第八单元：数学广角——优化（知识清单）数学人教版四年级上册

该小学数学讲义以“优化思想”为核心，通过知识框架图系统梳理沏茶（时间优化）、烙饼（效率优化）、田忌赛马（策略优化）三大问题，用流程图呈现沏茶任务的串行与并行安排，用公式总结烙饼时间计算规律，清晰构建知识脉络与内在联系。 讲义特色在于“生活情境化”分层练习设计，如“烧开水同时洗茶杯”的沏茶例题培养数学眼光，“3张饼交替烙”的技巧指导训练推理思维，田忌赛马对阵策略题提升应用意识，助力不同学生掌握优化方法，支持教师精准教学与学生自主复习。

人教版四年级数学上册第八单元：数学广角——优化（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：优化的核心思想 1、定义：优化是指在完成多项任务或解决实际问题时，通过合理安排顺序、统筹资源，在最短时间内、用最少资源达成目标的思维方法，核心是“找最优策略”，避免时间或资源浪费。 2、核心价值：培养统筹规划、逻辑推理能力，适用于生活中“多任务协同”“效率最大化”的场景（如沏茶、烙饼、比赛对阵）。 知识点02：沏茶问题（时间优化） 1、问题本质：多任务协同完成，通过“并行处理”（同时进行不冲突的任务）缩短总时间，关键是找出“可并行的任务”和“必须串行的核心流程”。 2、解题步骤： （1）梳理所有任务及各自所需时间； （2）确定核心流程（必须先后进行的任务，如洗水壶→接水→烧水→沏茶）； （3）在核心流程的关键环节（如烧水），安排可并行的其他任务（如洗茶杯、找茶叶）； （4）计算总时间：核心流程总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【名师点拨】 （1）区分“串行”与“并行”：串行任务必须按顺序进行（如先洗水壶才能接水），并行任务需独立无依赖（不能在接水时同时洗水壶），避免任务冲突。 （2）并行任务时间不额外叠加：若并行任务总时间≤核心环节时间，总时间不变；若并行任务总时间＞核心环节时间，需额外增加超出部分（如烧水8分钟，并行任务需10分钟，总时间需加2分钟）。 （3）解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间； 知识点03：烙饼问题（效率优化） 1、基础条件：锅最多烙2张饼，每张饼需烙2面，每面烙制时间相同（设为t），目标是“最短时间烙熟所有饼”。 2、核心策略：让锅始终有2张饼在烙（不空闲），是效率最高的关键。 3、数量规律： （1）双数张饼：2张为一组，每组烙2面（先正面→再反面），总时间=张数×t； （2）单数张饼：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制。 （3）3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+ 饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间= 3t； （4）通用公式：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1，锅最多烙2张）。 （5）拓展情况：若锅最多烙n张饼，最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面时间（结果向上取整）。 【名师点拨】解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 知识点04：田忌赛马问题（策略优化） 1、问题背景：双方各有不同等级的资源（如马、卡片、选手），且一方同等级资源优于另一方，需通过“以弱胜强”的对阵策略，实现“三局两胜”的整体获胜目标。 2、核心策略：牺牲局部劣势，换取全局优势，具体对阵。 3、适用条件：双方资源均有“强、中、弱”三个等级，且弱势方的“强等资源＞对方中等资源”“中等资源＞对方下等资源”，否则无法实现以弱胜强。 【名师点拨】解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 考点1：沏茶问题（时间优化） 【典型例题1】李强每天早晨起床穿衣3分钟、整理床铺2分钟、刷牙洗脸3分钟、烧开水5分钟、喝水1分钟、吃早餐6分钟、步行到学校15分钟。李强为了在8：00前到校，他制订了“高效行动计划”，那么他最迟（ ）起床才不会迟到。 【答案】7：30/7时30分 【分析】要求最迟起床时间，也就是要求出他做这些事情需要的最短时间。可以先起床穿衣，然后烧水，烧水的同时整理床铺和刷牙洗脸，接着吃早餐、喝水、步行到学校。一共需要的时间为3＋5＋6＋1＋15＝30分钟。根据开始时间＝结束时间－经过时间，即可求出最迟起床时间。 【详解】3＋5＋6＋1＋15＝30（分钟） 8：00－30分钟＝7：30 他最迟7：30起床才不会迟到。 【典型例题2】小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟。小明合理安排以上事情，最少要（ ）分钟使客人尽快喝茶。 【答案】8 【分析】要使时间最短，需要把能在同一时间做的事情一起做了，应先接水，然后烧水，在完成烧水的同时，可完成洗茶杯和拿茶叶这两项，水烧好后再沏茶。则一共需要（1＋6＋1）分钟。 【详解】1＋6＋1 ＝7＋1 ＝8（分钟） 小明合理安排以上事情，最少要8分钟使客人尽快喝茶。 【典型例题3】暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知10名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少花（     ）分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 【答案】C 【分析】首先用1分钟通知第一个同学，第二分钟由老师和1个同学两人分别通知1个同学，现在通知的一共1＋2＝3个同学，第三分钟可以推出通知的一共3＋4＝7个同学，以此类推，第四分钟通知的一共7＋8＝15个同学。 【详解】总人数共11人， 第一分钟通知人数：1人； 到第二分钟共通知人数：1＋2＝3（人）； 到第三分钟共通知人数：3＋4＝7（人）； 到第四分钟共通知人数：7＋8＝15（人）； 15＞10，所以最少花4分钟能通知完。 故答案为：C 【练习1】妙想的妈妈每天17：20下班回到家后，需要做以下事情：跳健身操25分钟，跳操后洗澡6分钟，择菜2分钟，洗菜2分钟，炒菜3分钟，洗水果2分钟，用电饭煲焖饭40分钟，妈妈做完这些事最少需要（     ）分钟（饭煮好了才能炒菜）。 A．40 B．43 C．54 【答案】B 【分析】观察发现，妈妈要先用电饭煲焖饭40分钟，焖饭的同时可以同时跳健身操、洗澡、择菜、洗菜、洗水果，做这些事情花了37分钟，最后一项就是炒菜，则在电饭煲焖好饭后还花了3分钟炒菜，即电饭煲焖饭的时间与电饭煲焖完饭后剩余炒菜的时间相加即可，据此解答。 【详解】先电饭煲焖饭，焖饭同时跳健身操、洗澡、择菜、洗菜、洗水果，最后炒菜，炒菜3分钟。 25＋6＋2＋2＋2＝37（分钟） 37＜40 此时，电饭煲饭没焖好，需要等饭焖好了再炒菜，即40＋3＝43分钟。 故答案为：B 【练习2】小莉每天早上起床后要做一些事情，所需时间如下：听书20分钟，洗漱10分钟，吃早餐15分钟。做完这些事情至少需要（     ）分钟。 A．25 B．30 C．45 【答案】A 【分析】此类题目要节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决，根据题干可知：洗漱10分钟，吃早餐15分钟，在洗漱和吃早餐时可以同时听书，由此计算所用最少时间即可。 【详解】10＋15＝25（分钟） 25＞20 小莉每天早上起床可以先洗漱，再吃早餐，在洗漱和吃早餐的同时可以听书。所以做完这些事情至少需要25分钟。 故答案为：A 考点2：烙饼问题（效率优化） 【典型例题1】一只锅最多可煎3个饼，两面都要煎。煎一面要2分钟，煎完8个饼最少要用（ ）分钟。 【答案】12 【分析】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有3张饼在烙是本题的关键。 首先根据用一个平底锅煎饼每次只能放3张，煎一面要2分钟，正反面各需要2×2分钟，8÷3＝2……2，可分两次煎 即第一次同时煎3条，反正面煎完需要2×2×2＝8（分钟），第二次煎两条，两面煎完需要2×2＝4（分钟），共要8＋4＝12（分钟），以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 8÷3＝2（个）……2（个） 2×2×2＝8（分钟） 2×2＝4（分钟） 8＋4＝12（分钟） 一只锅最多可煎3个饼，两面都要煎。煎一面要2分钟，煎完8个饼最少要用12分钟。 【典型例题2】春节快到了，两个小朋友准备一起做5张贺卡，卡片正反面都要写祝福语，配插图，如果一人制作好一面要10分钟，那么两人合作完成至少需要（ ）分钟。 【答案】50 【分析】根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙数量×烙每面的时间，据此解答即可。 【详解】5×2÷2×10 ＝10÷2×10 ＝5×10 ＝50（分钟） 春节快到了，两个小朋友准备一起做5张贺卡，卡片正反面都要写祝福语，配插图，如果一人制作好一面要10分钟，那么两人合作完成至少需要50分钟。 【典型例题3】小王要复印5张图片，正反面都要复印，如果复印机里一次最多放2张图片，每印一次要10秒钟，复印5张图片最少需要花（ ）秒。 【答案】50 【分析】一次最多放2张图片，一次要10秒钟，要复印5张图片的最短时间是5×10（分钟）；据此解答。 【详解】根据分析：5×10＝50（秒），所以复印5张图片最少需要花50秒。 【练习1】爸爸用平底锅煎糍粑。每次最多只能煎2个，两面都要煎，每面需要煎3分钟。煎5个糍粑至少需要（ ）分钟。 【答案】15 【分析】本题可以将5个糍粑分为两部分，先把其中的2个糍粑煎熟，需要2×3＝6分钟，再煎剩下的3个：先煎1号和2号的正面，再煎2号的反面和3号的正面，最后煎1号和3号的反面，需要3×3＝9分钟，综上一共需要6＋9＝15分钟。 【详解】2×3＋3×3＝6＋9＝15分钟，所以至少需要15分钟。 【练习2】一只平底锅中每次最多能烙4张饼，两面都要烙，每面2分钟，烙6张饼至少需要（ ）分钟。 【答案】6 【分析】第一次：正1正2正3正4；第二次：反1反2正5正6；第三次：反3反4反5反6。 根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间；解答即可。 【详解】根据分析计算如下： 6×2÷4×2 ＝12÷4×2 ＝3×2 ＝6（分钟） 一只平底锅中每次最多能烙4张饼，两面都要烙，每面2分钟，烙6张饼至少需要6分钟。 考点3：田忌赛马问题（策略优化） 【典型例题1】小彭和小丁玩扑克牌比大小游戏，每人每次出一张牌，各出三次，赢两次者胜，小彭的牌是“9”“6”“4”，小丁的牌是“8”“5”“3”。当小彭出“9”时，小丁出（     ）才可能获胜。 A．8 B．5 C．3 【答案】C 【分析】根据题意，运用优化的知识，先把几个数排序，986543，用最小数3对最大数9，才能赢。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 第一次，当小彭出“9”时，小丁出“3”，小丁输。 第二次，当小彭出“7”时，小丁出“8”，小丁赢。 第三次，当小彭出“5”时，小丁出“6”，小丁赢。 当小彭出“9”时，小丁出3才可能获胜。 故答案为：C 【典型例题2】森林运动会开始了，场上甲、乙两组选手正在准备120米跑步比赛，采取三局两胜制。下面是甲、乙两组选手平时的成绩。要想使乙组获胜，应该按照（     ）方案安排比赛顺序。 甲组：猎豹10秒      小鹿12秒       狗14秒 乙组：狮子11秒      羚羊13秒       兔子15秒 A．兔子—狗；羚羊—小鹿；狮子—猎豹 B．兔子—小鹿；羚羊—狗；狮子—猎豹 C．兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—小鹿 【答案】C 【分析】跑步比赛，用时越短，跑得越快；要想使乙组获胜，应该让乙组跑得最慢的兔子，对甲组跑得最快的猎豹，15＞10，这局乙组兔子会输；然后让乙组的羚羊，对甲组的狗，13＜14，这局乙组羚羊会赢；最后让乙组的狮子，对甲组的小鹿，11＜12，这局乙组狮子会赢；据此解答。 【详解】根据分析：要想使乙组获胜，应该按照兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—小鹿方案安排比赛顺序。 故答案为：C 【练习1】你和同学玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次者胜。同学的牌是“9、7、5”，你的牌是“8、6、3”，当同学出“9”时，如果你最终赢，应出（     ）。 A．8 B．6 C． 【答案】C 【分析】根据题意可知，我要最终赢，则应让我最小的牌与同学的最大牌比较，让我最大的牌与同学第二小的牌比较，让我第二大的牌与同学最小的牌比较，依此选择。 【详解】9＞7＞5；8＞6＞3 根据分析可知，当同学出“9”时，我应出3；当同学出“7”时，我应出8；当同学出“5”时，我应出6。 故答案为：C 【练习2】下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 【答案】林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛 【分析】四（1）班要想胜出四（2）班，则需要用四（1）班最低成绩的人与四（2）班最高成绩的人进行比赛，用四（1）班排名中间成绩的人与四（2）班最低成绩的人进行比赛，用四（1）班最高成绩的人与四（2）班中间成绩的人进行比赛，依此解答。 【详解】92＜158；124＞116；148＞133； 因此四（1）班胜出四（2）班的策略是：林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛。 一、选择题 1．小丽感冒了，她要尽快吃上药。烧水用6分钟，取药1分钟，把水晾温要3分钟，喝药2分钟，小丽尽快喝完药至少要用（     ）分钟。 A．6 B．9 C．11 【答案】C 【分析】在同一时间内尽可能同时做几件事，这样可以节省时间：先烧水用6分钟，在等水变温的3分钟内，可以取药用1分钟，最后喝药用2分钟，因此把烧水和等水晾温的时间与喝药的时间加起来，即可求出小丽尽快喝完药至少要用多少分钟。 【详解】6＋3＋2 ＝9＋2 ＝11（分钟） 小丽感冒了，她要尽快吃上药。烧水用6分钟，取药1分钟，把水晾温要3分钟，喝药2分钟，小丽尽快喝完药至少要用11分钟。 故答案为：C 2．小光、佳佳、朱曼三位同学要去量身高、验视力。每项检查都要2分钟，每个项目每次只能检查1个人，他们至少要用（     ）分钟能做完这些检查。 A．4 B．6 C．8 【答案】B 【分析】为了保证做完这些检查用的时间最少，三位同学要分开检查，如：小光量身高，同时佳佳验视力，要用2分钟；再朱曼量身高，同时小光验视力，要用2分钟；最后佳佳量身高，同时朱曼验视力，再用2分钟；据此三人做完检查共用了3个2分钟，即6分钟。 【详解】小光量身高，同时佳佳验视力，要用2分钟；再朱曼量身高，同时小光验视力，要用2分钟；最后佳佳量身高，同时朱曼验视力，再用2分钟； 2×3＝6（分钟） 所以他们至少要用6分钟能做完这些检查。 故答案为：B 3．现在要烧一道“鱼香肉丝”的菜，需要七道工序。每道工序所需时间如下：解肉1分钟，洗葱、切葱2分钟，切肉3分钟，烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒4分钟，那么烧好这道菜至少需要（     ）分钟。 A．10 B．11 C．12 【答案】A 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，烧热锅烧热油的同时依次解肉、洗葱、切葱、切肉，1分钟＋2分钟＋3分钟＝2分钟＋4分钟＝6分钟，因此烧好这道菜至少需要的时间长＝烧热锅需要的时间长＋烧热油需要的时间长＋炒需要的时间长，依此计算。 【详解】2＋4＋4＝10（分钟），烧好这道菜至少需要10分钟。 故答案为：A 4．用平底锅煎荷包蛋，一次能同时煎2个蛋。如果煎1个蛋需要2分钟（正反面各1分钟），现在要给15位同学每人一个荷包蛋，至少需要煎（     ）分钟。 A．15 B．30 C．20 【答案】A 【分析】要使煎荷包蛋的总时间最少，那么每一次锅内就应有2个荷包蛋，然后计算出时间总和即可； 煎3个荷包蛋时： 第一次：第1个荷包蛋的正面，第2个荷包蛋的正面，用时1分钟； 第二次：第1个荷包蛋的反面，第3个荷包蛋的正面，用时1分钟； 第三次：第3个荷包蛋的反面，第2个荷包蛋的反面，用时1分钟； 因此当煎2个及以上的荷包蛋，并且锅里只能煎2个荷包蛋时，煎荷包蛋所需要的最短时间＝煎1面荷包蛋需要的时间×个数。 【详解】15×1＝15（分钟） 故答案为：A 5．香香喉咙不舒服，想喝润喉冲剂，她应该如何合理安排烧开水6分钟，洗杯子1分钟，找冲剂并倒在杯子里1分钟，搅拌均匀并等待降温5分钟等一系列事情，才能尽快休息？至少要用几分钟？（     ） A．烧开水→洗杯子→找冲剂并倒在杯子里→搅拌均匀等待降温（13分钟） B．烧开水（同时洗杯子→找冲剂并倒在杯里）→搅拌均匀并等待降温（11分钟） C．洗杯子→找冲剂并倒在杯里→烧开水（同时搅拌均匀并等待降温）（8分钟） 【答案】B 【分析】由题意得，香香要想尽快休息，她需要合理安排做这些事情的顺序。她可以先烧开水，然后在烧开水的同时去洗杯子和找冲剂并倒在杯里，最后再将冲剂搅拌均匀并等待降温。据此解答。 【详解】A．香香可以在烧开水的同时去洗杯子和找冲剂并倒在杯子里，这样更节省时间。该选项安排不合理。 B．香香可以在烧开水的同时去洗杯子和找冲剂并倒在杯子里，最后再将冲剂搅拌均匀并等待降温。该选项安排合理。 C．烧开水的同时没办法将冲剂搅拌均匀并等待降温。该选项安排不合理。 故答案为：B 6．欢欢、齐齐、乐乐参加晚会彩排所需时间如图，要使三人等候总时间最少，彩排顺序为（     ）。（彩排完即可离开） A．欢欢、齐齐、乐乐 B．欢欢、乐乐、齐齐 C．乐乐、齐齐、欢欢 【答案】A 【分析】要使三人等候总时间最少，则需要彩排时间最少的人先彩排，其次安排需要时间第二少的人，最后安排需要时间最多的人，依此选择即可。 【详解】1分钟＜2分钟＜3分钟，即要使三人等候总时间最少，彩排顺序为：欢欢、齐齐、乐乐。 故答案为：A 7．同一只平底锅煎鸡蛋，每次最多能煎2只鸡蛋，如果煎一只鸡蛋要2分钟（正反各1分钟），那么7只鸡蛋最少要用（     ）。 A．5分钟 B．7分钟 C．14分钟 【答案】B 【分析】前4个鸡蛋按一次煎2个，4次煎完；剩下的3个，把其中的2个先煎，煎好一面后，把其中一个与没有煎的鸡蛋一起再煎，最后再把2个还有一面没煎的鸡蛋放在一起煎，需要3次煎完；7个鸡蛋总共最少要7次煎完，用时1×7＝7（分钟）。据此即可解答。 【详解】1×7＝7（分钟） 故答案为：B 二、填空题 8．“烙饼问题”是一个富有魅力和童趣的问题。让我想到了“杨老师复印3张正、反面都有内容的资料，复印机一次复印1面，每次最多放2张，最少要复印几次？”的生活问题。可以把复印机看作是“（ ）”，需要两面复印的内容看作是“饼”，这样问题就简单了。 【答案】锅 【分析】烙饼问题，一次最多烙2张，一面时间假设为2分钟，要烙4张的最短时间是4×2（分钟）；将复印机问题看作“烙饼问题”即可，据此解答。 【详解】根据分析：3×1＝3（次），最少要复印3次，所以可以把复印机看作是“锅”，需要两面复印的内容看作是“饼”，这样问题就简单了。 9．一只锅最多可以煎2条鱼，鱼的两面都要煎。煎一面要2分钟，煎完6条鱼最少要用（ ）分钟。 【答案】12 【分析】将这6条鱼平均分成2组，每组有3条鱼。3条鱼分别为a、b、c；第一次煎a、b的正面；第二次煎a的反面和c的正面；第三次煎b、c的反面。所以煎3条鱼需要（3×2）分钟。这样煎完6条鱼最少要用（3×2×2）分钟。 【详解】3×2×2＝12（分钟） 煎完6条鱼最少要用12分钟。 10．煎一个蛋要2分钟（正、反两面各1分钟），一个平底锅一次能同时煎2个蛋。那么煎3个蛋最少要（ ）分钟。 【答案】3 【分析】第一个蛋和第二个蛋的正面一起煎，再把第一个蛋的反面和第三个蛋的正面一起煎，最后再把第二个蛋和第三个蛋的反面一起煎，这样3个蛋最少要煎3次，一次1分钟，需要3分钟，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，煎一个蛋要2分钟（正、反两面各1分钟），一个平底锅一次能同时煎2个蛋。那么煎3个蛋最少要3分钟。 11．用一只平底锅烙饼，每次能同时烙两张饼，每面烙2分钟，如果要烙9张饼，两面都要烙，那么最少要用（ ）分钟才能烙好。 【答案】18 【分析】先烙前6张饼，每次烙两张饼，共需（2×2×3）分钟。剩下的三张饼分别为a、b、c；第一次烙a、b的正面；第二次烙a的反面和c的正面；第三次烙b、c的反面。所以烙剩下的三张饼需要（3×2）分钟。这样烙9张饼至少需要（2×2×3＋3×2）分钟。 【详解】2×2×3＋3×2 ＝12＋6 ＝18（分钟） 那么最少要用18分钟才能烙好。 12．星期日笑笑做家务：用洗衣机洗衣服要30分钟，扫地要5分钟，拖地板要15分钟，擦家具要6分钟，晾衣服要4分钟。经过合理安排，她做完这些事至少要花（ ）分钟。 【答案】34 【分析】5＋15＋6＝26（分钟），26分钟＜30分钟；要使需要的时间最短，应先完成扫地、拖地板和擦家具，与此同时，可用洗衣机洗衣服，最后晾衣服。则一共需要（30＋4）分钟。 【详解】30＋4＝34（分钟） 则她做完这些事至少要花34分钟。 13．王阿姨要复印5张身份证，正反都要印，如果复印机只能单面复印，一次最多可放2张，那么最少要复印（ ）次才能复印完。 【答案】5 【分析】设共有A，B，C，D，E，5张身份证，正反面分别用1和2表示；每次印2张的一面，逐步进行求解即可。 【详解】设共有A，B，C，D，E，5张身份证，正反面分别用1和2表示。 第一次：A1和B1； 第二次：A2和B2； 第三次：C1和D1； 第四次：C2和E1； 第五次：D2和E2； 所以最少要复印（5）次才能复印完。 14．妈妈回家以后要做以下几项工作，做完这些事情至少需要（ ）分钟。 拖地 把衣物放进洗衣机 自动洗涤 晾晒衣服 整理房间 3分钟 2分钟 10分钟 3分钟 6分钟 【答案】15 【分析】先把衣物放进洗衣机，再洗涤，洗的时间可以整理房间，拖地，最后晾晒衣服，据此求出最少需要的时间。 【详解】2＋10＋3 ＝12＋3 ＝15（分） 所以，做完这些事情至少需要15分钟。 15．一只平底锅每次最多能煎2个饼，每面需要煎3分钟，煎7个饼最少需要（ ）分钟。 【答案】21 【分析】煎7个饼：先同时煎2个，再同时煎2个，正反面共需2×3×2＝12（分钟）；再煎后3个，先煎第一个与第二个的正面需要3分钟，然后煎第一个的反面与第三个的正面需要3分钟，最后煎第二个的反面与第三个的反面需要3分钟，煎完3个共需3×3＝9（分钟），再把时间相加即可。 【详解】先同时煎2个，再同时煎2个，正反面共需： 2×3×2 ＝6×2 ＝12（分钟） 再同时煎3个共需要：3×3＝9（分钟） 煎7个饼最少需要：12＋9＝21（分钟） 16．四（1）班和四（2）班举行100米赛跑，采取三局两胜制。两个班各选出3位选手。（1）班的3位选手的成绩分别是A：17秒，B：16秒，C：20秒。（2）班的3位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：18秒，丙：23秒。如果（1）班的选手比赛顺序是A→B→C，那么（2）班选手以（ ）→（ ）→（ ）的比赛顺序才能获胜。 【答案】 甲 丙 乙 【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，（2）班的第一名甲是15秒，成绩最好，可以和（1）班的第一名B或第二名A一组；四（2）班的第二名乙与（1）班的第三名C一组，四（2）班的第三名丙与（1）班剩下的一人一组，这样能保证四（2）班胜出2局。根据三局两胜的规则即可得出四（2）班胜。 【详解】（1）班选手比赛顺序是A→B→C；如果采取三局两胜制，（2）班可选择丙→甲→乙或者甲→丙→乙的比赛顺序才能获胜。 17．跳绳比赛。 四（1）班三名同学跳绳成绩统计表 号码 一号 二号 三号 成绩/次 160 145 126 四（2）班三名同学跳绳成绩统计表 号码 一号 二号 三号 成绩/次 152 136 116 这两个班要进行一对一对抗赛，三局两胜，最后四（2）班取得了胜利，你知道四（2）班是如何排兵布阵取得胜利的吗？ 四（1）班 四（2）班 第一场 一号 （ ） 第二场 二号 （ ） 第三场 三号 （ ） 【答案】 三号 一号 二号 【分析】根据题意可知，四（2）班取得胜利，则四（2）班应让本班跳绳成绩最差的人与四（1）班跳绳成绩最好的人比赛，让本班跳绳成绩最好的人与四（1）班跳绳成绩第二好的人比赛，让本班跳绳成绩第二好的人与四（1）班跳绳成绩最差的人比赛，依此解答。 【详解】152＞136＞116；116＜160，152＞145，136＞126，因此填空如下 四（1）班 四（2）班 第一场 一号 三号 第二场 二号 一号 第三场 三号 二号 三、解答题 18．萌萌和苗苗各有7、8、9三张扑克牌（9＞8＞7），规定每人每次出一张牌，大牌“吃”小牌，各出3次，赢两次者胜。如果苗苗先出牌，你能帮萌萌赢过苗苗吗？ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查“田忌赛马”类问题。苗苗先出牌，如果他出7，那么萌萌出8，赢下第一场。如果他出8，那么萌萌出9，赢下第二场。最后一场，他出9，那么萌萌出7，输掉第三场。这样的话，赢两场输一场，萌萌胜出。 【详解】 按照如图的方式出牌，萌萌就能赢过苗苗。 19．小美要完成下面四件家务：扫地5分钟、洗茶杯1分钟、烧水6分钟、沏茶1分钟。完成以上家务至少要用（    ）分钟。并画出做家务流程图。 【答案】7 烧水6分钟（同时扫地5分钟→洗茶杯1分钟）→沏茶1分钟 【分析】由题意可知，扫地、洗茶杯共需5＋1＝6（分钟），烧水的过程需要6分钟，因此可在等待烧水的过程中完成扫地与洗茶杯这两件家务，由此可知，至少需要6＋1＝7（分钟）。 【详解】6＋1＝7（分钟），完成以上家务至少要用7分钟，流程图如下： 烧水6分钟（同时扫地5分钟→洗茶杯1分钟）→沏茶1分钟 20．小猫在火炉上烤鱼，鱼的两面都要烤，每次最多烤2条，烤一个面要5分钟，烤3条鱼至少需要（      ）分钟。将烤的过程画在下面图中。 【答案】15；画图见详解 【分析】三条鱼分别为1、2、3；第一次烤1、2的正面；第二次烤1的反面和3的正面；第三次烤2、3的反面。所以烤3条鱼需要（3×5）分钟。 【详解】 3×5＝15（分钟） 烤3条鱼至少需要15分钟。 21．小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 【答案】见详解 【分析】根据三局两胜制规则，要想小明赢，那么小明至少有两张牌比小芳的牌大，小芳的三张牌分别是7、5、3，那么那么小明的牌有一张比3大，有一张比5大即可。 【详解】由分析知，小明的三张牌是2、6、4即可保证小明赢。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学上册第八单元：数学广角——优化（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：优化的核心思想 1、定义：优化是指在完成多项任务或解决实际问题时，通过合理安排顺序、统筹资源，在最短时间内、用最少资源达成目标的思维方法，核心是“找最优策略”，避免时间或资源浪费。 2、核心价值：培养统筹规划、逻辑推理能力，适用于生活中“多任务协同”“效率最大化”的场景（如沏茶、烙饼、比赛对阵）。 知识点02：沏茶问题（时间优化） 1、问题本质：多任务协同完成，通过“并行处理”（同时进行不冲突的任务）缩短总时间，关键是找出“可并行的任务”和“必须串行的核心流程”。 2、解题步骤： （1）梳理所有任务及各自所需时间； （2）确定核心流程（必须先后进行的任务，如洗水壶→接水→烧水→沏茶）； （3）在核心流程的关键环节（如烧水），安排可并行的其他任务（如洗茶杯、找茶叶）； （4）计算总时间：核心流程总时间（不可并行部分）+无并行可安排的任务时间（若有）。 【名师点拨】 （1）区分“串行”与“并行”：串行任务必须按顺序进行（如先洗水壶才能接水），并行任务需独立无依赖（不能在接水时同时洗水壶），避免任务冲突。 （2）并行任务时间不额外叠加：若并行任务总时间≤核心环节时间，总时间不变；若并行任务总时间＞核心环节时间，需额外增加超出部分（如烧水8分钟，并行任务需10分钟，总时间需加2分钟）。 （3）解题技巧：先列任务清单→画流程图→标注并行任务→计算总时间； 知识点03：烙饼问题（效率优化） 1、基础条件：锅最多烙2张饼，每张饼需烙2面，每面烙制时间相同（设为t），目标是“最短时间烙熟所有饼”。 2、核心策略：让锅始终有2张饼在烙（不空闲），是效率最高的关键。 3、数量规律： （1）双数张饼：2张为一组，每组烙2面（先正面→再反面），总时间=张数×t； （2）单数张饼：先烙3张（最优“交替烙法”），剩余双数张按双数策略烙制。 （3）3张饼交替烙法：①饼1正面+饼2正面（t）→②饼1反面+ 饼3正面（t）→③饼2反面+饼3反面（t），总时间= 3t； （4）通用公式：最短时间=饼的张数×每面烙制时间（张数≥1，锅最多烙2张）。 （5）拓展情况：若锅最多烙n张饼，最短时间=（饼的张数×2÷n）×每面时间（结果向上取整）。 【名师点拨】解题技巧：双数张分组烙，单数张“先3后双”，牢记“张数×每面时间”（锅烙2张） 知识点04：田忌赛马问题（策略优化） 1、问题背景：双方各有不同等级的资源（如马、卡片、选手），且一方同等级资源优于另一方，需通过“以弱胜强”的对阵策略，实现“三局两胜”的整体获胜目标。 2、核心策略：牺牲局部劣势，换取全局优势，具体对阵。 3、适用条件：双方资源均有“强、中、弱”三个等级，且弱势方的“强等资源＞对方中等资源”“中等资源＞对方下等资源”，否则无法实现以弱胜强。 【名师点拨】解题技巧：先排序→定牺牲局→保关键局→验证2:1结果。 考点1：沏茶问题（时间优化） 【典型例题1】李强每天早晨起床穿衣3分钟、整理床铺2分钟、刷牙洗脸3分钟、烧开水5分钟、喝水1分钟、吃早餐6分钟、步行到学校15分钟。李强为了在8：00前到校，他制订了“高效行动计划”，那么他最迟（ ）起床才不会迟到。 【典型例题2】小明给客人沏茶，接水1分钟，烧水6分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟。小明合理安排以上事情，最少要（ ）分钟使客人尽快喝茶。 【典型例题3】暑假里，学校足球队李老师需要尽快通知10名同学参加训练，任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少花（     ）分钟就能通知完。 A．10 B．5 C．4 【练习1】妙想的妈妈每天17：20下班回到家后，需要做以下事情：跳健身操25分钟，跳操后洗澡6分钟，择菜2分钟，洗菜2分钟，炒菜3分钟，洗水果2分钟，用电饭煲焖饭40分钟，妈妈做完这些事最少需要（     ）分钟（饭煮好了才能炒菜）。 A．40 B．43 C．54 【练习2】小莉每天早上起床后要做一些事情，所需时间如下：听书20分钟，洗漱10分钟，吃早餐15分钟。做完这些事情至少需要（     ）分钟。 A．25 B．30 C．45 考点2：烙饼问题（效率优化） 【典型例题1】一只锅最多可煎3个饼，两面都要煎。煎一面要2分钟，煎完8个饼最少要用（ ）分钟。 【典型例题2】春节快到了，两个小朋友准备一起做5张贺卡，卡片正反面都要写祝福语，配插图，如果一人制作好一面要10分钟，那么两人合作完成至少需要（ ）分钟。 【典型例题3】小王要复印5张图片，正反面都要复印，如果复印机里一次最多放2张图片，每印一次要10秒钟，复印5张图片最少需要花（ ）秒。 【练习1】爸爸用平底锅煎糍粑。每次最多只能煎2个，两面都要煎，每面需要煎3分钟。煎5个糍粑至少需要（ ）分钟。 【练习2】一只平底锅中每次最多能烙4张饼，两面都要烙，每面2分钟，烙6张饼至少需要（ ）分钟。 考点3：田忌赛马问题（策略优化） 【典型例题1】小彭和小丁玩扑克牌比大小游戏，每人每次出一张牌，各出三次，赢两次者胜，小彭的牌是“9”“6”“4”，小丁的牌是“8”“5”“3”。当小彭出“9”时，小丁出（     ）才可能获胜。 A．8 B．5 C．3 【典型例题2】森林运动会开始了，场上甲、乙两组选手正在准备120米跑步比赛，采取三局两胜制。下面是甲、乙两组选手平时的成绩。要想使乙组获胜，应该按照（     ）方案安排比赛顺序。 甲组：猎豹10秒      小鹿12秒       狗14秒 乙组：狮子11秒      羚羊13秒       兔子15秒 A．兔子—狗；羚羊—小鹿；狮子—猎豹 B．兔子—小鹿；羚羊—狗；狮子—猎豹 C．兔子—猎豹；羚羊—狗；狮子—小鹿 【练习1】你和同学玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次者胜。同学的牌是“9、7、5”，你的牌是“8、6、3”，当同学出“9”时，如果你最终赢，应出（     ）。 A．8 B．6 C． 【练习2】下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 一、选择题 1．小丽感冒了，她要尽快吃上药。烧水用6分钟，取药1分钟，把水晾温要3分钟，喝药2分钟，小丽尽快喝完药至少要用（     ）分钟。 A．6 B．9 C．11 2．小光、佳佳、朱曼三位同学要去量身高、验视力。每项检查都要2分钟，每个项目每次只能检查1个人，他们至少要用（     ）分钟能做完这些检查。 A．4 B．6 C．8 3．现在要烧一道“鱼香肉丝”的菜，需要七道工序。每道工序所需时间如下：解肉1分钟，洗葱、切葱2分钟，切肉3分钟，烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒4分钟，那么烧好这道菜至少需要（     ）分钟。 A．10 B．11 C．12 4．用平底锅煎荷包蛋，一次能同时煎2个蛋。如果煎1个蛋需要2分钟（正反面各1分钟），现在要给15位同学每人一个荷包蛋，至少需要煎（     ）分钟。 A．15 B．30 C．20 5．香香喉咙不舒服，想喝润喉冲剂，她应该如何合理安排烧开水6分钟，洗杯子1分钟，找冲剂并倒在杯子里1分钟，搅拌均匀并等待降温5分钟等一系列事情，才能尽快休息？至少要用几分钟？（     ） A．烧开水→洗杯子→找冲剂并倒在杯子里→搅拌均匀等待降温（13分钟） B．烧开水（同时洗杯子→找冲剂并倒在杯里）→搅拌均匀并等待降温（11分钟） C．洗杯子→找冲剂并倒在杯里→烧开水（同时搅拌均匀并等待降温）（8分钟） 6．欢欢、齐齐、乐乐参加晚会彩排所需时间如图，要使三人等候总时间最少，彩排顺序为（     ）。（彩排完即可离开） A．欢欢、齐齐、乐乐 B．欢欢、乐乐、齐齐 C．乐乐、齐齐、欢欢 7．同一只平底锅煎鸡蛋，每次最多能煎2只鸡蛋，如果煎一只鸡蛋要2分钟（正反各1分钟），那么7只鸡蛋最少要用（     ）。 A．5分钟 B．7分钟 C．14分钟 二、填空题 8．“烙饼问题”是一个富有魅力和童趣的问题。让我想到了“杨老师复印3张正、反面都有内容的资料，复印机一次复印1面，每次最多放2张，最少要复印几次？”的生活问题。可以把复印机看作是“（ ）”，需要两面复印的内容看作是“饼”，这样问题就简单了。 9．一只锅最多可以煎2条鱼，鱼的两面都要煎。煎一面要2分钟，煎完6条鱼最少要用（ ）分钟。 10．煎一个蛋要2分钟（正、反两面各1分钟），一个平底锅一次能同时煎2个蛋。那么煎3个蛋最少要（ ）分钟。 11．用一只平底锅烙饼，每次能同时烙两张饼，每面烙2分钟，如果要烙9张饼，两面都要烙，那么最少要用（ ）分钟才能烙好。 12．星期日笑笑做家务：用洗衣机洗衣服要30分钟，扫地要5分钟，拖地板要15分钟，擦家具要6分钟，晾衣服要4分钟。经过合理安排，她做完这些事至少要花（ ）分钟。 13．王阿姨要复印5张身份证，正反都要印，如果复印机只能单面复印，一次最多可放2张，那么最少要复印（ ）次才能复印完。 14．妈妈回家以后要做以下几项工作，做完这些事情至少需要（ ）分钟。 拖地 把衣物放进洗衣机 自动洗涤 晾晒衣服 整理房间 3分钟 2分钟 10分钟 3分钟 6分钟 15．一只平底锅每次最多能煎2个饼，每面需要煎3分钟，煎7个饼最少需要（ ）分钟。 16．四（1）班和四（2）班举行100米赛跑，采取三局两胜制。两个班各选出3位选手。（1）班的3位选手的成绩分别是A：17秒，B：16秒，C：20秒。（2）班的3位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：18秒，丙：23秒。如果（1）班的选手比赛顺序是A→B→C，那么（2）班选手以（ ）→（ ）→（ ）的比赛顺序才能获胜。 17．跳绳比赛。 四（1）班三名同学跳绳成绩统计表 号码 一号 二号 三号 成绩/次 160 145 126 四（2）班三名同学跳绳成绩统计表 号码 一号 二号 三号 成绩/次 152 136 116 这两个班要进行一对一对抗赛，三局两胜，最后四（2）班取得了胜利，你知道四（2）班是如何排兵布阵取得胜利的吗？ 四（1）班 四（2）班 第一场 一号 （ ） 第二场 二号 （ ） 第三场 三号 （ ） 三、解答题 18．萌萌和苗苗各有7、8、9三张扑克牌（9＞8＞7），规定每人每次出一张牌，大牌“吃”小牌，各出3次，赢两次者胜。如果苗苗先出牌，你能帮萌萌赢过苗苗吗？ 19．小美要完成下面四件家务：扫地5分钟、洗茶杯1分钟、烧水6分钟、沏茶1分钟。完成以上家务至少要用（     ）分钟。并画出做家务流程图。 20．小猫在火炉上烤鱼，鱼的两面都要烤，每次最多烤2条，烤一个面要5分钟，烤3条鱼至少需要（      ）分钟。将烤的过程画在下面图中。 21．小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $