25-第三章 数的概念与性质 章末综合检测（三）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的定义域、奇偶性、单调性、分段函数及实际应用等核心内容，通过基础概念辨析、性质证明、图像变换与实际问题解决等题型串联知识点，构建“定义-性质-图像-应用”的完整知识网络。 其亮点在于以“数学眼光”分析现实问题（如空气质量指数模型），“数学思维”深化逻辑推理（如函数奇偶性证明），“数学语言”规范表达（如分段函数解析式书写）。设计分层练习，从选择填空到综合解答题逐步提升，搭配错题解析（如第6题选项修正），助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

章末综合检测（三） 1 （时间：120分钟,满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 解析：选A.对于函数，令解得 ， 所以函数的定义域为 . √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 2.已知函数，则 ( ) A. B.3 C.2 D. 解析：选B.因为函数，所以令 可得 . √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 3.已知函数 为奇函数，则( ) A. B., C.， D., 解析：选D.方法一：由题意得， ，即 ，整理得 ，即 对 恒成立，所以所以, . 方法二：由题意得，因为 为奇函数， 所以解得, . √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 4.已知函数图象如图所示，则 的图象是( ) A. B. C. D. 解析：选D.将的图象关于轴对称得到的图象，再将 的图 象向右平移1个单位长度得到 的图象，因此D符合. √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 5.“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 大于 200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天 时的空气质量 指数随时间变化的趋势由函数 描述,则该天 适宜开展户外活动的时长至多为( ) A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时 √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 解析：选C.由题知,当 小于等于200时,适宜开展户外活动, 即 . 因为 所以当 时, 只需 , 解得 ； 当时,只需 , 解得 . 综上，适宜开展户外活动的时间段为 ,共计7个小时. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 6.已知，，，则，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. 解析：选A.由函数在上单调递增，且 ，则 ，即.由函数在 上单调递增， 且，则，即，所以 . √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 7.已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若 ，则不等式 的解集为( ) A. ,, B.,, C. ,, D.,， √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 解析：选A.因为函数是定义在上的奇函数，所以 ， 则，则，所以.则当 时， ，当时， ，则 ，则当 时，不等式 等价于，解得，当时，不等式 等价于，解得，故不等式的解集为 ,, . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知函数与 的图象依次交于 ，，三点，且恒有，则 ( ) A.2 B.1 C. D. 解析：选B.函数的图象可由函数 的图象平移得到，则 的图象关于点 对称，因为 ，所以 的图象关于点对称，要使恒成立，则点为 图象 的对称中心，也为图象的对称中心，所以，即 .验证可知 符合题意. √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分.） 9.幂函数， ，则下列结论正确的是 ( ) A. B.函数 是偶函数 C. D.函数的值域为 √ √ √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 解析：选.因为是幂函数，且 ，所以 ，可得，则，A正确；又 的定义域为 ，关于原点对称， ，B正确；又 ，，C错误；由 ，可知D正确. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同 学家到公园的距离都是 .如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过 的路程（单位：）与时间（单位： ）的关系，下列结论正确的是 ( ) A.甲同学从家出发到乙同学家走了 B.甲同学从家到公园的时间是 C.当时，与的关系式为 D.当时，与 的关系式为 √ √ √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 解析：选.由题图可知，甲同学在公园休息的时间是 ，所以只走 了 ，故A错误；由题中图象可知，甲同学从家到公园的时间是 ，故B正确；当时，设，则 ，解得 ，故C正确；当时，设，直线过点 ， ，则解得故与的关系式为 ，故 D正确. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 11.已知函数 则以下结论正确的是( ) A.函数 为增函数 B.，， C.若在上恒成立，则 的最小值为8 D.若关于的方程 有三个不同的 实根，则 解析：选.当时， ， ； √ √ √ 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 当时， ， ;依次类 推，当， 时， .函数图象如图所 示. 对于A，， ，不符合增函数定义，A错误；对于 B，因为，,，所以对于 ， ，不等式 恒成立，B正确； 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 对于C，当时，；当时， ；当 时，；当时，,；当 时， , ， 因为，又因为，则当时，在 上 恒成立， 所以 的最小值为8，C正确； 对于D，由 得 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ，当时，则 ，方程无解，不 合题意；当时，则或 （舍去）. 所以的图象与直线有三个不同的交点.由 图象可知 , 解得 ，D正确. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在 题中横线上.） 12.若函数的定义域为，则 的定义域为_______. 解析：因为函数的定义域为，即 ，可得 ，所以的定义域为 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.已知定义域为的偶函数满足：对任意， ， 都有成立，则满足的 的取值范围是______. 解析：依题意，是偶函数，对任意, ，都有 成立，所以在上单调递增，则 在 上单调递减，所以由可得 ，解得 ，所以的取值范围是 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 14.对于函数，若存在，使，则称点 与点是函数 的一对“完美旋转点”.已知函数 若函数 的图象存在“完美旋转点”，则实数 的取值范围是__________. 解析：设，则，若函数 的图象存在“完美旋转点”，则 根据“完美旋转点”的定义知在 上有解，即 在 上有解，将上式整理得 ，当且仅当，即 时，等号成立. 所以实数的取值范围是 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）已知， . （1）求证：函数在区间 上是增函数；（6分） 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 证明：令 ， 则 . 又，，，即 ， 所以函数在区间 上是增函数. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 （2）求函数在区间 上的值域.（7分） 解：由（1）知函数在区间上是增函数，又 , ，所以函数在区间上的值域为, . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 16.（本小题满分15分）已知是定义在上的奇函数，且当 时， . （1）求函数在 上的解析式；（6分） 解：因为是定义在 上的奇函数， 所以， . 当时， ， 当时， ， 则 ， 即 . 综上所述， 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 （2）若在上有最大值，求实数 的取值范围.（9分） 解：由（1）得 其图象如图所示. 要使在上有最大值，即函数图象在区间 上有最高点，则 或，所以实数的取值范围为, . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 17.（本小题满分15分）已知函数的定义域为，对任意, 都有 ，且当时， . （1）求 ；（3分） 解：令， ， 则 ， 即 ， 由可知 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 （2）求证：函数在 上单调递增；（5分） 证明：令 ， 则 ， 即 . 若，则 ， 所以 . 所以， . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 ,， ， . 又 ， 所以 . 由,且 可知，所以 . 可得 ， 即 ， 所以函数在 上单调递增. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （3）若，，解关于的不等式 .（7分） 解：令，则，又 的 定义域为关于原点对称，所以 为偶函数，又 ， 当时，，由（2）知 在 上单调递增， 故，解得 ； 当时，，可得或 ，此时 成立，所以 符合不等式. 综上，原不等式的解为 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 18.（本小题满分17分）实行垃圾分类，关系生态环境.某企业新建了一座 垃圾回收利用工厂，于2025年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设 备，并立即投入生产使用.该设备使用后，预计每年的总收入为50万元.若 该设备使用年所需维修保养费的总和为 万元（2025年为第一 年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为 万元. （1）写出与 之间的函数关系式，并求出该设备从第几年开始全年盈利 （盈利总额为正值）；（7分） 解：依题意， ， 则，解得，而 ，则 ， ，所以该设备从第3年开始全年盈利. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利 额盈利总额 使用年数）； 解： ，当且仅 当，即 时等号成立，到2031年，年平均盈利总额达到最大值， 该设备可获利 （万元）； 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 试问以上哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.（10分） 解：，当 时， ，则到2034年，盈利总额达到最大值，该设备可获利 （万元）.由于两种方案企业获利总额相同，而方案①所用 时间较短，所以方案①比较合理. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 19.（本小题满分17分）若函数在时，函数值 的取值区 间恰为,，则称为的一个“ 倍倒域区间”. （1）已知函数，判断区间是否是函数的“ 倍倒域区间”， 并说明理由；（4分） 解：是，理由如下： 因为函数在定义域上为减函数，所以当时， ， 由题意可得，，所以区间是函数的“ 倍倒域区间”. 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 （2）定义在上的奇函数，当时， . ①求的解析式，并直接写出 的单调区间；（6分） 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 解：因为为定义在上的奇函数，所以当 时， ，，因为 ， 所以 ， 所以 当时，二次函数图象的对称轴为直线 ，开口向上，所以 在上单调递减，在 上单调递增； 当时，二次函数图象的对称轴为直线 ，开口向下，所以 在上单调递增，在 上单调递减. 综上，的单调递减区间是,；单调递增区间是 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 ②求在区间 内的“8倍倒域区间”.（7分） 解：设在内的“8倍倒域区间”为，则 ，因为 在上单调递减，所以 整理得 解得,，所以在内的“8倍倒域区间”为 . 章末综合检测（三） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 38 $