数学全真模拟卷（3）-2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试《全真模拟卷》（原卷版+解析版）

2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 全真模拟卷（3） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合之间的关系求解即可. 【详解】，，又，. 故选：D. 2．复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为， 故选：B. 3．不等式解集是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式解得或， 所以不等式解集为或. 故选：B. 4．所在的象限为 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】首先将弧度转为角度，再由象限角的定义判断即可. 【详解】 弧度转换为角度为， 因为，所有 位于第三象限， 故选：C. 5．若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式即可得解. 【详解】. 故选：B. 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式、零指数幂有意义的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得且. 所以函数的定义域是且. 故选：D. 7. （   ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】. 故选：B. 8．直线在y轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入直线方程中即可求出直线在y轴上的截距. 【详解】已知直线， 令，则，解得. 所以直线在y轴上的截距为， 故选：B. 9．点到直线的距离等于（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知点和直线， 代入点到直线的距离公式中， 得. 故选：C. 10．已知等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】因为是等比数列，所以， 故，得. 故选：B. 11．如图为正三棱柱的直观图，它的主视图是下列各图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由正三棱柱的主视图可以得解． 【详解】因为是正三棱柱， 所以主观图看到的是矩形，后面线段CC1看不到是虚线． 故选：D． 12．一个圆柱的底面直径和高都等于4，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆柱的底面半径，结合圆柱的高，代入圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的底面直径等于4， 所以圆柱的底面半径，又因为圆柱的高， 所以圆柱的表面积. 故选：A. 13．双曲线实半轴长为2，焦点为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦点为，可知双曲线为，然后根据双曲线，可求，最后可求双曲线方程. 【详解】由焦点为，可设双曲线为，； 双曲线实半轴长为2，即，根据双曲线， 所以，，； 该双曲线方程为； 故选：. 14．经过，，三点的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的一般方程，由已知三点代入，可求得圆的一般方程，化成标准式即可. 【详解】设圆的方程为， 由，，代入上式可得 ，解得. 所以圆的方程为，即. 故选：B 15．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】通过分类讨论或间接法，结合组合数的概念，即可求解. 【详解】（1）若根据直接法分类讨论： 至少2件次品包含两类，2件次品3件正品，共种；3件次品2件正品，共种， 由分类加法计数原理得抽法共有种，选项B正确， （2）若根据间接法，总抽法共种， 取0件次品5件正品，共种；取1件次品4件正品，共种， 则至少有2件次品的抽法有种，选项CD错误. 故选：B. 16．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，表示甲车床生产1000件产品中的次品数，表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，，的分布列分别是： 0 1 2 3 0 1 2 3 0.7 0.1 0.1 0.1 0.5 0.3 0.2 0 据此判定（    ） A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 【答案】A 【分析】根据期望的公式以及意义求解即可. 【详解】由题中分布列可知 甲车床的期望， 乙车床的期望. 由于，故甲比乙质量好. 故选：A. 17．给出以下四个问题，其中真命题的个数是（   ） ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用空间内直线与平面的性质定理，逐个判断得到答案. 【详解】根据直线与平面平行的性质定理可推断出①正确； 根据直线与平面垂直度判定定理推断出②正确； 两条直线平行于同一平面时，位置关系可能为平行、相交或异面，即③不正确； 利用面面垂直的判定定理可知④正确. 故选：B. 18．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x（百件）与单位成本y（元）满足回归直线方程.下列说法正确的是（    ） A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B．产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D．产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 【答案】A 【分析】该方程在上为单调递减，函数模型是一个递减的函数模型，产量每增加100件，单位成本下降14.2元，故可判断． 【详解】解：由可知，该函数模型是一个递减的函数模型. 对A：当变量x每增加100件，单位成本y下降14.2元，A项正确； 对B：产量每减少100件，单位成本约上升14.2元，B项错误； 对C：产量每减少100件，单位成本约下降14.2元，C项错误； 对D：产量每减少100件，单位成本约上升14.2元，D项错误. 故选:A. 19．若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积的运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 20．若偶函数在区间上的解析式为，则在R的单调递增区间是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】由偶函数的性质结合二次函数的图像和性质即可得解. 【详解】由二次函数的图像和性质可知， 函数的对称轴为，开口向上， 函数在上是单调递减，在区间上是单调递增， 再由偶函数的对称性可知，在上是单调递增的， 所以在R上的单调递增区间是和. 故选：C. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．设函数，则 ． 【答案】2 【分析】将代入分段函数解析式中即可得解. 【详解】函数， 则， 故答案为：. 22．= ． 【答案】0 【分析】利用两角和的余弦公式逆用，求解即可． 【详解】根据两角和的余弦公式的逆用可得 故答案为：. 23．化简： 【答案】6 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质计算即可. 【详解】由题可知：. 故答案为：6 24．已知数列的前项和，则 . 【答案】30 【分析】利用数列前n项和的性质，通过计算. 【详解】因为数列的前项和， 所以，. 又，所以. 25．在正方体中，直线与平面所成角的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】由正方体的结构先找出直线和平面的夹角，再进一步求正切值即可. 【详解】    如图，正方体，平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方体的边长为， 则，， 所以， 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．(8分) 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比x应在什么范围内？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据年利润公式进行分析得到解析式求解即可. （2）根据（1）的解析式列不等式求解即可. 【详解】（1）因为每辆车投入成本增加的比例为x，所以成本为. 因为出厂价相应地提高比例为0.75x，所以出厂价为. 因为预计年销售量增加的比例为0.6x，所以年销售量为. 根据年利润公式，，， 整理得：， （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须， 即，． 解得，所以投入成本增加的比例应在范围内． 27．(8分) 已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式即可得解. （）利用分组求和法结合等差数列的求和公式及等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，, 则，即， 所以，故， 所以. （2）因为的前项和， 因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 设前项和为，则， 所以. 28．(9分) 如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找出平面与平面所成角，再求解即可. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以. 因为底面是矩形，，，所以. 所以底面是正方形，进而. 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又，，平面，所以平面， 进而.因此，是平面与平面所成角的平面角. 在中，所以， 所以平面与平面所成角的正切值为. 29．(10分) 某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 【答案】(1)10 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据直方图可得出健康上网天数未超过20天的频率，从而可求出上网超过20天的频率，再利用频率和频数之间的关系求解即可； （2）根据题意可得出随机变量Y的所有可能取值，再求出相对应的概率，即可得到Y的分布列. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为 ， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是10. （2）随机变量Y的所有可能取值为0，1，2. ，，， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 P 30．(10分) 已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，求出抛物线的标准方程即可； （2）先表示出直线的方程，再联立方程求出弦长即可. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点为， 所以，所以，即， 所以抛物线的标准方程； （2）由（1）可知，直线的方程为， 联立方程，得， 设， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 全真模拟卷（3） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．不等式解集是（   ）. A． B．或 C． D．或 4．所在的象限为 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D．且 7. （   ） A．4 B． C． D．3 8．直线在y轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 9．点到直线的距离等于（   ） A． B． C．6 D． 10．已知等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．如图为正三棱柱的直观图，它的主视图是下列各图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   12．一个圆柱的底面直径和高都等于4，则圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 13．双曲线实半轴长为2，焦点为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 14．经过，，三点的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 15．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 16．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，表示甲车床生产1000件产品中的次品数，表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，，的分布列分别是： 0 1 2 3 0 1 2 3 0.7 0.1 0.1 0.1 0.5 0.3 0.2 0 据此判定（    ） A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 17．给出以下四个问题，其中真命题的个数是（   ） ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直. A．4 B．3 C．2 D．1 18．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x（百件）与单位成本y（元）满足回归直线方程.下列说法正确的是（    ） A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B．产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D．产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 19．若，则（   ） A．2 B． C．4 D． 20．若偶函数在区间上的解析式为，则在R的单调递增区间是（    ） A． B．和 C．和 D．和 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．设函数，则 ． 22．= ． 23．化简： 24．已知数列的前项和，则 . 25．在正方体中，直线与平面所成角的正切值是 ． 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．(8分) 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比x应在什么范围内？ 27．(8分) 已知等差数列的前项和为，且满足. (1)求等差数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 28．(9分) 如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值． 29．(10分) 某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 30．(10分) 已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $