期末复习05：简易方程（知识梳理+15个易错点练习+拔尖训练）-五年级数学上学期易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理简易方程单元，涵盖用字母表示数、方程意义、等式性质等七个知识点，以层级递进方式呈现从基础概念到稍复杂方程的知识脉络，搭配示例解析构建完整知识网络，清晰标注重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“易错点专项突破”设计，针对15类易错点设例题与变式训练，如“用字母表示数量关系”中通过“60－3x表示剩余钱数”培养抽象能力，“列方程解实际问题”结合线段图分析发展模型意识。培优技巧如“顺向思维列方程”助力学生掌握方法，拔尖训练满足分层需求，既支持学生自主查漏补缺，也为教师精准教学提供实用工具。

期末复习05：简易方程 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：用字母表示数 2 知识点二：方程的意义 2 知识点三：等式的性质 2 知识点四：解方程 3 知识点五：实际问题与方程 3 知识点六：稍复杂的方程 4 知识点七：易错点与培优技巧 4 易错点练习 4 易错点一：用字母表示数、数量关系 4 易错点二：用字母表运算定律及计算公式 5 易错点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 5 易错点四：含有字母式子的化简与求值 6 易错点五：等式的认识及列等量关系式 6 易错点六：方程的认识 7 易错点七：列简易方程 7 易错点八：等式的性质1 8 易错点九：等式的性质2 8 易错点十：应用等式的性质解方程 9 易错点十一：解等号两边都有未知数的方程 10 易错点十二：方程的检验 10 易错点十三：列方程解含有一个未知数的问题 11 易错点十四：列方程解含有两个未知数的问题 12 易错点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 13 拔尖训练 14 知识梳理 知识点一：用字母表示数 意义：用字母可以简明地表示数、数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来方便。 写法规则： 1.字母与字母相乘时，乘号可省略或写作“·”（如a×b=ab或a·b） 2.字母与数字相乘时，数字在前字母在后，乘号省略（如3×x=3x） 3.带分数与字母相乘时，需化为假分数（如1½×a=3/2a） 4.相同字母相乘写成幂的形式（如a×a=a²） 示例： 用字母表示乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 用字母表示长方形面积公式：S=ab（a表示长，b表示宽） 每支铅笔a元，买5支应付：5a元 知识点二：方程的意义 定义：含有未知数的等式叫做方程。 核心要素：①必须是等式 ②必须含有未知数 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程） 示例： 下列式子中是方程的有：3x=18（√）、20-8=12（×）、5y+3＞10（×）、x÷4=2.5（√） 知识点三：等式的性质 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0） 示例： 根据等式性质填空： 若x+5=12，则x+5-5=12-（5）（性质1） 若4x=28，则4x÷4=28÷（4）（性质2） 知识点四：解方程 定义：求方程的解的过程叫做解方程。 基本步骤： 1.写“解”字并注明“：” 2.利用等式性质化简方程（去分母、去括号、移项、合并同类项） 3.求出未知数的值 4.检验（把解代入原方程，看左右两边是否相等） 示例：解方程 3(x-2)=18 解：3(x-2)÷3=18÷3（性质2） x-2=6 x-2+2=6+2（性质1） x=8 检验：左边=3×(8-2)=18，右边=18，左边=右边，所以x=8是方程的解 知识点五：实际问题与方程 解题步骤： 1.审题：找出关键信息，明确已知量和未知量 2.设未知数：一般设所求问题为x（直接设元），复杂问题可间接设元 3.列方程：根据等量关系列出方程 4.解方程并检验 5.答语：完整回答问题 常见等量关系类型： 和差关系：甲+乙=总和，甲-乙=相差数 倍数关系：甲=乙×倍数，甲=乙×倍数+几（或-几） 公式应用：路程=速度×时间，总价=单价×数量 示例： 学校图书馆有故事书280本，比科技书的3倍少20本，科技书有多少本？ 解：设科技书有x本 3x-20=280（等量关系：科技书×3-20=故事书） 3x=300 x=100 答：科技书有100本 知识点六：稍复杂的方程 类型1：含有两步运算的方程（如ax±b=c、a(x±b)=c） 示例：解方程 2x+1.5×2=6 解：2x+3=6 → 2x=3 → x=1.5 类型2：含有两个未知数的方程（如ax+bx=c） 解题关键：根据两个未知数的关系，用一个字母表示另一个字母 示例：苹果和梨共20千克，苹果质量是梨的3倍，苹果和梨各多少千克？ 解：设梨有x千克，则苹果有3x千克 x+3x=20 → 4x=20 → x=5 苹果：3×5=15（千克） 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.字母表示数时，数字与字母相乘遗漏乘号（如x×5写成x5，正确应为5x） 2.解方程时未写“解”字或忘记检验 3.列方程时等量关系错误（如“比乙的2倍多3”写成2x-3，正确应为2x+3） 培优技巧： 1.用“顺向思维”列方程：根据题目叙述直接写出等量关系（如“甲数比乙数的2倍少5”→甲=2乙-5） 2.复杂问题“画图分析”：通过线段图、示意图直观呈现数量关系 3.方程验算“代入法”：将解代入原方程，确保左边=右边 易错点练习 易错点一：用字母表示数、数量关系 例题：如果：a×0.4＝b÷0.4＝c（a、b、c都不为0），那么在a、b、c三个数中，( )最大。 【变式训练1】明明有60元，买了x本练习本，每本3元。3x表示( )，（60－3x）表示( )。 【变式训练2】一本数学《课时作业本》，小明已经做了35页，还有a页没做，这本数学《课时作业本》一共有( )页。 【变式训练3】实验小学举行绘画比赛，四年级有x件作品获奖，五年级获奖作品的数量是四年级的1.4倍，五年级的获奖作品有( )件。 易错点二：用字母表运算定律及计算公式 例题：把错写成后，得到的结果比原来（    ）。 A．少8 B．少32 C．少40 D．不变 【变式训练1】一个平行四边形如图，用含有字母的式子表示它的周长是C＝( )，如果a＝4分米，b＝5分米。这个平行四边形的周长是( )分米。 【变式训练2】一张长方形的纸，剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就变成了一个正方形（如图），则原来长方形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【变式训练3】早餐时间食堂提供的包子a元一个，粥b元一碗，小明给全家买6个包子和3碗粥，要付( )元。 易错点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 例题：一列火车从广州出发开往长沙，每小时行驶160千米，行驶了t小时后，距离长沙还有80千米，从广州到长沙的铁路全长有 千米。 【变式训练1】一项工作，甲队单独做要小时，乙队单独做要小时，两队合作多少小时可以完成这项工程的一半？用式子表示： ；如果、，两队合作 小时可以完成这项工程的一半。 【变式训练2】观察下图，每个黑色圆周围都有6个白色圆。照这样的规律画下去，当画完第5个黑色圆时，一共画了( )个白色圆；当画完第n个黑色圆时，一共画了( )个白色圆。 【变式训练3】如图线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为 分米，当a＝5分米时，线段AB的长度是 分米。 易错点四：含有字母式子的化简与求值 例题：下面每组的两个式子中，结果不一定相同的是（    ）。 A．x2和2x B．a÷b÷c和a÷（b×c） C．4x＋4y和4（x＋y） 【变式训练1】直接写出得数。 0.6×0.5＝            7.2÷0.8＝          0÷0.78＝       5.2÷100＝ 0.28＋1.62＝            0.6²＝          0.7×4.2÷0.7＝    a×m×0＝ 【变式训练2】王师傅加工一批零件，每小时加工a个，加工了3小时后还剩b个，这批零件一共有( )个；当a＝25，b＝30时，这批零件有( )个。 【变式训练3】药店五月份购进了一些珍珠明目液，上半月卖出了m盒，下半月卖出的盒数是上半月的1.2倍，下半月卖出 盒。当时，五月份下半月共卖出 盒珍珠明目液。 易错点五：等式的认识及列等量关系式 例题：不能正确表达如图等量关系的是（    ）。 A．6000＋3000＋x＝7500 B．6000－x＝7500－3000 C．7500＋x＝6000＋3000 【变式训练1】下面各题的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示的是（    ）。 A．长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍 B．合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍 C．王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍 D．杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵 【变式训练2】一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还重2吨，这头大象的体重是多少吨？列方程解决这个问题的数量关系式错误的是（    ）。 A．大象的体重×37＋2＝150 B．大象的体重×37－2＝150 C．150－大象的体重×37＝2 D．大象的体重×37＝150－2 【变式训练3】用等式表示a比b的3倍少5，下列正确的是（    ）。 A．3b－a＝5 B．a－3b＝5 C．3b＋5＝a D．3a－5＝b 易错点六：方程的认识 例题：下列各式中不是方程的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示( )；请你自己再举一个例子：( )。 【变式训练2】下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 【变式训练3】把是方程的挑出来，放在下面的方框里。                   易错点七：列简易方程 例题：笑笑买了5支钢笔，每支x元，一共花了( )元；付给售货员50元，找回15元，求每支钢笔多少元？可列方程为( )。 【变式训练1】根据题意找出等量关系，并且列出方程。 张明买了4本练习本，每本x元，付给售货员10元，找回4元。( ) 【变式训练2】一场篮球比赛中，小明投进的2分球和3分球的数量相同，共得20分。要想求出小明共投进2分球和3分球的个数，我们可以设小明投进2分球的3分球各x个，则2分球总得分为( )，3分球总得分为( )。根据2分球的总得分＋3分球的总得分＝最终得分，列方程为( )。 【变式训练3】仔细观察，在每个图下面各写一个方程。 方程：             方程： 易错点八：等式的性质1 例题：如果，那么、两数相差( )。 【变式训练1】已知：，，下面计算结果错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】如下图，一个菠萝与( )个苹果一样重，( )个苹果和一个梨一样重。 【变式训练3】在方程的两边同时加上2x，等式仍然成立。( ) 易错点九：等式的性质2 例题：如果A＝B，根据等式的性质填空。 A＋6＝B＋( )        A÷( )＝B÷1.5 【变式训练1】一辆小汽车的牌照是湘U－8T○□△。已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，△＋△＝○，那么牌照号码的后三位数是( )。 【变式训练2】根据等式的性质填空：若方程2.4x÷（2x＋0.7）＝1.2，那么2.4x÷（2x＋0.7）×（2x＋0.7）＝1.2×( )。 【变式训练3】已知m＝n，请根据等式的性质填空：m＋k＝n（    ）；m÷3＝n○（    ）。（○里填运算符号，括号里填数或字母） 易错点十：应用等式的性质解方程 例题：解方程。                   【变式训练1】解方程。 ①    ②    ③ 【变式训练2】解方程。                          【变式训练3】解方程。                      易错点十一：解等号两边都有未知数的方程 例题：解方程。（带★的要写出检验过程） （1）x－97＝34.2          （2）★2x＋1.5x＝17.5          （3）（57－3x）÷2＝8x 【变式训练1】列方程，并求出方程的解。 【变式训练2】林强和宝锋要制作相同数量的玩具。林强7小时可以完成，宝锋11小时可以完成。若林强每小时比宝锋多制作8个玩具，那么宝锋一共制作了 个玩具。 【变式训练3】育才小学组织全体师生进行郊游，租用了若干辆小巴，其中一辆坐了25人，其余每辆小巴坐了30人。途中一辆小巴发生故障无法载人，学校决定其中一辆小巴坐19人，其余每辆小巴坐32人。学校共有师生 人。 易错点十二：方程的检验 例题：解方程，带*的要检验。 5x÷3.5＝67.2           *9x－4.8＝1.5           50.7－1.6x＝13.9 【变式训练1】解方程。（带☆的要检验） 7－＝16.8        3＋1.2×6＝17.7      ☆14.8－2＝6.8 【变式训练2】解方程，方法巧妙，重检验！ 1.8＝0.972               ÷7.5＝90 9x－40＝5                 3.5x＋1.7x＝31.2 【变式训练3】解方程。（带☆的要检验） 2x－6.4＝0.4               18×2＋3x＝60 ☆x＋7－8.2＝18.2          ☆30x÷2＝180 易错点十三：列方程解含有一个未知数的问题 例题：中都路某段建筑工地有一堆沙子，工人叔叔们第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下13.5吨的沙子，这堆沙子原来有多少吨？ 【变式训练1】张阿姨去布店买了20米白布和花布，其中白布3.5元/米，花布4元/米。算账时，营业员把白布和花布的单价算反了，结果张阿姨付了74元。请问是张阿姨多付了，还是布店亏了？张阿姨多付了或者布店亏了多少钱？ 【变式训练2】甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，甲船每小时行驶25千米，乙船每小时行驶的路程是甲船的1.4倍。经过多少小时两船相遇？（用方程解答） 【变式训练3】在产业振兴园，淘淘了解到：新密市“十四五”规划纲要指出，实施乡村产业振兴行动，到2025年农村居民人均可支配收入将达到4.5万元，比2020年的2倍少0.22万元。新密市2020年农村居民人均可支配收入是多少万元？（用方程解） 易错点十四：列方程解含有两个未知数的问题 例题：动物园儿童票价是成人票价的一半。小明和爸爸星期天去动物园玩，爸爸付了20元，还差2.5元。一张成人票和一张儿童票各是多少元？ 【变式训练1】四年级两个班的学生参加植树活动。上午甲班每人种了3棵树，乙班每人种了4棵树，共计269棵；下午甲班每人种4棵树，乙班每人种3棵树，共计263棵。甲、乙两班各有多少人？ 【变式训练2】制作一张桌子需要1个桌面和4个桌腿。一立方米的木材可以制作20个桌面，或者制作400条桌腿。现在有12立方米的木材。如何计划用料，才能制作尽可能多的桌子？ 【变式训练3】某部队派出一支由25人组成的小分队参加防汛抗洪斗争。每个人每小时可以装18袋泥土，或者每两个人每小时可以抬14袋泥土。如何安排这些人的工作，才能使装泥和抬泥的任务密切配合，同时确保清场干净？ 易错点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 例题：某市2010年年初，在校大、中、小学共有学生214万人，其中在校大学生比在校中学生多49万人，在校中学生比在校小学生多21万人，请问该市2010年年初大、中、小学各有多少在校学生？ 【变式训练1】林老师和几位老师带着学校科学社团的同学观看神舟十一号飞船返回地球的全程直播。林老师数了数直播室里的座位椅（每张长椅共5个座位），算了算；1人1个座位，如果每张长椅上坐1位老师和4位同学，则有3个同学没有座位；如果每张长椅坐5位同学，则空出3个座位。问：学校科学社团共有几位同学？ 【变式训练2】甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产924套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产1296套衣服。两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？ 【变式训练3】市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 拔尖训练 1．方程3x－8＝16的解是（    ）。 A．x＝4 B．x＝8 C．x＝16 D．x＝24 2．宁波舟山港平均每天吞吐量约a万吨，一周（7天）的吞吐量是（    ）万吨。 A．a＋7 B．a－7 C．7a D．a÷7 3．临安“天目粮仓”稻虾田平均每亩产值6500元，是传统稻田的2.5倍，传统稻田每亩产值是x元，列方程正确的是（    ）。 A．x＋2.5＝6500 B．2.5x＝6500 C．x÷2.5＝6500 D．x－2.5＝6500 4．小辉的年龄是b岁，爸爸比他大36岁，则他爸爸的年龄是（    ）岁。 A．36÷b B．b×2 C．b－36 D．b＋36 5．五年级一班有男生21人，女生比男生少a人。用含有字母的式子表示该班学生总数是（    ）。 A．21－a B．21＋a C．21＋a＋21 D．42－a 6．如图，第1幅图中有4根小棒，第2幅图中有7根小棒，第3幅图中有10根小棒……按照这样的规律摆下去，第8幅图中有( )根小棒。 7．甲、乙两地相距800千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，5小时后两车在距中点50千米处相遇，则快车每小时比慢车快( )千米。 8．台州某“共富工坊”生产袜子，每小时生产a双，3.5小时生产( )双；当a＝240时，一共生产( )双。 9．加工一批零件，张师傅每天加工a个，李师傅每天加工8个，两人一起加工了10天完成。这批零件一共有( )个。 10．文文有70元钱，买了4支钢笔，每支a元。4a表示( )，70－4a表示( )。当元时，买了4支钢笔后，文文还剩下( )元钱。 11．工地上有a吨水泥，每天用去15吨，用了b天，还剩( )吨；当，时，还剩( )吨。 12．有5个连续的自然数的和是m，中间一个数可表示为( )，最大的一个数是( )，最小的一个数是( )。 13．人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。小丽早上身高m厘米，晚上身高可能是( )厘米；当m＝150时，她晚上的身高是( )厘米。 14．直接写出得数。 0.22×4＝                 7.2×0.1＝                0.75÷0.25＝                7y－y＋2y＝ 0.38÷0.1＝                1÷0.5＝                 1.64÷4＝                   2×x×1.2＝ 15．解方程。 3x＋15＝105             4.2x－2.4x＝12.6         2.5x÷4＝6.25 16．华南大酒店今年8月份营业收入是32.5万元，比7月份营业收入的2倍少1.5万元，今年7月份营业收入是多少万元？ 17．“色如渥（wò）丹，灿若明霞。”丹霞山是广东省面积最大的风景区，总面积292平方千米，比西樵山的21倍少2平方千米。西樵山的总面积是多少平方千米？（列方程解答） 18．星期六，小强去爬山。上山时每小时走3000米，从另一条路下山时每小时走6000米。已知他上山下山共用去8小时（不包括休息时间），共走了30000米。问上山和下山各用多长时间？上山和下山各走多少米？ 19．驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 20．夏末的傍晚，李奶奶站在新开垦长方形的菜地旁，望着菜地发愁。前些天播种的白菜苗刚冒头，就被小动物踩倒了好几棵。她决定用仓库里的66米旧竹篱笆，把这块长方形菜地严严实实围起来。可当她量得菜地的长是25米后，却发现忘记标记菜地的宽度，你能帮李奶奶算出来吗？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05：简易方程 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：用字母表示数 2 知识点二：方程的意义 2 知识点三：等式的性质 2 知识点四：解方程 3 知识点五：实际问题与方程 3 知识点六：稍复杂的方程 4 知识点七：易错点与培优技巧 4 易错点练习 4 易错点一：用字母表示数、数量关系 4 易错点二：用字母表运算定律及计算公式 6 易错点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 8 易错点四：含有字母式子的化简与求值 10 易错点五：等式的认识及列等量关系式 12 易错点六：方程的认识 14 易错点七：列简易方程 16 易错点八：等式的性质1 17 易错点九：等式的性质2 19 易错点十：应用等式的性质解方程 20 易错点十一：解等号两边都有未知数的方程 23 易错点十二：方程的检验 26 易错点十三：列方程解含有一个未知数的问题 32 易错点十四：列方程解含有两个未知数的问题 34 易错点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 37 拔尖训练 40 知识梳理 知识点一：用字母表示数 意义：用字母可以简明地表示数、数量关系、运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来方便。 写法规则： 1.字母与字母相乘时，乘号可省略或写作“·”（如a×b=ab或a·b） 2.字母与数字相乘时，数字在前字母在后，乘号省略（如3×x=3x） 3.带分数与字母相乘时，需化为假分数（如1½×a=3/2a） 4.相同字母相乘写成幂的形式（如a×a=a²） 示例： 用字母表示乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 用字母表示长方形面积公式：S=ab（a表示长，b表示宽） 每支铅笔a元，买5支应付：5a元 知识点二：方程的意义 定义：含有未知数的等式叫做方程。 核心要素：①必须是等式 ②必须含有未知数 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程） 示例： 下列式子中是方程的有：3x=18（√）、20-8=12（×）、5y+3＞10（×）、x÷4=2.5（√） 知识点三：等式的性质 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c 性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 如：若a=b，则ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0） 示例： 根据等式性质填空： 若x+5=12，则x+5-5=12-（5）（性质1） 若4x=28，则4x÷4=28÷（4）（性质2） 知识点四：解方程 定义：求方程的解的过程叫做解方程。 基本步骤： 1.写“解”字并注明“：” 2.利用等式性质化简方程（去分母、去括号、移项、合并同类项） 3.求出未知数的值 4.检验（把解代入原方程，看左右两边是否相等） 示例：解方程 3(x-2)=18 解：3(x-2)÷3=18÷3（性质2） x-2=6 x-2+2=6+2（性质1） x=8 检验：左边=3×(8-2)=18，右边=18，左边=右边，所以x=8是方程的解 知识点五：实际问题与方程 解题步骤： 1.审题：找出关键信息，明确已知量和未知量 2.设未知数：一般设所求问题为x（直接设元），复杂问题可间接设元 3.列方程：根据等量关系列出方程 4.解方程并检验 5.答语：完整回答问题 常见等量关系类型： 和差关系：甲+乙=总和，甲-乙=相差数 倍数关系：甲=乙×倍数，甲=乙×倍数+几（或-几） 公式应用：路程=速度×时间，总价=单价×数量 示例： 学校图书馆有故事书280本，比科技书的3倍少20本，科技书有多少本？ 解：设科技书有x本 3x-20=280（等量关系：科技书×3-20=故事书） 3x=300 x=100 答：科技书有100本 知识点六：稍复杂的方程 类型1：含有两步运算的方程（如ax±b=c、a(x±b)=c） 示例：解方程 2x+1.5×2=6 解：2x+3=6 → 2x=3 → x=1.5 类型2：含有两个未知数的方程（如ax+bx=c） 解题关键：根据两个未知数的关系，用一个字母表示另一个字母 示例：苹果和梨共20千克，苹果质量是梨的3倍，苹果和梨各多少千克？ 解：设梨有x千克，则苹果有3x千克 x+3x=20 → 4x=20 → x=5 苹果：3×5=15（千克） 知识点七：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.字母表示数时，数字与字母相乘遗漏乘号（如x×5写成x5，正确应为5x） 2.解方程时未写“解”字或忘记检验 3.列方程时等量关系错误（如“比乙的2倍多3”写成2x-3，正确应为2x+3） 培优技巧： 1.用“顺向思维”列方程：根据题目叙述直接写出等量关系（如“甲数比乙数的2倍少5”→甲=2乙-5） 2.复杂问题“画图分析”：通过线段图、示意图直观呈现数量关系 3.方程验算“代入法”：将解代入原方程，确保左边=右边 易错点练习 易错点一：用字母表示数、数量关系 例题：如果：a×0.4＝b÷0.4＝c（a、b、c都不为0），那么在a、b、c三个数中，( )最大。 【答案】a 【分析】已知a×0.4＝b÷0.4＝c（a、b、c都不为0）；一个数（0除外）乘小于1且不为0的数，积小于原数，0.4＜1，所以a×0.4＜a，即c＜a；一个数（0除外）除以小于1且不为0的数，商大于原数，所以b÷0.4＞b，即b＜c，据此解答即可。 【详解】a×0.4＝b÷0.4＝c（a、b、c都不为0） 0.4＜1 a×0.4＜a，即c＜a； b÷0.4＞b，即b＜c； 所以a＞c＞b 在a、b、c三个数中，a最大。 【变式训练1】明明有60元，买了x本练习本，每本3元。3x表示( )，（60－3x）表示( )。 【答案】 x本练习本的总花费 买完练习本后剩余的钱数 【分析】买了x本练习本，每本练习本3元，x本练习本的总费用＝单价×数量，即3×x＝3x。明明有60元，用总钱数减去买练习本的总花费，剩余的就是（60－3x）。 【详解】3×x＝3x 剩余金额：60－3x 3x表示买x本练习本的总花费，（60－3x）表示买完练习本后剩余的钱数。 【变式训练2】一本数学《课时作业本》，小明已经做了35页，还有a页没做，这本数学《课时作业本》一共有( )页。 【答案】 【分析】要知道这本《课时作业本》的总页数，需要把已经做的页数和还没做的页数合起来，用加法计算。 【详解】已经做了35页，还有页没做， 则这本数学《课时作业本》一共有页。 【变式训练3】实验小学举行绘画比赛，四年级有x件作品获奖，五年级获奖作品的数量是四年级的1.4倍，五年级的获奖作品有( )件。 【答案】1.4x 【分析】由题意知：五年级获奖作品的数量是四年级的1.4倍，则四年级获奖作品数量×1.4＝五年级获奖作品数量，四年级有x件作品获奖，根据等量关系写出表达式即可。 【详解】实验小学举行绘画比赛，四年级有x件作品获奖，五年级获奖作品的数量是四年级的1.4倍，五年级的获奖作品有1.4x件。 易错点二：用字母表运算定律及计算公式 例题：把错写成后，得到的结果比原来（    ）。 A．少8 B．少32 C．少40 D．不变 【答案】B 【分析】先运用乘法分配律把5（x＋8）改写为5x＋40，再将两个算式作差，得到40－8＝32，据此解答即可。 【详解】5（x＋8）－（5x＋8） ＝5x＋40－5x－8 ＝5x－5x＋40－8 ＝40－8 ＝32 所以写错的算式的结果比原来少32。 故答案为：B 【变式训练1】一个平行四边形如图，用含有字母的式子表示它的周长是C＝( )，如果a＝4分米，b＝5分米。这个平行四边形的周长是( )分米。 【答案】 2（a＋b） 18 【分析】​​周长公式推导：平行四边形对边相等，周长等于相邻两边长度和的2倍，用a和b表示两条邻边，周长公式即为C＝2（a＋b）​​，将具体数值a＝4分米、b＝5分米代入公式求值。 【详解】周长公式为：C＝2（a＋b） 将已知数值代入公式计算： 2×（4＋5） ＝2×9 ＝18（分米） 用含有字母的式子表示它的周长是C＝2（a＋b），这个平行四边形的周长是18分米。 【变式训练2】一张长方形的纸，剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就变成了一个正方形（如图），则原来长方形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 4a＋6 a2＋3a 【分析】根据题意，长方形的纸剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就变成了一个正方形，根据正方形的特征可知，正方形的边长是acm；则原来长方形的长是（a＋3）cm，宽是acm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，求出原来长方形的周长和面积。 【详解】（a＋3＋a）×2 ＝（2a＋3）×2 ＝2a×2＋3×2 ＝（4a＋6）cm （a＋3）×a ＝ a×a＋3×a ＝（a2＋3a）cm2 则原来长方形的周长是（4a＋6）cm，面积是（a2＋3a）cm2。 【变式训练3】早餐时间食堂提供的包子a元一个，粥b元一碗，小明给全家买6个包子和3碗粥，要付( )元。 【答案】6a＋3b 【分析】根据总价＝单价×数量，分别求出买6个包子的钱数和3碗粥的钱数，再把它们相加，即可解答。 【详解】a×6＋b×3＝（6a＋3b）元 早餐时间食堂提供的包子a元一个，粥b元一碗，小明给全家买6个包子和3碗粥，要付（6a＋3b）元。 易错点三：用字母表示稍微复杂的数量关系 例题：一列火车从广州出发开往长沙，每小时行驶160千米，行驶了t小时后，距离长沙还有80千米，从广州到长沙的铁路全长有 千米。 【答案】（160t＋80） 【分析】行驶的路程＝速度×时间，铁路全长＝行驶的路程＋剩下未行驶的路程。用160乘t，先求出已经行驶的路程，再加上80千米，就是从广州到长沙的铁路全长，据此列式即可解答。 【详解】160×t＋80＝（160t＋80）千米 从广州到长沙的铁路全长有（160t＋80）千米。 【变式训练1】一项工作，甲队单独做要小时，乙队单独做要小时，两队合作多少小时可以完成这项工程的一半？用式子表示： ；如果、，两队合作 小时可以完成这项工程的一半。 【答案】 【分析】将工作总量看作单位“1”，已知甲队单独做要小时，乙队单独做要小时，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”得甲队工作效率为，乙队工作效率为。两队合作完成这项工程的一半，即，两队合作效率为，根据“工作时间＝工作总量÷工作时间”得完成工程一半所需时间为，化简后得。最后将，代入其中计算具体数值即可。 【详解】 ＝ ＝ ÷ ＝× ＝ 当a＝12，b＝8时， ＝ ＝ ＝ ＝ 因此，两队合作完成工程一半的时间为小时，当，时，需要小时。 【变式训练2】观察下图，每个黑色圆周围都有6个白色圆。照这样的规律画下去，当画完第5个黑色圆时，一共画了( )个白色圆；当画完第n个黑色圆时，一共画了( )个白色圆。 【答案】 22 4n＋2 【分析】观察图形可知，1、2、3个黑色圆周围分别有6、10、14个白色圆，发现每增加一个黑色圆周围的白色圆就增加4个，据此得出白色圆的个数与黑色圆的个数之间的关系：白色圆的个数＝黑色圆的个数×4＋2，用含字母的式子表示数量关系，并求出第5个黑色圆周围白色圆的个数。 【详解】观察图形可知： 第1个黑色圆周围有6个白色圆，6＝4×1＋2； 第2个黑色圆周围有10个白色圆，10＝4×2＋2； 第3个黑色圆周围有14个白色圆，14＝4×3＋2； …… 规律：第n个黑色圆周围有（4n＋2）个白色圆。 当n＝5时 4n＋2 ＝4×5＋2 ＝20＋2 ＝22（个） 照这样的规律画下去，当画完第5个黑色圆时，一共画了（22）个白色圆；当画完第n个黑色圆时，一共画了（4n＋2）个白色圆。 【变式训练3】如图线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为 分米，当a＝5分米时，线段AB的长度是 分米。 【答案】 （2a＋3） 13 【分析】从图中可知，线段AB由两段长度为a分米的线段和一段长度为3分米的线段组成，两段长度为a分米的线段总长度是a＋a＝2a分米，再加上3分米的那段，所以线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为（2a＋3）分米； 把a＝5代入2a＋3中，根据先乘除后加减的运算顺序，先算乘法2×5＝10，再算加法10＋3＝13分米，所以此时线段AB的长度是13分米。 【详解】a＋a＋3＝2a＋3 当a＝5时， 2a＋3 ＝2×5＋3 ＝13 所以线段AB的长度用含有字母“a”的式子表示为（2a＋3）分米，当a＝5分米时，线段AB的长度是13分米。 易错点四：含有字母式子的化简与求值 例题：下面每组的两个式子中，结果不一定相同的是（    ）。 A．x2和2x B．a÷b÷c和a÷（b×c） C．4x＋4y和4（x＋y） 【答案】A 【分析】A．x2表示2个x相乘，2x表示2个x相加，表示的意义不同，结果不一定相同； B．根据除法的性质可知：一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积，商不变； C．根据乘法分配律可知：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【详解】A．当x＝2时，x2＝22＝4，2x＝2×2＝4，此时x2＝2x；当x＝3时，x2＝32＝9，2x＝2×3＝6，此时x2≠2x；因此x2与2x的结果不一定相同，符合； B．根据除法性质可知a÷b÷c＝a÷（b×c），结果一定相同，不符合； C．根据乘法分配律可得4x＋4y＝4（x＋y），结果一定相同，不符合。 故答案为：A 【变式训练1】直接写出得数。 0.6×0.5＝            7.2÷0.8＝          0÷0.78＝       5.2÷100＝ 0.28＋1.62＝            0.6²＝          0.7×4.2÷0.7＝    a×m×0＝ 【答案】0.3；9；0；0.052； 1.9；0.36；4.2；0 【解析】略 【变式训练2】王师傅加工一批零件，每小时加工a个，加工了3小时后还剩b个，这批零件一共有( )个；当a＝25，b＝30时，这批零件有( )个。 【答案】 3a＋b 105 【分析】王师傅每小时加工a个，加工了3小时，已加工零件数为“每小时加工数×时间”，即3×a＝3a（个）。总零件数等于已加工零件数加上剩余的b个，因此总数表达式为3a＋b（个）。当a＝25、b＝30时，将数值代入（3a＋b），可得总零件数为3×25＋30＝105（个）。 【详解】3×a＋b＝3a＋b（个） 3×25＋30 ＝75＋30 ＝105（个） 这批零件一共有（3a＋b）个；当a＝25，b＝30时，这批零件有105个。 【变式训练3】药店五月份购进了一些珍珠明目液，上半月卖出了m盒，下半月卖出的盒数是上半月的1.2倍，下半月卖出 盒。当时，五月份下半月共卖出 盒珍珠明目液。 【答案】 1.2m 36 【分析】求一个数是另一个数的几倍，用乘法，当时，代入数值求出1.2m的值即可。 【详解】下半月卖出：（盒） 当时，（盒） 所以下半月卖出1.2m盒。当时，五月份下半月共卖出36盒。 易错点五：等式的认识及列等量关系式 例题：不能正确表达如图等量关系的是（    ）。 A．6000＋3000＋x＝7500 B．6000－x＝7500－3000 C．7500＋x＝6000＋3000 【答案】A 【分析】由图可知，一条线段总长7500，左边一段长6000，右边一段长3000，并且6000和3000里面都包含x，找出等量关系后再逐项分析即可。 【详解】A．6000与3000的和减去x等于7500，即6000＋3000－x＝75000，该选项错误； B．6000减x的差等于7500减3000的差，即6000－x＝7500－3000，该选项正确； C．7500与x的和等于6000与3000的和，即7500＋x＝6000＋3000，该选项正确； 故答案为：A 【变式训练1】下面各题的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示的是（    ）。 A．长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍 B．合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍 C．王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍 D．杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵 【答案】C 【分析】A．由题意可知，长方形的宽为x分米，则长为4x分米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2列出方程并与4x＋x＝20比较； B．由题意可知，男生有x人，等量关系为：男生的人数×4＝女生的人数，据此列出方程并与4x＋x＝20比较； C．由题意可知，鸡有x只，则鸭有4x只，等量关系为：鸡的只数＋鸭的只数＝20，据此列出方程并与4x＋x＝20比较； D．由题意可知，杏树有x棵，则桃树的棵数＝杏树的棵数×4＋20，据此写出关系式并与4x＋x＝20比较。 【详解】A．（x＋4x）×2＝20 长方形的周长是20分米，宽x分米，长是宽的4倍。它们的数量关系可以用“（x＋4x）×2＝20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示； B．4x＝20 合唱队有女生20人，男生x人，女生是男生的4倍。它们的数量关系可以用“4x＝20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示； C．4x＋x＝20 王伯伯家共养鸡、鸭20只，其中鸡x只，鸭是鸡的4倍。它们的数量关系可以用“4x＋x＝20”表示； D．4×x＋20＝4x＋20 杏树x棵，桃树的棵数比杏树的4倍还多20棵。桃树的棵数可以用“4x＋20”来表示，不能用“4x＋x＝20”表示。 故答案为：C 【变式训练2】一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还重2吨，这头大象的体重是多少吨？列方程解决这个问题的数量关系式错误的是（    ）。 A．大象的体重×37＋2＝150 B．大象的体重×37－2＝150 C．150－大象的体重×37＝2 D．大象的体重×37＝150－2 【答案】B 【分析】根据“一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还重2吨”分析各选项的数量关系式，找出错误的数量关系式即可。 【详解】A．大象的体重×37＋2＝150，符合题意，数量关系式正确； B．大象的体重×37－2＝150，意思是，一头鲸重150吨，比一头大象的体重的37倍还轻2吨，不符合题意，数量关系式错误； C．150－大象的体重×37＝2，符合题意，数量关系式正确； D．大象的体重×37＝150－2，符合题意，数量关系式正确。 故答案为：B 【变式训练3】用等式表示a比b的3倍少5，下列正确的是（    ）。 A．3b－a＝5 B．a－3b＝5 C．3b＋5＝a D．3a－5＝b 【答案】A 【分析】逐项分析每个等式的含义，找出符合题意的等式。 【详解】A．3b－a＝5，表示a比b的3倍少5，符合题意； B．a－3b＝5，表示a比b的3倍多5，不符合题意； C．3b＋5＝a，表示a比b的3倍多5，不符合题意； D．3a－5＝b，表示b比a的3倍少5，不符合题意。 用等式表示a比b的3倍少5，正确的是3b－a＝5。 故答案为：A 【点睛】弄清数量之间的关系，明白每个等式的含义是解题的关键。 易错点六：方程的认识 例题：下列各式中不是方程的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的意义，含有未知数的等式是方程。分析各项是否含有未知数且是等式。 【详解】A．含有未知数且是等式。该选项是方程。 B．含有未知数且是等式。该选项是方程。 C．含有未知数的式子。该选项不是方程。 D．含有未知数且是等式。该选项是方程。 故答案为：C 【变式训练1】小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示( )；请你自己再举一个例子：( )。 【答案】 等式 若B表示长方形，则A可以表示平行四边形 【分析】有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形，据此可知：等边三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知数的等式，据此可知方程是特殊的等式，所以A可以表示等式；平行四边形：有两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；长方形：有一个角是直角的平行四边形是长方形；据此可知：长方形是特殊的平行四边形，可以据此举例解答。 【详解】根据分析可知：方程是特殊的等式，所以若B表示方程，则A可以表示等式； 长方形是特殊的平行四边形，若B表示长方形，则A可以表示平行四边形。 小学阶段很多知识之间有着密切联系。如图，若A表示等腰三角形，则B可以表示等边三角形；若B表示方程，则A可以表示等式；请你自己再举一个例子：若B表示长方形，则A可以表示平行四边形。 （答案不唯一） 【变式训练2】下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 【答案】 ①②⑤ ①⑤ 【分析】等式是含有等号的式子，而方程是含有未知数的等式，据此解答。 【详解】①x－30＝26式子中含有等号，所以是等式； ②25×2＝50式子中含有等号，所以是等式； ③6＋m式子中不含等号，所以不是等式； ④5a＜2.5式子中不含等号，所以不是等式； ⑤x÷0.3＝1.2式子中含有等号，所以是等式。 所以等式有①、②、⑤。 在等式①、②、⑤中，①和⑤的式子中含有未知数，所以①和⑤是方程，②的式子中不含未知数，所以②不是方程。 即在这些式子中，等式有①②⑤，方程有①⑤。 【变式训练3】把是方程的挑出来，放在下面的方框里。                   【答案】见详解 【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程，据此解答。 【详解】x＋45＞78；3×6＝18；x÷4＜5 5x＝100；x－8＝24；x＋20 【点睛】利用方程的意义进行解答，方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式。 易错点七：列简易方程 例题：笑笑买了5支钢笔，每支x元，一共花了( )元；付给售货员50元，找回15元，求每支钢笔多少元？可列方程为( )。 【答案】 5x 5x＋15＝50 【分析】总价＝单价×数量。由题意得，笑笑买了5支钢笔，每支x元，求一共花了多少元，用乘法计算，列式为：x×5。 付给售货员50元，找回了15元，据此列出等量关系式：5支钢笔的价钱＋找回的钱数＝一共付的钱，根据等量关系式列出方程即可。 【详解】x×5＝5x（元） 根据等量关系式列出方程：5x＋15＝50。 笑笑买了5支钢笔，每支x元，一共花了5x元；付给售货员50元，找回15元，求每支钢笔多少元？可列方程为5x＋15＝50。 【变式训练1】根据题意找出等量关系，并且列出方程。 张明买了4本练习本，每本x元，付给售货员10元，找回4元。( ) 【答案】4本练习本的钱数＋找回的钱＝10元；4＋4x＝10 【分析】根据题意可知，4本练习本的总价加上找回的钱等于付出的钱，根据总价＝单价×数量，每本为x元，则4本是4x元，据此列方程解答。 【详解】等量关系：4本练习本的钱数＋找回的钱＝10元 列出的方程：4＋4x＝10 【点睛】此题考查了学生列方程的能力，找准等量关系是解题的关键。 【变式训练2】一场篮球比赛中，小明投进的2分球和3分球的数量相同，共得20分。要想求出小明共投进2分球和3分球的个数，我们可以设小明投进2分球的3分球各x个，则2分球总得分为( )，3分球总得分为( )。根据2分球的总得分＋3分球的总得分＝最终得分，列方程为( )。 【答案】 2x 3x 2x＋3x＝20 【分析】根据2分球的总得分＋3分球的总得分＝最终得分，据此列方程即可。 【详解】场篮球比赛中，小明投进的2分球和3分球的数量相同，共得20分。要想求出小明共投进2分球和3分球的个数，我们可以设小明投进2分球的3分球各x个，则2分球总得分为（2x），3分球总得分为（3x）。根据2分球的总得分＋3分球的总得分＝最终得分，列方程为（2x＋3x＝20） 【点睛】根据题意，找出2分球、3分球之间的数量关系是解答本题的关键。 【变式训练3】仔细观察，在每个图下面各写一个方程。 方程：             方程： 【答案】 x＋0.5＝2.5 3x＝36 【分析】天平左右两边平衡，说明两边的质量相等，根据小猫质量＋球的质量＝香蕉质量，列出第一个方程； 3盒笔共36支，根据一盒笔的支数×3＝总支数，列出第二个方程。 【详解】 【点睛】列方程关键是找到等量关系，根据等量关系列出方程。 易错点八：等式的性质1 例题：如果，那么、两数相差( )。 【答案】11.36 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；求解、两数相差的值需要将等式变形为等于某个数的形式，则首先将等式两边同时减并加上即可将等式变形。 【详解】 即、两数相差11.36。 【变式训练1】已知：，，下面计算结果错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．根据等式的性质1，可得，左边去掉小括号，小括号里的加号变减号，右边计算出结果，即可得出选项中的算式； B．根据等式的性质2，可得，左边根据乘法分配律，小括号里的分别与5相乘，再相加，右边计算出结果，与选项中的算式对照即可； C．先计算中间的除法，即可得出题干中的算式； D．根据等式的性质2，可得，左边去掉小括号，括号里的乘号变除号，右边计算出结果，即可得出选项中的算式。 【详解】A．，可得，即，选项正确； B．，可得，即，选项错误； C．，可以先算中间的除法，，得，选项正确； D．，可得，即，选项正确； 已知：，，计算结果错误的是。 故答案为：B 【变式训练2】如下图，一个菠萝与( )个苹果一样重，( )个苹果和一个梨一样重。 【答案】 4 2 【分析】观察左图，2个菠萝＝1个菠萝＋4个苹果，根据等式的性质1，两边同时减去1个菠萝，可得1个菠萝＝4个苹果；观察右图，4个苹果＋1个梨＝6个苹果，根据等式的性质1，两边同时减去4个苹果，可得1个梨＝2个苹果，据此分析。 【详解】根据分析，一个菠萝与4个苹果一样重，2个苹果和一个梨一样重。 【变式训练3】在方程的两边同时加上2x，等式仍然成立。( ) 【答案】√ 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。据此解题。 【详解】方程的两边同时加上2x，等式仍然成立。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质1是解题的关键。 易错点九：等式的性质2 例题：如果A＝B，根据等式的性质填空。 A＋6＝B＋( )        A÷( )＝B÷1.5 【答案】 6 1.5 【分析】根据等式的性质；等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【详解】根据分析可知，A＋6＝B＋6 A÷1.5＝B÷1.5 【变式训练1】一辆小汽车的牌照是湘U－8T○□△。已知○＋○＝□，○＋□＋□＋5＝15，△＋△＝○，那么牌照号码的后三位数是( )。 【答案】241 【分析】已知○＋○＝□，将○＋□＋□＋5＝15中的□用2个○代替，则算式变成○＋○＋○＋○＋○＋5＝15，进而求出○的值；再将○的值代入到△＋△＝○，即可求出△的值。据此得出那么牌照号码的后三位数。 【详解】因为○＋○＝□，那么： ○＋□＋□＋5＝15 ○＋○＋○＋○＋○＋5＝15 5○＋5＝15 5○＋5－5＝15－5 5○＝10 5○÷5＝10÷5 ○＝2 □＝○＋○＝2＋2＝4 ○＝△＋△，则△＝○÷2＝2÷2＝1 那么牌照号码的后三位数是241。 【变式训练2】根据等式的性质填空：若方程2.4x÷（2x＋0.7）＝1.2，那么2.4x÷（2x＋0.7）×（2x＋0.7）＝1.2×( )。 【答案】2x＋0.7 【分析】等式的性质2：等式左右两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此观察发现，等式左边乘（2x＋0.7），那么右边也需要乘（2x＋0.7）。 【详解】根据等式的性质填空：若方程2.4x÷（2x＋0.7）＝1.2，那么2.4x÷（2x＋0.7）×（2x＋0.7）＝1.2×（2x＋0.7）。 【变式训练3】已知m＝n，请根据等式的性质填空：m＋k＝n（    ）；m÷3＝n○（    ）。（○里填运算符号，括号里填数或字母） 【答案】＋；k；÷；3 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】已知m＝n，则m＋k＝n＋k；m÷3＝n÷3。 【点睛】掌握并灵活运用等式的性质是解题的关键。 易错点十：应用等式的性质解方程 例题：解方程。                   【答案】x＝19.6；x＝0.2；x＝14 【分析】根据等式的性质2，方程两边同时乘7； 先把方程左边化简为35x，两边再同时除以35； 方程两边同时加上20，两边再同时除以4。 【详解】x÷7＝2.8 解：x÷7×7＝2.8×7 x＝19.6 7x＋28x＝7 解：35x＝7 x＝7÷35 x＝0.2 4x－20＝36 解：4x－20＋20＝36＋20 4x＝56 x＝56÷4 x＝14 【变式训练1】解方程。 ①    ②    ③ 【答案】①；②；③ 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；利用这些性质逐步将方程变形，求出未知数的值。 ①根据等式的性质2，等式两边同时乘1.6即可； ②根据等式的性质，等式两边先同时减2.4，再同时除以3即可； ③先计算方程的左边，，将方程变为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.5即可。 【详解】① 解： ② 解： ③ 解： 【变式训练2】解方程。                          【答案】；； 【分析】，根据等式的性质1在两边同时减6，计算后再根据等式的性质2在两边同时除以0.5解答即可。 ，先计算方程左边，原方程变为，然后根据等式的性质1，在两边同时加5x，然后根据等式的性质1在两边同时减16，再根据等式的性质2在两边同时除以5解答。 ，根据等式的性质2在两边同时乘2x，即，，再根据等式的性质2在两边同时除以4解答。 【详解】 解： 解： 解： 【变式训练3】解方程。                      【答案】x＝2.1；x＝3；x＝1.1 【分析】先把方程左边化简为8x，两边再同时除以8； 先把方程左边化简为4.2x，两边再同时除以4.2； 先计算出0.4×6＝2.4，两边再同时减去2.4，最后两边再同时除以3。 【详解】3x＋5x＝16.8 解：8x＝16.8 8x÷8＝16.8÷8 x＝2.1 5.5x－1.3x＝12.6 解：4.2x＝12.6 4.2x÷4.2＝12.6÷4.2 x＝3 0.4×6＋3x＝5.7 解：2.4＋3x＝5.7 2.4＋3x－2.4＝5.7－2.4 3x＝3.3 3x÷3＝3.3÷3 x＝1.1 易错点十一：解等号两边都有未知数的方程 例题：解方程。（带★的要写出检验过程） （1）x－97＝34.2          （2）★2x＋1.5x＝17.5          （3）（57－3x）÷2＝8x 【答案】（1）x＝131.2；（2）x＝5；（3）x＝3 【分析】（1）根据等式的性质1，两边同时加上97即可； （2）首先将左边合并为3.5x，然后根据等式的性质2，两边同时除以3.5，最后把求出的方程的解代入原方程，看看等式左边是否等于右边即可； （3）首先根据等式的性质1和2，两边同时乘2，然后两边再同时加上3x，再两边同时除以19，最后交换左右两边的位置即可。 【详解】（1）x－97＝34.2 解：x－97＋97＝34.2＋97 x＝131.2 （2）2x＋1.5x＝17.5 解：3.5x＝17.5 3.5x÷3.5＝17.5÷3.5 x＝5 检验：当x＝5时， 左边 ＝2×5＋1.5×5 ＝10＋7.5 ＝17.5 ＝右边 因为左边＝右边，所以x＝5是方程2x＋1.5x＝17.5的解。 （3）（57－3x）÷2＝8x 解：（57－3x）÷2×2＝8x×2 57－3x＝16x 57－3x＋3x＝16x＋3x 57＝19x 57÷19＝19x÷19 3＝x x＝3 【变式训练1】列方程，并求出方程的解。 【答案】7x＝2x＋50；x＝10 【分析】根据题图可知，天平左边7个x的量＝天平右边2个x的量与50的和，据此列方程即可。 【详解】7x＝2x＋50 解：7x－2x＝2x＋50－2x 5x＝50 5x÷5＝50÷5 x＝10 【变式训练2】林强和宝锋要制作相同数量的玩具。林强7小时可以完成，宝锋11小时可以完成。若林强每小时比宝锋多制作8个玩具，那么宝锋一共制作了 个玩具。 【答案】154 【分析】根据题意，可以设林强每小时x个玩具，林强制作的玩具总数＝7x， 林强每小时比宝锋多制作8个玩具，则宝锋每小时制作（x－8）个玩具，宝锋制作的玩具＝（x－8）×11。根据数量关系式：林强制作的玩具＝和宝锋制作的玩具，列出方程得出x的值。据此解答即可。 【详解】设：林强每小时x个玩具，宝锋每小时制作（x－8）个玩具。 7x＝（x－8）×11 7x＝11x－88 11x－7x＝88 4x＝88 x＝22 22×7＝154（个） 则宝锋一共制作了154个玩具。 【变式训练3】育才小学组织全体师生进行郊游，租用了若干辆小巴，其中一辆坐了25人，其余每辆小巴坐了30人。途中一辆小巴发生故障无法载人，学校决定其中一辆小巴坐19人，其余每辆小巴坐32人。学校共有师生 人。 【答案】595 【分析】无论小巴车的人数如何换，小巴车的数量和师生的人数不发生改变。在小巴没有发生故障之前，其中一辆坐了25人，其余的小巴车的数量是总小巴车的数量－1，则师生人数＝一辆的25人＋30×（小巴车数量－1）。途中小巴发生故障后，一辆小巴车坐19人，其余小巴车的数量是小巴车的总数量－1，则师生的总人数＝19＋32×（小巴车的数量－2）。两种情况的师生人数的数量是相等的，设小巴车的数量为x，再根据数量关系式一辆的25人＋30×（小巴车数量－1）＝19＋32×（小巴车的数量－2）列出方程求出方程的解。 【详解】解：设一共有x辆小巴。 25＋30×（x－1）＝19＋32（x－2） 25＋30x－30＝19＋32x－64 30x－5＝32x－45 32x－30x＝45－5 2x＝40 x＝40÷2 x＝20 25＋30×（20－1） ＝25＋30×19 ＝25＋570 ＝595（人） 则学校共有师生595人。 易错点十二：方程的检验 例题：解方程，带*的要检验。 5x÷3.5＝67.2           *9x－4.8＝1.5           50.7－1.6x＝13.9 【答案】x＝47.04；x＝0.7；x＝23 【分析】5x÷3.5＝67.2，根据等式的性质2，方程两边同时乘3.5，再同时除以5即可。 9x－4.8＝1.5，根据等式的性质1，方程两边同时加上4.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可，将x的值带入方程两边看是否相等即可检验。 50.7－1.6x＝13.9，根据等式的性质1，方程两边同时加上1.6x，再同时减去13.9，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.6即可。 【详解】5x÷3.5＝67.2 解：5x÷3.5×3.5＝67.2×3.5 5x＝235.2 5x÷5＝235.2÷5 x＝47.04 9x－4.8＝1.5 解：9x－4.8＋4.8＝1.5＋4.8 9x＝6.3 9x÷9＝6.3÷9 x＝0.7 检验：左边＝9×0.7－4.8 ＝6.3－4.8 ＝1.5 右边＝1.5 左边＝右边 x＝1.5是方程的解。 50.7－1.6x＝13.9 解：50.7－1.6x＋1.6x－13.9＝13.9－13.9＋1.6x 1.6x＝50.7－13.9 1.6x＝36.8 1.6x÷1.6＝36.8÷1.6 x＝23 【变式训练1】解方程。（带☆的要检验） 7－＝16.8        3＋1.2×6＝17.7      ☆14.8－2＝6.8 【答案】＝2.8；＝3.5；＝4 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）先把方程化简成6＝16.8，然后方程两边同时除以6，求出方程的解； （2）先把方程化简成3＋7.2＝17.7，然后方程两边先减去7.2，再同时除以3，求出方程的解； （3）方程两边先同时加上2，把方程变成6.8＋2＝14.8，然后方程两边先同时减去6.8，再同时除以2，求出方程的解。 方程的检验：把的值代入方程的左边，计算出结果，如果等于方程的右边，即的值是方程的解。 【详解】（1）7－＝16.8 解：6＝16.8 6÷6＝16.8÷6 ＝2.8 （2）3＋1.2×6＝17.7 解：3＋7.2＝17.7 3＋7.2－7.2＝17.7－7.2 3＝10.5 3÷3＝10.5÷3 ＝3.5 （3）☆14.8－2＝6.8 解：14.8－2＋2＝6.8＋2 6.8＋2＝14.8 6.8＋2－6.8＝14.8－6.8 2＝8 2÷2＝8÷2 ＝4 检验： 方程左边＝14.8－2 ＝14.8－2×4 ＝14.8－8 ＝6.8 ＝方程右边 所以，＝4是方程的解。 【变式训练2】解方程，方法巧妙，重检验！ 1.8＝0.972               ÷7.5＝90 9x－40＝5                 3.5x＋1.7x＝31.2 【答案】＝0.54；＝675 ＝5；＝6 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时除以1.8，求出方程的解； （2）方程两边同时乘7.5，求出方程的解； （3）方程两边先同时加上40，再同时除以9，求出方程的解； （4）先把方程化简成5.2＝31.2，然后方程两边同时除以5.2，求出方程的解。 【详解】（1）1.8＝0.972 解：1.8÷1.8＝0.972÷1.8 ＝0.54 检验： 方程左边＝1.8 ＝1.8×0.54 ＝0.972 ＝方程右边 所以，＝0.54是方程的解。 （2）÷7.5＝90 解：÷7.5×7.5＝90×7.5 ＝675 检验： 方程左边＝÷7.5 ＝675÷7.5 ＝90 ＝方程右边 所以，＝675是方程的解。 （3）9－40＝5 解：9－40＋40＝5＋40 9＝45 9÷9＝45÷9 ＝5 检验： 方程左边＝9－40 ＝9×5－40 ＝45－40 ＝5 ＝方程右边 所以，＝5是方程的解。 （4）3.5＋1.7＝31.2 解：5.2＝31.2 5.2÷5.2＝31.2÷5.2 ＝6 检验： 方程左边＝3.5＋1.7 ＝5.2 ＝5.2×6 ＝31.2 ＝方程右边 所以，＝6是方程的解。 【变式训练3】解方程。（带☆的要检验） 2x－6.4＝0.4               18×2＋3x＝60 ☆x＋7－8.2＝18.2          ☆30x÷2＝180 【答案】x＝3.4；x＝8； x＝19.4；x＝12 【分析】（1）方程两边先同时加6.4，然后同时除以2即可； （2）先计算18×2＝36，然后方程两边同时减36，最后同时除以3即可； （3）方程两边先同时加8.2，然后同时减7即可；将x的结果代入原方程，看方程左右两边是否相等； （4）方程两边先同时乘2，然后同时除以30即可。据此解答。 【详解】2x－6.4＝0.4 解：2x－6.4＋6.4＝0.4＋6.4 2x＝6.8 2x÷2＝6.8÷2 x＝3.4 18×2＋3x＝60 解：36＋3x＝60 36＋3x－36＝60－36 3x＝24 3x÷3＝24÷3 x＝8 x＋7－8.2＝18.2 解：x＋7－8.2＋8.2＝18.2＋8.2 x＋7＝26.4 x＋7－7＝26.4－7 x＝19.4 检验：方程左边＝x＋7－8.2 ＝19.4＋7－8.2 ＝26.4－8.2 ＝18.2 ＝方程右边 所以x＝19.4是原方程的解。 30x÷2＝180 解：30x÷2×2＝180×2 30x＝360 30x÷30＝360÷30 x＝12 检验：方程左边＝30x÷2 ＝30×12÷2 ＝360÷2 ＝180 ＝方程右边 所以x＝12是原方程的解。 易错点十三：列方程解含有一个未知数的问题 例题：中都路某段建筑工地有一堆沙子，工人叔叔们第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下13.5吨的沙子，这堆沙子原来有多少吨？ 【答案】 57.8吨 【分析】设这堆沙子原来有吨，用分别表示出第一次用去多少，第二次用去剩下沙子的一半，还剩下13.5吨，所以第二次用去也是13.5吨，用第一次用去加第二次用去的再加上剩下的沙子就是原来的沙子，由此列方程，然后求出即可。 【详解】解：设这堆沙子原来有吨， 第一次用去：吨； 第二次用去：（吨） 答：这堆沙子原来有57.8吨。 【变式训练1】张阿姨去布店买了20米白布和花布，其中白布3.5元/米，花布4元/米。算账时，营业员把白布和花布的单价算反了，结果张阿姨付了74元。请问是张阿姨多付了，还是布店亏了？张阿姨多付了或者布店亏了多少钱？ 【答案】布店亏了；亏了2元 【分析】我们需要先设白布或花布的长度，根据已知条件列出方程求出白布和花布实际的米数，再分别计算出正确价格和错误价格，通过比较两者得出是张阿姨多付还是布店亏了，以及具体的差价。设未知数并列出方程：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。算错单价时，白布的米数×花布每米的价钱＋花布的米数×白布每米的价钱＝74元，可列方程，解出，即张阿姨买了8米白布，花布买了20－8＝12（米）。再用3.5×8＋4×12算出正确价格，然后与74元比较、相减即可得解。 【详解】解：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。 20－8＝12（米） （元） 74元＜76元 76－74＝2（元） 答：布店亏了，亏了2元。 【点睛】本题围绕单价、数量和总价的知识点展开，通过设未知数、列方程求出白布和花布的实际数量，进而算出正确价格和错误价格进行比较。关键在于理解三者关系，准确列出方程求解。 【变式训练2】甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，甲船每小时行驶25千米，乙船每小时行驶的路程是甲船的1.4倍。经过多少小时两船相遇？（用方程解答） 【答案】6小时 【分析】由题可得等量关系式：甲船行驶的路程＋乙船行驶的路程＝360千米；甲船每小时行驶25千米，则乙船每小时行驶的路程是（25×1.4）千米。设经过x小时两船相遇，根据路程＝速度×时间，可得甲船行驶的路程是25x千米，乙船行驶的路程是（25×1.4×x）千米，再根据等量关系式可列方程：25x＋25×1.4×x＝360，解出方程，即可求出经过多少小时两船相遇。 【详解】解：设经过x小时两船相遇。 25x＋25×1.4×x＝360 25x＋35x＝360 60x＝360 60x÷60＝360÷60 x＝6 答：经过6小时两船相遇。 【变式训练3】在产业振兴园，淘淘了解到：新密市“十四五”规划纲要指出，实施乡村产业振兴行动，到2025年农村居民人均可支配收入将达到4.5万元，比2020年的2倍少0.22万元。新密市2020年农村居民人均可支配收入是多少万元？（用方程解） 【答案】2.36万元 【分析】根据题意可得出等量关系：2020年农村居民人均可支配收入×2－0.22＝2025年农村居民人均可支配收入，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设新密市2020年农村居民人均可支配收入是万元。 2－0.22＝4.5 2－0.22＋0.22＝4.5＋0.22 2＝4.72 2÷2＝4.72÷2 ＝2.36 答：新密市2020年农村居民人均可支配收入是2.36万元。 易错点十四：列方程解含有两个未知数的问题 例题：动物园儿童票价是成人票价的一半。小明和爸爸星期天去动物园玩，爸爸付了20元，还差2.5元。一张成人票和一张儿童票各是多少元？ 【答案】成人票15元，儿童票7.5元 【分析】设一张儿童票x元，根据动物园儿童票价是成人票价的一半，则一张成人票元。由小明和爸爸星期天去动物园玩，爸爸付了20元，还差2.5元可知一张成人票加上一张儿童票共（20＋2.5）元，据此列出方程，解出方程，代入，即可求得此题。 【详解】解：设一张儿童票x元，则一张成人票元。 答：一张成人票15元，一张儿童票7.5元。 【变式训练1】四年级两个班的学生参加植树活动。上午甲班每人种了3棵树，乙班每人种了4棵树，共计269棵；下午甲班每人种4棵树，乙班每人种3棵树，共计263棵。甲、乙两班各有多少人？ 【答案】甲班35人，乙班41人 【详解】解：设甲班有x人，乙班有y人。 上午种树总棵数：3x＋4y＝269 下午种树总棵数：4x＋3y＝263 将两式相加，得： （3x＋4y）＋（4x＋3y）＝269＋263                     7x＋7y＝532                       x＋y＝76 解得：x＝76－y 将x＝76－y代入3x＋4y＝269中，得y＝41 将y＝41代入x＝76－y中，得：x＝35 经检验，符合题意。 答：甲班35人，乙班41人。 【点睛】解决这类两个未知量的实际问题，通过设题目中未知数的数量关系列出二元一次方程组，找到甲、乙两班人数之和，再代入消元求解，体现了消元法在解二元一次方程组中的应用。 【变式训练2】制作一张桌子需要1个桌面和4个桌腿。一立方米的木材可以制作20个桌面，或者制作400条桌腿。现在有12立方米的木材。如何计划用料，才能制作尽可能多的桌子？ 【答案】用10立方米的木材制作桌面；用2立方米的木材制作桌腿 【分析】设用x立方米的木材制作桌面，则用（12－x）立方米的木材制作桌腿；因为1立方米木材可制作20个桌面，所以x立方米木材可制作20x个桌面，又因为1立方米木材可制作 400条桌腿，所以（12－x）立方米木材可制作 400×（12－x）条桌腿，根据制作一张桌子需要1个桌面和4个桌腿，即桌腿数量是桌面数量的4倍列方程为：4×20x＝400×（12－x），解方程即可求出制作桌面需要多少立方米的木材，再用12减去制作桌面的木料就是制作桌腿需要的木材。 【详解】解：设用x立方米的木材制作桌面。 4×20x＝400×（12－x） 80x＝4800－400x 80x＋400x＝4800－400x＋400x 480x＝4800 480x÷480＝4800÷480 x＝10 12－10＝2（立方米） 答：用10立方米的木材制作桌面，用2立方米的木材制作桌腿。 【变式训练3】某部队派出一支由25人组成的小分队参加防汛抗洪斗争。每个人每小时可以装18袋泥土，或者每两个人每小时可以抬14袋泥土。如何安排这些人的工作，才能使装泥和抬泥的任务密切配合，同时确保清场干净？ 【答案】装泥土7人；抬泥土18人 【分析】把装泥土的人数设为未知数，抬泥土的人数＝总人数－装泥土的人数，要想使装泥和抬泥的任务密切配合，同时确保清场干净，那么装的泥土数量和抬的泥土数量应该相等，等量关系式：装泥土的人数×每个人每小时装泥土的数量＝抬泥土的人数÷2×每两个人每小时抬泥土的数量，据此列方程解答。 【详解】解：设安排x人装泥土，（25－x）人抬泥土。 18x＝（25－x）÷2×14 18x×2＝（25－x）÷2×14×2 36x＝（25－x）×14 36x＝25×14－14x 36x＝350－14x 36x＋14x＝350－14x＋14x 50x＝350 50x÷50＝350÷50 x＝7 25－7＝18（人） 答：安排7人装泥土，18人抬泥土，才能使装泥和抬泥的任务密切配合，同时确保清场干净。 【点睛】分析题意设出未知数并找出等量关系式是列方程解决问题的关键，注意题目中的隐含条件“装泥土的数量和抬泥土的数量相等”。 易错点十五：列方程解决稍复杂的实际问题 例题：某市2010年年初，在校大、中、小学共有学生214万人，其中在校大学生比在校中学生多49万人，在校中学生比在校小学生多21万人，请问该市2010年年初大、中、小学各有多少在校学生？ 【答案】大学生有111万人，中学生有62万人，小学生有41万人在校学生。 【分析】根据题意，在校大学生和在校小学生都是和在校的中学生比较的，在校大学生＝在校中学生＋49，在校小学生＝在校中学生－21，可以设在校中学生为x万人，则在校大学生为（x＋49）万人，在校小学生为（x－21）万人。再根据数量关系：在校大学生＋在校小学生＋在校的中学生＝214，列出方程求出在校中学生的人数，再根据相互之间的关系得出其他两种的人数。 【详解】解：设在校中学生为x万人，则在校大学生为（x＋49）万人，在校小学生为（x－21）万人。 x＋x＋49＋x－21＝214 3x＋28＝214 3x＝214－28 3x＝186 x＝186÷3 x＝62 62＋49＝111（万人） 62－21＝41（万人） 答：该市2010年年初大学生有111万人，中学生有62万人，小学生有41万人在校学生。 【变式训练1】林老师和几位老师带着学校科学社团的同学观看神舟十一号飞船返回地球的全程直播。林老师数了数直播室里的座位椅（每张长椅共5个座位），算了算；1人1个座位，如果每张长椅上坐1位老师和4位同学，则有3个同学没有座位；如果每张长椅坐5位同学，则空出3个座位。问：学校科学社团共有几位同学？ 【答案】27位 【分析】假设学校科学社团共有位同学，根据题意，如果每张长椅上坐4位同学，则有3个同学没有座位；如果每张长椅坐5位同学，则空出3个座位，根据长椅的数量不变建立等量关系，可列方程为：，解方程即可。 【详解】解：设学校科学社团共有位同学， 答：学校科学社团共有27位同学。 【变式训练2】甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产924套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产1296套衣服。两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？ 【答案】2484套 【分析】用除法分别计算出每个厂生产上衣和裤子的速度，通过比较可知，甲厂生产的裤子速度快于甲厂生产上衣的速度，但是乙厂生产上衣和裤子的速度都比甲厂快，所以甲厂应专门生产裤子，剩余的衣裤由乙厂负责。设乙厂用x天生产裤子，用（30－x）天生产上衣，上衣的总数量等于裤子的总数量，根据数量关系：乙厂每天生产的裤子数量×乙厂生产裤子的天数＋甲厂每天生产的裤子数量×甲厂生产裤子的天数＝乙厂每天生产的上衣数量×乙厂生产上衣的天数，据此列方程为72x＋66×30＝108×（30－x），然后解出方程即可，然后求出乙厂生产多少件上衣，也就是生产多少套衣服。 【详解】甲厂每天生产上衣的数量：924÷16≈58（件） 乙厂每天生产上衣的数量：1296÷12＝108（件） 甲厂每天生产裤子的数量：924÷14＝66（条） 乙厂每天生产裤子的数量：1296÷18＝72（条） 58＜66＜72＜108 甲厂应专门生产裤子，剩余的衣裤由乙厂负责。 解：设乙厂用x天生产裤子，用（30－x）天生产上衣。 72x＋66×30＝108×（30－x） 72x＋1980＝108×（30－x） 72x＋1980＝3240－108x 72x＋108x＝3240－1980 180x＝1260 x＝1260÷180 x＝7 30－7＝23（天） 108×23＝2484（套） 答：每月（按30天计算）最多能生产2484套衣服。 【点睛】本题可用列方程解决问题，关键是找出谁的生产效率最高，谁就尽可能做最多。 【变式训练3】市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。 （1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？ （2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？ 【答案】（1）24千米 （2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【分析】（1）联络员走的时间就是后队追上前队的时间，设后队出发x小时后追赶上前队，根据后队x小时走的距离＝4千米＋前队x小时走的距离，列方程求解。再用联络员的速度乘追上前队的时间即是联络员走的路程； （2）分三种情况①后队未出发前队出发走了2千米；②后队将要追及上前队之前，距离前队2千米；③后队与前队相遇之后，前队由于速度慢行走在后面，前队后队可能再次相距2千米。 【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队， 6x＝4＋4x 6x－4x＝4＋4x－4x 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 12×2＝24（千米） 答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。 （2）分三种情况 ①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时） 即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米； ②后队出发还未追及上前队，设后队需y小时两队相距2千米 （6－4）y＝2 2y＝2 2y÷2＝2÷2 y＝1 1＋1＝2（小时） 即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米； ③后队与前队相遇之后，设前队再需z小时，两队相距2千米， （6－4）z＝2 2z＝2 2z÷2＝2÷2 z＝1 1＋2＋1＝4（小时） 即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。 答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。 【点睛】本题考查追及问题，速度差×追及时间＝路程差，以及分情况讨论问题的解题方法。 拔尖训练 1．方程3x－8＝16的解是（    ）。 A．x＝4 B．x＝8 C．x＝16 D．x＝24 【答案】B 【分析】根据等式的性质： 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；据此求出方程的解。 【详解】3x－8＝16 解：3x－8＋8＝16＋8 3x＝24 3x÷3＝24÷3 x＝8 故答案为：B 2．宁波舟山港平均每天吞吐量约a万吨，一周（7天）的吞吐量是（    ）万吨。 A．a＋7 B．a－7 C．7a D．a÷7 【答案】C 【分析】根据题意可得出数量关系：平均每天的吞吐量×7＝一周（7天）的吞吐量，据此用含字母的式子表示数量关系。 【详解】a×7＝7a（万吨） 一周（7天）的吞吐量是7a万吨。 故答案为：C 3．临安“天目粮仓”稻虾田平均每亩产值6500元，是传统稻田的2.5倍，传统稻田每亩产值是x元，列方程正确的是（    ）。 A．x＋2.5＝6500 B．2.5x＝6500 C．x÷2.5＝6500 D．x－2.5＝6500 【答案】B 【分析】根据题意可得出等量关系：传统稻田每亩产值×2.5＝稻虾田平均每亩产值，据此列出方程即可。 【详解】解：设传统稻田每亩产值是x元。 2.5x＝6500 2.5x÷2.5＝6500÷2.5 x＝2600 传统稻田每亩产值是2600元；列方程正确的是2.5x＝6500。 故答案为：B 4．小辉的年龄是b岁，爸爸比他大36岁，则他爸爸的年龄是（    ）岁。 A．36÷b B．b×2 C．b－36 D．b＋36 【答案】D 【分析】由题意可知，爸爸比小辉大36岁，爸爸的年龄＝小辉的年龄＋爸爸比小辉大的年龄，即爸爸的年龄是（b＋36）岁，据此解答。 【详解】分析可知，小辉的年龄是b岁，爸爸比他大36岁，则他爸爸的年龄是（b＋36）岁。 故答案为：D 5．五年级一班有男生21人，女生比男生少a人。用含有字母的式子表示该班学生总数是（    ）。 A．21－a B．21＋a C．21＋a＋21 D．42－a 【答案】D 【分析】用男生人数减去女生比男生少的人数，求出女生人数，再加上男生人数就是全班学生总数。 【详解】21－a＋21＝（42－a）人 所以用含有字母的式子表示该班学生总数是42－a。 故答案为：D 6．如图，第1幅图中有4根小棒，第2幅图中有7根小棒，第3幅图中有10根小棒……按照这样的规律摆下去，第8幅图中有( )根小棒。 【答案】25 【分析】观察小棒数量的规律，第1幅图：4根，可表示为3×1＋1＝4；第2幅图：7根，可表示为3×2＋1＝7；第3幅图：10根，可表示为3×3＋1＝10；由此得出规律：第n幅图的小棒数为3n＋1。当n＝8时，小棒数为：3×8＋1＝25。 【详解】第n幅图的小棒数为3n＋1； n＝8 3×8＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 第8幅图中有25根小棒。 7．甲、乙两地相距800千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出，5小时后两车在距中点50千米处相遇，则快车每小时比慢车快( )千米。 【答案】20 【分析】根据题意，设快车每小时比慢车快x千米，那么5小时内快车比慢车多行驶的路程为5x千米。由于两车在距中点50千米处相遇，快车比慢车多走了50×2千米，据此建立方程求解，据此解答。 【详解】解：设快车每小时比慢车快x千米。 5x＝50×2 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 快车每小时比慢车快20千米。 【点睛】关键是找到等量关系：“快车5小时的路程差=距中点距离的2倍”，通过方程求解速度差。 8．台州某“共富工坊”生产袜子，每小时生产a双，3.5小时生产( )双；当a＝240时，一共生产( )双。 【答案】 3.5a 840 【分析】根据题意可得出数量关系：每小时生产袜子的数量×生产时间＝生产袜子的总数，用含字母的式子表示数量关系；再把a＝240代入式子中，计算出结果即可。 【详解】3.5小时生产：a×3.5＝3.5a（双） 当a＝240时 3.5a ＝3.5×240 ＝840（双） 台州某“共富工坊”生产袜子，每小时生产a双，3.5小时生产3.5a双；当a＝240时，一共生产840双。 9．加工一批零件，张师傅每天加工a个，李师傅每天加工8个，两人一起加工了10天完成。这批零件一共有( )个。 【答案】10a＋80 【分析】根据工作效率×工作时间＝工作总量，分别计算出张师傅和李师傅分别完成多少件，再求和即可。 【详解】张师傅每天加工a个，加工了10天，则张师傅完成了（10a）个； 张师傅每天加工8个，加工了10天，则李师傅完成了8×10＝80个； 加工一批零件，张师傅每天加工a个，李师傅每天加工8个，两人一起加工了10天完成。这批零件一共有（10a＋80）个。 10．文文有70元钱，买了4支钢笔，每支a元。4a表示( )，70－4a表示( )。当元时，买了4支钢笔后，文文还剩下( )元钱。 【答案】 4支钢笔的总价 买4支钢笔后剩下的钱数 12 【分析】用购买的钢笔支数4支乘钢笔单价a元即为； 用文文有的总钱数70元减去钢笔的花费即为； 将代入，即可求出文文还剩下多少钱。 【详解】钢笔支数×钢笔单价＝，即表示4支钢笔的总价； 文文有的总钱数－4支钢笔的总价＝，即表示买4支钢笔后剩下的钱数； 当，即（元），即文文还剩下12元。 11．工地上有a吨水泥，每天用去15吨，用了b天，还剩( )吨；当，时，还剩( )吨。 【答案】 30 【分析】工地上原有水泥a吨，由于施工需要每天用去15吨，经过b天的使用后，首先可算出这段时间总共用去的水泥吨数为每天使用量乘以使用天数，即15×b＝15b吨；再用原有的水泥吨数减去已经用去的吨数，就能得到剩余的水泥吨数，对应的表达式为a−15b。当a＝150、b＝8时，代入该表达式计算，先算出15×8＝120吨，再用150−120＝30吨，所以此时剩余水泥30吨。 【详解】剩余水泥吨数：a−15b 当a＝150，b＝8时，150−15×8＝150−120＝30 所以还剩a−15b吨；当a＝150，b＝8时，还剩30吨。 12．有5个连续的自然数的和是m，中间一个数可表示为( )，最大的一个数是( )，最小的一个数是( )。 【答案】 【分析】5个连续自然数的和是m，由于连续自然数之间都是相差1，且个数为奇数，中间的数即为平均数。 用5个连续自然数的和除以5，即 。最大数比中间数大2，最小数比中间数小2，由此可得最大数和最小数的表达式。 【详解】有5个连续的自然数的和是m，中间一个数即是平均数： 与中间数相邻的两个数分别是：、； 最大的一个数是：； 最小的一个数是：； 填空如下： 有5个连续的自然数的和是m，中间一个数可表示为（），最大的一个数是（），最小的一个数是（）。 13．人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。小丽早上身高m厘米，晚上身高可能是( )厘米；当m＝150时，她晚上的身高是( )厘米。 【答案】 m－2 148 【分析】根据题意，人的身高早晚可能相差2厘米，早上最高，晚上最矮，因此晚上身高比早上身高矮2厘米。早上身高为m厘米，所以晚上身高为（m－2）厘米。当m＝150时，代入计算即可得到晚上身高。 【详解】晚上身高：（m－2）厘米 当m＝150时，m－2＝150－2＝148 人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。小丽早上身高m厘米，晚上身高可能是（m－2）厘米；当m＝150时，她晚上的身高是（148）厘米。 14．直接写出得数。 0.22×4＝                 7.2×0.1＝                0.75÷0.25＝                7y－y＋2y＝ 0.38÷0.1＝                1÷0.5＝                 1.64÷4＝                   2×x×1.2＝ 【答案】0.88；0.72；3；8y； 3.8；2；0.41；2.4x 【详解】略 15．解方程。 3x＋15＝105             4.2x－2.4x＝12.6         2.5x÷4＝6.25 【答案】x＝30；x＝7；x＝10 【分析】根据等式的性质解方程。等式两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立。 3x＋15＝105，首先，为了使等式左边只剩下含有x的式子，根据等式的基本性质，等式两边同时减去15，此时方程变为3x＝90。然后，为了使等式左边只剩下x，根据等式的基本性质，等式两边同时除以3。 4.2x－2.4x＝12.6，首先计算4.2x－2.4x，此时方程变为1.8x＝12.6，为了使等式左边只剩下x，根据等式的基本性质，等式两边同时除以1.8。 2.5x÷4＝6.25，首先，为了使等式左边只剩下含有x的式子，根据等式的基本性质，等式两边同时乘4，此时方程变为2.5x＝25。然后，为了使等式左边只剩下x，根据等式的基本性质，等式两边同时除以2.5。 【详解】3x＋15＝105 解：3x＋15－15＝105－15 3x＝90 3x÷3＝90÷3 x＝30 4.2x－2.4x＝12.6 解：1.8x＝12.6 1.8x÷1.8＝12.6÷1.8 x＝7 2.5x÷4＝6.25 解：2.5x÷4×4＝6.25×4 2.5x＝25 2.5x÷2.5＝25÷2.5 x＝10 16．华南大酒店今年8月份营业收入是32.5万元，比7月份营业收入的2倍少1.5万元，今年7月份营业收入是多少万元？ 【答案】17万元 【分析】由题意可知，8月份的营业收入比7月份营业收入的2倍少1.5万元，等量关系是7月份营业收入×2－1.5＝8月份营业收入，可以设7月份营业收入是万元，列出方程2－1.5＝32.5，求解的值，即可求出今年7月份的营业收入。 【详解】解：设今年7月份营业收入是万元。 2－1.5＝32.5 2－1.5＋1.5＝32.5＋1.5 2＝34 2÷2＝34÷2 ＝17 答：今年7月份营业收入是17万元。 17．“色如渥（wò）丹，灿若明霞。”丹霞山是广东省面积最大的风景区，总面积292平方千米，比西樵山的21倍少2平方千米。西樵山的总面积是多少平方千米？（列方程解答） 【答案】14平方千米 【分析】设西樵山的总面积是x平方千米，丹霞山的面积比西樵山的21倍少2平方千米，即西樵山的面积×21－2平方千米＝丹霞山的面积，列方程：21x－2＝292，解方程，即可解答。 【详解】解：设西樵山的总面积是x平方千米 21x－2＝292 21x－2＋2＝292＋2 21x＝294 21x÷21＝294÷21 x＝14 答：西樵山的总面积是14平方千米。 18．星期六，小强去爬山。上山时每小时走3000米，从另一条路下山时每小时走6000米。已知他上山下山共用去8小时（不包括休息时间），共走了30000米。问上山和下山各用多长时间？上山和下山各走多少米？ 【答案】上山用6小时，走18000米；下山用2小时，走12000米。 【分析】根据已知他从上山到下山共用去8小时，可以设上山时间为t小时，则下山时间为(8−t)小时。已知上山时每小时走3000米，下山时每小时走6000米，根据“路程＝速度×时间”即可表示出上山和下山各走过的路程。最后再结合共走了30000米即可列出方程解决问题。 【详解】设上山时间为t小时，则下山时间为8−t小时。 上山路程为：3000×t米， 下山路程为：6000×（8−t）米。 根据总路程列方程： 3000t＋6000（8−t）＝30000 展开并整理： 3000t＋48000−6000t＝30000                3000t＝18000                     t＝6 上山时间为6小时，路程为3000×6＝18000米； 下山时间为8−6＝2小时，路程为6000×2＝12000米。 验证：总时间6＋2＝8小时，总路程18000＋12000＝30000米，符合题意。 上山用6小时，走18000米；下山用2小时，走12000米。 19．驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 【答案】驴5个；骡子7个 【分析】由题意可知，如果从骡子背上拿走一个包裹给驴，那么它们两个驮的包裹一样多，骡子驮的包裹数量－1＝驴驮的包裹数量＋1，骡子驮的包裹数量＝驴驮的包裹数量＋2，说明骡子比驴多驮2个包裹，把驴驮的包裹数量设为未知数，用含有字母的式子表示出骡子驮的包裹数量，等量关系式：（驴驮的包裹数量－1）×2＝骡子驮的包裹数量＋1，据此列方程解答。 【详解】解：设驴驮了x个包裹，则骡子驮了（x＋2）个包裹。 2×（x－1）＝x＋2＋1 2x－2×1＝x＋3 2x－2＝x＋3 2x－2＋2＝x＋3＋2 2x＝x＋5 2x－x＝x＋5－x x＝5 5＋2＝7（个） 答：驴驮了5个包裹，骡子驮了7个包裹。 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，准确设出未知数并找出等量关系式，最后根据等量关系式列出方程是解答题目的关键。 20．夏末的傍晚，李奶奶站在新开垦长方形的菜地旁，望着菜地发愁。前些天播种的白菜苗刚冒头，就被小动物踩倒了好几棵。她决定用仓库里的66米旧竹篱笆，把这块长方形菜地严严实实围起来。可当她量得菜地的长是25米后，却发现忘记标记菜地的宽度，你能帮李奶奶算出来吗？ 【答案】8米 【分析】由题意可知，把菜地的宽度设为未知数，菜地的周长是66米，菜地的长是25米，根据“（长＋宽）×2＝长方形的周长”列方程求出菜地的宽度，据此解答。 【详解】解：设菜地的宽度是x米。 （25＋x）×2＝66 （25＋x）×2÷2＝66÷2 25＋x＝33 25＋x－25＝33－25 x＝8 答：菜地的宽度是8米。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $