期末复习01：分数乘法（知识梳理+9个易错点练习+拔尖训练）六年级上册数学易错题型举一反三培优（人教版）

期末复习01：分数乘法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一、分数乘法的意义 1 知识点二、分数乘法的计算法则 1 知识点三、分数乘法解决问题 2 知识点四、计算通用注意事项 3 易错点练习 3 易错点一：分数乘整数 3 易错点二：分数乘分数 5 易错点三：分数乘小数 6 易错点四：求一个数的几分之几的问题 7 易错点五：因数和积的大小关系（分数乘法） 9 易错点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 10 易错点七：连续求一个数的几分之几是多少的问题 17 易错点八：已知总量及一部分分率，求另一部分量 19 易错点九：求比一个数多/少几分之几的数是多少 21 拔尖训练 23 知识梳理 知识点一、分数乘法的意义 （一）分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，是求几个相同加数的和的简便运算。这里的“相同加数”是指分数，“几个”是指整数，通过乘法运算简化多个相同分数连加的过程。 （二）一个数乘分数的意义 一个数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。这里的“一个数”可以是整数、分数、小数或带分数等；“几分之几”表示分率，即部分与整体的关系，运算结果是这个数的部分量。 知识点二、分数乘法的计算法则 （一）分数乘整数 1.基本法则：用分数的分子与整数相乘的积作新的分子，分母保持不变。 2.关键步骤：计算前若分子与整数、或分母与整数能约分（即存在公因数），可先约分，再用约分后的分子与整数相乘，分母用约分后的结果，以简化计算。 3.算理统一：整数可看作分母是1的分数，因此分数乘整数可统一为分数乘分数的法则（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）。 （二）分数乘分数 1.基本法则：用两个分数的分子相乘的积作新的分子，分母相乘的积作新的分母。 2.关键步骤：计算前需先约分，约分对象为分子与分母（包括第一个分数的分子与第二个分数的分母、第一个分数的分母与第二个分数的分子），通过交叉约分简化分子和分母，再进行乘法运算。 （三）小数乘分数 1.方法一：将小数化成分数，再按照分数乘分数的法则计算。此方法适用于所有小数与分数的乘法，尤其当分数不能化成有限小数时。 2.方法二：将分数化成小数，再按照小数乘法的法则计算。此方法仅适用于分数能化成有限小数的情况。 3.特殊技巧：若小数与分数的分母存在公因数，可先将小数与分母约分，再用约分后的小数与分子相乘，分母用约分后的结果。 （四）带分数乘分数 1.前置步骤：先将带分数化成假分数（方法：带分数的整数部分乘分母加分子的和作新分子，分母不变）。 2.后续计算：按照分数乘分数的法则进行计算（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分）。 知识点三、分数乘法解决问题 （一）求一个数的几分之几是多少 1.关键前提：已知单位“1”的量（即整体量），求其部分量。 2.找单位“1”的方法：通常“的”字前面的量是单位“1”，或“是、占、相当于”后面的量是单位“1”。 3.数量关系：单位“1”的量 × 对应分率 = 所求部分量。 （二）连续求一个数的几分之几是多少 1.特点：存在多个分率，且每个分率对应不同的单位“1”（前一个分率的结果是后一个分率的单位“1”）。 2.关键步骤： 依次确定每个分率对应的单位“1”； 用第一个单位“1”的量乘第一个分率，得到中间量（第二个分率的单位“1”）； 再用中间量乘第二个分率，得到最终所求量（可列连乘算式一次性计算）。 （三）稍复杂的求一个数的几分之几是多少（含“比一个数多/少几分之几”） 1.特点：分率表示“多/少的部分占单位‘1’的几分之几”，所求量是单位“1”的量与多/少的部分的和/差。 2.关键步骤： 确定单位“1”的量（通常为“比”字后面的量）； 求所求量占单位“1”的分率：若“多几分之几”，分率为“1 + 几分之几”；若“少几分之几”，分率为“1 - 几分之几”； 数量关系：单位“1”的量 × 所求量对应的分率 = 所求量。 知识点四、计算通用注意事项 1.结果要求：计算结果必须是最简分数（分子和分母只有公因数1），假分数可根据需要化成带分数或保留假分数。 2.约分时机：优先在计算前进行约分（交叉约分），避免分子、分母过大导致计算繁琐；若未提前约分，计算后需对结果进行约分，直至最简。 3.算理统一：分数乘整数、小数乘分数、带分数乘分数均可转化为分数乘分数的形式（整数看作分母是1的分数，小数化成分数，带分数化成假分数），体现分数乘法法则的一致性。 易错点练习 易错点一：分数乘整数 例题：中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求制作棱长为m的正方体框架需要木条的长度，就是求正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，即可求解。 【详解】（m） 制作这个框架需要木条m。 【变式训练1】一根木头锯成2段需要分钟，照这样的速度，要把这根木头锯成4段，需要( )分钟。 【答案】 【分析】把一根木头锯成2段，需要锯1次，则锯成的段数比锯的次数多1，锯一次需要分钟，要把这根木头锯成4段，就需要锯4－1＝3（次），根据“总时间＝次数×每次需要的时间”计算即可求解。 【详解】×（4－1） ＝×3 ＝（分钟） 所以要把这根木头锯成4段，需要分钟。 【变式训练2】时＝( )分   升＝( )毫升    小时＝( )分 【答案】 40 400 276 【分析】根据进率：1时＝60分，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）×60＝40（分），所以时＝40分； （2）×1000＝400（毫升），所以升＝400毫升； （3）×60＝276（分），所以小时＝276分。 【变式训练3】如图，小明在人工智能课上设计的程序如图，输入，输出（    ）。 A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】分子比分母小的分数叫作真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫作假分数，则是假分数，输入，计算出＋×2的结果即可。 【详解】分析可知，是假分数。 ＋×2 ＝＋ ＝3 所以，输入，输出3。 故答案为：B 易错点二：分数乘分数 例题：12m2的红纸，第一次剪纸时先用去它的，第二次又用去m2，现在还剩( )m2红纸。 【答案】 【分析】根据题意，把这张红纸的面积看作单位“1”。第一次剪纸时先用去它的，则还剩这张纸的（1－）。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用红纸的面积乘剩下纸张占红纸面积的分率即可求出剩下红纸的面积，再减去第二次用去的面积即是所求。 【详解】12×（1－）－ ＝12×－ ＝3－ ＝（m2） 所以，现在还剩m2红纸。 【变式训练1】直接写得数。                                                              【答案】；；；4 1；；； 【详解】略 【变式训练2】口算。                                   【答案】；；3.9；8；； ；；；； 【详解】略 【变式训练3】直接写出得数。                                                【答案】；；15； ；；； 【详解】略 易错点三：分数乘小数 例题：直接写出得数。                                                                       【答案】；；；0； 0.8；；0.5； 【详解】略 【变式训练1】直接写出得数。 ×＝          ×3.3＝         ×＝           ＋×＝ 1.2×＝          ×＝         ×0.875＝          －×＝ 【答案】；；；； ；；； 【详解】略 【变式训练2】直接写出得数。                                                                                 【答案】5；2.4；；0.28； 20；；； 【详解】略 【变式训练3】细心口算。                                                                                   【答案】；；； ；；； 【解析】略 易错点四：求一个数的几分之几的问题 例题：妈妈用酸梅原汁加水调制了600毫升的酸梅汤。当酸梅原汁是水的时，酸梅汤的口感最佳，当酸梅汤的口感最佳时，酸梅原汁和水各有多少毫升？ 【答案】酸梅原汁180毫升，水420毫升 【分析】当酸梅原汁是水的时，酸梅汤口感最佳，此时可将酸梅原汁的体积看作3份，水的体积看作7份，酸梅汤的总体积就是3＋7＝10（份）。如果把酸梅汤的总体积看作单位“1”，则酸梅原汁占酸梅汤的，水占酸梅汤的，已知酸梅汤总体积为600毫升，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，即可分别求出酸梅原汁和水的体积。 【详解】600×＝600×＝180（毫升） 600×＝600×＝420（毫升） 答：酸梅原汁有180毫升，水有420毫升。 【变式训练1】李师傅9月份计划做零件1200个，实际上半月完成了计划的，下半月完成了计划的，实际比计划多做多少个零件？ 【答案】270个 【分析】分析题目，把计划的零件个数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法分别计算上半月和下半月实际完成的数量，再把上半月和下半月实际完成的数量相加即可得到实际完成的数量，最后减去计划完成的数量即可。 【详解】1200×＋1200×－1200 ＝750＋720－1200 ＝1470－1200 ＝270（个） 答：实际比计划多做270个零件。 【变式训练2】兰州百合具有润肺止咳、清火降燥、美容养颜、提高免疫力的功效。张叔叔买了千克兰州百合，刘叔叔买的兰州百合质量是张叔叔的，刘叔叔买了多少千克兰州百合？ 【答案】2千克 【分析】把张叔叔买的兰州百合的质量看作单位“1”，已知张叔叔买了千克兰州百合，刘叔叔买的质量是张叔叔的，求刘叔叔买的千克数。根据分数乘法的意义，用张叔叔买的质量乘即可。 【详解】×＝2（千克） 答：刘叔叔买了2千克兰州百合。 【变式训练3】河南闻名禽业肉禽养殖专业合作社位于历史名城——河南省南阳市，从1968年创办至今是一家专业孵化鸡和鸭的养殖场，几十年来数次到外省考察其他孵化场的孵化情况，取得了很多先进的经验。一般鸭的孵化期是28天，鸡的孵化期比鸭短，请问鸡的孵化期比鸭短多少天？ 【答案】7天 【分析】由于鸡的孵化期比鸭短，那么可知鸡的孵化期比鸭短的天数是鸭的，单位“1”是鸭的孵化天数，单位“1”已知，用乘法即可，用28×即可求解。 【详解】（天） 答：鸡的孵化期比鸭短7天。 易错点五：因数和积的大小关系（分数乘法） 例题：在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ 【分析】一个数（不为0）乘一个小于1的数，积小于本身；一个数加上一个大于0的数，和大于本身。据此解答。 【详解】因为＜1，所以＜ 因为＞0，所以＞ 【变式训练1】若（A、B、C均不等于0），则A、B、C的大小关系是( )＞( )＞( )。 【答案】 A C B 【分析】两个非0的因数相乘的积相等，一个因数越大，另一个因数越小。根据同分母分数比较大小的方法：分母相同的分数，分子大的就大，比较、、的大小，即可判断A、B、C的大小关系，据此解答。 【详解】因为，，，，6＜15＜26，即，所以，所以A、B、C 的大小关系是。 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )4    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＜ ＝ 【分析】和4，因为＜1，根据积的变化规律，一个数（0除外）乘小于1的数，积比原数小。 和，因为＞1，根据积的变化规律，一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大。 和，根据乘法交换律对变形：，所以。 【详解】＜1，一个数（0除外）乘小于1的数，积比原数小。 ＜4 ＞1，一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大。 ＜ 【变式训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＝ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小；乘的数越大积越大；不能直接分析出大小关系的，计算出结果再比较。 【详解】＞1，＞    ＜1，＞ ＝1、＝1，＝    4＜，＜ 易错点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 例题：用你喜欢的方法计算。                                                          28×0.75＋12× 【答案】；；； ；；30 【分析】（1）先计算分数乘法，再计算分数加法； （2）先计算分数乘法，再计算分数减法； （3）按照从左往右的顺序约分计算； （4）逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c简便计算； （5）利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c简便计算； （6）先把小数化为最简分数，再逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c简便计算。 【详解】（1） ＝ ＝ （2） ＝ ＝ （3） ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ （6）28×0.75＋12× ＝28×＋12× ＝（28＋12）× ＝40× ＝30 【变式训练1】计算下面各题，能简算的要简算。                                             【答案】；； 22；；42 【分析】（1）根据乘法交换律a×b＝b×a把变成进行简算； （2）先把99拆成98＋1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算； （3）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算； （4）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算； （5）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成进行简算； （6）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【变式训练2】下面各题怎样算简便就怎样算。                                                【答案】10；； ；； 【分析】（1）根据乘法分配律（a－b）×c＝a×c－b×c，将12分别与括号里的两个分数相乘，再相减； （2）（3）分数连乘，先约分再计算； （4）同分母分数相加，分母不变，分子相加； （5）将0.75化为分数，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c，先计算，再将结果与相乘； （6）根据乘法分配律a×c－b×c＝（a－b）×c，先计算，再将结果与相乘。 【详解】 ＝ ＝18－8 ＝10 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式训练3】计算下面各题，能简算的要简算。                                      【答案】；0.5； ；44； 55； 【分析】第一题，使用乘法交换律，将第二个和第三个因数互换位置，按照从左往右的计算顺序，即可简算。 第二题，使用乘法分配律，先算的乘积，再用第一个结果加上第二个结果再减去第三个结果，即可简算。 第三题，利用乘法分配律，先算的和，再用结果乘，即可简算。 第四题，利用乘法分配律，先算的乘积，再用结果相减，即可简算。 第五题，将变为，利用乘法分配律，先算100－1的差，再用结果乘，即可简算。 第六题，将57变为58－1，利用乘法分配律，先算的乘积，再用结果相减，即可简算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1.6＋0.9－2 ＝2.5－2 ＝0.5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝54－10 ＝44 ＝ ＝ ＝ ＝55 ＝ ＝ ＝ ＝ 易错点七：连续求一个数的几分之几是多少的问题 例题：环保小组通过调查，了解到某小区一周产生2000千克的垃圾，其中厨余垃圾占，其他垃圾占厨余垃圾的。这个小区一周产生的其他垃圾有多少千克？ 【答案】 625千克 【分析】解题时需明确单位“1”的转换：首先把小区一周产生的总垃圾量（2000千克）看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，求出厨余垃圾的重量；再把厨余垃圾的质量看作单位“1”，同样用乘法求出求出其他垃圾的重量。 【详解】 （千克） 答：这个小区一周产生的其他垃圾有625千克。 【变式训练1】实验小学为了提高学生的环保意识，开展了环保节活动。小辰做了一张环保宣传手抄报，手抄报的面积是360平方厘米，她用手抄报面积的介绍“节约资源”的重要性，“减少污染”所占的面积是“节约资源”所占的面积的，“减少污染”所占的面积是多少？ 【答案】126平方厘米 【分析】先把手抄报的面积看作单位“1”，“节约资源”所占的面积占手抄报面积的，单位“1”已知，用手抄报的面积乘，求出“节约资源”所占的面积； 已知“减少污染”所占的面积是“节约资源”的，把“节约资源”所占的面积看作单位“1”，单位“1”已知，用“节约资源”所占的面积乘，求出“减少污染”所占的面积。 【详解】360×× ＝210× ＝126（平方厘米） 答：“减少污染”所占的面积是126平方厘米。 【变式训练2】六年级参加羽毛球队的有36人，参加篮球队的人数是羽毛球队的，参加排球队的人数是篮球队人数的。参加排球队的人数有多少人？ 【答案】40人 【分析】分析题目，先把羽毛球队的人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出篮球队的人数；再把篮球队的人数看作单位“1”，用篮球队的人数乘即可得到排球队的人数。 【详解】36×× ＝30× ＝40（人） 答：参加排球队的人数有40人。 【变式训练3】今年同学们共植树100棵，其中六年级植树的棵数是总数的，五年级植树的棵数是六年级的，五年级植树多少棵？ 【答案】 35棵 【分析】首先根据求一个的几分之几是多少，用乘法来确定六年级的植树数量，即总数×，再用六年级的数量乘得到五年级的数量。 【详解】五年级植树数量： 答：五年级植树35棵。 易错点八：已知总量及一部分分率，求另一部分量 例题：阅读课上，小新翻阅《西游记》，并了解了西游记是中国“四大名著”之一，成书于16世纪明朝中叶。这本书共220页，他上次读了这本书的，这次又读了这本书的，还剩几页没有读？ 【答案】77页 【分析】分析题目，把这本书的总页数看作单位“1”，则还剩下这本书的（1－－）没有读，根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式计算即可。 【详解】220×（1－－） ＝220×（－） ＝220× ＝77（页） 答：还剩77页没有读。 【变式训练1】电影《哪吒2》上映16天票房突破100亿，21天登顶全球动画电影票房榜。周末，笑笑一家想去看《哪吒2》，在购票APP中发现影厅里324个座位已经被预订了，还剩多少个座位可供笑笑一家选择？ 【答案】36个 【分析】把影厅的总座位数看作单位“1”，已知总座位数324个，已预订了，则还剩下的座位数占总座位数的（1－），单位“1”已知，用总座位数乘（1－），求出还剩下的座位数。 【详解】324×（1－） ＝324× ＝36（个） 答：还剩36个座位可供笑笑一家选择。 【变式训练2】已知A、B、C三个工厂在一条直线上，且B工厂在A工厂与C工厂之间，A工厂到B工厂的距离是A工厂到C工厂距离的。如果货车以64千米/时的速度从A工厂行驶到C工厂，需要耗时5小时。若客车从B工厂到C工厂的行驶速度为80千米/时，那么客车从B工厂行驶到C工厂需要花多少时间？ 【答案】3小时 【分析】由题意可知，A工厂到B工厂的距离是A工厂到C工厂距离的，所以B工厂到C工厂的距离是A工厂到C工厂距离的（1－），用货车的速度乘从A工厂行驶到C工厂需要的时间，求出A工厂到C工厂的距离，然后再乘（1－），求出B工厂到C工厂的距离，最后除以客车的速度，即可求出客车从B工厂行驶到C工厂需要花多少时间。 【详解】64×5×（1－）÷80 ＝320×÷80 ＝240÷80 ＝3（小时） 答：客车从B工厂行驶到C工厂需要花3小时。 【变式训练3】青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，西宁至拉萨的铁路全长1956千米。一列火车从西宁开出，已经行了全程的，距离拉萨还有多少千米？ 【答案】326千米 【分析】把全程看作单位“1”，已知已经行了全程的，剩余的路程占全程的（1－），根据分数乘法的意义，用全程乘（1－）即可求出剩余的路程。 【详解】1956×（1－） ＝1956× ＝326（千米） 答：距离拉萨还有326千米。 易错点九：求比一个数多/少几分之几的数是多少 例题：根据推算，地球上重1千克的物体在月球上只有千克重。明明的体重是48.6千克，如果到月球上，他的体重比在地球上轻多少千克？ 【答案】40.5千克 【分析】根据题意，“地球上重1千克的物体在月球上只有千克重”，所以地球上48.6千克在月球上重48.6×＝8.1千克，再用明明在地球上的体重－明明在月球上的体重，即可解答。 【详解】48.6－48.6× ＝48.6－8.1 ＝40.5（千克） 答：他的体重比在地球上轻40.5千克。 【变式训练1】在九三阅兵中，空中梯队的数量比装备方队少。已知装备方队有22个，那么空中梯队有多少个？ 【答案】8个 【分析】已知装备方队有22个，空中梯队的数量比装备方队少，把装备方队的数量看作单位“1”，则空中梯队数量是装备方队的（）。根据分数乘法的意义，用装备方队数量乘对应分率即可求解。 【详解】 （个） 答：空中梯队有8个。 【变式训练2】书香浸润心灵，阅读点亮人生。小希和小珍参加了文学社团，本周阅读《小王子》一书。小希比小珍多读了36页，小珍读的页数是小希的，小希和小珍分别读了多少页？ 【答案】84页；48页 【分析】根据题意，小珍读的页数是小希的，且小希比小珍多读36页。设小希读的页数为x页，则小珍读的页数为x页，两者的差对应36页，由此可列方程求解。 【详解】设小希读的页数为页，则小珍读的页数为页。 （页） 答：小希读了84页，小珍读了48页。 【变式训练3】美术社团的同学们去采风，他们参观了红色纪念馆后，重走了一段长征路，重走长征路的时间为小时，参观纪念馆的时间比重走长征路的时间少，同学们参观纪念馆多长时间？ 【答案】小时 【分析】已知重走长征路的时间为小时，参观纪念馆的时间比它少，即参观时间是重走时间的。根据分数乘法的意义，用小时乘即可求出参观时间。 【详解】 （小时） 答：同学们参观纪念馆小时。 拔尖训练 1．a是一个非0自然数，下面算式中得数最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个数加上大于0的数，和大于这个数。一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。据此解答。 【详解】A．因为＞0，所以a＋＞a； B．因为＞1，所以a×＞a； C．因为＜1，所以a×＜a； D．因为＞0，所以a＋＞a。 所以得数最小的是a×。 故答案为：C 2．一件商品先提价，后又降价，现价和原价相比（    ）。 A．多了 B．少了 C．一样多 D．无法比较 【答案】B 【分析】假设商品原价为16元。 先提价，把商品原价看作单位“1”，即提价后价格是原价的1＋＝，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出提价后价格为16×＝20元； 又降价，把提价后的价格看作单位“1”，即现价是提价后价格的1－＝，同理，用提价后的价格乘即可求出现价； 最后将现价与原价作比较即可。 【详解】假设商品原价为16元。 16×（1＋） ＝16× ＝20（元） 20×（1－） ＝20× ＝15（元） 15＜16，即现价和原价比，少了。 故答案为：B 3．张老师买了60个乒乓球，买的羽毛球的个数比乒乓球的多7个，张老师买了（    ）个羽毛球。 A．57 B．53 C．50 D．43 【答案】A 【分析】把乒乓球的个数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法。用60乘再加上多的7个就是羽毛球的个数。 【详解】60×＋7 ＝50＋7 ＝57（个） 所以，张老师买了57个羽毛球。 故答案为：A 4．甲、乙、丙三人比赛跳绳，甲跳的个数是乙的，丙跳的个数比乙少。甲、乙、丙三人中，（    ）跳的个数最多。 A．无法确定 B．甲 C．乙 D．丙 【答案】B 【分析】由题意可知，将乙跳的个数看作单位“1”，则甲跳的个数是份，丙跳的个数是1－份，比较甲乙丙三人跳的份数，就得到跳的个数最多的是甲。 【详解】将乙跳的个数看作单位1 甲： 丙：1－ 甲跳的个数最多 故答案为：B 5．一瓶橙汁，小明第一次喝了它的，加满水后，又喝了它然后又加满水，第三次一饮而尽。那么小明所喝（    ）。 A．水多 B．橙汁多 C．一样 D．无法确定 【答案】C 【分析】整个过程只加了水，橙汁总量不变，所以橙汁是喝了1瓶。 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。第一次喝一瓶的，即喝了：1×＝（瓶），则加的水是：1－＝（瓶）； 第二次又喝了一瓶的，即喝了：1×＝（瓶），则加的水是：1－＝（瓶）； 第三次全部喝完，此时喝的水将两次加的水求和即可。 最后将喝的水和橙汁进行比较即可。 【详解】整个过程只加了水，橙汁总量不变，所以橙汁是喝了1瓶； 第一次加水： 1－1× ＝1－ ＝（瓶） 第二次加水： 1－1× ＝1－ ＝（瓶） 共喝水：＋＝1（瓶） 1＝1，所以喝的橙汁和水一样多，都是1瓶。 故答案为：C 【点睛】本题关键点在于明确加水量：喝多少加多少。与是否和橙汁混合无关。 6．妈妈买3千克毛线，给爸爸织一件毛衣用去了，给壮壮织一件背心用去了千克，还剩( )千克。 【答案】 【分析】把毛线的总质量看作单位“1”，给爸爸织一件毛衣用去了，给爸爸织一件毛衣用去毛线的质量＝毛线的总质量×，剩下毛线的质量＝毛线的总质量－给爸爸织一件毛衣用去毛线的质量－给壮壮织一件背心用去毛线的质量，据此解答。 【详解】3－3×－ ＝3－1－ ＝2－ ＝（千克） 所以，还剩千克。 7．中秋节自古便有赏月吃月饼等习俗。昌盛月饼店在中秋节来临之际做了80盒月饼，卖出了，还剩( )盒。 【答案】32 【分析】将月饼的总盒数看作单位“1”，卖出了，则剩余的分率为；求一个数的几分之几是多少的问题可以用乘法解决，用月饼总盒数80盒乘剩余分率，即可求出还剩余几盒。 【详解】 （盒） 即月饼还剩32盒。 8．一个普通成年人共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头块数的，手指骨的块数又占手骨头块数的。手指骨共有( )块。 【答案】28 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 一个普通的成年人共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头块数的，根据分数乘法的意义可知，手骨有206×＝54（块），手指骨的块数又占手骨块数的，则手指骨有54×＝28（块）。 【详解】206×× ＝54× ＝28（块） 手指骨共有28块。 9．乐乐买了一瓶1.2L的果汁，他第一次喝了，还剩下( )L，第二次喝了剩下的，第二次喝了( )L。 【答案】 0.95/ 0.19/ 【分析】①将换算为小数，用果汁的总量1.2L减去第一次喝的量，即可求出还剩的升数； ②第二次喝了剩下的， 求一个数的几分之几是多少，可以用乘法解决，用剩余的升数乘第二次喝的占比即可求出第二次喝的量是多少。 【详解】①＝0.25L，1.2－0.25＝0.95（L），即他第一次喝了，还剩下0.95L； ②（L），即第二次喝了剩下的，第二次喝了0.19L。 10．《九章算术》约成书于东汉之初，共收有246个数学问题。杨老师利用暑假研究了其中的，还剩下( )，还剩下( )个数学问题没有研究。 【答案】 205 【分析】把《九章算术》中数学问题的总数量看作单位“1”，杨老师利用暑假研究了其中的，则还剩下（1－），剩下数学问题的数量＝总数量×（1－），据此解答。 【详解】1－＝ 246×＝205（个） 所以，还剩下，还剩下205个数学问题没有研究。 11．把2米长的木条平均分，截了3次，每段占全长的( )，每段长( )米。 【答案】 【分析】①将整个木条的长度看作单位“1”，用单位“1”除以截成的段数，即可求出每段占全长的几分之几； ②求一个数的几分之几的问题，可以用乘法解决，用木条的总长2米乘每段占全长的几分之几，即可求出每段的长度。 【详解】①1÷（3＋1） ＝1÷4 ＝ 即截了3次，每段占全长的。 ②（米），即截了3次每段长米。 12．一本书共240页，王明第一天读了全书的，第二天应从第( )页读起。 【答案】31 【分析】将这本书的页数看作单位“1”，这本书的页数×第一天读的对应分率＝第一天读的页数，第一天读的页数＋1＝第二天读起的页数。 【详解】240×＋1 ＝30＋1 ＝31（页） 第二天应从第31页读起。 13．挖一条水渠，张伯每天挖水渠的，李叔挖完这条水渠要30天。两人合作，8天可以挖这条水渠的( )。 【答案】 【分析】根据题意，把这条水渠的总长看作单位“1”，那么李叔每天挖这条水渠的：1÷30＝，两人合作，一天可以完成这条水渠的，再乘8即可得8天可以挖这条水渠的几分之几。 【详解】1÷30＝ 挖一条水渠，张伯每天挖水渠的，李叔挖完这条水渠要30天。两人合作，8天可以挖这条水渠的。 14．直接写得数。                                                                【答案】21；；0；8； ；；； 【解析】略 15．计算下列各题，能简算的要简算。                                                                                    【答案】；10； ；；16 【分析】，利用乘法交换律进行计算。 ，把第二个看作（×1），然后利用乘法分配律逆运算进行计算。 ，把小数转化为分数，然后利用乘法分配律逆运算进行计算。 ，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的减法。 ，把97拆分成（96＋1），然后利用乘法分配律进行计算。 ，利用乘法分配律进行计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝10 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝18－16＋14 ＝2＋14 ＝16 16．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，3小时后相遇。已知甲车的速度是乙车的，甲车的速度是多少？（用方程解答） 【答案】60千米/时 【分析】根据甲车的速度是乙车的，设乙车的速度为千米/时，则甲车的速度为（）千米/时。再依据“速度和相遇时间＝总路程”这个等量关系式出列方程：（＋）3＝450，解方程求出乙车的速度后，再把的值代入中即可求出甲车的速度。 【详解】解：设乙车的速度为千米/时，则甲车的速度为（）千米/时 答：甲车的速度是60千米/时。 17．为庆祝中华人民共和国成立75周年，激发同学们的爱国热情，提高同学们的艺术素养，学校决定举办国庆75周年绘画比赛，绘画作品形式不限，可以是水彩、油画、国画等。已知六年级参赛作品中有24幅水彩，油画的幅数比水彩多，六年级参赛的油画作品有多少幅？ 【答案】30幅 【分析】求比一个数多几分之几是多少的问题，可以用乘法解决，将水彩的幅数看作单位“1”，用水彩的幅数24幅乘油画对应的分率即可求出油画的作品幅数。 【详解】 （幅） 答：六年级参赛的油画作品有30幅。 18．电鳗是一种以短暂、强力放电而闻名的淡水鱼类，它可以随意控制放电时间和强度，每秒钟能放电50次左右，被称为水中的“高压线”和移动的发电站。据研究，一条普通成年电鳗释放出的电压平均值约为340伏左右，我国居民用电电压只相当于是一条普通成年电鳗释放电压的，我国居民用电电压是多少伏？ 【答案】220伏 【分析】已知“一条普通成年电鳗释放出的电压平均值约为340伏左右，我国居民用电电压只相当于是一条普通成年电鳗秚放电压的”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，可求出我国居民用电电压。 【详解】340×＝220（伏） 答：我国居民用电电压是220伏。 19．蝙蝠利用自己发出的超声波来确定与猎物的距离。一只蝙蝠发出超声波秒后接收到反射回来的超声波。已知超声波的传播速度是340m/秒。蝙蝠与猎物间的距离是多少米？ 【答案】 272米 【分析】据题意得：一只蝙蝠发出超声波到接收到返回的超声波，此时超声波传播的长度是蝙蝠与猎物距离的2倍。运用分数乘法计算出从发出超声波到接收返回的距离，再除以2可得出答案。 【详解】 （米） 答：蝙蝠与猎物间的距离是272米。 20．甘肃省定西市马铃薯种植历史悠久，产量充足。某校组织一批学生去马铃薯雾培大棚进行实践学习，其中观察雾培种植技术的学生有48人，参与移栽与维护工作的学生人数比观察雾培种植技术的少，参与移栽与维护工作的学生有多少人？ 【答案】30人 【分析】求比一个数少几分之几是多少，单位“1”已知，用乘法，一个数×（1－几分之几）。参与移栽与维护工作的学生人数比观察雾培种植技术的少，单位“1”为观察雾培种植技术的学生人数，参与移栽与维护工作的学生人数＝观察雾培种植技术的学生人数×（1－），代入计算即可。 【详解】 ＝ ＝30（人） 答：参与移栽与维护工作的学生有30人。 21．一满杯水中溶有10克糖，搅匀后喝去；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去；添入6克糖，加满水搅匀，又喝去；再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去，那么此时杯中所剩的糖水中有多少克糖？ 【答案】克 【分析】每次操作后剩余的糖量需分阶段分析：原有的糖经多次喝去后剩余，每次新加入的糖也因喝去而剩余相应部分，最后将各部分剩余量相加。据此解答。 【详解】设一满杯水为1，喝去后，剩下：1－＝ 则：第1次喝去后糖的质量为： 10×＝ 第2次喝去后糖的质量为： （10×＋6）× ＝（＋6）× ＝× ＝ 第3次喝去后糖的质量为： （＋6）× ＝× ＝ 第4次喝去后糖的质量为： （＋6）× ＝× ＝ 答：那么此时杯中所剩的糖水有克糖。 【点睛】本题属于复杂的分数应用题，解答此题的关键应根据题意，进行分步计算，计算的方法是判断出单位“1”，根据一个数乘分数的意义递推解答；明确每一次剩下的糖水的糖的质量＝（前一次剩下的＋6）×（1－）。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01：分数乘法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一、分数乘法的意义 1 知识点二、分数乘法的计算法则 1 知识点三、分数乘法解决问题 2 知识点四、计算通用注意事项 3 易错点练习 3 易错点一：分数乘整数 3 易错点二：分数乘分数 5 易错点三：分数乘小数 6 易错点四：求一个数的几分之几的问题 7 易错点五：因数和积的大小关系（分数乘法） 9 易错点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 10 易错点七：连续求一个数的几分之几是多少的问题 17 易错点八：已知总量及一部分分率，求另一部分量 19 易错点九：求比一个数多/少几分之几的数是多少 21 拔尖训练 23 知识梳理 知识点一、分数乘法的意义 （一）分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，是求几个相同加数的和的简便运算。这里的“相同加数”是指分数，“几个”是指整数，通过乘法运算简化多个相同分数连加的过程。 （二）一个数乘分数的意义 一个数乘分数的意义是求这个数的几分之几是多少。这里的“一个数”可以是整数、分数、小数或带分数等；“几分之几”表示分率，即部分与整体的关系，运算结果是这个数的部分量。 知识点二、分数乘法的计算法则 （一）分数乘整数 1.基本法则：用分数的分子与整数相乘的积作新的分子，分母保持不变。 2.关键步骤：计算前若分子与整数、或分母与整数能约分（即存在公因数），可先约分，再用约分后的分子与整数相乘，分母用约分后的结果，以简化计算。 3.算理统一：整数可看作分母是1的分数，因此分数乘整数可统一为分数乘分数的法则（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母）。 （二）分数乘分数 1.基本法则：用两个分数的分子相乘的积作新的分子，分母相乘的积作新的分母。 2.关键步骤：计算前需先约分，约分对象为分子与分母（包括第一个分数的分子与第二个分数的分母、第一个分数的分母与第二个分数的分子），通过交叉约分简化分子和分母，再进行乘法运算。 （三）小数乘分数 1.方法一：将小数化成分数，再按照分数乘分数的法则计算。此方法适用于所有小数与分数的乘法，尤其当分数不能化成有限小数时。 2.方法二：将分数化成小数，再按照小数乘法的法则计算。此方法仅适用于分数能化成有限小数的情况。 3.特殊技巧：若小数与分数的分母存在公因数，可先将小数与分母约分，再用约分后的小数与分子相乘，分母用约分后的结果。 （四）带分数乘分数 1.前置步骤：先将带分数化成假分数（方法：带分数的整数部分乘分母加分子的和作新分子，分母不变）。 2.后续计算：按照分数乘分数的法则进行计算（分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分）。 知识点三、分数乘法解决问题 （一）求一个数的几分之几是多少 1.关键前提：已知单位“1”的量（即整体量），求其部分量。 2.找单位“1”的方法：通常“的”字前面的量是单位“1”，或“是、占、相当于”后面的量是单位“1”。 3.数量关系：单位“1”的量 × 对应分率 = 所求部分量。 （二）连续求一个数的几分之几是多少 1.特点：存在多个分率，且每个分率对应不同的单位“1”（前一个分率的结果是后一个分率的单位“1”）。 2.关键步骤： 依次确定每个分率对应的单位“1”； 用第一个单位“1”的量乘第一个分率，得到中间量（第二个分率的单位“1”）； 再用中间量乘第二个分率，得到最终所求量（可列连乘算式一次性计算）。 （三）稍复杂的求一个数的几分之几是多少（含“比一个数多/少几分之几”） 1.特点：分率表示“多/少的部分占单位‘1’的几分之几”，所求量是单位“1”的量与多/少的部分的和/差。 2.关键步骤： 确定单位“1”的量（通常为“比”字后面的量）； 求所求量占单位“1”的分率：若“多几分之几”，分率为“1 + 几分之几”；若“少几分之几”，分率为“1 - 几分之几”； 数量关系：单位“1”的量 × 所求量对应的分率 = 所求量。 知识点四、计算通用注意事项 1.结果要求：计算结果必须是最简分数（分子和分母只有公因数1），假分数可根据需要化成带分数或保留假分数。 2.约分时机：优先在计算前进行约分（交叉约分），避免分子、分母过大导致计算繁琐；若未提前约分，计算后需对结果进行约分，直至最简。 3.算理统一：分数乘整数、小数乘分数、带分数乘分数均可转化为分数乘分数的形式（整数看作分母是1的分数，小数化成分数，带分数化成假分数），体现分数乘法法则的一致性。 易错点练习 易错点一：分数乘整数 例题：中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架，制作这个框架需要木条（    ）m。（不考虑损耗） A． B． C． D． 【变式训练1】一根木头锯成2段需要分钟，照这样的速度，要把这根木头锯成4段，需要( )分钟。 【变式训练2】时＝( )分   升＝( )毫升    小时＝( )分 【变式训练3】如图，小明在人工智能课上设计的程序如图，输入，输出（    ）。 A．6 B．3 C． D． 易错点二：分数乘分数 例题：12m2的红纸，第一次剪纸时先用去它的，第二次又用去m2，现在还剩( )m2红纸。 【变式训练1】直接写得数。                                                              【变式训练2】口算。                                   【变式训练3】直接写出得数。                                                易错点三：分数乘小数 例题：直接写出得数。                                                                       【变式训练1】直接写出得数。 ×＝          ×3.3＝         ×＝           ＋×＝ 1.2×＝          ×＝         ×0.875＝          －×＝ 【变式训练2】直接写出得数。                                                                                 【变式训练3】细心口算。                                                                                   易错点四：求一个数的几分之几的问题 例题：妈妈用酸梅原汁加水调制了600毫升的酸梅汤。当酸梅原汁是水的时，酸梅汤的口感最佳，当酸梅汤的口感最佳时，酸梅原汁和水各有多少毫升？ 【变式训练1】李师傅9月份计划做零件1200个，实际上半月完成了计划的，下半月完成了计划的，实际比计划多做多少个零件？ 【变式训练2】兰州百合具有润肺止咳、清火降燥、美容养颜、提高免疫力的功效。张叔叔买了千克兰州百合，刘叔叔买的兰州百合质量是张叔叔的，刘叔叔买了多少千克兰州百合？ 【变式训练3】河南闻名禽业肉禽养殖专业合作社位于历史名城——河南省南阳市，从1968年创办至今是一家专业孵化鸡和鸭的养殖场，几十年来数次到外省考察其他孵化场的孵化情况，取得了很多先进的经验。一般鸭的孵化期是28天，鸡的孵化期比鸭短，请问鸡的孵化期比鸭短多少天？ 易错点五：因数和积的大小关系（分数乘法） 例题：在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) 【变式训练1】若（A、B、C均不等于0），则A、B、C的大小关系是( )＞( )＞( )。 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )4    ( )    ( ) 【变式训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 易错点六：整数乘法运算定律推广到分数乘法 例题：用你喜欢的方法计算。                                                          28×0.75＋12× 【变式训练1】计算下面各题，能简算的要简算。                                             【变式训练2】下面各题怎样算简便就怎样算。                                                【变式训练3】计算下面各题，能简算的要简算。                                      易错点七：连续求一个数的几分之几是多少的问题 例题：环保小组通过调查，了解到某小区一周产生2000千克的垃圾，其中厨余垃圾占，其他垃圾占厨余垃圾的。这个小区一周产生的其他垃圾有多少千克？ 【变式训练1】实验小学为了提高学生的环保意识，开展了环保节活动。小辰做了一张环保宣传手抄报，手抄报的面积是360平方厘米，她用手抄报面积的介绍“节约资源”的重要性，“减少污染”所占的面积是“节约资源”所占的面积的，“减少污染”所占的面积是多少？ 【变式训练2】六年级参加羽毛球队的有36人，参加篮球队的人数是羽毛球队的，参加排球队的人数是篮球队人数的。参加排球队的人数有多少人？ 【变式训练3】今年同学们共植树100棵，其中六年级植树的棵数是总数的，五年级植树的棵数是六年级的，五年级植树多少棵？ 易错点八：已知总量及一部分分率，求另一部分量 例题：阅读课上，小新翻阅《西游记》，并了解了西游记是中国“四大名著”之一，成书于16世纪明朝中叶。这本书共220页，他上次读了这本书的，这次又读了这本书的，还剩几页没有读？ 【变式训练1】电影《哪吒2》上映16天票房突破100亿，21天登顶全球动画电影票房榜。周末，笑笑一家想去看《哪吒2》，在购票APP中发现影厅里324个座位已经被预订了，还剩多少个座位可供笑笑一家选择？ 【变式训练2】已知A、B、C三个工厂在一条直线上，且B工厂在A工厂与C工厂之间，A工厂到B工厂的距离是A工厂到C工厂距离的。如果货车以64千米/时的速度从A工厂行驶到C工厂，需要耗时5小时。若客车从B工厂到C工厂的行驶速度为80千米/时，那么客车从B工厂行驶到C工厂需要花多少时间？ 【变式训练3】青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，西宁至拉萨的铁路全长1956千米。一列火车从西宁开出，已经行了全程的，距离拉萨还有多少千米？ 易错点九：求比一个数多/少几分之几的数是多少 例题：根据推算，地球上重1千克的物体在月球上只有千克重。明明的体重是48.6千克，如果到月球上，他的体重比在地球上轻多少千克？ 【变式训练1】在九三阅兵中，空中梯队的数量比装备方队少。已知装备方队有22个，那么空中梯队有多少个？ 【变式训练2】书香浸润心灵，阅读点亮人生。小希和小珍参加了文学社团，本周阅读《小王子》一书。小希比小珍多读了36页，小珍读的页数是小希的，小希和小珍分别读了多少页？ 【变式训练3】美术社团的同学们去采风，他们参观了红色纪念馆后，重走了一段长征路，重走长征路的时间为小时，参观纪念馆的时间比重走长征路的时间少，同学们参观纪念馆多长时间？ 拔尖训练 1．a是一个非0自然数，下面算式中得数最小的是（    ）。 A． B． C． D． 2．一件商品先提价，后又降价，现价和原价相比（    ）。 A．多了 B．少了 C．一样多 D．无法比较 3．张老师买了60个乒乓球，买的羽毛球的个数比乒乓球的多7个，张老师买了（    ）个羽毛球。 A．57 B．53 C．50 D．43 4．甲、乙、丙三人比赛跳绳，甲跳的个数是乙的，丙跳的个数比乙少。甲、乙、丙三人中，（    ）跳的个数最多。 A．无法确定 B．甲 C．乙 D．丙 5．一瓶橙汁，小明第一次喝了它的，加满水后，又喝了它然后又加满水，第三次一饮而尽。那么小明所喝（    ）。 A．水多 B．橙汁多 C．一样 D．无法确定 6．妈妈买3千克毛线，给爸爸织一件毛衣用去了，给壮壮织一件背心用去了千克，还剩( )千克。 7．中秋节自古便有赏月吃月饼等习俗。昌盛月饼店在中秋节来临之际做了80盒月饼，卖出了，还剩( )盒。 8．一个普通成年人共有206块骨头，其中手骨的块数占全身骨头块数的，手指骨的块数又占手骨头块数的。手指骨共有( )块。 9．乐乐买了一瓶1.2L的果汁，他第一次喝了，还剩下( )L，第二次喝了剩下的，第二次喝了( )L。 10．《九章算术》约成书于东汉之初，共收有246个数学问题。杨老师利用暑假研究了其中的，还剩下( )，还剩下( )个数学问题没有研究。 11．把2米长的木条平均分，截了3次，每段占全长的( )，每段长( )米。 12．一本书共240页，王明第一天读了全书的，第二天应从第( )页读起。 13．挖一条水渠，张伯每天挖水渠的，李叔挖完这条水渠要30天。两人合作，8天可以挖这条水渠的( )。 14．直接写得数。                                                                15．计算下列各题，能简算的要简算。                                                                                    16．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，3小时后相遇。已知甲车的速度是乙车的，甲车的速度是多少？（用方程解答） 17．为庆祝中华人民共和国成立75周年，激发同学们的爱国热情，提高同学们的艺术素养，学校决定举办国庆75周年绘画比赛，绘画作品形式不限，可以是水彩、油画、国画等。已知六年级参赛作品中有24幅水彩，油画的幅数比水彩多，六年级参赛的油画作品有多少幅？ 18．电鳗是一种以短暂、强力放电而闻名的淡水鱼类，它可以随意控制放电时间和强度，每秒钟能放电50次左右，被称为水中的“高压线”和移动的发电站。据研究，一条普通成年电鳗释放出的电压平均值约为340伏左右，我国居民用电电压只相当于是一条普通成年电鳗释放电压的，我国居民用电电压是多少伏？ 19．蝙蝠利用自己发出的超声波来确定与猎物的距离。一只蝙蝠发出超声波秒后接收到反射回来的超声波。已知超声波的传播速度是340m/秒。蝙蝠与猎物间的距离是多少米？ 20．甘肃省定西市马铃薯种植历史悠久，产量充足。某校组织一批学生去马铃薯雾培大棚进行实践学习，其中观察雾培种植技术的学生有48人，参与移栽与维护工作的学生人数比观察雾培种植技术的少，参与移栽与维护工作的学生有多少人？ 21．一满杯水中溶有10克糖，搅匀后喝去；添入6克糖，加满水搅匀，再喝去；添入6克糖，加满水搅匀，又喝去；再添入6克糖，加满水搅匀，仍喝去，那么此时杯中所剩的糖水中有多少克糖？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $