减，在内单调递增， 可知是的极小值点，符合题意； ③当，即时，可知在上恒成立， 此时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 可知在内恒成立，即在内恒成立， 则在内单调递增，不为的极值点，不合题意 综上所述：的取值范围是． 16．（2024·重庆预赛）已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】先证一个引理：对，有． 引理的证明:令，故为减函数， 所以当时，，引理得证． 回到原题:，由题知． 不妨设，则，于是由并结合引理可得： ， 即，则，所以． 所以． 17．（2023·吉林预赛）已知函数．若，有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】，设． 则当时，在上单调递增，于是 在上单调递增． 所以当时，成立； 当时，存在满足，则在上单调递减， 于是在上在上单调递减． 从而在上，与已知条件矛盾． 综上，实数的取值范围是． 18．（2022·浙江预赛）设为大于1的正整数，函数． (1)当，求的最大值； (2)证明对任意，有． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【详解】(1)，则在区间上单调递增，所以 (2)由(1)知 由不等式，得 而， 显然成立．所以对任意，有． 19．（2022·福建预赛）已知函数． (1)若恒成立，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)． 【详解】(1)时，．下证恒成立． 设 ，则在(0，1)上单调递增，在上单调递减，于是 ．所以． (2)．设， ，则在上单调递增，在上单调递减，于是． ①当时，在上单调递减，无最大值； ②当时，时，时，．则有两个零点，设为，从而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即有极大值． 注意到时，，于是有最大值．而及在上单调递减，得．综上，的取值范围为． 20．（2022·甘肃预赛）设函数． (1)若函数在上单调递增，求的值； (2)当时， (i)证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大； (ii)在(i)的结论下，证明：． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【详解】(1)， 若，则在上单调递增，而， 于是时，， 时，． 从而在上单调递减，在上单调递增，矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 于是， 记， 从而在(0，1)上单调递增，在上单调递减， 因此． 依题意，在上恒成立，所以． (2)(i)当时，． 由(1)知在上单调递减，在上单调递增，且时， ， 时，， 于是存在满足． 易知为的极大值点，为的极小值点． 由， 记，则， 由于，于是单调递增， 所以随着的增大而增大． (ii) 设 单调递减，于是单调递减， 所以原不等式成立． 21．（2022·吉林预赛）已知函数，若存在，使得，求实数的最小可能值． 【答案】1 【详解】，当时，． 下证时，在上恒成立． 由于， 设，则， 于是在(0，1)上单调递减，在上单调递增， 从而恒成立． 综上，实数的最小可能值为1． 一、多选题 1．（2025·全国二卷）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 二、填空题 2．（2025·全国二卷）若是函数的极值点，则 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 3．（2025·全国一卷）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 三、解答题 4．（2025·上海卷）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 5．（2025·全国二卷）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 6．（2025·北京卷）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 7．（2025·天津卷）已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $