第三章概率的进一步认识单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第三章 概率的进一步认识 单元检测题 一、单选题 1．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A． B． C． D． 3．一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有160次摸到红球，则N的值是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 4．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设“神舟十六号”上甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选两人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的袋子中，装有若干枚白色棋子和黑色棋子，这些棋子除颜色外其余都相同，将袋子中的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，则下列说法正确的是（   ） A．黑色棋子一定比白色棋子多 B．白色棋子一定比黑色棋子多 C．摸到白色棋子的概率为0.6 D．摸到黑色棋子的概率为0.4 7．一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 9．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 10．本学期学校大课间开设了四种运动游戏，分别为“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”，学校规定每人只能选择自己喜欢的一种参加．小明与小亮对这四种运动都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同种运动的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小影和晓成准备在周一、周二、周三、周四这四天中选择一天上游泳兴趣班，求两人都选到周四的概率为 ． 12．物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是 ． 13．小东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 14．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做实验得到如下数据 掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1000 2000 针尖朝上的频率 请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ． 15．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 三、解答题 16．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： (1)本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； (2)频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； (3)若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； (4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 17．2025年重庆荣昌举行了“千年荣昌，龙舟争渡”为主题的龙舟赛．共有29支队伍参加比赛．比赛设置男子组、女子组，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 A B C D 关注人数 56 40 a b (1) ， ，D所在扇形圆心角的度数为 ； (2)若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？ (3)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，荣昌交警支队派出4名交警（3男1女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到一男一女的概率． 18．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 19．某校在新学期开学之际，组织开展了消防安全知识竞赛活动．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成四组：A．，B．，C．，D．（x为学生竞赛成绩，单位：分）．其中七年级10名学生的竞赛成绩（单位：分）分别是95，84，90，85，96，91，89，93，87，90，同时将所抽取的20名学生的成绩进一步进行整理，绘制出如上统计图．解答下列问题： (1)抽取的七年级10名学生竞赛成绩的平均分是______分，众数是______分，八年级学生竞赛成绩的中位数在______组． (2)该校七、八年级共1000名学生参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生有多少名？ (3)若从抽取的20名学生中，随机挑选出2名成绩在A组的学生参加区级消防安全知识竞赛，则恰好抽到2名同学是同一年级的概率为多少？ 20．为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题1：你平均每周体育锻炼的时间大约是 A．0～4小时  B．4～6小时 C．6～8小时  D．8小时及以上 问题2：你体育锻炼的动力是 E．家长要求  F．学校要求 G．自己主动  H．其他 (1)参与本次调查的学生共有________人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有________人； (2)已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； (3)学校要从评为“运动之星”的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“体育锻炼宣传员”，则抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识 单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C B A B A D A 1．A 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在附近，即可认为摸到红球的概率约为，从而通过计算总球数的得到红球的大致数量． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在附近， 口袋中红球可能有（个）． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：D． 3．A 【分析】本题考查了频率估计概率，已知概率求数量，通过大量重复试验，频率稳定值可估计概率，摸到红球的频率为，因此概率约为，据此列方程求解． 【详解】解：∵每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有160次摸到红球， ∴摸到红球的频率为， ∵一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球， 即， 解得， 经检验，是方程的解， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了树状图或列表求概率，解决此题的关键是读懂题意列出正确的树状图；根据题意可知此题分两步完成，第一步是甲乙丙都有可能进入问天实验舱，第二步剩下的人进入梦天实验舱，列出树状图解决问题即可； 【详解】解：设甲乙丙分别用A，B，C表示； 由上可得：一共有6种等可能性的结果，其中甲，乙两人同时被选中的可能性有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为， 故选：B． 6．A 【分析】此题考查了频率估计概率．摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，据此即可判断，得到答案． 【详解】解：∵摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右， ∴黑色棋子一定比白色棋子多，摸到白色棋子的概率为0.4，摸到黑色棋子的概率为0.6， 故选项A正确，符合题意；选项B，C，D错误，不符合题意； 故选：A 7．B 【分析】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率的稳定值即概率，关键是得到关于黑球概率的等量关系． 先由频率＝频数数据总数，计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 【详解】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 由于大量反复试验下频率的稳定值即概率，故摸出黑球的概率为， 设口袋中有个白球，则黑球的概率为， 解得， 故白球的个数为15个． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，画树状图可得出所有等可能的结果数以及这两人选择同一种运动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“跳绳”“足球”“篮球”和“体操”分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中这两人选择同一种运动的结果有4种， ∴这两人选择同一种运动的概率为． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了画树状图求概率，能准确地画出树状图是解题的关键；先画出树状图，可知总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，从而可求解． 【详解】解：画树状图，如图所示： 由图可知，总共有16种等可能的结果，两人都选周四只有1种情况，因此两人都选到周四的概率为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积． 【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴点落在白色区域的概率在左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案． 【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即． 故答案为：． 15．3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 16．(1)，B (2)， (3)估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； （2）解：由（1）知B等级的人数为人； ∵D等级的人数为人, ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为； 故答案为：，； （3）解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； （4）解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 17．(1)；； (2)当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式． （1）首先求出部分市民的人数为，根据米直道竞速赛人数所占的百分比求得，根据题意即可得到结论； （2）根据扇形统计图即可得到结论； （3）设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到的一男一女的概率． 【详解】（1）解：部分市民的人数为（人）， （人），（人）， 所在扇形圆心角的度数为； 故答案为：；；； （2）解：根据扇形统计图可得当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多， （人）， 答：当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人； （3）解：设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有6种， 所以恰好抽到的两名交警是一男一女的概率为：． 18．(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 19．(1)90；90；B (2)估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生有650名 (3)见解析， 【分析】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；列表法或树状图法求概率；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图．注意概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义即可得到结论； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，再找到符合题意的情况，最后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：七年级学生竞赛成绩的平均分是（分）． 众数是90分． 七、八年级A组有（人），其中七年级有2人，则八年级有（人）， 七、八年级B组有（人），其中七年级有4人，则八年级有（人）， ∴八年级学生竞赛成绩的中位数在B组． 故答案为：；；． （2）解：（名）， ∴估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生有650名． （3）解：组七年级有人，八年级有人，设七年级人分别为，，八年级人分别为，，． 画树状图如图． 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰好抽到2名同学是同一年级的结果有8种， 恰好抽到2名同学是同一年级的概率为． 20．(1)200，122 (2)442人 (3) 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的识别与应用、用树状图或列表求概率： （1）由条形统计图可计算参与本次调查的学生人数，结合扇形统计图中比例可求选择“自己主动”体育锻炼的学生人数； （2）用总人数2600乘以问卷调查中“运动之星”所占的比例即可估计全校可评为“运动之星”的人数； （3）画出树状图或者列表即可解答． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，参与本次调查的学生共有（人）， 选择“自己主动”体育锻炼的学生有（人）， 故答案为：200，122； （2）解：全校可评为“运动之星”的人数约为（人）； （3）解：画出树状图： 共有12种等可能结果，其中刚好为甲和丁有2种， ∴概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $