专题01 集合与充要条件（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 集合与充要条件 1.集合及其表示 A A对应容易； B对应较易； C对应较难； D对应难 2.集合之间的关系 B 3.集合的运算 C 4.充要条件 B 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 1 集合的并集运算（涉及集合的表示等知识） 3 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：集合的运算为近三年必考，分值3分。 （3）内容：集合的概念与关系、集合的运算均有考查；充要条件近三年未有考查。 2024 选择题 1 集合的交集运算关系（涉及集合的表示等知识） 3 2023 选择题 1 集合的交集运算（涉及集合的表示等知识） 3 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口升学考试有1道单选题考查集合，分值为3分，集合间的交集、并集、补集运算考查可能性较高。 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 1.集合的概念 一组对象的总体构成一个集合 2.集合元素的三个特征 确定性、无序性、互异性 3.集合的三种表示方法 列举法、描述法、图示法 4.元素与集合的两种关系 属于，记为 ∈；不属于，记为 ∉ 5.五个特定的集合及其关系图 N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （2） 集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集 集合A中 任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含　关系,称集合A为集合B　的子集 　A⊆B或 B⊇A　　 真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集   A⫋B或  B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A=B 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n，真子集的个数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 五、10分钟小测验 1.第四象限内的所有点组成的集合可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合的表示方法进行求解. 【详解】因为第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0， 所以第四象限内的所有点组成的集合可以表示为. 故选：D. 2.下列说法正确的是（   ） A．没有子集 B．任何集合都有真子集 C．没有真子集 D．空集有唯一的元素“” 【答案】C 【知识点】子集的概念、求集合的子集（真子集）、空集的概念以及判断、空集的性质及应用 【分析】根据题意结合子集，真子集及空集的定义即可得解. 【详解】空集的子集是它本身，故错误； 空集没有真子集，故错误；正确； 空集不含任何元素，故错误， 故选：. 3.已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算、区间的定义与表示 【分析】根据集合补集运算结合区间表示即可求解. 【详解】因为, 所以或，用区间表示得到. 故选：D. 4.设全集为，，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算、区间的关系与运算 【分析】根据集合交集、补集运算结合区间表示即可求解. 【详解】因为,集合，所以， 又，所以. 故选：C. 5.的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【知识点】充要条件的判断与证明 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的概念，即可判断求解. 【详解】的充要条件是且. 故选：D. 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】集合的概念与特征 【例1】（2024届·山西省朔州市晋阳中学职教高三最后六次实战考试）已知集合中只有一个元素，则的值为（ ） A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据集合中只有一个元素，可得出方程只有一个根，在分别讨论两种情况即可. 【详解】已知集合中只有一个元素， 则当时，，符合题意； 当时，有，解得，符合题意. 所以的值为0或1， 故选：B. 【考试题型2】元素与集合、集合与集合间的关系 【例2】（2019年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）设，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、子集的概念 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系易得出答案. 【详解】A、B、C数学符号错误，故选项也是错误，D选项空集是任何集合的子集，故正确. 故选:D. 【考试题型3】集合间的运算（重点、高频考点） 角度1：与解方程结合进行集合运算 【例3】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 【例4】（2024年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）集合.，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念求解. 【详解】∵ ， ∴. 故选：C. 【例5】（2025届·山西省中等职业学校高三第四次对口升学模拟联考）已知全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交并补混合运算 【分析】首先求出集合A，再根据集合的补集以及交集求解即可. 【详解】由得，所以集合，则. 又，所以． 故选：C. 角度2：与不等式结合进行集合运算 【例6】（2023届·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常用数集或数集关系应用、交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念求解即可. 【详解】因为集合， 所以集合. 故选：D. 【例7】（2025届·山西省中等职业学校高三第三次对口升学模拟联考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先化简计算出集合和集合，再结合交集的定义及运算求解即可. 【详解】解不等式，解得：， 所以集合， 由得集合， 所以， 故选：A. 【例8】（2025届·山西省中等职业学校高三第二次对口升学模拟联考）设全集， 集合，，则集合可能是（   ）运算的结果． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】先化简集合A，再利用集合的混合运算，对每个选项进行分析，即可求解. 【详解】对于AC：因为，， 所以，故A错误； ，故C错误； 对于BD：因为集合，全集， 所以，又因为集合， 所以，故B正确； ，即，故D错误. 故选：B. 【例9】（2023届·山西省长子县职业技术学校高三模拟）全集为，若集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】解绝对值不等式，再利用集合运算的交集和补集运算进行求解即可. 【详解】, , 或， . 故选：C. （二）充分条件与必要条件 【考试题型4】充分条件与必要条件 【例10】（2025届·山西省中等职业学校高三第一次对口升学模拟联考）已知，实数，则是 的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】当时，可得，所以“”“ ”， 当时，可得或，所以“”“ ”， 综上，是的充分不必要条件， 故选：A. 【例11】（2025届·山西省中等职业学校高三第三次对口升学模拟联考）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据含绝对值不等式的解法和充分必要条件的概念即可求解. 【详解】由解得或，故充分性不成立； 若则，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 七、专题归纳小结 1．解题方法与易错点 （1）集合运算的解题关键步骤 （2）判定充要条件时，先明确“”和“”是否成立，可通过举反例排除错误选项 （3）常见易错点归纳 · 描述法中代表元素混淆如是函数值域，表示函数定义域 · 区间端点的取舍（如“”对应闭区间，“”对应开区间，补集运算时端点反向） · 子集问题注意“空集优先考虑”，避免忽略的特殊情况。 · 充要条件判定颠倒“充分”与“必要”（记住“推则充分”，“推则必要”） 2.复习建议 （1）牢记核心概念：重点掌握集合的运算规则和充要条件的判定逻辑，结合实例理解抽象概念。 （2）针对性刷题：聚焦山西省中职高考真题中的集合运算、充要条件题型，总结解题规律。 （3）错题复盘：重点分析遗漏空集、区间端点错误、充要条件判定颠倒等问题，强化记忆。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $