专题05 幂函数与指数、对数函数（讲义）-2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为幂函数与指数、对数函数。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 专题05 幂函数与指数、对数函数 一、考纲解读 1.了解根式的概念；理解分数指数幂和有理数指数幂的运算性质． 2.了解幂函数y=xa，其中a的取值仅限于集合{1,2,3，-1，-2，1/2}． 3．理解对数的概念，了解积、商、幂的对数的运算法则． 4．理解指数函数、对数函数的概念，掌握指数函数、对数函数的图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程． 5．了解指数函数和对数函数在实际问题中的简单应用． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 5 幂的运算法则 3 （1）题型：集中在选择题、填空题、解答题。 （2）分值：幂函数与指数、对数函数知识点近几年都有涉及，分值逐年增加，2024年分值为19分。 （3）内容：幂函数、指数、对数函数求值计算、指数、对数函数的图像与性质。 选择题 7 对数运算 3 填空题 25 对数函数图像 3 解答题 33 指数函数的图像与性质 10 2023 选择题 10 幂的运算法则 3 选择题 12 对数函数求值 3 填空题 21 指数、对数函数混合计算 3 2022 选择题 4 指数、对数函数混合计算 3 填空题 28 幂函数的解析式 3 三、考点预测 根据2022-2024年的真题考情，预估2026年新疆“三校生升高职”考试依然有4道题目考查函数的基本性质，题型设置为单项选择题2题、填空题1题、解答题1题，分值共19分。 具体考点可能涉及如下内容： · 幂函数、指数、对数函数求值 · 幂函数、指数、对数函数的图像与性质 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　 _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇　 函数 偶　 函数 奇　 函数 非奇非偶　 函数 奇　 函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0) 上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在 [0，＋∞) 上单调递增 在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 1．函数（且）的图像必经过点（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B．0 C．1 D．10 3．下列函数中是减函数的是（   ） A． B． C． D． 4. 下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 6．函数，则 ． 7．计算： . 8．若 ，则 参考答案 1．【答案】D 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】应用零指数幂公式，令即可确定图像过的定点. 【详解】已知函数， 令，即时，， 所以函数（且）的图像必经过点. 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质计算. 【详解】. 故选：C. 3．【答案】C 【知识点】研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，判断各函数单调性，即可求解. 【详解】对于A. ：底数，为增函数. 对于B. ：底数，对数函数在定义域内为增函数. 对于C. ：底数，指数函数为减函数. 对于D. ：底数，对数函数在定义域内为增函数. 故选：C. 4.【答案】B 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指数和对数的运算法则即可求解. 【详解】对A：，故A项正确； 对B：，故B项错误； 对C：，故C项正确； 对D：，故D项正确. 故选：B. 5．【答案】D 【知识点】幂函数的定义、幂函数的单调性、幂函数的奇偶性 【分析】由点求出解析式，利用幂函数的图像与性质即可得出. 【详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为，是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 6．【答案】 【知识点】对数的运算、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数解析式进行计算即可解得. 【详解】由题，函数， 则， 故答案为： 7．【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 8．【答案】7 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的运算性质解对数方程即可. 【详解】因为， 所以，即， 故答案为：7. 六、经典例题解析 【考试题型1】根式的定义 【例1】将分数指数幂写成根式的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分式指数幂和根式指数幂的互化即可求解. 【详解】. 故选：A. 【考试题型2】指数幂的运算 【例2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算法则即可得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【例3】若，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可判断求解. 【详解】因为，， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C错误； 所以，故选项D正确； 故选：D. 【考试题型3】对数的运算 【例4】已知，那么用a表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数运算的性质求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A. 【考试题型4】幂函数的定义 【例5】在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，是幂函数的是（    ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【知识点】幂函数的定义、指数函数的判定与求值 【分析】根据形如（，为常数）的函数是幂函数，判断即可. 【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数， ①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数； ③是指数函数，不是幂函数； ⑤中的系数是2，所以不是幂函数； ④是常函数，不是幂函数， 故选：C. 【考试题型5】对数函数的应用 【例6】若对数函数（且）的图象经过点，则实数 ． 【答案】2 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】将点代入函数解析式即可求解a的值. 【详解】因为对数函数的图象经过点， 所以，即，解得. 故答案为：. 【例7】已知过点 (1)求 (2)的定义域为，求m的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【知识点】求对数函数的解析式、求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式恒成立问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】（1）将点代入函数解析式中即可求得的值； （2）先求出的解析式，再根据对数的真数大于零即可求解. 【详解】（1）因为过点， 即，解得或（舍去）， 所以. （2）因为， 且的定义域为， 即恒成立， 则， 解得， 所以m的取值范围为. 【考试题型6】指数函数的应用 【例8】下列指数函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数函数的单调性 【分析】根据指数函数的图像和性质即可求解. 【详解】根据指数函数的图像和性质得，当底数大于1时，指数函数在R上单调递增，当底数大于0小于1时，指数函数在R上单调递减. 因为， 所以函数在上为增函数，选项A正确； 函数，，在上为减函数，选项错误. 故选：A. 【例9】若函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的定义可得. 解得. 故选：C. 【例10】已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用 【分析】根据指数函数和对数函数的图象及性质即可求解. 【详解】解：由图象可知，为减函数，故；为增函数，故. 故选：B. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 指数与指数运算 概念 定义 核心公式 指数运算 an（a>0，n∈R) 对数运算 换底公式 不同底对数转化工具 运算口诀： “指数乘除变加减，对数真数积变和；换底公式搭桥梁，1的对数为0要记牢” 2.函数图象与性质对比 （1）指数函数 参数 图象 过(0,1)，单增，渐近线y=0 过(0,1)，单减，渐近线y=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (1,a) (1,a) （2）对数函数 参数 图象 过(1,0)，单增，渐近线x=0 过(1,0)，单减，渐近线x=0 值域 (0,+∞) (0,+∞) 关键点 (a,1) (a,1) （二）、解题策略与技巧 1. 比大小问题“三剑客” 方法 适用场景 操作步骤 单调性法 同底数/同指数 利用指数/对数函数单调性直接比较 中间量法 不同底且不同指数 插入 0,1, 等特殊值 图象法 涉及函数交点或范围 画草图分析交点位置 2. 解不等式策略 指数不等式： 对数不等式： （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解log2(x−1)2=2得x=3漏解 未考虑真数(x−1)2>0（x≠1） 先写定义域再求解 底数分类错误 解a2x>ax+1未讨论a>1 或0<a<1 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简log23⋅log34误为log212 未用公式 logab⋅logbc=logac 弄清对数运算法则与换底公式条件 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 运算条件反射：每日5题指数/对数混合运算（强化公式变形能力） 图象思维渗透：解方程/不等式必画草图辅助分析 2、高频考向精炼： 题型1：比大小 题型2：求解复合函数定义域 3、真题演练方向： 近三年高考题中指对数运算，比较大小，求解指对数不等式，求解指对数方程。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $