期末复习03：角的度量（知识梳理+9个易错点练习+拔尖训练）-四年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学讲义通过知识框架图系统构建了“角的度量”单元知识体系，涵盖线段射线直线的特征，角的定义各部分名称度量工具方法分类与关系画法及计算等内容，并用对比表格归纳角的分类特征，思维导图呈现知识内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“易错点专项突破”设计，如针对量角时中心点与顶点不重合的例题及变式训练，结合“点对点线对边”记忆口诀培养几何直观和运算能力。拔尖训练题如三角尺拼角计算，满足分层需求，助力教师精准教学，学生自主复习时可明确薄弱点。

期末复习03：角的度量 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点二：角的定义与各部分名称 2 知识点三：角的度量工具与方法 2 知识点四：角的分类与关系 3 知识点五：角的画法 4 知识点六：角的度量与计算 5 知识点七：易错点与培优技巧 5 易错点练习 6 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 7 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 8 易错点三：角的概念及表示方式 10 易错点四：数图形（数角） 12 易错点五：角的度量 13 易错点六：平角、周角的认识及特征 15 易错点七：用量角器画角 17 易错点八：用三角尺画角 19 易错点九：角度的计算 21 拔尖训练 23 知识梳理 表示方法：用两个端点的字母表示（如线段AB或线段BA） 生活实例：直尺边缘、书本的边 2.射线： 定义：由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点 特征：无法度量长度，可以向一端无限延伸 表示方法：用端点和射线上另一点表示（如射线A，端点字母在前） 生活实例：手电筒发出的光线、太阳光 3.直线： 定义：由线段向两端无限延长所形成的直的线，没有端点 特征：无法度量长度，可以向两端无限延伸 表示方法：用直线上两个点表示（如直线AB或直线BA）或用一个小写字母表示（如直线l） 生活实例：笔直的铁轨（理想状态） 注意事项： ①线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分 ②画射线时要注意端点和延伸方向，画直线时两端要画出延伸符号 ③线段可以比较长短，直线和射线不能比较长短 知识点二：角的定义与各部分名称 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 核心要点： 1.角的组成： 顶点：公共端点（一个） 边：两条射线（具有公共端点） 符号：∠（读作"角"） 2.角的表示方法： 用三个大写字母表示：中间字母为顶点（如∠AB，为顶点） 用一个大写字母表示：顶点处只有一个角时（如∠） 用数字表示：在角内标上数字（如∠1、∠2） 用希腊字母表示：如∠α、∠β（四年级阶段较少使用） 3.角的本质特征： 角的大小与边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关 角的两条边是射线，可以无限延长但不改变角的大小 注意事项： ①表示角时，顶点字母必须写在中间（如∠AB不能写成∠AB） ②当一个顶点处有多个角时，不能用单个顶点字母表示 ③角的两条边是射线，作图时要画出射线的特征（一端有端点，另一端无限延伸） 知识点三：角的度量工具与方法 定义：使用量角器测量角的大小的过程，角的度量单位是"度"，用符号"°"表示。 核心要点： 1.量角器的认识： 形状：半圆形，平均分成180份 刻度：内圈刻度（顺时针方向）和外圈刻度（逆时针方向） 中心点：量角器的圆心 0°刻度线：量角器底边的直线 2.量角的步骤： 点重合：量角器的中心点与角的顶点重合 线重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合 读刻度：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 3.度数的读取方法： 若角的一条边与内圈0°刻度线重合，就读内圈刻度 若角的一条边与外圈0°刻度线重合，就读外圈刻度 刻度读取时要注意区分内外圈，避免读错 注意事项： ①量角时，角的顶点必须与量角器中心点完全重合 ②角的一条边必须与0°刻度线完全重合，不能与其他刻度线重合 ③读数时，视线要与量角器刻度线垂直，避免斜视造成误差 ④测量时，角的边不够长可以延长，但不能改变角的开口大小 知识点四：角的分类与关系 定义：根据角的度数大小，可以将角分为不同的类型，各类角之间存在特定的关系。 核心要点： 1.角的分类及特征： 锐角：大于0°且小于90°的角 直角：等于90°的角（符号：┐） 钝角：大于90°且小于180°的角 平角：等于180°的角（两条边在同一直线上，方向相反） 周角：等于360°的角（两条边完全重合） 2.角之间的关系： 1平角 = 2直角（180° = 2×90°） 1周角 = 2平角 = 4直角（360° = 2×180° = 4×90°） 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 3.特殊角的图示： 直角：两条边互相垂直 平角：看起来像一条直线，但有顶点和两条边 周角：看起来像一条射线，但有顶点和两条重合的边 注意事项： ①直角是90°，不是大于90°或小于90° ②平角不是一条直线，它是由一个顶点和两条方向相反的射线组成 ③周角不是一条射线，它是由一个顶点和两条重合的射线组成 ④钝角必须同时满足"大于90°"和"小于180°"两个条件 知识点五：角的画法 定义：根据给定的度数，使用量角器画出指定大小的角的过程。 核心要点： 1.用量角器画指定度数角的步骤： 画一条射线，作为角的一条边和顶点 量角器中心点与射线端点重合，0°刻度线与射线重合 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 标出角的符号和度数 2.画特殊角的简便方法： 画直角：可以用三角尺的直角直接画 画平角：画一条直线，在直线上取一点作为顶点 画周角：画一条射线，端点处标出角的符号 3.用三角尺画特定度数的角： 直接画：30°、45°、60°、90° 拼画：两个三角尺组合（如75°=45°+30°，105°=60°+45°，120°=90°+30°等） 注意事项： ①画射线时要明确端点，不能漏画 ②量角器摆放要正确，确保中心点和0°刻度线与射线重合 ③标度数时要写清单位"°" ④画完后要检查角的开口方向和度数是否正确 知识点六：角的度量与计算 定义：通过测量或计算，确定角的度数或解决与角相关的问题。 核心要点： 1.角的度量： 测量工具：量角器 测量范围：0°~180°（超过180°需特殊方法） 精确到：1°（四年级阶段） 2.角的计算类型： 已知一个角的度数，求它的补角（和为180°的两个角） 已知一个角的度数，求它的余角（和为90°的两个角） 已知多个角的和，求其中一个角的度数 利用角的平分线求角的度数（将一个角平均分成两个相等的角） 3.常见图形中的角： 平角：180° 周角：360° 三角形内角和：180°（四年级初步接触） 长方形/正方形的角：都是90° 注意事项： ①计算角的度数时要注意单位统一 ②进行角的加减运算时，度与度相加减 ③利用三角尺拼角时，要明确每个角的度数 ④解决实际问题时，要先分析角之间的关系再计算 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.概念混淆： 直线、射线、线段的特征混淆 平角与直线、周角与射线的区别 钝角的范围记忆错误（只记住大于90°，忽略小于180°） 2.量角错误： 中心点没与顶点重合或0°刻度线没与边重合 读错内外圈刻度（如把30°读成150°） 视线不垂直于量角器，造成读数偏差 3.画法错误： 漏画顶点或射线 度数标记错误或漏标单位 三角尺拼角时度数计算错误 4.计算错误： 角的和差计算错误（如180°-35°=155°算成145°） 单位漏写或写错（如写成"度"或"。"而不是"°"） 培优技巧： 1.记忆口诀： 直线射线与线段，特点区分要记全：直线无端点，射线一头点，线段两端点，长度可测量。 角的分类要记牢：锐角小于九十度，直角正好九十度，钝角介于九十到一百八，平角一百八，周角三百六。 量角画角口诀：点对点，线对边，再看另一边；0在外读外圈，0在内读内圈。 2.估测技巧： 建立角的表象：记住常见角的大小（如手掌张开大约90°，两个手掌张开大约180°） 比较法：与直角比较，判断锐角或钝角 参考法：利用三角尺的已知角估计未知角 3.解题技巧： 角的计算：看清图形，明确角与角之间的关系（如互补、互余、相等、和差等） 多角组合：利用"整体-部分"关系计算组合角 操作题：按步骤操作，注意细节，做完检查 易错点练习 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 例题：经过下面一点先画一条直线m，再在上面截取一条长为4厘米的线段AB。 【答案】见详解 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延长；将直尺的边沿与点重合，沿直尺的边沿画出过点的直线，并标上字母m； 以A点为端点，并将A点和直尺的零刻度线对齐，另一端在4厘米处标记B，就是一条长为4厘米的线段AB，据此作图。 【详解】如图所示： 【变式训练1】过点A画一条射线，再以点A为端点在射线上截取一段长4厘米的线段AB，再过点B画一条直线。 【答案】见详解 【分析】射线是由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点，无限长。线段是有两个端点，不能向两端无限延伸，且可测量长度，直线没有端点，无限长。先以点A为端点画一条射线；然后以点A为端点截取一条长4厘米的线段AB，用尺子0刻度线对齐点A，找4厘米的位置点一点，标上点B；再过B点画一条直线，两端要超过点B，才是直线。 【详解】根据分析画图如下： （答案不唯一） 【变式训练2】画出直线AC，画线段AB，画出射线CB。 【答案】见详解 【分析】根据线段、射线、直线的定义来画图。线段：有两个端点，长度可测量，两端不能延伸；射线：有一个端点，可以向一端无限延伸；直线：没有端点，两端都可以无限延伸。 【详解】 【变式训练3】按要求画线。 （1）画出直线AB；        （2）画出射线AC；         （3）画出线段BC。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）直线没有端点，用尺子连接A、B两点，且A、B两端向外延伸，即可画出直线AB。 （2）射线有一个端点，以A点为端点，尺子连接A点和C点，从A点向C点的方向延伸，即可画出射线AC。 （3）线段有两个端点，用尺子连接B点和C点，且两端都不出头，即可画出线段BC。 【详解】 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 例题：数一数，下面图中一共有( )条射线。 【答案】8 【分析】 根据射线有一个端点，可以向一端无限延伸可知，如图，以点A为端点，左右两边各有一条射线，以点B为端点，左右两边各有一条射线，以点C为端点，左右两边各有一条射线，以点D为端点，左右两边各有一条射线，所以一共有4×2＝8条射线；据此解答。 【详解】根据分析可知： 图中一共有8条射线。 【变式训练1】有( )条线段，( )条射线。 【答案】 3 3 【分析】线段有两个端点，是直的。它的长度是有限的。把线段的一端无限延长，就得到一条射线，射线只有一个端点，它也是直的。据此解答。 【详解】 如图，有3条线段，3条射线。 【变式训练2】经过下图四点中的任意两点，你能画出多少条直线？画一画。 【答案】6条；画图见详解 【分析】两点之间确定一条直线，从4点中选2个点确定一条直线，可以画出6条直线，其组合分别为：AB、AC、AD、BC、BD、DC，据此画图。 【详解】可以画出6条直线，其组合分别为：AB、AC、AD、BC、BD、DC。 【变式训练3】七夕节，又被称为“乞巧节”。民间传说织女是一位擅长绣花织布的仙女，因此在这一天，少女们会向她祈求传授心灵手巧的手艺。小雅的妈妈想要学绣花，她用木棒自制了一个绣花框，如图所示，数一数，图中有( )条线段，( )条射线。 【答案】 4 16 【分析】线段是有两个端点，可以测量；射线只有一个端点，不能测量，据此判断。 【详解】围四边形的四条边是线段，有4条；从四边形每个顶点引出4条射线，共4个顶点，引出4×4＝16（条）射线。 即图中有4条线段，16条射线。 易错点三：角的概念及表示方式 例题：用放大10倍的放大镜看一个15度的角，这个角是（    ）度。 A．150 B．15 C．不能确定 【答案】B 【分析】用一个10倍放大镜看一个15度的角，只是把角的两条边的长度放大了，度数不变（整体形状不变）；据此解答即可。 【详解】由分析知：用放大10倍的放大镜看一个15度的角，这个角还是15度。 故答案为：B 【变式训练1】角的大小由（    ）决定。 A．角两边的长度 B．角两边张开的程度 C．角的顶点 【答案】B 【分析】角的大小是由两条边张开的大小决定。角两边的长度不影响角张开的大小，所以不能决定角的大小。角的顶点决定角的位置，据此判断。 【详解】由分析可知：角的大小由角两边张开的程度决定。 故答案为：B 【变式训练2】下面是妙妙的日记，其中说法错误的是（    ）。 9月×日    天气：晴 今天，我学习了线段、直线、射线和角，我知道了①线段有两个端点，②可以画一条长5厘米的直线；还知道了③角的两边是两条射线，所以我在笔记本上画了④两条6厘米长的射线作为角的两边。 A．①② B．②④ C．②③ 【答案】B 【分析】直线是两端可以无限延长的，不能测量；射线是由一个端点引出的一条线，向一端无限延长，不可以测量；线段是有两个端点，可以测量。具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。据此判断。 【详解】根据分析可知：①线段有两个端点，正确； ②可以画一条长5厘米的直线，因直线不可测量，错误； ③角的两边是两条射线，有一个端点，正确； ④两条6厘米长的射线作为角的两边，因射线不可测量，错误； 综上述可知，其中说法错误的是②④。 故答案为：B 【变式训练3】填出角的各部分名称。 【答案】见详解 【分析】根据角的概念：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；其中这一点叫做顶点，引出的两条射线，叫做边；据此解答即可。 【详解】据分析填空如下： 易错点四：数图形（数角） 例题：数一数。图中有( )个角。 【答案】10 【分析】先数单独一个的角，有4个，再数两个角组合的角有3个，接着数3个角组合的角有2个，再数4个角组合的角有1个，将所有的个数相加即可； 【详解】4＋3＋2＋1＝10（个） 图中有10个角。 【变式训练1】数一数下面图中有多少个角？ （    ）个角 【答案】8 【分析】图中单独的三角形有2个，每个三角形有3个角，共2×3＝6（个）角，由两个角拼成的角有2个，共有6＋2＝8（个）角。 【详解】2×3＝6（个） 6＋2＝8（个）      8个角 【变式训练2】先观察，再补全表格。 图形 射线/条 2 3 4 5 6 角/个    【答案】 1 3 6 10 15 【分析】角是由两条射线组成的。2条射线组成1个角，3条射线组成3个角，……，n条射线组成的角的个数为：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1 【详解】2条射线组成的角个数：1 3条射线组成的角个数：2＋1＝3 4条射线组成的角个数：3＋2＋1＝6 5条射线组成的角个数：4＋3＋2＋1＝10 6条射线组成的角个数：5＋4＋3＋2＋1＝15 图形 射线/条 2 3 4 5 6 角/个 1 3 6 10 15 【变式训练3】数一数，如图所示的图形有( )个角。 ​ 【答案】6 【分析】根据角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，因此由一个单角构成的角有3个（∠AOB，∠BOC，∠COD），由两个单角构成的角有2个（∠AOC，∠BOD），由三个单角构成的角有1个（∠AOD），一共有（3＋2＋1）个角，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 角的个数为：3＋2＋1＝6（个） 所以如图所示的图形有6个角。 易错点五：角的度量 例题：如图中量角器所量的角的度数是（    ）。 A．80° B．160° C．100° D．20° 【答案】A 【分析】从图中可知，用量角器测量所量角的角度时，角的任意一边都没有与量角器的0刻度线重合；所以用量角器同一圈中与角的一边重合大的刻度减去与角的一边重合小的刻度，可得出所量角的度数； 因为角的一条边对着量角器上“100”的刻度，另一条边对着刻度“20”，说明从100°到20°之间的度数就是这个角的度数，据此解答。 【详解】100°－20°＝80° 图中量角器所量的角的度数是80°。 故答案为：A 【变式训练1】量出下面各角的度数。 ∠1＝ °            ∠2＝ °          ∠3 ＝ ° 【答案】 115 25 60 【分析】要量出角的度数，需使用量角器，按照以下步骤操作： ①把量角器的中心与角的顶点重合：确保量角器的中心准确对准角的顶点，这是测量准确的关键。 ②将量角器的0刻度线与角的一条边重合：使角的一条边与量角器的0刻度线（内圈或外圈均可，后续读数需对应）对齐。 ③读取角的另一条边所对应的刻度：角的另一条边所指向量角器的刻度，就是这个角的度数。 据此量出图中角的度数即可解答。 【详解】 根据测量可得，∠1＝115°，∠2＝25°，∠3＝60° 【变式训练2】奇奇用一个破损的量角器测量一个角，角的一条边和外圈的10°刻度线重合，读数时误读了另一条边内圈的刻度，读出的度数是120°，这个角的实际度数是（    ）°。 A．50 B．60 C．70 D．110 【答案】A 【分析】量角器的内外圈刻度之和为180°，即同一刻度线对应的内圈度数与外圈度数相加等于180°。由题意知，奇奇读取的内圈刻度为120°，因此先读出此时对应的外圈刻度，又因为角的一条边与外圈的10°刻度线重合，所以角的实际度数等于两条边对应的外圈刻度之差。 【详解】180°－120°＝60° 60°－10°＝50° 所以这个角的实际度数是50°。 故答案为：A 【变式训练3】钟面上，从7：30到8：30，分针转过了( )°，时针转过了( )°。 【答案】 360 30 【分析】钟面分12个大格，每个大格之间的夹角为30°，钟面一圈为360°，分针每小时转一圈，即360°，时针每小时转动30°，从7：30到8：30经过1小时，分针转360°，时针转30°；据此解答。 【详解】分针每小时转动一圈，即360°，从7：30到8：30经过1小时，分针转动角度为： 360°×1＝360° 时针每小时转动30°，7：30到8：30经过1小时，时针转动角度为： 30°×1＝30° 因此，钟面上，从7：30到8：30，分针转过了360°，时针转过了30°。 易错点六：平角、周角的认识及特征 例题：当钟表上显示时间为10点半时，时针与分针的较小夹角是( )角。当钟表上显示时间为( )时整，时针与分针的夹角是平角。15：00时，时针与分针的指针相互( )。（填“平行”或“垂直”） 【答案】 钝 6 垂直 【分析】角的大小与开口的大小有关系，角的开口越小，角就越小，开口越大，角就越大，所以让角的开口张大一些角会变大；当时针指向9，分针指向6时，时针和分针所形成的较小夹角是直角（在时钟上是不可能出现这种指向的；9点半时，时针指向9和10中间，分针指向6，这是时针和分针所组成的较小夹角，比直角大是一个钝角。）；10点半时，时针指向10和11之间，分针指向6，时针与分针的较小夹角比直角大，是钝角。 一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。当6时整时，时针指向6，分针指向12，时针和分针在一条直线上时，时针与分针的夹角是平角。 15：00时，是下午3时，时针指向3，分针指向12时，时针和分针所形成的较小夹角是直角，时针与分针的指针相互垂直。 【详解】当钟表上显示时间为10点半时，时针与分针的较小夹角是（钝）角。当钟表上显示时间为（6）时整，时针与分针的夹角是平角。15：00时，时针与分针的指针相互（垂直）。（填“平行”或“垂直”） 【变式训练1】将角从小到大排列，可以是( )、( )、( )、( )、( )。 【答案】 锐角 直角 钝角 平角 周角 【分析】根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义进行解答，锐角：大于0°小于90°的角；钝角：大于90°小于180°的角；直角：等于90°的角；平角：等于180°的角；周角：等于360°的角；据此解答即可。 【详解】根据分析： 将角从小到大排列，可以是：锐角、直角、钝角、平角、周角。 【变式训练2】6时整，时针与分针成( )角；12时整，时针与分针成( )角；9时30分时时针与分针成( )角。 【答案】 平 周 钝 【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°。即每两个大格之间是30°，据此求出时针与分针形成的角度，即可判断形成的角是什么角。 大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角。 【详解】6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针之间是6个大格，也就是6个30°，6×30°＝180°，即180°，所以是平角； 12时整，时针和分针都指向了12，时针和分针之间的夹角是0°，也可以看作是走了一圈，即360°，所以是周角； 9时30分时，时针指向9和10之间，分针指向6，时针与分针所成的角比直角要大，所以是钝角。 因此，6时整，时针与分针成平角；12时整，时针与分针成周角；9时30分时时针与分针成钝角。 【变式训练3】以点为顶点，画出两条射线，，组成，且是一个平角。画出射线，线段。画出直线，并数出图中共有（    ）个钝角。 【答案】见详解；6   【分析】根据题意，明确平角是180度，所以以点O为顶点，画出两条射线OA，OB，组成∠AOB，且∠AOB是一个平角。OA、OB在一条直线上；连接OE并延长OE画出射线OE，连接OF并向两边延长OF画出直线OF，根据大于90度，小于180度的角是钝角，数出钝角的个数即可。 【详解】根据分析可知： 数出图中共有6个钝角。 易错点七：用量角器画角 例题：用量角器画出40°、110°的角各一个。 【答案】见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器40°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出40°的角。同理画出110°的角。 【详解】如图所示： （画法不唯一） 【变式训练1】分别以下面的射线为一条边，用量角器画出65°和110°的角。 【答案】见详解 【分析】使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，分别在量角器65°、110°的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再分别画一条射线，最后标出度数即可。 【详解】如图： 【变式训练2】画一个比平角小35°的角，再把它分成一个直角和一个锐角，并标出锐角的度数。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤如下：先画角的顶点和一条边；再将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。平角的度数为180°。大于0°小于90°的角叫做锐角，直角的度数等于90°，大于90°小于180°的角叫做钝角。由题意得，要画一个比平角小35°的角，180°－35°＝145°，所以要画的角的度数为145°。要把145°的角分成一个直角和一个锐角，145°－90°＝55°，所以锐角的度数为55°。据此解答。 【详解】180°－35°＝145° 145°－90°＝55° 【变式训练3】过点A画一条直线；以O为顶点，射线OB为角的一边画一个的角；以C为顶点，射线CD为角的一边画一个的角。 【答案】见详解 【分析】经过A点画一条直线，直线没有端点，两边可无限延长，据此画图即可； 利用量角器画角：将量角器的中心与角的顶点O或C重合，0刻度线与角的边（射线OB或射线CD）重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角，据此作图。 【详解】 易错点八：用三角尺画角 例题：用三角尺画出下面度数的角。（要求有画图痕迹） 120°        135° 【答案】见详解 【分析】其中一个三角尺三个角的度数分别为：30°、60°、90°，另一个三角尺三个角的度数为：45°、45°和90°，所以用一个三角尺的30°角加上另一个三角尺的90°角可以画出120°角；用一个三角尺的90°角加上另一个三角尺的45°角可以画出135°角。 【详解】根据分析画角如下： 【变式训练1】下面用三角尺拼出的四幅图中，图（    ）拼出的角是135°。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角板有两种，一个是等腰直角三角形的度数依次是90°、45°、45°，另一个三角板的各角依次是90°、60°、30°由此判断选择即可。 【详解】A．45°＋45°＝90°； B．90°＋45°＝135°； C．45°＋30°＝75°； D．90°＋60°＝150°。 故答案为：B 【变式训练2】用一副三角尺拼角，将90°角和45°角的一条边重合，另一条边形成的角是( )°；用30°角和45°角能拼成的最小角是( )°。 【答案】 135 15 【分析】一副三角尺分别是60°、30°、90°和45°、45°、90°，90°角和45°角的一条边重合，用90°＋45°即可求出另一条边形成的角是多少度；用45°－30°即可求出用30°角和45°角能拼成的最小角是多少度。 【详解】90°＋45°＝135° 45°－30°＝15° 用一副三角尺拼角，将90°角和45°角的一条边重合，另一条边形成的角是135°；用30°角和45°角能拼成的最小角是15°。 【变式训练3】将一副三角板按图放置，则图中拼成的角的度数是( )°。 【答案】105 【分析】左边三角形三个角的度数分别是45°、45°、90°，右边三角形三个角的度数分别是30°、60°、90°，拼起来的角，是45°和60°的两个角，相加即可。 【详解】45°＋60°＝105° 图中拼成的角的度数是105°。 易错点九：角度的计算 例题：计算下面角的度数。 如图，求∠1、∠2的度数。 【答案】∠1是145°；∠2是60° 【分析】平角＝180°，用180°减35°可求出∠1，用180°减90°，再减30°可求出∠2，据此解答。 【详解】∠1：180°－35°＝145° ∠2：180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° 所以∠1是145°，∠2是60°。 【变式训练1】如图，已知∠1＝40°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 50 130 50 【分析】平角是180°，直角是90°，图中∠1与∠2和为直角90°，∠2与∠3和为平角180°，∠3与∠4和为平角180°。通过已知∠1＝40°，逐步推导其他角度。 【详解】∠2＝90°－∠1＝90°－40°＝50° ∠3＝180°－∠2＝180°－50°＝130° ∠4＝180°－∠3＝180°－130°＝50° 已知∠1＝40°，则∠2＝50°，∠3＝130°，∠4＝50° 【变式训练2】如图：已知∠1＝35°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠5＝( )°。 【答案】 55 90 145 【分析】看图可知，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，所以∠3＝90°；所以用180°减去∠3的度数，再减去∠1的度数，就是∠2的度数；∠1＋∠5＝180°，用180°减去∠1的度数，就是∠5的度数；据此解答。 【详解】180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° 180°－35°＝145° 所以∠2＝55°，∠3＝90°，∠5＝145°。 【变式训练3】下图中，已知∠1＝30°。那么∠2、∠3、∠4各多少度？你发现了什么？ 【答案】∠2＝150°；∠3＝30°；∠4＝150° 我发现：相对的两个角相等，即∠1＝∠3、∠2＝∠4。 【分析】根据平角是180°，已知∠1＝30°，∠2的度数等于180°减去∠1的度数；∠3的度数等于180°减去∠2的度数；∠4的度数等于180°减去∠3的度数，通过∠1、∠2、∠3、∠4的度数可知，相对的两个角相等，即∠1＝∠3、∠2＝∠4。 【详解】∠2＝180°－30°＝150° ∠3＝180°－150°＝30° ∠4＝180°－30°＝150° 答：∠2＝150°、∠3＝30°、∠4＝150°。 我发现：相对的两个角相等，即∠1＝∠3、∠2＝∠4。 拔尖训练 1．关于某个时间钟面上时针和分针所形成的角，下面描述错误的是（    ）。 A．2：00，锐角 B．12：30，平角 C．6：00，平角 D．9：30，钝角 【答案】B 【分析】钟面一周为360°，共分为12个大格，每个大格的度数是360°÷12＝30°，再根据不同时间时针和分针的位置来判断夹角类型； 平角是180°，直角是90°，周角是360°，小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角，据此解答。 【详解】A．2：00，时针指向2，分针指向12，此时它们之间的夹角有2大格，2×30°＝60°，60°是锐角，所以本选项描述正确； B．12：30，时针指在12和1中间，分针指向6，此时它们之间的夹角有5个大格和半个大格，5×30°＝150°，30°÷2＝15°，因此他们之间的夹角为150°＋15°＝165°，165°不是平角，故本选项描述错误； C．6：00，时针指向6，分针指向12，此时它们之间的夹角有6大格，6×30°＝180°，180°是平角，所以本选项描述正确； D．9：30，时针指在9和10中间，分针指向6，此时它们之间的夹角有3个大格和半个大格，3×30°＝90°，30°÷2＝15°，因此他们之间的夹角为90°＋15°＝105°，105°是钝角，故本选项描述正确。 故答案为：B 2．如图，已知∠1＝25°，则∠2＝（    ）。 A．165° B．160° C．155° D．150° 【答案】C 【分析】观察题图可以得知，∠1和∠2共同形成一个平角，平角为180°，已知∠1＝25°，∠1＋∠2＝180°，所以用180°减去∠1，也就是25°，即可得知∠2的度数。 【详解】∠1＋∠2＝180° ∠1＝25° ∠2＝180°－∠1 ＝180°－25° ＝155° 所以∠2＝155°。 故答案为：C 3．用一副三角尺可以画出许多角，下面画出的角是120°的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，一副三角尺中，一个三角尺三个角的度数分别是90°、60°、30°，另一个三角尺的三个角度数分别是90°、45°、45°；用一副三角尺画角时，就是将两个三角尺的任意两个角拼成一个角；据此解答。 【详解】A. 图中将一个三角尺的90°和另一个三角尺的45°拼在一起，画出的角是135°，所以不符合题意； B．图中将一个三角尺的30°和另一个三角尺的45°拼在一起，画出的角是75°，所以不符合题意； C．图中将一个三角尺的60°和另一个三角尺的45°拼在一起，画出的角是105°，所以不符合题意； D．图中将一个三角尺的90°和另一个三角尺的30°拼在一起，画出的角是120°，所以符合题意。 故答案为：D 4．数一数，如图有（    ）条线段。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】 根据线段有两个端点，且端点没有顺序之分，如线段AB和线段BA是同一条线段；据此数一数，如图，以A为一个端点的线段有：线段AB、线段AC、线段AD；以B为一个端点的线段有：线段BC、线段BD；以C为一个端点的线段有：线段CD；一共有6条线段；据此解答。 【详解】根据分析可知： 图中一共有6条线段。 故答案为：D 5．把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，那么另一个角一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．周角 【答案】A 【分析】平角为180°，钝角大于90°且小于180°。将一个平角分成两个角，一个角是钝角，说明它大于90°，而另一个角一定小于90°，为锐角。 【详解】若其中一个为钝角（比如100°），另一个角为180°−100°＝80°，必为锐角。 故答案为：A 6．钟面上，( )时整，时针和分针的夹角为平角；( )时整，时针和分针的夹角为周角；7时整，时针和分针的较小夹角为( )度。 【答案】 6 12 150 【分析】钟面是一个360°的周角，被平均分成12个大格， 每个大格的夹角是30°。整时的时候，分针一定指向12，时针指向对应“几时”的数字，如3时整，时针指向3，分针指向 12。 （1）平角的度数是180°，角的两条边成一条直线。只要在钟面上找到与分针成一条直线时的时针所指向的对应数字即可解答。 （2）周角的度数是360°，角的两条边重合。只要在钟面上找到与分针重合时的时针所指向的对应数字即可解答。 （3）钟面上7时整，时针指向7，分针指向12，时针和分针之间的格子数是5大格。用每大格30°乘5大格即可解答。 【详解】由分析可知： （1）分针指向12时，时针与分针形成一条直线时指向6时。 所以6时整，时针和分针的夹角为平角。 （2）分针指向12时，时针与分针重合时指向12时。 所以12时整，时针和分针的夹角为周角。 （3）12－7＝5（格） 30°×5＝150° 所以7时整，时针和分针的较小夹角为150度。 7．如图是由两个长方形拼叠而成的，已知∠1＝50°，∠3＝140°，那么∠2＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 40 40 【分析】长方形的4个角都是直角，观察图可知，∠1、直角与∠2组成了一个平角，所以∠2＝180°－90°－∠1；∠3与∠4也组成了一个平角，据此利用∠3的度数即可求出∠4＝180°－∠3。 【详解】∠2＝180°－90°－∠1＝180°－90°－50°＝90°－50°＝40° ∠4＝180°－∠3＝180°－140°＝40° 如图是由两个长方形拼叠而成的，已知∠1＝50°，∠3＝140°，那么∠2＝（40）°，∠4＝（40）°。 8．如图，已知∠1＝35°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 55 145 【分析】计算图形中角的度数，观察角与特殊角之间的关系进行计算求解；∠1和∠2组成一个直角，∠1和∠3组成一个平角，直角等于90°，平角等于180°。 【详解】∠2＝90°－∠1 ＝90°－35° ＝55° ∠3＝180°－∠1 ＝180°－35° ＝145° 9．如图，把一张长方形纸的一个角折叠后如图所示，如果∠1＝35°，那么∠3＝( )。 【答案】20°/20度 【分析】因为是一个角折叠而成的，所以∠1和∠2实质是同一个角，也就是说∠1＝∠2，又因为∠1、∠2和∠3共同组成了一个直角，所以用90°－∠1－∠2可算出∠3。 【详解】∠1＝∠2 90°－∠1－∠2 ＝90°－35°－35° ＝55°－35° ＝20° 所以∠3＝20°。 10．已知∠1＋∠2＝135°（如图），那么∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】 45°/45度 45°/45度 【分析】根据题意分析，∠1是直角，是90°，∠2＝135°－∠1；∠1、∠2、∠3组成平角，是180°，∠3＝180°－（∠1＋∠2），据此解答即可。 【详解】根据分析可知： ∠2＝135°－90°＝45° ∠3＝180°－135°＝45° 已知∠1＋∠2＝135°（如图），那么∠2＝45°，∠3＝45°。 11．图中共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 8 8 3 【分析】直角是指等于90°的角； 锐角是指大于0°且小于90°的角； 钝角是指大于90°且小于180°的角。 观察图片，数出图中共有几个直角，几个锐角，几个钝角。 【详解】 （1）直角是指等于90°的角； 图中用红色标注的为直角，一共有8个。 （2）锐角是指大于0°且小于90°的角； 图中用绿色标注的为锐角，一共有8个。 （3）钝角是指大于90°且小于180°的角。 图中用蓝色标注的为钝角，一共有3个。 12．射线有( )个端点，( )有两个端点，过两点能画( )条直线。 【答案】 一/1 线段 一/1 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。由题意得，先画点A和点B，然后画直线。 由图可知，经过两点只能画一条直线。 【详解】射线有一个端点，线段有两个端点，过两点能画一条直线。 13．根据下图所标的信息，可以得出∠1＝( )。 【答案】35° 【分析】观察上图可知，三角尺中的60°的角加∠1和85°等于180°，所以∠1＝180°－60°－85°。据此解答。 【详解】∠1＝180°－60°－85° ＝120°－85° ＝35° 所以得出∠1＝35° 14．在下面画45°、70°和165°的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的一般方法：先确定一个端点，引出一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，再在量角器上对准要画角度数的刻度线处点上一个点，然后以画出射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度，最后要标出角度；根据角的画法，分别画45°、70°和165°的角即可。 【详解】画45°、70°和165°的角，如图： 15．画一画，量一量。 （1）过A点画一条直线。 （2）过B点画一条射线。 （3）以C点为顶点画一个锐角，并量出这个锐角的度数：（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）45°；见详解 【分析】（1）根据直线没有端点，过A点画一条直线即可。 （2）根据射线有1个端点，过B点画一条射线即可。 （3）根据锐角是小于90°的角，以C点为顶点画一个锐角，并量出这个锐角的度数即可。（合理即可） 【详解】（1）过A点画一条直线。如下图： （2）过B点画一条射线。如下图： （3）以C点为顶点画一个锐角，量出这个锐角的度数：45°（答案不唯一）。如下图： （画法不唯一） 16．老师给出了下面这个图，小军用量角器量得，，是直角，那的度数是多少呢？ 【答案】134° 【分析】四边形的内角和为360°，先求出∠1加∠2，再加∠3的度数，求出和，最后用360°减这个和即可求出∠4的度数。 【详解】26°＋110°＋90° ＝136°＋90° ＝226° ∠4＝360°－226°＝134° 答：的度数是134°。 17．如图，已知∠1＝41°，请你仔细观察，再求出∠2、∠3和∠4的度数各是多少？ 【答案】∠2＝49°；∠3＝49°；∠4＝131° 【分析】通过观察上图可知，∠1＋∠2＝90°，所以∠2＝90°－∠1，∠2＋∠4＝180°，∠4＝180°－∠2；∠2＋∠4＝180°，∠3＋∠4＝180°，所以∠3＝∠2，据此即可解答。 【详解】∠2＝90°－∠1＝90°－41°＝49° ∠4＝180°－∠2＝180°－49°＝131° ∠3＝∠2＝49° 18．淘淘在学习了角的度量后测量了一个角，但现在只能看到角的一条边（如图）。奇奇说：“淘淘测量的这个角是70°”。萍萍说：“淘淘测量的这个角可能是70°，也可能是110°”。谁说的对？说说你的理由。 【答案】萍萍；理由见详解 【分析】用量角器量角的步骤：先将量角器的中心与角的顶点重合，再将0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。在量角器中，有内圈和外圈两种刻度，需要根据角的一边和对应刻度的另一条边的位置进行读数，据此作答。 【详解】答：萍萍说得对；理由：如果左边0°刻度线对准角的一边，那么这个角就是70°，如果右边0°刻度线对准角的一边，那么这个角就是110°。 19．学校为给学生提供更大的展示舞台，将长方形的音乐排练厅内部设计成三个三角形区域，如图所示，中间的大三角形区域是展示区，其余两个区域是观众区。已知∠1＝40°。 （1）求∠2的度数。 （2）量一量∠4的度数，它和∠1有什么关系？利用该结论，求出∠5的度数。 【答案】（1）50° （2）∠1＝∠4；50° 【分析】（1）∠1、∠2和∠3构成了一个平角，平角是180°，垂直的两条直线夹角是90°，即∠3＝90°，用180°减去∠1的度数，再减去∠3的度数，就可以求出∠2的度数； （2）用量角器可以量出∠4＝40°，因为∠1＝40°，所以∠1＝∠4＝40°，即∠1＝∠4；因为∠2与∠5的关系就是∠1与∠4的关系，根据∠2的度数即可求得∠5的度数。 【详解】（1）已知∠1＋∠3＋∠2＝180°，∠1＝40°，∠3＝90° ∠2＝180°－90°－40°＝90°－40°＝50° 答：∠2的度数为50°。 （2）量角器量出∠4＝40° 因为∠1＝40°，所以∠1＝∠4＝40°，可以发现规律：∠4＝∠1； 所以∠5＝∠2； 因为∠2＝50°，所以∠5＝50° 答：∠1＝∠4，∠5的度数为50°。 20．如图，计算出和的度数。 【答案】∠1是50°；∠2是70° 【分析】观察发现130°＋∠1＝180°，所以∠1＝180°－130°；∠1＋60°＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1－60°；据此解答。 【详解】 答：∠1的度数是50°，∠2的度数是70°。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03：角的度量 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点二：角的定义与各部分名称 2 知识点三：角的度量工具与方法 3 知识点四：角的分类与关系 3 知识点五：角的画法 4 知识点六：角的度量与计算 5 知识点七：易错点与培优技巧 6 易错点练习 7 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 7 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 8 易错点三：角的概念及表示方式 8 易错点四：数图形（数角） 9 易错点五：角的度量 10 易错点六：平角、周角的认识及特征 10 易错点七：用量角器画角 11 易错点八：用三角尺画角 11 易错点九：角度的计算 12 拔尖训练 13 知识梳理 表示方法：用两个端点的字母表示（如线段AB或线段BA） 生活实例：直尺边缘、书本的边 2.射线： 定义：由线段的一端无限延长所形成的直的线，有一个端点 特征：无法度量长度，可以向一端无限延伸 表示方法：用端点和射线上另一点表示（如射线A，端点字母在前） 生活实例：手电筒发出的光线、太阳光 3.直线： 定义：由线段向两端无限延长所形成的直的线，没有端点 特征：无法度量长度，可以向两端无限延伸 表示方法：用直线上两个点表示（如直线AB或直线BA）或用一个小写字母表示（如直线l） 生活实例：笔直的铁轨（理想状态） 注意事项： ①线段是直线的一部分，射线也是直线的一部分 ②画射线时要注意端点和延伸方向，画直线时两端要画出延伸符号 ③线段可以比较长短，直线和射线不能比较长短 知识点二：角的定义与各部分名称 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 核心要点： 1.角的组成： 顶点：公共端点（一个） 边：两条射线（具有公共端点） 符号：∠（读作"角"） 2.角的表示方法： 用三个大写字母表示：中间字母为顶点（如∠AB，为顶点） 用一个大写字母表示：顶点处只有一个角时（如∠） 用数字表示：在角内标上数字（如∠1、∠2） 用希腊字母表示：如∠α、∠β（四年级阶段较少使用） 3.角的本质特征： 角的大小与边的长短无关，只与两条边叉开的大小有关 角的两条边是射线，可以无限延长但不改变角的大小 注意事项： ①表示角时，顶点字母必须写在中间（如∠AB不能写成∠AB） ②当一个顶点处有多个角时，不能用单个顶点字母表示 ③角的两条边是射线，作图时要画出射线的特征（一端有端点，另一端无限延伸） 知识点三：角的度量工具与方法 定义：使用量角器测量角的大小的过程，角的度量单位是"度"，用符号"°"表示。 核心要点： 1.量角器的认识： 形状：半圆形，平均分成180份 刻度：内圈刻度（顺时针方向）和外圈刻度（逆时针方向） 中心点：量角器的圆心 0°刻度线：量角器底边的直线 2.量角的步骤： 点重合：量角器的中心点与角的顶点重合 线重合：量角器的0°刻度线与角的一条边重合 读刻度：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 3.度数的读取方法： 若角的一条边与内圈0°刻度线重合，就读内圈刻度 若角的一条边与外圈0°刻度线重合，就读外圈刻度 刻度读取时要注意区分内外圈，避免读错 注意事项： ①量角时，角的顶点必须与量角器中心点完全重合 ②角的一条边必须与0°刻度线完全重合，不能与其他刻度线重合 ③读数时，视线要与量角器刻度线垂直，避免斜视造成误差 ④测量时，角的边不够长可以延长，但不能改变角的开口大小 知识点四：角的分类与关系 定义：根据角的度数大小，可以将角分为不同的类型，各类角之间存在特定的关系。 核心要点： 1.角的分类及特征： 锐角：大于0°且小于90°的角 直角：等于90°的角（符号：┐） 钝角：大于90°且小于180°的角 平角：等于180°的角（两条边在同一直线上，方向相反） 周角：等于360°的角（两条边完全重合） 2.角之间的关系： 1平角 = 2直角（180° = 2×90°） 1周角 = 2平角 = 4直角（360° = 2×180° = 4×90°） 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 3.特殊角的图示： 直角：两条边互相垂直 平角：看起来像一条直线，但有顶点和两条边 周角：看起来像一条射线，但有顶点和两条重合的边 注意事项： ①直角是90°，不是大于90°或小于90° ②平角不是一条直线，它是由一个顶点和两条方向相反的射线组成 ③周角不是一条射线，它是由一个顶点和两条重合的射线组成 ④钝角必须同时满足"大于90°"和"小于180°"两个条件 知识点五：角的画法 定义：根据给定的度数，使用量角器画出指定大小的角的过程。 核心要点： 1.用量角器画指定度数角的步骤： 画一条射线，作为角的一条边和顶点 量角器中心点与射线端点重合，0°刻度线与射线重合 在量角器相应度数刻度线的地方点一个点 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线 标出角的符号和度数 2.画特殊角的简便方法： 画直角：可以用三角尺的直角直接画 画平角：画一条直线，在直线上取一点作为顶点 画周角：画一条射线，端点处标出角的符号 3.用三角尺画特定度数的角： 直接画：30°、45°、60°、90° 拼画：两个三角尺组合（如75°=45°+30°，105°=60°+45°，120°=90°+30°等） 注意事项： ①画射线时要明确端点，不能漏画 ②量角器摆放要正确，确保中心点和0°刻度线与射线重合 ③标度数时要写清单位"°" ④画完后要检查角的开口方向和度数是否正确 知识点六：角的度量与计算 定义：通过测量或计算，确定角的度数或解决与角相关的问题。 核心要点： 1.角的度量： 测量工具：量角器 测量范围：0°~180°（超过180°需特殊方法） 精确到：1°（四年级阶段） 2.角的计算类型： 已知一个角的度数，求它的补角（和为180°的两个角） 已知一个角的度数，求它的余角（和为90°的两个角） 已知多个角的和，求其中一个角的度数 利用角的平分线求角的度数（将一个角平均分成两个相等的角） 3.常见图形中的角： 平角：180° 周角：360° 三角形内角和：180°（四年级初步接触） 长方形/正方形的角：都是90° 注意事项： ①计算角的度数时要注意单位统一 ②进行角的加减运算时，度与度相加减 ③利用三角尺拼角时，要明确每个角的度数 ④解决实际问题时，要先分析角之间的关系再计算 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.概念混淆： 直线、射线、线段的特征混淆 平角与直线、周角与射线的区别 钝角的范围记忆错误（只记住大于90°，忽略小于180°） 2.量角错误： 中心点没与顶点重合或0°刻度线没与边重合 读错内外圈刻度（如把30°读成150°） 视线不垂直于量角器，造成读数偏差 3.画法错误： 漏画顶点或射线 度数标记错误或漏标单位 三角尺拼角时度数计算错误 4.计算错误： 角的和差计算错误（如180°-35°=155°算成145°） 单位漏写或写错（如写成"度"或"。"而不是"°"） 培优技巧： 1.记忆口诀： 直线射线与线段，特点区分要记全：直线无端点，射线一头点，线段两端点，长度可测量。 角的分类要记牢：锐角小于九十度，直角正好九十度，钝角介于九十到一百八，平角一百八，周角三百六。 量角画角口诀：点对点，线对边，再看另一边；0在外读外圈，0在内读内圈。 2.估测技巧： 建立角的表象：记住常见角的大小（如手掌张开大约90°，两个手掌张开大约180°） 比较法：与直角比较，判断锐角或钝角 参考法：利用三角尺的已知角估计未知角 3.解题技巧： 角的计算：看清图形，明确角与角之间的关系（如互补、互余、相等、和差等） 多角组合：利用"整体-部分"关系计算组合角 操作题：按步骤操作，注意细节，做完检查 易错点练习 易错点一：线段、直线、射线的认识及特征 例题：经过下面一点先画一条直线m，再在上面截取一条长为4厘米的线段AB。 【变式训练1】过点A画一条射线，再以点A为端点在射线上截取一段长4厘米的线段AB，再过点B画一条直线。 【变式训练2】画出直线AC，画线段AB，画出射线CB。 【变式训练3】按要求画线。 （1）画出直线AB；        （2）画出射线AC；         （3）画出线段BC。 易错点二：数图形（线段、直线、射线） 例题：数一数，下面图中一共有( )条射线。 【变式训练1】有( )条线段，( )条射线。 【变式训练2】经过下图四点中的任意两点，你能画出多少条直线？画一画。 【变式训练3】七夕节，又被称为“乞巧节”。民间传说织女是一位擅长绣花织布的仙女，因此在这一天，少女们会向她祈求传授心灵手巧的手艺。小雅的妈妈想要学绣花，她用木棒自制了一个绣花框，如图所示，数一数，图中有( )条线段，( )条射线。 易错点三：角的概念及表示方式 例题：用放大10倍的放大镜看一个15度的角，这个角是（    ）度。 A．150 B．15 C．不能确定 【变式训练1】角的大小由（    ）决定。 A．角两边的长度 B．角两边张开的程度 C．角的顶点 【变式训练2】下面是妙妙的日记，其中说法错误的是（    ）。 9月×日    天气：晴 今天，我学习了线段、直线、射线和角，我知道了①线段有两个端点，②可以画一条长5厘米的直线；还知道了③角的两边是两条射线，所以我在笔记本上画了④两条6厘米长的射线作为角的两边。 A．①② B．②④ C．②③ 【变式训练3】填出角的各部分名称。 易错点四：数图形（数角） 例题：数一数。图中有( )个角。 【变式训练1】数一数下面图中有多少个角？ （    ）个角 【变式训练2】先观察，再补全表格。 图形 射线/条 2 3 4 5 6 角/个    【变式训练3】数一数，如图所示的图形有( )个角。 ​ 易错点五：角的度量 例题：如图中量角器所量的角的度数是（    ）。 A．80° B．160° C．100° D．20° 【变式训练1】量出下面各角的度数。 ∠1＝ °            ∠2＝ °          ∠3 ＝ ° 【变式训练2】奇奇用一个破损的量角器测量一个角，角的一条边和外圈的10°刻度线重合，读数时误读了另一条边内圈的刻度，读出的度数是120°，这个角的实际度数是（    ）°。 A．50 B．60 C．70 D．110 【变式训练3】钟面上，从7：30到8：30，分针转过了( )°，时针转过了( )°。 易错点六：平角、周角的认识及特征 例题：当钟表上显示时间为10点半时，时针与分针的较小夹角是( )角。当钟表上显示时间为( )时整，时针与分针的夹角是平角。15：00时，时针与分针的指针相互( )。（填“平行”或“垂直”） 【变式训练1】将角从小到大排列，可以是( )、( )、( )、( )、( )。 【变式训练2】6时整，时针与分针成( )角；12时整，时针与分针成( )角；9时30分时时针与分针成( )角。 【变式训练3】以点为顶点，画出两条射线，，组成，且是一个平角。画出射线，线段。画出直线，并数出图中共有（    ）个钝角。 易错点七：用量角器画角 例题：用量角器画出40°、110°的角各一个。 【变式训练1】分别以下面的射线为一条边，用量角器画出65°和110°的角。 【变式训练2】画一个比平角小35°的角，再把它分成一个直角和一个锐角，并标出锐角的度数。 【变式训练3】过点A画一条直线；以O为顶点，射线OB为角的一边画一个的角；以C为顶点，射线CD为角的一边画一个的角。 易错点八：用三角尺画角 例题：用三角尺画出下面度数的角。（要求有画图痕迹） 120°        135° 【变式训练1】下面用三角尺拼出的四幅图中，图（    ）拼出的角是135°。 A． B． C． D． 【变式训练2】用一副三角尺拼角，将90°角和45°角的一条边重合，另一条边形成的角是( )°；用30°角和45°角能拼成的最小角是( )°。 【变式训练3】将一副三角板按图放置，则图中拼成的角的度数是( )°。 易错点九：角度的计算 例题：计算下面角的度数。 如图，求∠1、∠2的度数。 【变式训练1】如图，已知∠1＝40°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【变式训练2】如图：已知∠1＝35°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠5＝( )°。 【变式训练3】下图中，已知∠1＝30°。那么∠2、∠3、∠4各多少度？你发现了什么？ 拔尖训练 1．关于某个时间钟面上时针和分针所形成的角，下面描述错误的是（    ）。 A．2：00，锐角 B．12：30，平角 C．6：00，平角 D．9：30，钝角 2．如图，已知∠1＝25°，则∠2＝（    ）。 A．165° B．160° C．155° D．150° 3．用一副三角尺可以画出许多角，下面画出的角是120°的图形是（    ）。 A． B． C． D． 4．数一数，如图有（    ）条线段。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．把一个平角分成两个角，其中一个是钝角，那么另一个角一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．周角 6．钟面上，( )时整，时针和分针的夹角为平角；( )时整，时针和分针的夹角为周角；7时整，时针和分针的较小夹角为( )度。 7．如图是由两个长方形拼叠而成的，已知∠1＝50°，∠3＝140°，那么∠2＝( )°，∠4＝( )°。 8．如图，已知∠1＝35°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 9．如图，把一张长方形纸的一个角折叠后如图所示，如果∠1＝35°，那么∠3＝( )。 10．已知∠1＋∠2＝135°（如图），那么∠2＝( )，∠3＝( )。 11．图中共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 12．射线有( )个端点，( )有两个端点，过两点能画( )条直线。 13．根据下图所标的信息，可以得出∠1＝( )。 14．在下面画45°、70°和165°的角。 15．画一画，量一量。 （1）过A点画一条直线。 （2）过B点画一条射线。 （3）以C点为顶点画一个锐角，并量出这个锐角的度数：（    ）。 16．老师给出了下面这个图，小军用量角器量得，，是直角，那的度数是多少呢？ 17．如图，已知∠1＝41°，请你仔细观察，再求出∠2、∠3和∠4的度数各是多少？ 18．淘淘在学习了角的度量后测量了一个角，但现在只能看到角的一条边（如图）。奇奇说：“淘淘测量的这个角是70°”。萍萍说：“淘淘测量的这个角可能是70°，也可能是110°”。谁说的对？说说你的理由。 19．学校为给学生提供更大的展示舞台，将长方形的音乐排练厅内部设计成三个三角形区域，如图所示，中间的大三角形区域是展示区，其余两个区域是观众区。已知∠1＝40°。 （1）求∠2的度数。 （2）量一量∠4的度数，它和∠1有什么关系？利用该结论，求出∠5的度数。 20．如图，计算出和的度数。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $