专题04 函数的性质（讲义）-2026年新疆（三校生升高职考试）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》依据新疆“三校生升高职”考试数学科目考试大纲及新疆历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是新疆（“三校生升高职”考试）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为函数的性质。 2026年新疆（“三校生升高职”考试）《数学考纲专题练》 专题04 函数的性质 一、考纲解读 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念; 2.能判断一些简单函数的单调性和奇偶性; 3.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象; 4.掌握一元二次函数的图象与性质. 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 9 奇函数的性质 3 （1）题型：集中在选择题、解答题。 （2）分值：函数的基本性质近几年都有涉及，分值一般在16分左右。 （3）内容：函数的单调性、奇偶性。 选择题 16 函数的单调性 3 解答题 36 函数的单调性、奇偶性应用 10 2023 选择题 3 函数的单调性 3 选择题 8 二次函数单调区间 3 解答题 35 根据偶函数的性质求参数 10 2022 选择题 10 偶函数的性质 3 选择题 20 函数单调性、奇偶性应用 3 填空题 30 二次函数单调区间 3 解答题 35 函数单调性、奇偶性应用 10 三、考点预测 根据2022-2024年的真题考情，预估2026年新疆“三校生升高职”考试依然有3道题目考查函数的基本性质，题型设置为单项选择题、解答题，分值共16分。 具体考点可能涉及如下内容： · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 四、知识梳理 （一）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （二）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 （四）函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 五、10分钟小测验 1.下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为奇函数，，则 . 5．证明：函数在上为增函数． 参考答案 1.【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】四个选项中的函数的定义域都是R. 对于A，是奇函数； 对于B，是偶函数，且在上是增函数； 对于C，是偶函数，但是它在上是减函数； 对于D，是非奇非偶函数. 故答案为：B. 2．【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一判断，从而得出结论. 【详解】对A：函数的图像为不过原点的直线，既不关于原点对称也不关于y轴对称， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误； 对B：函数是奇函数，且在R上为减函数，故B错误； 对C：函数在上不具有单调性，故C错误； 对D：函数可整理为，所以函数在R上递增且为奇函数，故D正确. 故选：D. 3．【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、诱导公式二、三、四 【分析】根据函数奇偶性的定义逐个判断即可. 【详解】，定义域关于原点对称， 为偶函数，所以A错误. ，定义域为，不关于原点对称， 为非奇非偶函数，所以B错误. ，定义域关于原点对称， ，为奇函数，所以C正确. ，定义域关于原点对称， 为偶函数，所以D错误. 故选：C. 4．【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】∵为奇函数， ∴. 故答案为：. 5． 【答案】证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、作差法比较代数式的大小 【分析】利用函数的单调性的定义进行证明即可． 【详解】证明：任取，，且， 则， ∵， ∴， ∴， ∴函数在上为增函数． 六、经典例题解析 【考试题型1】函数奇偶性的应用 【例1】已知函数是定义在区间上的奇函数，则 . 【答案】 【知识点】求具体函数的函数值、由奇偶性求参数 【分析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得，求出的值，代入条件检验可得结论. 【详解】由已知必有，即，或； 当时，函数即，而，在处，故舍去； 当时，函数即，此时，经检验，满足题意； . 故答案为：. 【例2】已知函数为偶函数，且，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】求具体函数的函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的概念和已知条件即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 又因为， 则. 故选：C. 【例3】已知函数是偶函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．不确定 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 即， 所以，解得. 故选：A. 【例4】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为的定义域关于原点对称， 且，所以函数是奇函数， 故选：A. 【考试题型2】函数单调性的应用 【例5】在区间内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、一次函数图象与性质的分析与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、反比例函数的图象与性质 【分析】根据常见函数的单调性即可选出正确答案 【详解】A选项为反比例函数，，在区间内是减函数，在区间内是减函数； B选项为一次函数，，在内单调递增； C选项为二次函数，函数图像开口向上，对称轴为轴，在单调递增； D选项为二次函数，图像开口向下，对称轴为，在单调递增；在单调递减，在区间内是新增后减， 综上所述，只有A选项符合题意， 故选：A 【例6】若二次函数对任意的，且，都有，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据题意得出在上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】因为二次函数 对任意的，且， 都有， 所以在上单调递减. 因为对称轴， 所以，解得 故选：A. 【考试题型3】函数单调性与奇偶性的结合应用 【例7】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的单调性和奇偶性的定义，逐一判断各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论. 【详解】对于A，函数是偶函数，且在区间上单调递减，故A满足题意； 对于B，函数是偶函数，且在区间上单调递增，故排除B； 对于C，函数是奇函数，故排除C； 对于D，函数它是非奇非偶函数，故排除D； 故选：A. 【例8】下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】根据所给的具体函数直接判断函数的奇偶性和单调性质易得答案. 【详解】因为，为非奇非偶函数，不符合题意； 因为在定义域上不单调，不符合题意， 根据幂函数性质得，为奇函数，且在定义域上单调递增，符合题意. 故选：D. 【例9】对于函数，以下说法正确的是（    ） A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．偶函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、一次函数图象与性质的分析与判断 【分析】由一次函数结合函数奇偶性和单调性的定义判断即可. 【详解】函数，定义域为，关于原点对称， 且，故函数为奇函数； 任意取，令， ，即， 故函数在上单调递增； 综上，函数是奇函数且在上单调递增. 故选：A. 【考试题型4】函数单调性与奇偶性的证明 【例10】已知函数 (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论 (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析 (2)最大值为，最小值为． 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）根据函数单调性即可求解最值. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 证：任取，且， ， ， ， 函数在上是增函数． （2）由（1）知函数在上是增函数． 最大值为， 最小值为． 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 函数性质“二剑客” 性质 定义 判定核心 应用场景 单调性 区间内 x1<x2​⇒f(x1)<f(x2)（增） 或f(x1)>f(x2)（减） 定义法（作差/商） 求最值、解不等式、比较大小 奇偶性 f(−x)=f(x)（偶）； f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)（奇） 先看定义域是否对称（必杀技！） 简化计算、图象对称性分析 性质关联口诀： “奇偶定对称，周期显循环；单调看升降，最值藏区间” （二）、解题策略与技巧 1. 定义域求解 核心规则：“函数表达式存在需有据” 教学口诀： “分式分母不为零，根式下方非负行；对数真数必为正，正切间断要记清” 2. 奇偶性“快判三招” 方法 操作 示例 特殊值验证 取 x=1 和x=−1 代入 f(x)=x3+x →f(−1)=−2=−f(1) → 奇函数 定义域对称性 若定义域不对称，则非奇非偶 定义域{0} → 非奇非偶 图象法 偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称 y=cosx 为偶函数 3.偶性与单调性综合 黄金规律： 奇函数在对称区间单调性相同 偶函数在对称区间单调性相反 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域对称 判断 奇偶性 未验证定义域对称 奇偶性判定第一步必查定义域对称性 单调区间端点错误 写成增区间 定义域中不包括0 严格按开闭区间规范书写 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： 性质综合拆解训练：遇到复杂函数，按“定义域→奇偶性→单调性”顺序分析 图象辅助思维：每道题草图画性质特征（奇偶画对称轴，周期标重复段，单调标升降） 2、真题演练方向： 近三年高考题中判断函数奇偶性、单调性，函数的图像问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $