期末复习08：优化（知识梳理+3个易错点练习+拔尖训练）-四年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

本小学数学讲义以“优化”为主题构建知识体系，通过分知识点梳理涵盖沏茶问题、烙饼问题等六个核心内容。知识梳理运用流程图呈现任务并行关系，结合典型示例解析核心要点，清晰展现各知识点的内在联系与重难点分布。 该复习讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新。易错点练习针对沏茶、烙饼等设例题及变式训练，如“烤3片面包，两面时间不同”的烙饼题培养数学思维。拔尖训练含多元题型，辨析技巧助力学生掌握方法，既支持自主复习，又为教师精准教学提供参考。

期末复习08：优化 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：沏茶问题（合理安排时间） 1 知识点二：烙饼问题（最优方案） 2 知识点三：田忌赛马（策略问题） 3 知识点四：排队问题（等候时间总和最小） 4 知识点五：优化思想的应用 4 知识点六：易错点与辨析技巧 5 易错点练习 6 易错点一：沏茶问题 6 易错点二：烙饼问题 7 易错点三：田忌赛马问题 8 拔尖训练 8 知识梳理 知识点一：沏茶问题（合理安排时间） 定义：沏茶问题是指通过合理安排各项任务的顺序，以达到节省时间的目的，核心是同时进行可以并行的任务。 核心要点： 1.流程图表示法：用流程图清晰展示任务顺序和并行关系 2.优化方法： 明确完成一项工作需要做哪些事情 知道每项事情各需要多少时间 合理安排工作顺序，在同一时间内可以做的事情同时做 典型示例： 小明帮妈妈做家务，需要完成以下事情： 扫地（5分钟） 擦桌子（2分钟） 烧开水（8分钟） 洗茶杯（1分钟） 优化方案：在烧开水的8分钟内，可以同时进行扫地和洗茶杯，然后再擦桌子，总共需要8+2=10分钟。 注意事项： 要分清哪些事情可以同时做，哪些必须按顺序做 注意先后顺序，不能颠倒 计算总时间时，同时进行的任务时间不需要重复计算 知识点二：烙饼问题（最优方案） 定义：烙饼问题是指通过合理安排烙饼的顺序，以最短时间完成全部烙饼任务的问题。 核心要点： 1.基本规律： 每次最多烙2张饼，每面需要一定时间 烙n张饼的最优时间=饼数×每面时间（当n≥2时） 最节省时间的方法是尽量使每次锅中都有2张饼 2.计算方法： 烙1张饼：需要2×每面时间 烙2张饼：需要2×每面时间（同时烙） 烙3张饼：需要3×每面时间（交替烙） 烙n张饼（n>3）：需要n×每面时间 典型示例： 烙饼时，每次最多放2张饼，每张饼要烙2面，每面需要3分钟。烙3张饼最少需要多少分钟？ 优化方案： 第1次：烙饼1正面、饼2正面（3分钟） 第2次：烙饼1反面、饼3正面（3分钟） 第3次：烙饼2反面、饼3反面（3分钟） 总时间：3×3=9分钟 注意事项： 当饼数为1时，无法优化，必须用2×每面时间 当饼数大于1时，尽量保证每次锅中都有2张饼 计算时注意区分"面"和"张"的概念 知识点三：田忌赛马（策略问题） 定义：田忌赛马是指在竞争中，通过合理安排现有资源（如马匹）的出场顺序，以弱胜强的策略问题。 核心要点： 1.基本策略： 了解双方的实力对比 用自己的弱队对阵对方的强队（战略性放弃） 用自己的中队对阵对方的弱队 用自己的强队对阵对方的中队 2.适用条件： 双方实力都分为不同层次 对方按固定顺序出场 自己可以自主安排出场顺序 典型示例： 田忌与齐王赛马，双方各有上、中、下三等马，同等级马中，齐王的马比田忌的强。如何安排出场顺序才能取胜？ 最优策略： 田忌用下等马对齐王的上等马（输） 田忌用上等马对齐王的中等马（赢） 田忌用中等马对齐王的下等马（赢） 结果：2胜1负，田忌获胜 注意事项： 策略问题需要全面考虑所有可能的情况 要学会在劣势中寻找优势 灵活应变是策略问题的关键 知识点四：排队问题（等候时间总和最小） 定义：排队问题是指通过合理安排排队顺序，使所有人的等候时间总和最小的优化问题。 核心要点： 1.基本规律： 等候时间总和=每个人的等候时间相加 要使等候时间总和最小，应让用时最少的人先办理 2.计算方法： 按用时从短到长排序 第1个人的等候时间=其用时×(总人数-1) 第2个人的等候时间=其用时×(总人数-2) ...以此类推，最后一个人无等候时间 总和=各个人等候时间相加 典型示例： 3个人同时来到理发店，甲需要10分钟，乙需要15分钟，丙需要20分钟。如何安排顺序使三人等候时间总和最小？ 最优方案： 按甲→乙→丙的顺序理发 甲等候时间：0分钟（第一个） 乙等候时间：10分钟 丙等候时间：10+15=25分钟 等候时间总和：0+10+25=35分钟 注意事项： 区分"等候时间总和"与"总耗时"的区别 等候时间总和最小不等于总耗时最少 适用于服务窗口、机器加工等场景 知识点五：优化思想的应用 定义：优化思想是指在解决问题时，通过合理安排步骤和顺序，以达到最高效率、最少时间或最少资源消耗的思维方法。 核心要点： 1.常见应用场景： 时间管理：合理安排学习和休息时间 资源分配：有限资源的最优分配 行程规划：最短路线和时间安排 生产安排：生产流程的优化 2.解决问题的步骤： 明确问题目标：要达到什么优化效果 分析现有条件：有哪些限制因素 设计可能方案：列出几种可行方案 比较选择最优：通过计算比较选择最佳方案 典型示例： 妈妈要做以下事情： 洗菜5分钟 切菜3分钟 炒菜10分钟 用电饭锅煮饭20分钟 准备碗筷2分钟 优化方案： 先煮饭（20分钟），同时进行洗菜、切菜和准备碗筷 饭煮好后炒菜（10分钟） 总时间：20+10=30分钟 注意事项： 优化思想可以应用于生活中的许多方面 要根据实际情况灵活运用不同的优化策略 有时需要在多个目标之间进行权衡 知识点六：易错点与辨析技巧 定义：易错点与辨析技巧是指总结优化问题学习中常见的错误认识和判断技巧，帮助准确理解概念和正确解决问题。 核心要点： 1.常见易错点： 混淆"同时进行"和"顺序进行"的概念 烙饼问题中，错误计算饼数与时间的关系 排队问题中，错误地认为应该让重要人物先做 策略问题中，考虑不全面，只看到眼前胜负 2.辨析技巧： 时间问题：用流程图清晰表示各任务关系 烙饼问题：记住公式"时间=饼数×每面时间"（n≥2） 排队问题：用时短的先做，等候时间总和最小 策略问题：从整体出发，考虑全局胜负 典型错例分析： 错例：烙4张饼，每次烙2张，每面3分钟，认为需要24分钟。 分析：正确应该是4×3=12分钟（2张同时烙，共2次，每次6分钟，2×6=12分钟） 注意事项： 解决优化问题时，要仔细分析问题类型 可通过画图、列表等方式辅助思考 多做对比练习，理解不同问题的特点 易错点练习 易错点一：沏茶问题 例题：星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【变式训练1】电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【变式训练2】星期天，丽丽帮妈妈做家务：刷碗要用7分钟；扫地要用8分钟；擦家具要用10分钟；用洗衣机洗衣服要用18分钟；晾衣服要用5分钟。请你尝试画出流程图，并帮丽丽算一算，做完这些事至少需要多长时间？ 【变式训练3】丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 易错点二：烙饼问题 例题：明明爸爸用一只小平底锅烙葱花饼，每次最多能烙3张，如果烙一张葱花饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么烙30张葱花饼至少需要多少分钟？ 【变式训练1】双休日到了，小佳家要来很多客人，这下小佳可忙了！ 趁客人还没有到来，小佳的妈妈用平底锅烙饼，这个锅每次最多能烙4张饼，烙熟1张饼要4分钟（每面各需2分钟），妈妈烙12张饼最少要用多长时间？她是怎样烙的呢？ 【变式训练2】妈妈用平底锅煎荷包蛋，每次可以同时煎2个荷包蛋，煎1个荷包蛋需要4分钟（正反面各2分钟），煎5个荷包蛋至少需要多少分钟？ 【变式训练3】妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 易错点三：田忌赛马问题 例题：冬冬和丽丽玩“比大小”的游戏，冬冬的三张卡片分别为2、6、8，丽丽的三张卡片分别为4、7、9，玩法：每人每次出一张卡片（每张牌只能出一次），牌大为胜，比三局，两胜为赢。冬冬怎样可以获胜？ 【变式训练1】这是一场拍球比赛，三局两胜，双方参加比赛的资料如下所示： 甲方一分钟拍球个数：1号20个    2号40个    3号60个 乙方一分钟拍球个数：1号10个    2号30个    3号50个 请问乙方队员怎样对阵才能获胜？ 【变式训练2】在一条铁路专运线上，每隔100千米依次有张家村、叶坡村、王寨村、李店村、黄庄村五个仓库。张家村仓库存有10吨棉花，李店村仓库存有20吨钢材，王寨村仓库存有40吨粮食，叶坡村和黄庄村两仓库空仓。现在想把这几个仓库中的所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物每千米的运费是1元，那么最少需要运费多少元？ 【变式训练3】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规测是：两人从一堆火柴中轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止，谁移走最后一根就算谁输。如果开始有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜？ 拔尖训练 1．妈妈用平底锅煎小黄鱼，锅里每次只能煎2条小黄鱼，正、反面都要煎，每面需要3分钟，煎5条小黄鱼至少需要（    ）分。 A．10 B．18 C．15 D．12 2．妈妈用平底锅煎鸡蛋，每次最多能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面要煎2分钟，煎7个鸡蛋最少要用（    ）分钟。 A．7 B．14 C．16 D．28 3．暑假时，笑笑想用最短的时间帮妈妈做完家务（看表），至少需要（    ）分钟。 洗衣机洗衣服 扫地 擦桌子 洗碗 晒衣服 25分钟 8分钟 10分钟 2分钟 3分钟 A．35 B．28 C．25 D．20 4．气象台发布台风预警，江老师需紧急通知舞蹈队31名队员取消排练。为确保通知到位，需要一对一打电话进行通知，每分钟通知1人。至少需要（    ）分钟才能通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 5．星期天妈妈要做好多事情、擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟（洗完领子袖口后还需机洗），打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟，妈妈干完所有这些事情最少用（    ）分钟。 A．95 B．80 C．75 D．55 E．60 6．妈妈给家人烙饼，这口锅只能同时烙两张饼，烙一面需要2分钟，要想一家五口能尽快吃上饼，最少需要( )分钟。 7．一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟。（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要( )分钟。 8．小波骑在马背上赶马过河，共有甲，乙，丙，丁四匹马，甲马过河需要3分钟，乙马过河需要5分钟，丙马过河需要6分钟，丁马过河需要7分钟，每次最多两匹马同时过河，要把4匹马都有赶到对岸去，最少需要( )分钟。 9．烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要( )分钟。 10．小红放学回家帮妈妈做家务，完成下面这些工作至少需要( )分钟。用电水壶烧开水15分钟、用电饭煲煮饭20分钟、整理房间6分钟、拖地10分钟。 11．小华想帮妈妈做家务，用洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要6分钟，擦家具要用15分钟，晾衣服要用5分钟，请你帮小华想一想，要尽快完成这些事，最少用( )分钟。 12．张老师周末上午9：00开始，要做下面几件事：用洗衣机洗衣服50分钟，拖地20分钟，擦桌子20分钟，晾衣服5分钟，下楼扔垃圾5分钟。如果张老师做完一件事再做另一件，共需要( )分钟；如果合理安排一下，只需要( )分钟。 13．为解决食堂吃饭排队时间过长的问题，某学校实施错峰放学。中午12：00初中放学，15分钟后高中放学，且初中生和高中生人数一样多。假设每个窗口打饭速度一样，如果开放五个窗口，初中生能在20分钟内全部打饭完毕。12：00开放5个窗口，高中生放学时再增开窗口使全部学生在12：30前吃到饭，则至少需要增开 个窗口。 14．牧马人骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需要5分钟，乙马过河需要6分钟，丙马过河需要3分钟，丁马过河需要9分钟。赶马过河时，每次最多能通过两匹马过河，要将四匹马都赶至对岸，牧马人应该怎样安排可使所用时间最短？最短需要多少分钟？ 15．李阿姨用平底锅烙饼，每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面3分钟。烙5张饼至少需要多少分钟？ 请你按照上课学习时的方法，把烙饼的顺序写完整。 16．有一副扑克牌（包括大小王共54张），奇奇和妙妙先后轮流抽取，每人每次至少抽取1张，至多抽取4张，不放回，谁抽到最后一张扑克牌谁输。请你帮助奇奇提供一个必胜的策略。 17．制作某种零件共需A、B、C、D、E五道工序，五道工序所需时间如下表。 工序 A B C D E 所需时间/小时 5 6 8 2 7 有些工序可同时进行（B和C工序可同时进行，D和E工序可同时进行），但B、C工序必须在A工序完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行。生产这种零件最少需要多少小时？ 18．周末宁宁要做以下家务：拖地要10分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，晾衣服要10分钟。按你认为最合理最省时间的安排，宁宁做完这些事至少需要多少分钟？ 19．花园小学四年级趣味运动会开始了，场上四（1）班和四（2）班各派3名选手参加“带球跑”比赛，采取三局两胜制。下表是参赛选手的最好成绩。 四（1）班选手 王阳24.0秒 李林28.5秒 刘乐31.7秒 四（2）班选手 张涛27.2秒 赵凯30.9秒 孙宁32.9秒 如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，那么四（2）班应该怎样对阵才能获胜？请完成下表。 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 第二场 李林 第三场 王阳 20．鸡公山风景区是我国级旅游景区，山清水秀，气候凉爽，被称为“避暑圣地”。国庆节期间，有很多游客来鸡公山旅游观光。现在有18人坐观光车，有两种观光车可以选择：大观光车可载6人，租金25元，小观光车可载4人，租金15元。如果每辆车都坐满，可以怎样租车？怎样租车费用最少？ 方案序号 小观光车（4人/辆） 大观光车（6人/辆） 可坐总人数 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 答：如果每辆车都坐满，可以选择的方案是___________，方案___________最省钱，算式是________________________。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08：优化 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：沏茶问题（合理安排时间） 1 知识点二：烙饼问题（最优方案） 2 知识点三：田忌赛马（策略问题） 3 知识点四：排队问题（等候时间总和最小） 4 知识点五：优化思想的应用 4 知识点六：易错点与辨析技巧 5 易错点练习 6 易错点一：沏茶问题 6 易错点二：烙饼问题 8 易错点三：田忌赛马问题 10 拔尖训练 13 知识梳理 知识点一：沏茶问题（合理安排时间） 定义：沏茶问题是指通过合理安排各项任务的顺序，以达到节省时间的目的，核心是同时进行可以并行的任务。 核心要点： 1.流程图表示法：用流程图清晰展示任务顺序和并行关系 2.优化方法： 明确完成一项工作需要做哪些事情 知道每项事情各需要多少时间 合理安排工作顺序，在同一时间内可以做的事情同时做 典型示例： 小明帮妈妈做家务，需要完成以下事情： 扫地（5分钟） 擦桌子（2分钟） 烧开水（8分钟） 洗茶杯（1分钟） 优化方案：在烧开水的8分钟内，可以同时进行扫地和洗茶杯，然后再擦桌子，总共需要8+2=10分钟。 注意事项： 要分清哪些事情可以同时做，哪些必须按顺序做 注意先后顺序，不能颠倒 计算总时间时，同时进行的任务时间不需要重复计算 知识点二：烙饼问题（最优方案） 定义：烙饼问题是指通过合理安排烙饼的顺序，以最短时间完成全部烙饼任务的问题。 核心要点： 1.基本规律： 每次最多烙2张饼，每面需要一定时间 烙n张饼的最优时间=饼数×每面时间（当n≥2时） 最节省时间的方法是尽量使每次锅中都有2张饼 2.计算方法： 烙1张饼：需要2×每面时间 烙2张饼：需要2×每面时间（同时烙） 烙3张饼：需要3×每面时间（交替烙） 烙n张饼（n>3）：需要n×每面时间 典型示例： 烙饼时，每次最多放2张饼，每张饼要烙2面，每面需要3分钟。烙3张饼最少需要多少分钟？ 优化方案： 第1次：烙饼1正面、饼2正面（3分钟） 第2次：烙饼1反面、饼3正面（3分钟） 第3次：烙饼2反面、饼3反面（3分钟） 总时间：3×3=9分钟 注意事项： 当饼数为1时，无法优化，必须用2×每面时间 当饼数大于1时，尽量保证每次锅中都有2张饼 计算时注意区分"面"和"张"的概念 知识点三：田忌赛马（策略问题） 定义：田忌赛马是指在竞争中，通过合理安排现有资源（如马匹）的出场顺序，以弱胜强的策略问题。 核心要点： 1.基本策略： 了解双方的实力对比 用自己的弱队对阵对方的强队（战略性放弃） 用自己的中队对阵对方的弱队 用自己的强队对阵对方的中队 2.适用条件： 双方实力都分为不同层次 对方按固定顺序出场 自己可以自主安排出场顺序 典型示例： 田忌与齐王赛马，双方各有上、中、下三等马，同等级马中，齐王的马比田忌的强。如何安排出场顺序才能取胜？ 最优策略： 田忌用下等马对齐王的上等马（输） 田忌用上等马对齐王的中等马（赢） 田忌用中等马对齐王的下等马（赢） 结果：2胜1负，田忌获胜 注意事项： 策略问题需要全面考虑所有可能的情况 要学会在劣势中寻找优势 灵活应变是策略问题的关键 知识点四：排队问题（等候时间总和最小） 定义：排队问题是指通过合理安排排队顺序，使所有人的等候时间总和最小的优化问题。 核心要点： 1.基本规律： 等候时间总和=每个人的等候时间相加 要使等候时间总和最小，应让用时最少的人先办理 2.计算方法： 按用时从短到长排序 第1个人的等候时间=其用时×(总人数-1) 第2个人的等候时间=其用时×(总人数-2) ...以此类推，最后一个人无等候时间 总和=各个人等候时间相加 典型示例： 3个人同时来到理发店，甲需要10分钟，乙需要15分钟，丙需要20分钟。如何安排顺序使三人等候时间总和最小？ 最优方案： 按甲→乙→丙的顺序理发 甲等候时间：0分钟（第一个） 乙等候时间：10分钟 丙等候时间：10+15=25分钟 等候时间总和：0+10+25=35分钟 注意事项： 区分"等候时间总和"与"总耗时"的区别 等候时间总和最小不等于总耗时最少 适用于服务窗口、机器加工等场景 知识点五：优化思想的应用 定义：优化思想是指在解决问题时，通过合理安排步骤和顺序，以达到最高效率、最少时间或最少资源消耗的思维方法。 核心要点： 1.常见应用场景： 时间管理：合理安排学习和休息时间 资源分配：有限资源的最优分配 行程规划：最短路线和时间安排 生产安排：生产流程的优化 2.解决问题的步骤： 明确问题目标：要达到什么优化效果 分析现有条件：有哪些限制因素 设计可能方案：列出几种可行方案 比较选择最优：通过计算比较选择最佳方案 典型示例： 妈妈要做以下事情： 洗菜5分钟 切菜3分钟 炒菜10分钟 用电饭锅煮饭20分钟 准备碗筷2分钟 优化方案： 先煮饭（20分钟），同时进行洗菜、切菜和准备碗筷 饭煮好后炒菜（10分钟） 总时间：20+10=30分钟 注意事项： 优化思想可以应用于生活中的许多方面 要根据实际情况灵活运用不同的优化策略 有时需要在多个目标之间进行权衡 知识点六：易错点与辨析技巧 定义：易错点与辨析技巧是指总结优化问题学习中常见的错误认识和判断技巧，帮助准确理解概念和正确解决问题。 核心要点： 1.常见易错点： 混淆"同时进行"和"顺序进行"的概念 烙饼问题中，错误计算饼数与时间的关系 排队问题中，错误地认为应该让重要人物先做 策略问题中，考虑不全面，只看到眼前胜负 2.辨析技巧： 时间问题：用流程图清晰表示各任务关系 烙饼问题：记住公式"时间=饼数×每面时间"（n≥2） 排队问题：用时短的先做，等候时间总和最小 策略问题：从整体出发，考虑全局胜负 典型错例分析： 错例：烙4张饼，每次烙2张，每面3分钟，认为需要24分钟。 分析：正确应该是4×3=12分钟（2张同时烙，共2次，每次6分钟，2×6=12分钟） 注意事项： 解决优化问题时，要仔细分析问题类型 可通过画图、列表等方式辅助思考 多做对比练习，理解不同问题的特点 易错点练习 易错点一：沏茶问题 例题：星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【答案】做法见详解；66分钟 【分析】要节省时间，需将能同时进行的任务安排在洗衣机工作的56分钟内完成。找衣服和晾衣服必须单独进行，其他任务可并行处理。洗衣服的时间，可以同时整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，这三项总时间为15＋5＋12＝32（分钟），能在56分钟内完成，即最少需要5分钟（找衣服）＋56分钟（洗衣服）＋5分钟（晾衣服）＝66（分钟），据此解答即可。 【详解】15＋5＋12＝32（分钟） 32＜56 5＋56＋5＝66（分钟） 答：阳阳先找齐要洗的衣服，然后用全自动洗衣机洗衣服的同时整理房间、擦桌子、拖地，最后晾衣服；最少需要66分钟。 【变式训练1】电车公司维修站有7辆电车需要维修，如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失降到最低，最少损失多少元？ 【答案】1991元 【分析】要使经济损失最小，需将修复时间短的车辆优先分配给工人，减少总停开时间。将7辆车的修复时间从小到大排序为8、12、14、17、18、23、30分钟。分配给3名工人时，尽量均衡各组的总停开时间。最优分配为：工人①修8、14、18分钟的车，总停开时长为8＋8＋14＋8＋14＋18＝70分钟。工人②修17、23分钟的车，总停开时长为17＋17＋23＝57分钟。工人③修12、30分钟的车，总停开时长为12＋12＋30＝54分钟。把3名工人总停开时长相加后再与11相乘即可解答。 【详解】将修复时间排序：8、12、14、17、18、23、30分钟。 工人①：8、14、18分钟，停开时间总和：8＋8＋14＋8＋14＋18＝70（分钟） 工人②：17、23分钟，停开时间总和：17＋17＋23＝57（分钟） 工人③：12、30分钟，停开时间总和：12＋12＋30＝54（分钟） （70＋57＋54）×11 ＝181×11 ＝1991（元） 答：最少损失1991元。 【点睛】本题可根据要使经济损失降到最低，应让修复用时短的车辆优先维修，且使三名工人的工作时间尽量均匀的原则来安排维修顺序，进而计算出最少损失。 【变式训练2】星期天，丽丽帮妈妈做家务：刷碗要用7分钟；扫地要用8分钟；擦家具要用10分钟；用洗衣机洗衣服要用18分钟；晾衣服要用5分钟。请你尝试画出流程图，并帮丽丽算一算，做完这些事至少需要多长时间？ 【答案】图见详解；30分钟 【分析】由题意得，要想做完这些事情用时最少，丽丽需要合理安排做家务的顺序。她可以先用洗衣机洗衣服，然后在洗衣机洗衣服的同时去刷碗、扫地和擦家具，最后再晾衣服。据此解答。 【详解】 7＋8＋10＝25（分钟） 25＞18，即丽丽刷碗、扫地和擦家具的时间比她用洗衣机洗衣服的时间长。                25＋5＝30（分钟） 答：丽丽做完这些事至少需要30分钟。 【变式训练3】丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 【答案】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成；9分钟。 【分析】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成，据此解答。 【详解】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成。 1＋1＋6＋1＝9（分钟） 答：她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要9分钟的时间。 易错点二：烙饼问题 例题：明明爸爸用一只小平底锅烙葱花饼，每次最多能烙3张，如果烙一张葱花饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么烙30张葱花饼至少需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【分析】烙饼的次数＝饼的张数×2÷一次可以烙的张数，总时间＝烙一面的时间×次数；据此解答。 【详解】30×2÷3 ＝60÷3 ＝20（次） 3×20＝60（分钟） 答：那么烙30张葱花饼至少需要60分钟。 【变式训练1】双休日到了，小佳家要来很多客人，这下小佳可忙了！ 趁客人还没有到来，小佳的妈妈用平底锅烙饼，这个锅每次最多能烙4张饼，烙熟1张饼要4分钟（每面各需2分钟），妈妈烙12张饼最少要用多长时间？她是怎样烙的呢？ 【答案】12分钟；方法见详解 【分析】因为每次最多能烙4张饼，每面各需2分钟，那么烙4张饼，先烙正面2分钟，再烙反面2分钟，一共需要2＋2＝4（分钟），计算烙12张饼需要的次数，即12÷4＝3（次），即分3次可以烙完12张饼，那么每次烙4张饼需要4分钟，烙3次，总共需要3×4＝12（分钟），据此解答即可。 【详解】2＋2＝4（分钟） 12÷4＝3（次） 3×4＝12（分钟） 答：妈妈烙12张饼最少要用12分钟。方法：第一次烙4张饼的正面，2分钟后翻面烙反面，2分钟后这4张饼烙好；第二次同样烙4张饼，先正面后反面，各2分钟；第三次再烙剩下的4张饼，也是先正面后反面，各2分钟。这样12张饼就全部烙好了。 【变式训练2】妈妈用平底锅煎荷包蛋，每次可以同时煎2个荷包蛋，煎1个荷包蛋需要4分钟（正反面各2分钟），煎5个荷包蛋至少需要多少分钟？ 【答案】10分钟 【分析】每次可以同时煎2个荷包蛋，要使时间最少，那么每煎一次，要保证锅里都有2个荷包蛋，这样才能使用的时间最少。把5个鸡蛋分别编号为：①②③④⑤，列举出每次煎蛋的顺序：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反，即需要分5次才可以煎完。 【详解】煎蛋顺序：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反 2×5＝10（分钟） 答：煎5个荷包蛋至少需要10分钟。 【变式训练3】妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 【答案】5分钟 【分析】先烤第一、第二片面包片的第一面，2分钟；然后第一片面包片取出，将第二片翻面，放上第三片面包片，经过1分钟，第二片面包片已熟取出；再放上第一片面包片，烤另外一面，1分钟后，第一片面包片又熟了，可把它取出；最后把第三片面包片翻面，再过1分钟，第三片面包片完成；所以一共需要（2＋1＋1＋1）分钟。 【详解】2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝5（分钟） 答：最少要用5分钟。 易错点三：田忌赛马问题 29．冬冬和丽丽玩“比大小”的游戏，冬冬的三张卡片分别为2、6、8，丽丽的三张卡片分别为4、7、9，玩法：每人每次出一张卡片（每张牌只能出一次），牌大为胜，比三局，两胜为赢。冬冬怎样可以获胜？ 【答案】见详解 【分析】丽丽手中最大的牌是9，若冬冬在这一局随意出6或者8，都会输掉这一局，并且还消耗了自己较大的牌。所以，为了最大程度地利用自己的牌，冬冬应出最小的牌2应对丽丽的9。这样冬冬输一局，丽丽出中间的牌7，东东就出最大的牌8，赢一局，丽丽出最小的牌4，冬冬出6这张牌，这样赢一局，由此得出冬冬3局2胜即可获胜；据此解答。 【详解】根据分析，冬冬要想获胜，应按照以下出牌顺序：丽丽出9，冬冬出2；丽丽出7，冬冬出8；丽丽出4，冬冬出6。 30．这是一场拍球比赛，三局两胜，双方参加比赛的资料如下所示： 甲方一分钟拍球个数：1号20个    2号40个    3号60个 乙方一分钟拍球个数：1号10个    2号30个    3号50个 请问乙方队员怎样对阵才能获胜？ 【答案】乙的1号对甲的3号，乙的2号对甲的1号，乙的3号对甲的2号，即可获胜。 【分析】根据题意，三局两胜即为获胜，因此我们首先要找出两组乙方队员中拍球个数比甲方队员中排球个数多的，即可解答本题。 【详解】根据分析可得： 乙方1号对阵甲方3号，即10＜60，败； 乙方2号对阵甲方1号，即30＞20，胜； 乙方3号对阵甲方2号，即50＞40，胜； 以上对阵方法即可保证三局两胜。 答：乙的1号对甲的3号，乙的2号对甲的1号，乙的3号对甲的2号，即可获胜。 【点睛】本题考查对策问题，需要我们充分理解“三局两胜”的含义，从题目中找出乙方与甲方对阵能获胜的两组队员是解题的关键。 31．在一条铁路专运线上，每隔100千米依次有张家村、叶坡村、王寨村、李店村、黄庄村五个仓库。张家村仓库存有10吨棉花，李店村仓库存有20吨钢材，王寨村仓库存有40吨粮食，叶坡村和黄庄村两仓库空仓。现在想把这几个仓库中的所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物每千米的运费是1元，那么最少需要运费多少元？ 【答案】4000元 【分析】要使运费最少，需要考虑货物的重量和仓库之间的距离。把货物集中到哪个仓库，取决于将其他仓库的货物运输到该仓库的总费用最小。 方案一：集中到张家村 王寨村距离张家村200千米，王寨村有40吨粮食，运输费用为200×40×1＝8000（元）。 李店村距离张家村300千米，李店村有20吨钢材，运输费用为20×300×1＝6000（元）。 总运费为8000＋6000＝14000（元） 方案二：集中到叶坡村 张家村距离叶坡村100千米，张家村有10吨棉花，运输费用为10×100×1＝1000（元）。 王寨村距离叶坡村100千米，王寨村有40吨粮食，运输费用为40×100×1＝4000（元）。 李店村距离叶坡村200千米，李店村有20吨钢材，运输费用为20×200×1＝4000（元）。 总运费为1000＋4000＋4000＝9000（元）。 方案三：集中到王寨村 张家村距离王寨村200千米，张家村有10吨棉花，运输费用为10×200×1＝2000（元）， 李店村距离王寨村100千米，李店村有20吨钢材，运输费用为20×100×1 ＝ 2000（元）。总运费为2000＋2000＝4000（元）。 方案四：集中到李店村 张家村距离李店村300千米，张家村有10吨棉花，运输费用为10×300×1＝3000（元）。 王寨村距离李店村100千米，王寨村有40吨粮食，运输费用为40×100×1＝4000（元）。 总运费为3000＋4000＝7000（元）。 方案五：集中到黄庄村 张家村距离黄庄村400千米，张家村有10吨棉花，运输费用为10×400×1＝4000（元）。 王寨村距离黄庄村300千米，王寨村有40吨粮食，运输费用为40×300×1＝12000元。 李店村距离黄庄村200千米，李店村有20吨钢材，运输费用为20×200×1＝4000（元）。 总运费为4000＋12000＋4000＝20000（元）。 比较五种方案的总运费，即可求出最少需要运费多少元，据此解答即可。 【详解】方案一： 200×40×1＝8000（元） 20×300×1＝6000（元） 总运费： 8000＋6000＝14000（元） 方案二： 10×100×1＝1000（元） 40×100×1＝4000（元） 20×200×1＝4000（元） 总运费： 1000＋4000＋4000＝9000（元） 方案三： 10×200×1＝2000（元） 20×100×1 ＝ 2000（元） 总运费： 2000＋2000＝4000（元） 方案四： 10×300×1＝3000（元） 40×100×1＝4000（元） 总运费： 3000＋4000＝7000（元） 方案五： 10×400×1＝4000（元） 40×300×1＝12000元 20×200×1＝4000（元） 总运费： 4000＋12000＋4000＝20000（元） 20000＞14000＞9000＞7000＞4000 答：现在想把这几个仓库中的所有货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物每千米的运费是1元，那么最少需要运费4000元。 32．两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规测是：两人从一堆火柴中轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止，谁移走最后一根就算谁输。如果开始有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜？ 【答案】7根 【分析】因为每次可以移走1至7根火柴，要想获胜，必须使得最后一轮剩下8根火柴。这样无论对方移走几根，自己都能移走剩下的全部火柴，从而获胜。最后一步只要取走第999根火柴即可。因此，只要取到第991根就可以了。由此推下去，甲只要取到第983根、第975根……第7根就能保证获胜。 【详解】1000÷（1＋7） ＝1000÷8 ＝125 1000除以8无余数，所以第一次移走7根时才能获胜。 答：首先移火柴的人在第一次移走7根时才能在游戏中保证获胜。 拔尖训练 1．妈妈用平底锅煎小黄鱼，锅里每次只能煎2条小黄鱼，正、反面都要煎，每面需要3分钟，煎5条小黄鱼至少需要（    ）分。 A．10 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【分析】先煎第一条小黄鱼和第二条小黄鱼的正面3分钟； 接着煎第一条小黄鱼和第二条小黄鱼的反面3分钟； 然后煎第三条小黄鱼和第四条小黄鱼的正面3分钟； 再煎第三条小黄鱼的反面和第五条小黄鱼的正面3分钟； 最后煎第四条小黄鱼和第五条小黄鱼的反面3分钟；据此解答。 【详解】根据分析可知： 3×5＝15（分钟） 妈妈用平底锅煎小黄鱼，锅里每次只能煎2条小黄鱼，正、反面都要煎，每面需要3分钟，煎5条小黄鱼至少需要15分。 故答案为：C 2．妈妈用平底锅煎鸡蛋，每次最多能煎2个鸡蛋，两面都要煎，每面要煎2分钟，煎7个鸡蛋最少要用（    ）分钟。 A．7 B．14 C．16 D．28 【答案】B 【分析】每次煎2个鸡蛋，每面2分钟，煎好2个鸡蛋需要4分钟。前4个鸡蛋就需要8分钟。剩下3个鸡蛋，设为A、B、C。第一次煎A、B的正面，2分钟；第二次煎A的反面和C的正面，2分钟；第三次煎B、C的反面，2分钟，煎后三个鸡蛋共6分钟。所以煎7个鸡蛋最少需要8＋6＝14分钟。 【详解】同时煎两个的时间：（分钟） 煎前四个的时间：（分钟） 煎后三个鸡蛋的时间：（分钟） 则一共需要：（分钟） 煎7个鸡蛋最少要用14分钟。 故答案为：B 【点睛】解答本题关键是要合理安排煎蛋顺序以省时间。 3．暑假时，笑笑想用最短的时间帮妈妈做完家务（看表），至少需要（    ）分钟。 洗衣机洗衣服 扫地 擦桌子 洗碗 晒衣服 25分钟 8分钟 10分钟 2分钟 3分钟 A．35 B．28 C．25 D．20 【答案】B 【分析】找出可以同时进行的家务，从而计算出完成所有家务的最短时间。洗衣机洗衣服的25分钟内，因为不需要人一直盯着，所以可以同时进行扫地（8分钟）、擦桌子（10分钟）和洗碗（2分钟）。洗衣机洗完衣服后再晒衣服。这样所需要的时间为洗衣机洗衣服的时间加上晒衣服的时间。据此解答。 【详解】8＋10＋2＝18＋2＝20（分钟） 因为25＞20分钟，所以洗衣机洗衣服的同时进行扫地（8分钟）、擦桌子（10分钟）和洗碗（2分钟）。 25＋3＝28（分钟） 所以，笑笑想用最短的时间帮妈妈做完家务，至少需要28分钟。 故答案为：B 4．气象台发布台风预警，江老师需紧急通知舞蹈队31名队员取消排练。为确保通知到位，需要一对一打电话进行通知，每分钟通知1人。至少需要（    ）分钟才能通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题属于优化类问题，需利用倍增策略。每分钟每个已通知的人（包括老师和学生）可通知1人，因此每分钟后总通知人数为前一次的2倍。计算至第5分钟时，总人数（含老师）为32人，学生数为31人，满足条件。 【详解】每分钟通知人数按倍增计算： 第1分钟：老师通知1人，共2人（老师＋1学生）。 第2分钟：2人各通知1人，新增2人，2×2＝4（人），共4人。 第3分钟：4人各通知1人，新增4人，2×4＝8（人），共8人。 第4分钟：8人各通知1人，新增8人，2×8＝16（人），共16人。 第5分钟：16人各通知1人，新增16人，2×16＝32（人），共32人。 此时总人数为32人（含老师），学生数为32−1＝31人，恰好通知完毕。 因此至少需要5分钟。 故答案为：A 5．星期天妈妈要做好多事情、擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟（洗完领子袖口后还需机洗），打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟，妈妈干完所有这些事情最少用（    ）分钟。 A．95 B．80 C．75 D．55 E．60 【答案】E 【分析】首先洗脏衣服的领口和袖口，然后用洗衣机洗衣服的同时，可以擦玻璃，收拾厨房，可节约20＋15＝35（分钟），所以做完这件事至少需要10＋40＋10＝60（分钟），据此解答。 【详解】10＋40＋10＝60（分钟） 所以妈妈干完所有这些事情最少用60分钟。 故答案选：E 6．妈妈给家人烙饼，这口锅只能同时烙两张饼，烙一面需要2分钟，要想一家五口能尽快吃上饼，最少需要( )分钟。 【答案】10 【分析】根据题目要求，妈妈需要烙5张饼且用时最少。所以在烙饼时就要保证锅里同时烙2张饼。 【详解】第一个2分钟：妈妈放入2张饼，2分钟后，把第1张饼翻面，把第2张饼拿出来，放入第3张饼。 第二个2分钟：锅里烙第1张饼的另一面和第3张饼的正面，2分钟后，拿出第1张饼，放入第2张饼，把第3张饼翻面。 第三个2分钟：锅里烙第2张饼的另一面和第3张饼的另一面。2分钟后，拿出第2张饼和第3张饼。 第四个2分钟：放入2张饼，2分钟后，翻面继续烙。 第五个2分钟；翻面继续烙2张饼。2分钟后，烙好了5张饼。 所以最少需要10分钟。 7．一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟。（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】通过合理安排煎鱼的顺序，充分利用平底锅每次能煎两条鱼的条件，来节省时间。首先把三条鱼分别标记为鱼1、鱼2、鱼3。先煎鱼1和鱼2的正面，需要2分钟。然后煎鱼1的反面和鱼3的正面，需要2分钟，此时鱼1已经煎好。最后煎鱼2和鱼3的反面，需要2分钟，此时鱼2和鱼3也煎好。总共煎了3次，每次2分钟，这样煎鱼需要的时间最少，据此解答即可。 【详解】把三条鱼分别标记为鱼1、鱼2、鱼3，先煎鱼1和鱼2的正面，然后煎鱼1的反面和鱼3的正面，最后煎鱼2和鱼3的反面，一共煎3次。 2×3＝6（分钟）。 答：煎三条鱼至少需要6分钟。 8．小波骑在马背上赶马过河，共有甲，乙，丙，丁四匹马，甲马过河需要3分钟，乙马过河需要5分钟，丙马过河需要6分钟，丁马过河需要7分钟，每次最多两匹马同时过河，要把4匹马都有赶到对岸去，最少需要( )分钟。 【答案】18 【分析】要使时间最少，需让用时少的马多次往返，带动用时多的马过河。先让甲和乙过河，甲返回；再让丙和丁过河，乙返回；最后甲和乙过河，计算总时间，据此解答。 【详解】甲和乙过河，用时3分钟（以用时多的乙为准），甲返回，用时2分钟，共3＋2＝5分钟。丙和丁过河，用时7分钟，乙返回，用时3分钟，共7＋3＝10分钟。 甲和乙过河，用时3分钟。 总时间：5＋10＋3＝18分钟。 最少需要18分钟。 9．烤面包，每次最多只能烤2片面包，两面都要烤，每面2分钟，烤2片至少需要( )分钟。 【答案】4 【分析】每次最多烤2片，每面需要2分钟，将两片面包同时烤正面，再同时烤反面，总时间为2＋2＝4（分钟），据此即可解答。 【详解】将两片面包分别记为A和B。 第一次烤：A的正面和B的正面，用时2分钟。 第二次烤：A的反面和B的反面，用时2分钟。 总时间：2＋2＝4（分钟） 因此，烤2片至少需要4分钟。 10．小红放学回家帮妈妈做家务，完成下面这些工作至少需要( )分钟。用电水壶烧开水15分钟、用电饭煲煮饭20分钟、整理房间6分钟、拖地10分钟。 【答案】20 【分析】要使完成这些工作花费时间最少，则需要考虑哪些事情可以同时做，从而合理利用时间。电饭煲煮饭的20分钟与电水壶烧开水的15分钟以及整理房间6分钟和拖地10分钟部分时间是可以同时进行的，在进行用电饭煲煮饭和用电水壶烧开水的同时进行整理房间，整理完房间后进行拖地；看整理房间和拖地的总时间与烧开水、煮饭时间哪个用时长，就是最少所需的时间。 【详解】根据分析： 6＋10＝16（分钟） 完成整理房间和拖地需要16分钟 20＞16＞15，所以在完成煮饭的同时可以完成烧开水、整理房间和拖地。 综上可知，完成这些工作至少需要20分钟。 11．小华想帮妈妈做家务，用洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要6分钟，擦家具要用15分钟，晾衣服要用5分钟，请你帮小华想一想，要尽快完成这些事，最少用( )分钟。 【答案】26 【分析】要统筹安排时间，使事情能够顺利完成，但又不至于相互干扰，可以先用洗衣机洗衣服，同时擦家具和扫地，最后晾衣服，这样最快，然后计算出最少时间。 【详解】先用洗衣机洗衣服（20分钟），同时擦家具（15分钟）和扫地（6分钟），共用21分钟，最后晾衣服（5分钟）。15＋6＋5＝26（分钟）这样最快，最少用26分钟。 12．张老师周末上午9：00开始，要做下面几件事：用洗衣机洗衣服50分钟，拖地20分钟，擦桌子20分钟，晾衣服5分钟，下楼扔垃圾5分钟。如果张老师做完一件事再做另一件，共需要( )分钟；如果合理安排一下，只需要( )分钟。 【答案】 100 55 【分析】如果张老师做完一件事再做另一件，将所有事情需要的时间相加，求出需要的总时间。要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。用洗衣机洗衣服的同时，可以拖地和擦桌子，并下楼扔垃圾。最后晾衣服。一共需要（50＋5）分钟。 【详解】50＋20＋20＋5＋5＝100（分钟） 50＋5＝55（分钟） 如果张老师做完一件事再做另一件，共需要100分钟；如果合理安排一下，只需要55分钟。 13．为解决食堂吃饭排队时间过长的问题，某学校实施错峰放学。中午12：00初中放学，15分钟后高中放学，且初中生和高中生人数一样多。假设每个窗口打饭速度一样，如果开放五个窗口，初中生能在20分钟内全部打饭完毕。12：00开放5个窗口，高中生放学时再增开窗口使全部学生在12：30前吃到饭，则至少需要增开 个窗口。 【答案】4 【分析】确定学生人数：已知开放5个窗口，初中生20分钟打完饭，根据“窗口数×时间＝总人数”，可得初中生人数为5×20＝100人，因为高中生人数与初中生相同，所以高中生人数也为100人。 划分高中打饭时间：高中12：15放学，12：30前要打完饭，总共15分钟。但前5分钟（12：15－12：20），5个窗口还在处理初中剩下的饭。初中15分钟已打5×15＝75人，还剩100－75＝25人，这25人需要5个窗口再用25÷5＝5分钟才能打完，即12：20完成初中打饭。所以高中打饭分为两段：前5分钟只能靠新增窗口，后10分钟原5个窗口和新增窗口一起打。 试算新增窗口数：先算出原5个窗口在后10分钟能打5×10＝50人，那么剩下100－50＝50人需要新增窗口在15分钟内打完。一个新增窗口15分钟能打1×15＝15人，通过试算，3个新增窗口15分钟能打3×15＝45人，小于50人，不够；4个新增窗口15分钟能打4×15＝60人，大于等于50人，满足需求。所以至少需要增开4个窗口。 【详解】计算初中生人数：5×20＝100（人），高中生人数同为100人。 计算初中15分钟后剩余人数：100－5×15＝25（人），剩余完成时间：25÷5＝5（分钟），即12：20完成初中打饭。 高中打饭时间分段：12：15－12：20（5分钟）：仅新增窗口为高中打饭；12：20－12：30（10分钟）：原5个窗口＋新增窗口共同打饭。 原5个窗口后10分钟打饭人数：5×10＝50（人），高中剩余需新增窗口打的人数：100－50＝50（人）。 试算新增窗口数：1个窗口15分钟打：1×15＝15（人），3个窗口15分钟打：3×15＝45（人）＜50人（不够），4个窗口15分钟打：4×15＝60（人）≥50人（满足）。 则至少需要增开4个窗口。 【点睛】抓总量关系：用“窗口数×时间”直接算出初中（及高中）总人数，建立工作量基准；拆时间阶段：把高中打饭时间拆成“前5分钟新增窗口独做”和“后10分钟新旧窗口合做”，避开复杂方程；用试算验证：先算原窗口后10分钟能帮打多少人，再用“剩余人数÷新增窗口总时间”试算整数解。这种方法通过“化整为零”的思路，将时间与工作量对应，用乘法和简单试算替代方程。 14．牧马人骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需要5分钟，乙马过河需要6分钟，丙马过河需要3分钟，丁马过河需要9分钟。赶马过河时，每次最多能通过两匹马过河，要将四匹马都赶至对岸，牧马人应该怎样安排可使所用时间最短？最短需要多少分钟？ 【答案】安排见详解；26分钟 【分析】先比较需要时间的长短，返回时要骑时间少的马，然后把各自的时间相加。 【详解】3＜5＜6＜9， 第一次过河，骑丙马赶甲马：5分钟， 第一次返回骑丙马：3分钟； 第二次过河，骑丙马赶乙马：6分钟， 第二次返回骑丙马：3分钟； 第三次过河，骑丙马赶丁马：9分钟 5＋3＋6＋3＋9 ＝8＋6＋3＋9 ＝14＋3＋9 ＝17＋9 ＝26（分钟）， 答：牧马人第一次过河骑丙马赶甲马，返回时骑丙马；第二次过河骑丙马赶乙马，返回时骑丙马；第三次过河骑丙马赶丁马用时最短，最短需要26分钟。（过河的顺序不唯一） 15．李阿姨用平底锅烙饼，每次最多只能烙2张，两面都要烙，每面3分钟。烙5张饼至少需要多少分钟？ 请你按照上课学习时的方法，把烙饼的顺序写完整。 【答案】见详解 【分析】前三张饼：首先同时烙2张饼，用时3分钟；然后取出一个饼、翻转一个饼、放入一个新的饼，用时3分钟；这时，烙好了一个饼，再翻转平底锅里的饼，放入第一次取出的饼，用时3分钟烙熟剩下的两个饼。后两张饼：两面都要烙，每面要3分钟，一共是5个3分钟，据此解题。 【详解】 3×5＝15（分钟） 答：烙5张饼至少需要15分钟。 16．有一副扑克牌（包括大小王共54张），奇奇和妙妙先后轮流抽取，每人每次至少抽取1张，至多抽取4张，不放回，谁抽到最后一张扑克牌谁输。请你帮助奇奇提供一个必胜的策略。 【答案】奇奇先取3张后，接下来保证每次和妙妙一共抽取5张牌，就可以让妙妙抽到最后一张牌，从而奇奇获胜。 【分析】因为谁抽到最后一张牌谁输，所以奇奇最后一次抽完牌后要剩下一张扑克牌，才能保证奇奇获胜，所以奇奇最后一次抽取后，两人总计抽取了54－1＝53（张）牌。按总计抽取53张牌，奇奇是最后一次抽取，此时需要在若干回合后，妙妙抽完后剩余的牌的张数只能是1~4张，即最后一回合妙妙一次性抽取不完（即妙妙最后一回合抽取前此时最少有5张），所以要保证第一次抽完后，剩余的牌数是5的整数倍，且保证每一回合奇奇抽的牌的张数和妙妙抽的牌的张数和为5即可，最后一回合只剩5张牌，妙妙不管怎么抽，奇奇都能抽完并获胜。 【详解】（54－1）÷（1＋4） ＝53÷5 ＝10（组）……3（张） 答：奇奇先取3张后，接下来保证每次和妙妙一共抽取5张牌，就可以让妙妙抽到最后一张牌，从而奇奇获胜。 17．制作某种零件共需A、B、C、D、E五道工序，五道工序所需时间如下表。 工序 A B C D E 所需时间/小时 5 6 8 2 7 有些工序可同时进行（B和C工序可同时进行，D和E工序可同时进行），但B、C工序必须在A工序完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行。生产这种零件最少需要多少小时？ 【答案】20小时 【分析】由题意得，B、C必须在A完成后才能进行，D、E工序必须在C工序完成后才能进行，所以要最先完成A工序。完成A工序需要5小时，之后同时进行B和C工序。B工序需要6小时，C工序需要8小时。6小时＜8小时，即C工序所需时间更长，那么B、C两个工序都完成需要8小时。完成C工序之后，再同时进行D和E工序。D工序需要2小时，E工序需要7小时，2小时＜7小时，即E工序所需时间更长，那么D、E两个工序都完成需要7小时。直接把三段时间相加即可算出生产这种零件最少需要多少小时。 【详解】5＋8＋7 ＝13＋7 ＝20（小时） 答：生产这种零件最少需要20小时。 18．周末宁宁要做以下家务：拖地要10分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，晾衣服要10分钟。按你认为最合理最省时间的安排，宁宁做完这些事至少需要多少分钟？ 【答案】 40分钟 【分析】根据题意，用洗衣机洗衣服的同时，宁宁可以拖地、收拾厨房，共用时30分钟。衣服洗好了，再晾晒，用时10分钟。宁宁做完这些事至少需要（30＋10）分钟。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 30＋10＝40（分钟） 答：宁宁做完这些事至少需要40分钟。 19．花园小学四年级趣味运动会开始了，场上四（1）班和四（2）班各派3名选手参加“带球跑”比赛，采取三局两胜制。下表是参赛选手的最好成绩。 四（1）班选手 王阳24.0秒 李林28.5秒 刘乐31.7秒 四（2）班选手 张涛27.2秒 赵凯30.9秒 孙宁32.9秒 如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，那么四（2）班应该怎样对阵才能获胜？请完成下表。 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 第二场 李林 第三场 王阳 【答案】见详解 【分析】如果比赛中每个人都发挥出最好成绩，要使四（2）班能获胜，可以这样对阵： 四（2）班第二名对四（1）班的第三名，31.7＞30.9，此局四（2）胜； 四（2）班第一名对四（1）班的第二名，28.5＞27.2，此局四（2）胜； 四（2）班第三名对四（1）班的第一名，24.0＜32.9，此局四（2）负； 据此方案设计即可。 【详解】四（2）班获胜方案如下： 场次 四（1）班 四（2）班 获胜班级 第一场 刘乐 赵凯 四（2）班 第二场 李林 张涛 四（2）班 第三场 王阳 孙宁 四（1）班 20．鸡公山风景区是我国级旅游景区，山清水秀，气候凉爽，被称为“避暑圣地”。国庆节期间，有很多游客来鸡公山旅游观光。现在有18人坐观光车，有两种观光车可以选择：大观光车可载6人，租金25元，小观光车可载4人，租金15元。如果每辆车都坐满，可以怎样租车？怎样租车费用最少？ 方案序号 小观光车（4人/辆） 大观光车（6人/辆） 可坐总人数 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 答：如果每辆车都坐满，可以选择的方案是___________，方案___________最省钱，算式是________________________。 【答案】②和⑤；②；15×3＋25×1＝70（元） 【分析】根据题意，用小观光车和大观光车的辆数乘每辆车可载的人数，求出可坐的总人数，再用小观光车和大观光车的辆数乘每辆车的租金，求出总费用，再比较大小，即可求解。 【详解】方案①：4×4＋6×0 ＝16＋0 ＝16（人） 15×4＋25×0 ＝60＋0 ＝ 60（元） 方案②：4×3＋6×1 ＝12＋6 ＝18（人） 15×3＋25×1 ＝45＋25 ＝70（元） 方案③：4×2＋6×2 ＝8＋12 ＝20（人） 15×2＋25×2 ＝30＋50 ＝80（元） 方案④：4×1＋6×3 ＝4＋18 ＝ 22（人） 15×1＋25×3 ＝15＋75 ＝90（元） 方案⑤：4×0＋6×3 ＝0＋18 ＝18（人） 15×0＋25×3 ＝0＋75 ＝75（元） 方案⑥：4×0＋6×4 ＝0＋24 ＝24（人） 15×0＋25×4 ＝0＋100 ＝ 100（元） 60元＜70元＜75元＜80元＜90元＜100元 方案序号 小观光车（4人/辆） 大观光车（6人/辆） 可坐总人数 ① 4 0 16 ② 3 1 18 ③ 2 2 20 ④ 1 3 22 ⑤ 0 3 18 ⑥ 0 4 21 答：如果每辆车都坐满，可以选择的方案②和⑤，方案②最省钱，算式是15×3＋25×1＝70（元）。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $