专题04 函数的性质（讲义）-2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》.doc

编写说明：2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《湖北省技能高考文化综合考试大纲》及湖北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为函数的性质。 2026年湖北省（技能高考）《数学考纲专题练》 专题04 函数的性质 一、考纲要求 1、函数的单调性 2、函数的奇偶性 3、分段函数 4、函数的实际应用 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 24 函数的奇偶性 5 （1）题型：选择题、填空题。 （2）分值：5分。 （3）内容：函数的奇偶性、单调性、分段函数 2024 选择题 22 函数的单调性、函数的实际应用 5 2023 选择题 — — 2022 选择题 21 分段函数 5 2021 选择题、填空题 22、25 单调性、奇偶性、分段函数 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年湖北省技能高考数学试题有1道单选题或1道填空题考查函数，分值5分。 具体考点可能涉及如下内容： 函数的奇偶性、单调性、分段函数 四、知识梳理 （一）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （二）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 （四）分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集. （五）二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 零点. 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 上单调递减，在上单调递增 在 上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当 b＝0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 五、10分钟小测验 1、 单选题 1．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的是 （   ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则有（    ） A． B． C． D． 3．若是定义在上的偶函数，且，则（　　） A． B． C． D． 4．已知函数是偶函数，且，则（  ） A． B． C． D． 5．设函数为定义在R上的奇函数，当时，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．1 6．下列函数中，值域是且为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 7．函数（    ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上是增函数 8．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知函数，若，则实数（    ） A．1 B．8 C．16 D．1或16 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义逐个判断即可. 【详解】A. 是反比例函数，在定义域内不单调，不符合题意； B. 是正比例函数，在其定义域内是奇函数，又，是增函数，符合题意； C. 的定义域为，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意； D. 是余弦函数，由余弦函数的性质，可知此函数为偶函数，不符合题意. 故选：B. 2．D 【分析】根据奇函数的性质和函数单调性即可解得. 【详解】由题函数为上的奇函数，且在上单调递增， 根据奇函数关于原点对称，则函数在上单调递增， 选项A：由题函数为奇函数，则，即无法判断，故错误. 选项B：函数为奇函数且在单调递增，则，故错误. 选项C：函数为奇函数且在上单调递增，则，故错误. 选项D：函数为奇函数则且在上单调递增，则，故正确. 故选：D 3．D 【分析】 根据已知条件，结合偶函数的性质即可得解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，且， 所以，所以. 故选：D. 4．C 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】因为是偶函数，且， 所以. 故选：C. 5．A 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为当时，， 所以， 又函数为定义在R上的奇函数， 所以. 故选：A. 6．D 【分析】由常见函数的性质分析可求解. 【详解】的值域为，不符合题意，A选项错误. ，当时等号成立，函数的值域为，不符合题意，B选项错误. 的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误. 令，其定义域为，，所以是偶函数， 且，即的值域为，符合题意，D选项正确. 故选：D. 7．A 【分析】利用二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上是减函数，在上是增函数，故A正确，BCD错误. 故选：A. 8．A 【分析】根据函数的单调性判别. 【详解】选项BCD中，在上为单调函数，在开区间上不存在最值． 在区间上单调递减，在区间单调递增，故函数在处取最小值． 故选：A. 9．D 【分析】根据分段函数的定义域，代入，即可求解. 【详解】由题意知函数， 因为，所以. 故选：D. 10．C 【分析】对自变量分情况讨论，代入到分段函数对应的解析式中，即可求解. 【详解】①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得， 又，故舍去. 综上所述，. 故选：C. 六、经典例题解析 【考试题型1】函数的单调性、奇偶性 【例1】（18-19高三·湖北·对口/高职单招）下列函数中在其定义域内为非奇非偶函数，且为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性与单调性的定义即可求解. 【详解】对A，的定义域为， . 所以是奇函数. 所以A错误. 对B，是指数函数， 且底数， 所以是非奇非偶函数， 且是增函数. 所以B正确. 对C，是对数函数， 定义域为， 底数， 所以是非奇非偶函数， 且是减函数. 所以C错误. 对D，定义域为， ， 所以是偶函数. 所以D错误. 故选：B. 【例2】（20-21高三下·湖北宜昌·模拟预测）下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性即可得解. 【详解】对于A，，其定义域为， 且，所以是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上为增函数，故A正确； 对于B，指数函数是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，正弦函数在上有增有减，故C错误； 对于D，对数函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：A. 【例3】（19-20高三·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，且在区间内为增函数，则的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性与单调性判断图象的形状，从而得解. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，故AB错误； 又在区间内为增函数，故C错误； 而D选项满足的性质，故D正确. 故选：D. 【例4】（21-22高三下·湖北宜昌·模拟预测）下列函数中在定义域内为非奇非偶函数，且在区间内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为是偶函数，且在区间上是减函数，故在区间上也是减函数， 故选项A不符合题意； 因为指数函数是非奇非偶函数，且在定义域实数集R上是单调递减函数， 故在区间上也是减函数，故选项B不符合题意； 因为对数函数是非奇非偶函数，且在区间上是单调递减函数， 故函数是非奇非偶函数，且在区间上是单调递增函数， 故在区间上也是增函数，故选项C符合题意； 因为函数是奇函数，且在区间上是单调递减函数，故在区间上也是减函数， 故选项D不符合题意； 故选：C. 【例5】（20-21高三·湖北·模拟预测）若函数为奇函数，且在区间内为增函数，则的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可判定. 【详解】因为函数是奇函数，且在区间内是增函数. 所以函数在区间内也是增函数.只有B选项满足. 故选：B. 【例6】（19-20高三·湖北·二模）函数在区间内是（    ） A．偶函数，减函数 B．偶函数，增函数 C．非奇非偶函数，减函数 D．非奇非偶函数，增函数 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性与奇偶性的定义即可求解. 【详解】因为函数定义在区间不关于原点对称. 所以函数是非奇非偶函数. 又因为函数开口向下，对称轴为. 所以函数在区间内是增函数. 故选：D. 【例7】（17-18高三·湖北·一模）下列函数中在定义域内为奇函数且增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求定义域判断定义域是否关于原点对称，根据判断是否为奇函数，最后利用函数单调性的定义判断是否为增函数, 【详解】对于，定义域为关于原点对称，，，，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，定义域为不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，，定义域为关于原点对称，，， ，所以函数不是奇函数，故错误； 对于，定义域为关于原点对称，，，，所以函数是奇函数， 在上任取两个不相等的实数，有，，， 因为，且不同时为，故，所以函数为增函数，故正确； 故选：. 【考试题型2】分段函数 【例8】（24-25高三上·安徽·模拟预测）已知函数则方程的解的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分和两种情况，列方程求解即可. 【详解】已知函数， 当时，由，得， 即，解得（舍）或； 当时，由得， 即或解得（舍）或， 综上所述，方程的解为或，共2个解， 故选：C. 【例9】（21-22高三·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由分段函数的定义即可得到答案. 【详解】函数，因为， 所以. 故选：C. 【例10】（24-25高三下·河南·模拟预测）已知函数，则（    ） A．25 B．16 C．9 D．3 【答案】C 【分析】利用分段函数的解析式，代入依次计算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【考试题型3】二次函数最值问题 【例11】（24-25高三下·湖北·职教高考）记表示不超过的最大整数，例如，，若函数的最小值为，则等于（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求解函数的最小值，再根据的定义求解即可. 【详解】∵函数， ∴该函数的最小值， 由题意可知，. 故选：A. 【例12】（20-21高三·河北·对口/高职单招）一元二次函数在区间上的最小值是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】根据函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，故在函数取最小值. 【详解】由二次函数，其图像为开口向上的抛物线，如图所示： 其对称轴，故函数曲线在单调递减，在单调递增， 所以当时，函数取得最小值，即. 故选：C. 七、专题归纳小结 【专题核心内容总结】 1.函数性质“二剑客” 性质 定义 判定核心 应用场景 单调性 区间内 x1<x2​⇒f(x1)<f(x2)（增） 或f(x1)>f(x2)（减） 定义法（作差/商） 求最值、解不等式、比较大小 奇偶性 f(−x)=f(x)（偶）； f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)（奇） 先看定义域是否对称（必杀技！） 简化计算、图象对称性分析 性质关联口诀： “奇偶定对称，周期显循环；单调看升降，最值藏区间” 2.二次函数的核心知识点 知识领域 核心知识点 关键公式/说明 三种表达式 一般式​ y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式 y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标 图像特征 开口方向 a > 0开口向上；a < 0开口向下 对称轴 一般式：；顶点式：x = m 顶点坐标 与坐标轴交点 与y轴交点：(0, c)；与x轴交点：由解的情况决定 主要性质 单调性（增减性） 以对称轴为界：a>0 时，对称轴左侧递减，右侧递增；a<0 时，对称轴左侧递增，右侧递减 最值 a>0：最小值 y = （顶点纵坐标）；a<0：最大值（顶点纵坐标） 【解题策略与技巧】 1. 定义域求解 核心规则：“函数表达式存在需有据” 教学口诀： “分式分母不为零，根式下方非负行；对数真数必为正，正切间断要记清” 2. 奇偶性“快判三招” 方法 操作 示例 特殊值验证 取 x=1 和x=−1 代入 f(x)=x3+x →f(−1)=−2=−f(1) → 奇函数 定义域对称性 若定义域不对称，则非奇非偶 定义域{0} → 非奇非偶 图象法 偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称 y=cosx 为偶函数 3.偶性与单调性综合 黄金规律： 奇函数在对称区间单调性相同 偶函数在对称区间单调性相反 4. 二次函数在给定区间上的最值问题 这是高频考点，尤其需要注意定义域（区间）的限制。 解题步骤： 1.配方或将一般式化为顶点式，找到顶点和对称轴。 2.判断给定区间是否包含顶点横坐标。 3.画示意图辅助分析：若区间包含顶点横坐标，顶点纵坐标就是一个最值，另一个最值在区间端点处取得；若区间不包含顶点横坐标，最值都在端点处取得。 4.比较区间端点和顶点（若在区间内）的函数值，确定最大（小）值。 注意：开口方向（a的正负）直接影响是最大值还是最小值。 5. 二次函数与实际应用问题 常以生活中的情景（如利润最大、面积最大、抛物线形拱桥/隧道/喷泉等）为背景建立二次函数模型求解。 利润最大化：理解“单件利润 × 销售量”等基本关系，列出函数解析式，再求最值。 面积最大化：通常用变量表示出所需图形的长和宽，建立面积关于变量的二次函数。 抛物线形建筑问题（如拱桥、隧道）：建立合适的平面直角坐标系是关键。通常选择抛物线的顶点或端点作为原点，会使表达式更简单，便于计算。 策略：耐心读题，明确变量及其关系，正确建立函数模型后，问题就转化为求最值或特定值。 6. 分段函数 分段函数在湖北省数学技能高考中考查三类题型： 已知自变量，求函数值问题：根据自变量的范围确定函数解析式，直接带入求值； 已知函数值，求自变量：由于自变量不知道确切的范围，所以需对自变量分情况进行讨论；分段函数的图像：注意节点能不能取到。 【易错点总结】 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域对称 判断 奇偶性 未验证定义域对称 奇偶性判定第一步必查定义域对称性 单调区间端点错误 写成增区间 定义域中不包括0 严格按开闭区间规范书写 【复习建议】 1、学生能力培养重点： 性质综合拆解训练：遇到复杂函数，按“定义域→奇偶性→单调性”顺序分析 图象辅助思维：每道题草图画性质特征（奇偶画对称轴，周期标重复段，单调标升降，二次函数在给定区间上的最值） 2、真题演练方向： 近三年高考题中判断函数奇偶性、单调性，二次函数在改定区间上的最值、分段函数的图像及已知函数值求自变量问题 6 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $