数学全真模拟卷（4）-2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 全真模拟卷（4） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 2．如果复数，则（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．若，为第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92 8．已知,则=（  　） A． B． C． D． 9．计算：（   ） A． B．8 C．6 D． 10．经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 11．直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 22．在等差数列中，若，则等于（    ） A．20 B．23 C．24 D．25 13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（   ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱及其内接三棱柱 14．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 15．双曲线上一点到两焦点距离之差是（   ） A．6 B． C．6或 D． 16．已知圆的方程为.则该圆的半径是（   ） A． B．2 C． D．1 17．甲、乙等5个同学，相约周末去电影院看电影，恰好买到了5张连座的电影票.若甲、乙两人不相邻，则不同的坐法有（    ） A．48种 B．120种 C．36种 D．72种 18．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 19．平面和平面是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．内的一条直线平行于，则 B．内的一条直线垂直于的一条直线，则 C．与同时平行于同一个平面，则 D．平面与平面同时垂直于同一个平面，则 20．已知二次函数 （），且对称轴方程为 ，则 （    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．设指数函数，若，则 . 22． ． 23．计算 . 24．已知数列的前项和，则通项公式 ． 25．在正方体中，为的中心，则与的角的正弦值是 ． 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．(8分) 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元． (1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 27．(8分) 已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 28．(9分) 如图所示，已知正四棱柱的底面边长为4，高为，且点分别是校的中点．求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 29．(10分) 北京时间2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射升空，某职业学校组织学生进行了卫星知识答题竞赛，并将参赛的200名学生的成绩（满分为100分，成绩不低于50分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)采用分层抽样的方法，从成绩在的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记抽取的3人成绩在的人数为，求的分布列． 30．(10分) 已知椭圆的焦点为，，且且该椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上一点，且，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 全真模拟卷（4） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中有个个元素，则它的子集有个，真子集有个，代入计算即可． 【详解】∵集合，集合中共有3个元素， ∴集合的真子集个数为个 故选：C. 2．如果复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义，即可解答. 【详解】已知复数， 则， 故选：A. 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式， 即，解得或， 用区间表示为， 故选：. 4．若扇形的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】由扇形弧长公式，可得. 故选：D. 5．若，为第四象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系以及角所在象限计算可得结果. 【详解】由，利用可得， 所以， 又为第四象限角，所以，即. 故选：D. 6．若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，由内到外依次求值即可求解. 【详解】由题意得，，则. 故选：C. 7．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A．2.82 B．2.86 C．2.88 D．2.92 【答案】B 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解； 【详解】由表可知，，， 所以，解得， 故选：B 8．已知,则=（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长的计算公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：. 9．计算：（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可求解. 【详解】. 故选：B. 10．经过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角确定斜率，再由点和斜率写出点斜式即可. 【详解】已知倾斜角为， 则，因为经过点， 则代入点斜式方程得，化简得. 故选：A. 11．直线与直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程即可求解交点坐标. 【详解】联立方程，解得， 所以两直线交线为． 故选：A. 22．在等差数列中，若，则等于（    ） A．20 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】为等差数列，则. 因此， 得到. 故选：C. 13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（   ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱及其内接三棱柱 【答案】C 【分析】根据三视图的特征及圆锥的形状可判断结果. 【详解】从主视图和左视图可以看出这个几何体是锥体，从俯视图可以看出这个几何体是圆锥. 故选：C 14．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解. 【详解】根据圆锥的侧面积公式. 故选：D. 15．双曲线上一点到两焦点距离之差是（   ） A．6 B． C．6或 D． 【答案】C 【分析】先根据双曲线的方程求，再根据双曲线的定义易得答案. 【详解】因为双曲线， 所以， 因为双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值等于， 所以双曲线上一点到两焦点距离之差为. 故选：C. 16．已知圆的方程为.则该圆的半径是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】首先将圆的方程转换为标准方程，即可确定圆的半径. 【详解】已知圆的方程为， 将圆的方程化为， 所以， 故选：D. 17．甲、乙等5个同学，相约周末去电影院看电影，恰好买到了5张连座的电影票.若甲、乙两人不相邻，则不同的坐法有（    ） A．48种 B．120种 C．36种 D．72种 【答案】D 【分析】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法. 【详解】先将除甲、乙以外的其余3人全排列，有种坐法，再将甲、乙两人插空，甲、乙两人有种坐法， 所以满足甲、乙两人不相邻的不同的坐法有（种）. 故选：D. 18．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由离散型随机变量分布列的概率之和等于1即可得解. 【详解】由已知得，解得或（舍去）. 故选：B. 19．平面和平面是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．内的一条直线平行于，则 B．内的一条直线垂直于的一条直线，则 C．与同时平行于同一个平面，则 D．平面与平面同时垂直于同一个平面，则 【答案】C 【分析】根据平面平行与垂直的判定逐项分析即可得到答案． 【详解】A选项错误：若平面内一条直线平行于平面，不能推出．反例：与相交时，在内与交线平行的直线平行于（但不平行于）． B选项错误：若内一条直线垂直于内一条直线，不能推出．平面垂直需满足内一条直线垂直于（即垂直于内所有直线），而非仅垂直于内一条直线． C选项正确：若且（为同一平面），则．这是平面平行的传递性，成立． D选项错误：若且（为同一平面），不能推出．反例：三面墙两两垂直时，与可能相交（如墙角）． 故选：C． 20．已知二次函数 （），且对称轴方程为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为二次函数 （）开口向上，且对称轴方程为 ， 所以函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增. 计算各点到对称轴的距离：. 距离对称轴越近，函数值越小.因此：. 故选：B. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．设指数函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据题中信息代入函数，得到a的值，从而得到函数解析式，最终计算出即可求解. 【详解】因为指数函数，且， 所以， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 22． ． 【答案】/0.5 【分析】根据两角和的正弦公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】. 故答案为：. 23．计算 . 【答案】 【分析】利用对数的运算性质，计算得到答案. 【详解】因为， 故答案为：. 24．已知数列的前项和，则通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合数列中之间的关系，即可求得通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 所以当时，， 所以，， 当时，，符合， 故通项公式. 故答案为：. 25．在正方体中，为的中心，则与的角的正弦值是 ． 【答案】 【分析】先找到异面直线所成的角，再根据正方体的特征，即可求解. 【详解】 连接， 因为是正方体，所以， 即四边形是平行四边形，得到， 故与所成的角即为与所成的角， 又均为正方体的面对角线，所以， 根据为的中心，得到为的中点， 故，即与的角为，其角的正弦值为. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．(8分) 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元． (1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2元 (2)当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元 【分析】（1）根据题意，结合一元二次方程的应用，即可求解，； （2）结合题意，根据二次函数的性质，配方即可求得利润最大值及对应的的值，即可求解． 【详解】（1）由题意，设T恤的销售单价提高元，则每件售价为元， 一个月的销售量为件，则， 所以，即， 解得， 因为要尽可能减少库存，所以不合题意，故舍去， 所以T恤的销售单价应提高2元； （2）由题意，设利润为W元，由题意可得, 所以当时，利润W取得最大值4000元，此时销售单价为元， 所以当服装店将销售单价50元时，获得的最大利润是4000元. 27．(8分) 已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式； （2）根据题意，结合数列的通项公式及对数恒等式可得，结合等差和等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为数列中，， 当时，， 当时，， 因为也满足， 综上，数列的通项公式为； （2）由题可知， 所以， 所以数列的前n项和． 28．(9分) 如图所示，已知正四棱柱的底面边长为4，高为，且点分别是校的中点．求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二面角的定义可得为二面角的平面角，在中利用正切函数的定义即可求出二面角的值. （2）根据题意可知为三棱锥的高，底面为，利用棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，连接交于点，连接，， 因为点分别是的中点，所以 ， 在正方形中，， 则，即 ， 因为在正四棱柱中，平面， 平面，则， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 因为， 在等腰直角中 ， 所以，在中，， 所以， 又，所以， 所以二面角的大小为．    （2）在三棱锥中，平面， 所以为三棱锥的高，底面为， 又， 则， 所以． 29．(10分) 北京时间2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射升空，某职业学校组织学生进行了卫星知识答题竞赛，并将参赛的200名学生的成绩（满分为100分，成绩不低于50分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)采用分层抽样的方法，从成绩在的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记抽取的3人成绩在的人数为，求的分布列． 【答案】(1)0.03 (2)见解析 【分析】（1）根据频率之和为1，列式求解即可. （2）首先确定各区间的人数，再确定各区间抽取的人数，进而求的分布列. 【详解】（1）因为频率之和为1，所以， 解得. （2）成绩在的频率为，人数为； 成绩在的频率为，人数为； 成绩在的频率为，人数为. 因此，总人数为. 从抽取：人；从抽取：人；从抽取：人. 的可能取值为， ,，,. 所以的分布列为 0 1 2 3 30．(10分) 已知椭圆的焦点为，，且且该椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据焦距与焦点所在轴设出标准方程，再代入条件即可； （2）根据垂直关系列式求解即可； 【详解】（1）由题意得椭圆的半焦距，焦点在轴上. 设椭圆的标准方程为， 由，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，， 所以.① 由得，.② ②-①得，则. 所以的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $