专题16 统计、概率、随机变量及其分布（上海专用）【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题16 统计、概率、随机变量及其分布 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 统计 1.分层抽样与方差：打破常规基础计算，开始考查公式变形，对知识的灵活运用要求提高 2.相关系数：强调对统计量意义的理解，而非单纯的复杂计算 3.独立性检验：需计算卡方值并判断相关性，注重逻辑推理与实际意义的结合 1.命题将不再局限于核心公式的直接套用，而是更侧重知识点的全面覆盖和灵活运用。 2.命题背景会更贴近社会热点，如公共卫生、农业生产、教育公平、经济数据等，强化知识的应用能力。 3.可能与其他板块轻度结合，如与函数结合分析随机变量的取值规律，或与数列结合处理有规律的概率递推问题。不过大概率不会过度复杂，核心仍围绕本板块知识展开。 概率 1.古典概型：侧重结合组合计数，考查对基本概率公式的应用，题目背景贴近日常场景 2.相互独立事件：核心考查独立事件概率公式的直接应用与变形，难度中等 3.条件概率与全概率公式：考查对复杂概率问题的拆解能力，需掌握分步概率的计算逻辑 随机变量及其分布 高频核心考点：离散型随机变量的均值。多结合分布列直接计算，有时会与概率计算结合出题 考点01 统计 1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A． 身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 【答案】C 【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确； 由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势， 所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误. 故选：C 3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为 ； 【答案】946 【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 故答案为：946. 考点02 概率 4．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 5．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ； 【答案】 【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝，故答案为：． 6．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 考点03 随机变量及其分布 7．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望 ． 【答案】 【详解】由题设有. 故答案为：. 8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 考点04 统计与概率综合 9．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 10．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 一、单选题 1．（2025·上海黄浦·三模）下列选项中，正确的是（   ） A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是 C．若事件、满足，且，则与相互独立 D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为8 【答案】C 【详解】对于A，数据1、3、5、7、9、11、13已经是从小打到排列的，因为， 所以数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为11，故A错误； 对于B，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为，故D错误. 故选：C. 2．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 【答案】C 【详解】开始时正四面体与桌面贴合的面为，进行一次操作后，正四面体与桌面贴合的面不可能再是，所以. 要得到操作2次后正四面体与桌面贴合的面是，那么第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，且第二次操作能回到. 第一次操作后正四面体与桌面贴合的面不是，有3种情况（正四面体共4个面，除去ABC面），从这3个面中的任意一个面进行第二次操作回到面的概率为, 根据分步乘法计数原理，，因为，所以，故①正确, 当时，操作次后正四面体与桌面贴合的面是，则操作次后正四面体与桌面贴合的面不是，且第次操作能回到, 操作次后正四面体与桌面贴合的面不是的概率为， 从不是的面进行一次操作回到面的概率为， 所以可得递推关系 将上式变形为, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, ,即， ，显然，故②正确. 故选：C 3．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 4．（2025·上海崇明·三模）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 二、填空题 5．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】 【详解】的期望为， 故， 故答案为： 6．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 【答案】 【详解】由独立事件性质， ， , 故答案为： 7．（2025·上海松江·二模）根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 【答案】 【详解】首先计算. 因为回归直线过样本中心点，把代入， 可得，解得. 故答案为：. 8．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 9．（2025·上海·三模）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 ． 2 7 8 3 1 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 【答案】 【详解】由题意可知共有个数据，且，则第百分位数为. 故答案为：. 10．（2025·上海崇明·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 【答案】 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 11．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 【答案】 【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个， 故该生的成绩为， 则这10名学生的成绩的平均数为， 方差为 故答案为： 12．（2025·上海青浦·三模）通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 【答案】 【详解】由题意曾老师当天迟到的概率即为, 将标准化为值， , 又， 所以， 所以曾老师当天迟到的概率约为， 故答案为： 13．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 【答案】 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 14．（2025·上海黄浦·三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【详解】小明的数学成绩 服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将 标准化为标准正态分布变量 ： 当 时，,当 时，, 因此，，其中 服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 15．（2025·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 16．（2025·上海黄浦·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为 【答案】 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种， “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”， 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种， 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种，则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 则已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为. 故答案为：. 17．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 三、解答题 18．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【详解】（1）由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2）可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 19．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，故概率为. （2）记事件为恰好抽选了1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生， 由条件概率可得. （3）因为共抽取了2名学生，所以男生人数与女生人数之差只能为偶数，分两种情况讨论： 当时， 男 女 高一 1 0 高二 0 1 或 男 女 高一 0 1 高二 1 0 所以； 当时， 男 女 高一 1 0 高二 1 0 或 男 女 高一 0 1 高二 0 1 所以， 所以的分布列为 0 2 . 20．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 21．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 22．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 23．（2025·上海·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得， 故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 24．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 【详解】（1）， 代入回归方程，得，解得. 当时,，即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟. （2）记事件“等待总时间恰为120分钟”，事件“选择的3个项目中至少包含1个互动类项目”， 因为全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种； 在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况有： ①一个互动类项目，一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况； ②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况. 由条件概率公式得. （3）设小王参加第二关获得的游园币数为随机变量，则所有可能取值为， 则 所以. 所以，当时，，不建议小王继续闯关； 当时，，小王可根据自己的情况随机选择； 当时，，建议小王继续闯关. 25．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： (1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数. (2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布； (3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分. 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由. 【详解】（1）由频率分步直方图中小矩形的面积和为1可得： ， 解得； 该校这次初赛的平均分数为. （2）初赛分数达到80及以上的同学为人，非优秀为28人， 由题意可得的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 （3）按照不同题目顺序分类讨论： 填空，选择，简答： 得零分的概率：， 得一分的概率：， 得两分的概率：， 得三分的概率：， 期望为分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同； 填空，简答，选择： 得零分的概率：， 得一分的概率：， 得两分的概率：， 得三分的概率：， 期望为分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同； 选择，填空，简答： 得零分的概率：， 得一分的概率：， 得两分的概率：， 得三分的概率：， 期望为分； 因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同； 所以， 小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序. 26．（2025·上海金山·三模）根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【详解】（1）由题意可得，， ， ， ， 所以，， 因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系， ，则， 所以，关于的经验回归方程为， 将代入经验回归方程为， 故估计年月该网点利润估计知为万元. （2）设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元， 则的可能取值有、、、， 则，， ，， 故， 设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、， ，，， 故 因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 统计、概率、随机变量及其分布 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 统计 1.分层抽样与方差：打破常规基础计算，开始考查公式变形，对知识的灵活运用要求提高 2.相关系数：强调对统计量意义的理解，而非单纯的复杂计算 3.独立性检验：需计算卡方值并判断相关性，注重逻辑推理与实际意义的结合 1.命题将不再局限于核心公式的直接套用，而是更侧重知识点的全面覆盖和灵活运用。 2.命题背景会更贴近社会热点，如公共卫生、农业生产、教育公平、经济数据等，强化知识的应用能力。 3.可能与其他板块轻度结合，如与函数结合分析随机变量的取值规律，或与数列结合处理有规律的概率递推问题。不过大概率不会过度复杂，核心仍围绕本板块知识展开。 概率 1.古典概型：侧重结合组合计数，考查对基本概率公式的应用，题目背景贴近日常场景 2.相互独立事件：核心考查独立事件概率公式的直接应用与变形，难度中等 3.条件概率与全概率公式：考查对复杂概率问题的拆解能力，需掌握分步概率的计算逻辑 随机变量及其分布 高频核心考点：离散型随机变量的均值。多结合分布列直接计算，有时会与概率计算结合出题 考点01 统计 1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（    ） A． 身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为 ； 考点02 概率 4．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 5．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ； 6．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 考点03 随机变量及其分布 7．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望 ． 8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 考点04 统计与概率综合 9．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 10．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 一、单选题 1．（2025·上海黄浦·三模）下列选项中，正确的是（   ） A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是 C．若事件、满足，且，则与相互独立 D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为8 2．（2025·上海徐汇·二模）在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（    ）    A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 3．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（     ） A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差 4．（2025·上海崇明·三模）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（2025·上海长宁·二模）已知随机变量的分布是，则其方差 ． 6．（2025·上海普陀·二模）已知事件与事件相互独立，若，则 . 7．（2025·上海松江·二模）根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 . 6 8 9 10 12 6 5 4 3 2 8．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则 . 9．（2025·上海·三模）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 ． 2 7 8 3 1 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 10．（2025·上海崇明·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 11．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 12．（2025·上海青浦·三模）通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 13．（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 14．（2025·上海黄浦·三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 15．（2025·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则 16．（2025·上海黄浦·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为 17．（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 三、解答题 18．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 19．（2025·上海闵行·二模）某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望． 20．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 21．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 22．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 23．（2025·上海·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6. (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言.设这3人中男生人数为，求的分布及期望值. 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 24．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 25．（2025·上海杨浦·二模）为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示： (1)计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数. (2)初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布； (3)为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分. 小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为： 题型 填空 选择 简答 答题正确概率 若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由. 26．（2025·上海金山·三模）根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， / 学科网（北京）股份有限公司 $