专题02 函数的概念与性质（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第2个专题，内容为函数的概念与性质。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题02函数的概念与性质 一、课标解读 1. 函数的概念与表示 （1）理解函数的概念；了解函数的三种表示方法 （2）掌握分段函数的含义 （3）能够利用分段函数解决一些简单的实际问题 2. 函数的性质 （1）理解函数的单调性和奇偶性的概念; （2）能判断一些简单函数的单调性和奇偶性; （3）能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象; （4）掌握一元二次函数的图象与性质. 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 3 函数的性质 4 （1）题型：集中在选择题填空题，近两年还出了解答题. （2）分值：4-18分. （3）内容：函数的性质、分段函数. 解答题 20 函数的概念和性质 10 2024 选择题 3 函数的性质 4 填空题 10 函数的性质 4 解答题 19 分段函数 10 2023 选择题 4 函数的性质 4 填空题 12 分段函数 4 2022 选择题 4 函数的性质 4 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试依然有2道题目考查函数的性质或者分段函数，题型为选择填空，加一道解答题，分值各4分，10分，共14分.2025年函数的性质单独一道解答题，且题型为新定义类型，未来题型可能会更趋向于灵活。具体考点可能涉及如下内容： · 函数的概念 · 函数的性质 · 分段函数 四、知识梳理 （一）函数的概念和表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． （二）分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. （三）函数的定义域 1．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0. (3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R. (5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}. (6)指数函数的定义域为R. (7)对数函数的定义域为(0，＋∞). （四）基本初等函数的值域 1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. 2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为. 3．y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}. 4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞). 5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. （五）函数的性质 1.函数的单调性 （1） 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减 图象 描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 （2）单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 3.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴对称 关于 原点对称 4.函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数. （6） 二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 零点. 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 上单调递减，在上单调递增 在 上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当 b＝0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 五、10分钟小测验 1．下列函数中，是偶函数的是（    ）. A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．函数是定义域为上的偶函数，当，函数为减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b 5．已知奇函数的定义域，且对于任意实数x都有成立，又，那么（　 　） A．3 B．2 C．0 D． 6．下列函数与是同一函数的是（  ）. A． B． C． D． 7．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 8．已知 是 R 上的奇函数，则 的值为（    ） A． B．2 C．4 D．0 9．二次函数的值域是（   ）. A． B． C． D． 10．已知分段函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案解析】 1.【答案】C 【分析】由偶函数的定义，逐个判断得到答案. 【详解】选项A，定义域为，定义域关于原点对称， 但是，该函数不是偶函数，选项A错误； 选项B，定义域为，定义域关于原点对称， 但是，该函数不是偶函数，选项B错误； 选项C，定义域为，定义域关于原点对称， ，该函数是偶函数，选项C正确； 选项D，定义域为，定义域关于原点对称， 但是，该函数不是偶函数，选项D错误； 故选：C. 2.【答案】D 【分析】由指数函数和一次函数的单调性求解即可. 【详解】函数在上为增函数， 所以最小值为； 又在上为增函数，值域为. 因为分段函数在上单调递增， 故，解得，即. 故选：D. 3.【答案】D 【分析】根据常见函数的单调性求解即可. 【详解】A:因为为减函数，所以为增函数； B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数； C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数； D:当时，为减函数，当时，为减函数，且， 所以在定义域上为减函数. 故选：D. 4.【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】因为函数是定义域为上的偶函数，所以. 因为当时，函数为减函数，且，则，即. 故选：B. 5.【答案】C 【分析】利用函数周期性以及奇偶性求解即可. 【详解】由的函数周期为3，则根据奇偶性有，. 故选：C. 6.【答案】B 【分析】根据同一函数的定义及判断，逐一分析即可. 【详解】定义域为，值域为； 对于选项A：定义域为，与的定义域不同， 所以不是同一函数，故A错误； 对于选项B：，定义域为，与定义域相同， 对应法则相同，值域也相同，所以为同一函数，故B正确； 对于选项C：，定义域为，与定义域相同， 但对应法则不同，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D：定义域为，与的定义域不同， 所以不是同一函数，故D错误. 故选：B. 7.【答案】D 【分析】根据分式函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义，则，即， 解得或. 即函数的定义域是. 故选：D. 8.【答案】A 【分析】根据奇函数满足得出的值，再代入求值即可. 【详解】已知 是 R 上的奇函数， 所以满足 ， 则，解得， 因此，函数为 ， 所以， 故选：A. 9.【答案】C 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】二次函数的图像为开口向下的抛物线， 对称轴为，当时， 当，函数取最大值为， 当时，函数值，当时，函数值， 因为， 所以值域为， 故选：. 10.【答案】B 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】分段函数， 则，所以， 故选：. 六、经典例题解析 （一）函数的性质 【考试题型1】函数的单调性和奇偶性 【例1】（2025·湖南对口升学高考）下列函数是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B​ 【分析】分别分析四个选项的单调性 【详解】是一次函数且k>0，所以在R上是增函数，其余选项均非增函数 【例2】（2024·湖南对口升学高考）函数的图像（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数， 奇函数图像关于原点对称. 故选：A. 【例3】（2024·湖南对口升学高考）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判断出函数为偶函数，再结合单调性由不等式得到，解绝对值不等式求自变量的取值范围即可. 【详解】由可知，函数为偶函数， 且函数在上单调递增，则在上单调递减， 则由可得：， 即，即， 故选：A． 【例4】（2023·湖南对口升学高考）已知奇函数在上是减函数，且，则在上的最小值为（    ） A．-3 B．-2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】由奇函数在上是减函数可知在上也是减函数，再利用单调性求最值即可. 【详解】因为是奇函数且在上是减函数， 所以在上也是减函数， 所以在上的最小值为， 又因为是奇函数，， 所以. 故选：B. 【例5】（2022·湖南对口升学高考）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性. 【详解】A、为偶函数，但在不具有单调性，不符合题意； B、令，，，不是偶函数，不符合题意； C、令，，函数为偶函数，函数图像开口向上，对称轴为，所以函数在为增函数； D、定义域为不具有奇偶性，不符合题意. 故选：C. （2） 分段函数和二次函数 【考试题型2】分段函数和二次函数 【例7】（2024·湖南对口升学高考）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【详解】（1）时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； （2）当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 【例8】（2023·湖南对口升学高考）已知函数若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数性质计算. 【详解】若时，，，不符合题意. 故时，，解得为或4 而此时，故a为. 故答案为：. 【例9】（2021·湖南对口升学高考）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示：    （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 【例10】（2020·湖南对口升学高考）已知函数. (1)若为偶函数，求不等式解集； (2)若在区间上的最大值为10，求b的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）函数的图像开口向上， 若为偶函数，则函数图像关于y轴对称，， 则有， 所以为偶函数时，不等式的解集为. （2）函数图像开口向上，对称轴为， 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致； 当时， 函数在上的最大值为或， 得或； 当时， 函数在上的最大值为， 与不一致. 综上所述，或. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 1. 定义域求解 核心规则：“函数表达式存在需有据” 教学口诀： “分式分母不为零，根式下方非负行；对数真数必为正，正切间断要记清” 2. 解析式求法 题型 方法 操作要点 换元法 设中间变量t=g(x) 换元后需改写定义域 待定系数法 设一般式代入条件解系数 已知函数类型时首选（如一次、二次） 3. 奇偶性“快判三招” 方法 操作 示例 特殊值验证 取 x=1 和x=−1 代入 f(x)=x3+x →f(−1)=−2=−f(1) → 奇函数 定义域对称性 若定义域不对称，则非奇非偶 定义域{0} → 非奇非偶 图象法 偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称 y=cosx 为偶函数 4.奇偶性与单调性综合 黄金规律： 奇函数在对称区间单调性相同 偶函数在对称区间单调性相反 5.二次函数在给定区间上的最值问题 这是高频考点，尤其需要注意定义域（区间）的限制。 解题步骤： 1.配方或将一般式化为顶点式，找到顶点和对称轴。 2.判断给定区间是否包含顶点横坐标。 3.画示意图辅助分析：若区间包含顶点横坐标，顶点纵坐标就是一个最值，另一个最值在区间端点处取得；若区间不包含顶点横坐标，最值都在端点处取得。 4.比较区间端点和顶点（若在区间内）的函数值，确定最大（小）值。 注意：开口方向（a的正负）直接影响是最大值还是最小值。 6.分段函数标准化解题流程 第一步：解析背景，确定定义域（一切的基础） 操作：精读题目，找出所有限制条件（如“不超过”、“超过”、“不足XX按XX算”），明确自变量（如路程x、用电量x、时间t）的实际取值范围。 技巧： 将关键数据和要求圈画出来。 定义域必须遵循实际意义：路程、时间、数量等通常为非负数。 第二步：识别分段点，建立模型（解题的核心） 操作：找出收费标准、政策规则发生变化的点（如3公里、200度、5000元），这些点就是分段点。以此为依据，分段列出函数关系式。 技巧： “超额累进”制：这是最常见的模式。总费用 = 第一部分费用 + 第二部分费用 + ... 。只有超过某个区间的部分，才按更高的单价计算。 分段点“不重不漏”：确保每个自变量值都能且只能被一个分段区间覆盖。 第三步：分段求解，比较结果（最终的求解） 操作：根据题目要求（求费用、求最值等），在对应的分段区间内进行计算。 技巧：求值问题：先判断自变量值所在的区间，再代入相应的解析式。 求最值问题：这是易错重点！ 必须：分别求出每一段在各自定义区间内的极值（如二次函数顶点），求出分段点处的函数值，比较以上所有结果，最大的为最大值，最小的为最小值。 【专题内容总结2】易错点 1. 易错场景 典型错误 避坑指南 定义域问题 多部分组成的解析式最后定义域求交集 牢记要求 分段函数漏分段点 求值时未验证左右区间 分段点必须独立验证 图象误判 含绝对值函数画图时错误 画图时先化简成分段函数 2. 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域对称 判断 奇偶性 未验证定义域对称 奇偶性判定第一步必查定义域对称性 单调区间端点错误 写成增区间 定义域中不包括0 严格按开闭区间规范书写 【专题内容总结3】备考策略 1.学生能力培养重点： 性质综合拆解训练：遇到复杂函数，按“定义域→奇偶性→单调性”顺序分析 图象辅助思维：每道题草图画性质特征（奇偶画对称轴，周期标重复段，单调标升降） 2.真题演练方向： 近三年高考题中判断函数奇偶性、单调性，函数的图像问题。二次函数、分段函数问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $