专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《湖北省技能高考文化综合考试大纲》及湖北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026年湖北省（技能高考）《数学考纲专题练》 专题05 指数函数与对数函数 一、考纲要求 1、有理指数幂 2、实数指数幂及其运算法则 3、指数函数的图像和性质 4、对数的概念(含常用对数、自然对数) 5、积、商、幂的对数 6、对数函数的图像和性质 7、指数函数与对数函数的实际应用 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 填空题 24、26 实数指数幂的运算法则、对数函数求值 10 （1）题型：选择题或填空题。 （2）分值：5~10分。 （3）内容：实数指数幂及运算法则、指对数函数的图像及性质、积、商、幂的对数、指对数函数实际应用。 2024 选择题 21、26 指数函数、对数函数的图像和性质 、指对数函数的实际应用 10 2023 选择题 20、21、29、25 实数指数幂及其运算法则，积、商、幂的对数 5 2022 选择题、填空题 24、25、27 实数指数幂及其运算法则、对数函数的定义域、对数的运算 15 2021 选择题、填空题 26、23 对数函数的定义域、积商幂的对数、 实数指数幂及运算法则 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年湖北省技能高考数学试题有1道单选题和 1道填空题考查指对数函数，分值10分。 具体考点可能涉及如下内容： 实数指数幂及其运算法则； 指数函数、对数函数的图像和性质； 积、商、幂的对数； 指对数函数的实际应用； 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 五、10分钟小测验 1、 单选题 1．下列四个函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中同一个函数的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 2．下列四个函数在其定义域内为减函数且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知四个函数的图像如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（   ）    A． B． C． D． 5．下列函数定义域与值域均为的是（    ） A． B． C． D． 6．设地震震级公式为，若，，则此时地震震级为（    ） A．4级 B．5级 C．6级 D．7级 7．下列函数中在定义域内为非奇非偶函数，且在区间内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，图①②③④中不属于函数的图像的一个是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 9．函数的定义域用区间表示为（   ） A． B． C． D． 10．下列函数中在定义域内为奇函数且增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案解析】 1．A 【分析】利用根式的定义，结合两函数为同一函数的判定方法，逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于（1），，其定义域为， 对于（3），，其定义域为， 所以（1）与（3）是同一函数， 对于（2），当时，，显然与上述两个函数不同，排除（2）； 对于（4），的定义域为，也与（1）（3）不同，排除（4）； 综上，只有（1）与（3）是同一函数，故A正确，BCD错误. 故选：A. 2．C 【分析】利用初等基本函数的单调性与奇偶性即可得解. 【详解】对于A，，不为奇函数，故A错误； 对于B，在其定义域内单调递增，B错误； 对于C，因为的定义域为， 又，所以为奇函数， 又在其定义域内单调递减，故C正确； 对于D，在其定义域上有增有减，故D错误. 故选：C. 3．C 【分析】运用取特殊值法，令，观察图像即可解答. 【详解】已知，当时，， ，当时，， ，当时，， ，当时， 观察图像可知，    由下到上，对应的函数图像分别为，，，， 所以，，，的大小关系是， 故选：C. 4．A 【分析】根据指数函数、对数函数的图像与性质，反函数定义，及函数图像对称的性质即可求解. 【详解】因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为； 因为与关于直线对称，那么与对应函数互为反函数， 因为对应函数，则对应函数为； 因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为． 综上，选项A正确． 故选：A. 5．D 【分析】根据正切函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质可判断结果. 【详解】因为正切函数的定义域为，故A错误； 因为指数函数的值域为，故B错误； 因为对数函数的定义域为，故C错误； 由幂函数的图像和性质可知，的定义域与值域均为，故D正确. 故选：D 6．A 【分析】将，，代入地震震级公式，根据对数的运算可求解. 【详解】将，，代入地震震级公式为，可得 （级）. 故选：A 7．C 【分析】根据题意，结合二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为是偶函数，且在区间上是减函数，故在区间上也是减函数， 故选项A不符合题意； 因为指数函数是非奇非偶函数，且在定义域实数集R上是单调递减函数， 故在区间上也是减函数，故选项B不符合题意； 因为对数函数是非奇非偶函数，且在区间上是单调递减函数， 故函数是非奇非偶函数，且在区间上是单调递增函数， 故在区间上也是增函数，故选项C符合题意； 因为函数是奇函数，且在区间上是单调递减函数，故在区间上也是减函数， 故选项D不符合题意； 故选：C. 8．A 【分析】利用对数函数的单调性及图像做判断即可. 【详解】由对数函数单调性可知，当底数在之间时，为减函数， 则的图像为③④， 因为，所以图像为④，图像为③； 因为，所以与的图像关于轴对称， 则的图像为②， 故①不属于函数的图像. 故选：A. 9．C 【分析】利用对数函数、指数函数定义域、具体函数定义域的求法，求出函数有意义的的取值范围即可． 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 用区间表示为． 故选：C． 10．D 【分析】先求定义域判断定义域是否关于原点对称，根据判断是否为奇函数，最后利用函数单调性的定义判断是否为增函数, 【详解】对于，定义域为关于原点对称，，，，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，定义域为不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，，定义域为关于原点对称，，， ，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，定义域为关于原点对称，，，，所以函数是奇函数， 在上任取两个不相等的实数，有，，， 因为，且不同时为，故，所以函数为增函数，故正确； 故选：. 六、经典例题解析 【考试题型1】指数函数、对数函数单调性和奇偶性 【例1】（17-18高三下·湖北·职教高考）下列四个函数在其定义域内为减函数且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用初等基本函数的单调性与奇偶性即可得解. 【详解】对于A，，不为奇函数，故A错误； 对于B，在其定义域内单调递增，B错误； 对于C，因为的定义域为， 又，所以为奇函数， 又在其定义域内单调递减，故C正确； 对于D，在其定义域上有增有减，故D错误. 故选：C. 【例2】（22-23高三下·湖北·职教高考）下列函数定义域与值域均为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质可判断结果. 【详解】因为正切函数的定义域为，故A错误； 因为指数函数的值域为，故B错误； 因为对数函数的定义域为，故C错误； 由幂函数的图像和性质可知，的定义域与值域均为，故D正确. 故选：D 【例3】（18-19高三·湖北·对口/高职单招）下列函数中在其定义域内为非奇非偶函数，且为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性与单调性的定义即可求解. 【详解】对A，的定义域为， . 所以是奇函数. 所以A错误. 对B，是指数函数， 且底数， 所以是非奇非偶函数， 且是增函数. 所以B正确. 对C，是对数函数， 定义域为， 底数， 所以是非奇非偶函数， 且是减函数. 所以C错误. 对D，定义域为， ， 所以是偶函数. 所以D错误. 故选：B. 【例4】（21-22高三下·湖北宜昌·模拟预测）下列函数中在定义域内为非奇非偶函数，且在区间内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为是偶函数，且在区间上是减函数，故在区间上也是减函数， 故选项A不符合题意； 因为指数函数是非奇非偶函数，且在定义域实数集R上是单调递减函数， 故在区间上也是减函数，故选项B不符合题意； 因为对数函数是非奇非偶函数，且在区间上是单调递减函数， 故函数是非奇非偶函数，且在区间上是单调递增函数， 故在区间上也是增函数，故选项C符合题意； 因为函数是奇函数，且在区间上是单调递减函数，故在区间上也是减函数， 故选项D不符合题意； 故选：C. 【例5】（17-18高三·湖北·一模）下列函数中在定义域内为奇函数且增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求定义域判断定义域是否关于原点对称，根据判断是否为奇函数，最后利用函数单调性的定义判断是否为增函数, 【详解】对于，定义域为关于原点对称，，，，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，定义域为不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，，定义域为关于原点对称，，， ，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，定义域为关于原点对称，，，，所以函数是奇函数， 在上任取两个不相等的实数，有，，， 因为，且不同时为，故，所以函数为增函数，故正确； 故选：. 【考试题型2】指数函数、对数函数的图像和性质 【例6】（22-23高三下·湖北·职教高考）已知四个函数的图像如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用取特殊值法，令，观察图像即可解答. 【详解】已知，当时，， ，当时，， ，当时，， ，当时， 观察图像可知，    由下到上，对应的函数图像分别为，，，， 所以，，，的大小关系是， 故选：C. 【例7】（23-24高三下·湖北·职教高考）如图，对应四个函数的图像，其中对应函数的图像，记为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的图像与性质，反函数定义，及函数图像对称的性质即可求解. 【详解】因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为； 因为与关于直线对称，那么与对应函数互为反函数， 因为对应函数，则对应函数为； 因为与关于轴对称，对应函数，所以对应函数为． 综上，选项A正确． 故选：A. 【例8】（24-25高三上·湖北·二模）如图，图①②③④中不属于函数的图像的一个是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性及图像做判断即可. 【详解】由对数函数单调性可知，当底数在之间时，为减函数， 则的图像为③④， 因为，所以图像为④，图像为③； 因为，所以与的图像关于轴对称， 则的图像为②， 故①不属于函数的图像. 故选：A. 【考试题型3】对数的积、商、幂运算 【例9】（22-23高三下·湖北·职教高考）设地震震级公式为，若，，则此时地震震级为（    ） A．4级 B．5级 C．6级 D．7级 【答案】A 【分析】将，，代入地震震级公式，根据对数的运算可求解. 【详解】将，，代入地震震级公式为，可得 （级）. 故选：A 【考试题型4】指对数函数的定义域与值域 【例10】（24-25高三上·湖北·二模）函数的定义域用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数、指数函数定义域、具体函数定义域的求法，求出函数有意义的的取值范围即可． 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 用区间表示为． 故选：C． 【例11】（20-21高三·湖北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式列出不等式，结合指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数. 所以解得 所以函数的定义域为. 故选：A. 七、专题归纳小结 【专题核心内容总结】 1. 指数与指数运算 概念 定义 核心公式 指数运算 an（a>0，n∈R) 对数运算 换底公式 不同底对数转化工具 运算口诀： “指数乘除变加减，对数真数积变和；换底公式搭桥梁，1的对数为0要记牢” 2.函数图象与性质对比 （1）指数函数 参数 图象 过(0,1)，单增，渐近线y=0 过(0,1)，单减，渐近线y=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (1,a) (1,a) （2）对数函数 参数 图象 过(1,0)，单增，渐近线x=0 过(1,0)，单减，渐近线x=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (a,1) (a,1) 【解题策略与技巧】 1. 比大小问题“三剑客” 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 2. 解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： 【易错点总结】 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解log2(x−1)2=2得x=3漏解 未考虑真数(x−1)2>0（x≠1） 先写定义域再求解 底数分类错误 解a2x>ax+1未讨论a>1 或0<a<1 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简log23⋅log34误为log212 未用公式 logab⋅logbc=logac 弄清对数运算法则与换底公式条件 【复习建议】 1、高频考向精炼： 题型1：比大小 题型2：求解复合函数定义域 题型3：指对数函数的图像和性质 2、真题演练方向： 近三年高考题中指对数运算，比较大小，求解指对数不等式，求解指对数方程。 6 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $