专题06 数列和统计概率9大考点（期末真题汇编，浙江专用）高三数学上学期

专题06 数列和统计概率 9大高频考点概览 考点01 数列的性质 考点02 数列中的证明和恒成立问题 考点03 数列求和 考点04 数列新定义问题 考点05 数据的特征和随机变量 考点06 排列和组合 考点07 概率问题 考点08 统计与概率综合 考点09 离散型随机变量的分布列 地 城 考点01 数列的性质 1．等差数列的前n项和为满足若成等比，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)等比数列的前项和为，，，则（   ） A．27 B．24 C．21 D．18 3．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 4．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 5．正整数数列满足，使得的不同个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．(24-25高三上·浙江丽水·期末)记为数列的前项和，为数列的前项和，且数列是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（    ） A．和均是等差数列 B．是等差数列，不是等差数列 C．不是等差数列，是等差数列 D．和均不是等差数列 7．（多选题）已知数列满足：，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 数列中的证明和恒成立问题 1．已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 2．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，记数列的前项和为， (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，若恒成立，求的值. 3．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知数列中，，. (1)计算的值； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)记，求使成立的的最大值（其中表示不超过的最大整数）. 地 城 考点03 数列求和 1．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 2．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 3．已知数列满足（e为自然对数的底），且. (1)当时，令，求的通项公式及其前n项和； (2)当时，令，，，求的值. 地 城 考点04 数列新定义问题 1．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)若数列满足如下两个条件：①是1，2，3，，的一个全排列;②或，k为常数且则称数列为“数列”. (1)请写出所有的“数列”; (2)证明：k是奇数; (3)当时，求k的最大值，并说明理由. 2．已知数列，定义，其中i，且 (1)若，求和 (2)若，证明：对于且，，，都有 (3)对于，4，，n，设若正项数列为递增数列，求证：中至少有两个不同的元素，且中最大元素与最小元素之比小于 3．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)设，，定义：为，的最大公约数，为，的最小公倍数，且具有以下性质：①；②当时，. (1)已知数列，的通项公式分别为，，其中，令，求数列的通项公式； (2)已知有限数列满足，且（为给定常数）.若对，且（，）时，都有. （ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）证明：. 4．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数. (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由； (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：. 5．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知两个数列和的项数均为，且对于数列，其中，若存在满足：①，都有；②，使得，则称数列是的单极数列. (1)已知，若的单极数列为，求满足条件的的个数. (2)已知是的单极数列. （i）若，求. （ii）若，当时，证明：. 6．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)对于n行n列（，）的数表定义变换：任选一组，其中 ，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加2，或者将每个数同时减2，其余的数不变，得到一个新数表.例如：对依次进行2次T变换可得到， (1)写出中间两次T变换（写出一种答案即可） (2)已知，是否可以依次进行有限次变换，将A变换为B？说明理由； (3)已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为 ，若可以，求k的最小值，并写出一种变换过程；若不可以，说明理由. 地 城 考点5 数据的特征和随机变量 1．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（    ） A．10.5 B．10.45 C．10.4 D．10.25 2．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）    A． B． C． D． 4．（多选题）(24-25高三上·浙江丽水·期末)每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表： 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码 1 2 3 4 5 月借阅量（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．借阅量的下四分位数为5.7 C．与的线性相关系数 D．七月的借阅量一定不少于百册 5．（多选题）(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)下列说法正确的是（    ） A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D．在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好 6．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)下列说法正确的是（    ） A．事件与事件相互独立，且，，则 B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为 D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则 7．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示， 则下列说法中正确的是（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则. A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 8．（多选题）(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．一组数据的第60百分位数为13.5 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 9．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则 . 地 城 考点6 排列和组合 1．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 2．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 3．（多选题）甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（    ） A．从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种 B．某选手得分是，则该选手得分的第70百分位数是 C．从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是 D．5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则 地 城 考点7 概率问题 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 2．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）(24-25高三上·浙江金华十校·期末)随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（    ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 5．（多选题）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是 . 7．某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为 . 8．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 地 城 考点8 统计与概率综合 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图： 其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为． （1）根据频率分布直方图的数据，将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； 学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计 成绩优秀 成绩一般 合计 （2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为，求的分布列与期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 视力正常 近视 合计 成绩优秀 4 8 12 成绩一般 12 16 28 合计 16 24 40 0 1 2 3 2．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（）色球. (1)若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； (2)若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球. （ⅰ）分别求，，； （ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率. 3．(24-25高三上·浙江丽水·期末)某系统配置有个元件（为正整数），每个元件正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性. (1)当时，求该系统正常工作的概率； (2)现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由. 地 城 考点9 离散型随机变量的分布列 1．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. (1)求赛完4局且乙获胜的概率； (2)若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 1 4 5 6 2．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局. 现有人玩游戏. (1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、； (2)求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）； (3)设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率. 3．(24-25高三上·浙江杭州·期末)阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 2 4 5 4．在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列和统计概率 9大高频考点概览 考点01 数列的性质 考点02 数列中的证明和恒成立问题 考点03 数列求和 考点04 数列新定义问题 考点05 数据的特征和随机变量 考点06 排列和组合 考点07 概率问题 考点08 统计与概率综合 考点09 离散型随机变量的分布列 地 城 考点01 数列的性质 1．等差数列的前n项和为满足若成等比，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d， 由得， 解得， 所以 成等比，∴， ∴， ，显然，否则这与成等比数列矛盾， 故解得 故选：B. 2．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)等比数列的前项和为，，，则（   ） A．27 B．24 C．21 D．18 【答案】C 【详解】在等比数列中，其公比，所以， 所以. 故选：C． 3．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 4．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 5．正整数数列满足，使得的不同个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】由题意知，，则或， （1）当时，，则或， 若，则；若，则； 若，则或； 若，则或； （2）当时，，得，则或； 若，得； 若，得. 综上，的值共有6个. 故选：C 6．(24-25高三上·浙江丽水·期末)记为数列的前项和，为数列的前项和，且数列是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（    ） A．和均是等差数列 B．是等差数列，不是等差数列 C．不是等差数列，是等差数列 D．和均不是等差数列 【答案】C 【详解】因为数列是一个首项不等于公差的等差数列，可设且. 所以，，，又，所以不成等差数列，故不是等差数列； 因为，所以， 所以，所以是以为首项，以为公差的等差数列. 故选：C 7．（多选题）已知数列满足：，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 对于选项B：可由已知条件推导出的表达式，再求的前项和，借助基本不等式进行放缩，即可判断； 对于选项C和D，可用数学归纳法证明，即可判断. 【详解】解：对于选项A，因为，，故正确； 对于选项B，因为，所以， 又因为a1a2，所以数列是以首项为2，公差为1的等差数列， 所以， 因为，所以， 所以 ，故B正确； 对于选项C和D，用数学归纳法证明： ，对于恒成立. ①当和，即时，，， 故和满足条件; ②假设和，， 成立， 由， 所以， 故， ， 因为， 所以， 故 ， 故和时，，成立. 综上，当为奇数时，当为偶数时，， 对于恒成立. 取，可得， 取，可得， 故正确，错误. 故选：ABC. 地 城 考点02 数列中的证明和恒成立问题 1．已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 【详解】（1）因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，， ， . 2．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，记数列的前项和为， (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，若恒成立，求的值. 【详解】（1）因为数列是等比数列，设首项是，公比是， 由，， 解得， 所以. （2）由于① 则，② 由①②得， 当时，，满足上式，因此， 所以. ，接下去求的前项和， 记的前项和是. ① ②. 由①②得， 整理得：. （3）由（2）可知，，则， 所以，要求的最大项， 可以设函数， 则. 令 则， 分析可得，，，使得 所以在单调递增，单调递减， ，， ，使得 当时，， 当时，， 时， 因此在单调递减，在，单调递增，在，单调递减. 只要比较，，的大小，，，. 所以第五项是最大项，. 3．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知数列中，，. (1)计算的值； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)记，求使成立的的最大值（其中表示不超过的最大整数）. 【详解】（1）当时，由，得， 因为，所以，解得， 当时，由，得， 所以，解得. （2）由题意可得，则， 于是， 即， 因为， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. （3）由（2）可知：，则. 由得： ， 因为当时，，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 所以 ， 整理得，解得， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 所以. 地 城 考点03 数列求和 1．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【详解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 2．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）由，得， 曲线在处的切线方程为， 根据题意令可得，， 由， 因为，所以，且由得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由上式得，， 则，① 两边乘以2可得：，②. 由①－②得，， 所以． 3．已知数列满足（e为自然对数的底），且. (1)当时，令，求的通项公式及其前n项和； (2)当时，令，，，求的值. 【详解】（1）当时，，两边取对数，，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 故，. （2）当时，（*）， 则，故， 于是， 又由（*），可得，故， 于是 . 地 城 考点04 数列新定义问题 1．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)若数列满足如下两个条件：①是1，2，3，，的一个全排列;②或，k为常数且则称数列为“数列”. (1)请写出所有的“数列”; (2)证明：k是奇数; (3)当时，求k的最大值，并说明理由. 【详解】（1）①，2，3，②，4，3，③，1，4，④，3，4，⑤，2，1，⑥，4，1，⑦，1，2，⑧，3，2，1； （2）由条件得或， 设的有个，的有个，的有个，的有个. 则即， 若k为偶数，则为偶数， ①当为奇数，则中的每一项均为奇数，不合题意; ②当为偶数，则中的每一项均为偶数，不合题意， 所以k不能为偶数，即k为奇数. （3）的最大值为 首先我们可以写出一个满足要求的数列： 当时，，则 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 当时，，则 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 且 下面用反证法证明没有比1011更大的k的值. 由知， k为奇数，假设，现在考虑1013这个数， 因为对于任意一个小于等于2024的正整数i，， 即数列中的任意一项不能与1013相邻，但1013是数列中的一项，矛盾. 所以，所以k的最大值为 2．已知数列，定义，其中i，且 (1)若，求和 (2)若，证明：对于且，，，都有 (3)对于，4，，n，设若正项数列为递增数列，求证：中至少有两个不同的元素，且中最大元素与最小元素之比小于 【详解】（1）由题意，因为， 所以， . （2）不妨假设，由题意，因为， 则， 其中，为奇数，为偶数， 所以. （3）易知中至少包含两个元素和， 设中的最大元素为，最小元素为， 若，则且， 则 若，则且 则 综上所述，中最大元素与最小元素之比小于 3．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)设，，定义：为，的最大公约数，为，的最小公倍数，且具有以下性质：①；②当时，. (1)已知数列，的通项公式分别为，，其中，令，求数列的通项公式； (2)已知有限数列满足，且（为给定常数）.若对，且（，）时，都有. （ⅰ）当时，证明：； （ⅱ）证明：. 【详解】（1）因为，， 所以, 所以. （2）（ⅰ）因为，且，， 所以，，，，…，. 又， 又当时，，所以. （ⅱ）因为 所以 又因为， 所以. 4．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数. (1)判断4和6是否为可分数，并说明理由； (2)求小于81的最大可分数； (3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：. 【详解】（1）令，①，； ②，；③，， 综上所述，不是可分数， 令，，由，， 则是可分数. （2）由，且，则令， 由，且， 则是小于最大的可分数. （3）设偶数为可分数，则存在使得， 由可知二元子集中两元素和的最大值为， 于是集合中所有大于等于的整数所在二元子集中两元素之和均为， 于是必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 若，由可知不属于集合， 故无法对进行分组，此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下大于等于的整数， 此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下， 因为，则是可分数等价于也是可分数， 若，则可将划分成以下各组：， 每组中两元素之和均为，因此此时是可分数， 由于小于的可分数的个数为，则， 又小于3的可分数只能为2，则，于是， 故是首项为，公比为2的等比数列， 则，于是， 又， 因此 . 5．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知两个数列和的项数均为，且对于数列，其中，若存在满足：①，都有；②，使得，则称数列是的单极数列. (1)已知，若的单极数列为，求满足条件的的个数. (2)已知是的单极数列. （i）若，求. （ii）若，当时，证明：. 【详解】（1）由题意可知，为的最大值. 若的单极数列为， 则有或， 或或或或， 则满足条件的的个数为. （2）（i）由为的最大值，可知， 由，得， 两式相减，得， 整理，得， 又， 则，即，所以，即. （ii）设， 因为， 则， ， . 易知， ，即， ，即. 又， 则有. 所以 由，得， 即. 6．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)对于n行n列（，）的数表定义变换：任选一组，其中 ，，对于的第行和第列的个数，将每个数同时加2，或者将每个数同时减2，其余的数不变，得到一个新数表.例如：对依次进行2次T变换可得到， (1)写出中间两次T变换（写出一种答案即可） (2)已知，是否可以依次进行有限次变换，将A变换为B？说明理由； (3)已知11行11列的数表，是否可以依次进行次变换，将其变换为 ，若可以，求k的最小值，并写出一种变换过程；若不可以，说明理由. 【详解】（1） 或 或 （2）不可以，理由如下： 由题可知每次变换T，数表中所有数的和增加或减少10. 因为A中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T后各数和为10的倍数. 而B中所有数的和为18，不符合，故无法通过有限次变换T，将A变换为B. （3）可以，且k的最小值为400. 当所选i，时，每次所有加2的变换T与减2的变换T次数之差设为x；当所选且或者且时，每次所有加2的变换T与减2的变换T次数之差设为y；当所选时，每次加2的变换T与减2的变换T次数之差设为z. 考虑变换T对上述三部分的影响， 可知，解得， 所以 其中符合题意的400次变换T构造如下： 当所选i，时，各进行一次减2的变换T ； 当所选且或者且时，各进行10次加2的变换T ； 当所选时，进行100次减2的变换T . 地 城 考点5 数据的特征和随机变量 1．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（    ） A．10.5 B．10.45 C．10.4 D．10.25 【答案】B 【详解】将数据从小到大排列有， 所以，则这10枪成绩的第40百分位数是. 故选：B 2．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为个数据的平均数为，方差为， 所以（其中四个数分别为，） 故， 加入一个数据后，个数的平均数还是, 则方差为， 即这个数据的方差为. 故选：D 3．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得，故选项C错误； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确． 故选：C． 4．（多选题）(24-25高三上·浙江丽水·期末)每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表： 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码 1 2 3 4 5 月借阅量（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．借阅量的下四分位数为5.7 C．与的线性相关系数 D．七月的借阅量一定不少于百册 【答案】AC 【详解】对于A：因为，， 所以，得，所以A正确； 对于B：因为，所以借阅量的下四分位数为，所以B错误； 对于C：因为，所以与的线性相关系数，所以C正确； 对于D：由选项A可知线性回归方程为， 当，则， 所以七月的借阅量约为百册，所以D错误； 故选：AC. 5．（多选题）(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)下列说法正确的是（    ） A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D．在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好 【答案】BC 【详解】对于A，中位数为，平均数为：，所以中位数小于平均数，故A错误； 对于B，因为平均数为，则方差为，则标准差为， ，即标准差大于方差，故B正确； 对于C，在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，C正确； 对于D，若残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越差，故D错误. 故选：BC. 6．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)下列说法正确的是（    ） A．事件与事件相互独立，且，，则 B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为 D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则 【答案】ACD 【详解】选项A：因为事件与事件相互独立，且，， 所以，，说法正确； 选项B：样本数据共10个，从小到大排列为2，2，3，4，6，8，9，10，12，12， 因为，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第8个数，即10，说法错误； 选项C：两层的样本总数为，总平均数为， 总方差为，说法正确； 选项D：因为经验回归方程为，若样本点与点的残差相等， 则，解得，说法正确； 故选：ACD 7．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示， 则下列说法中正确的是（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则. A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 【答案】ACD 【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称， 所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分， 故选项A正确，B错误； 因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”， 所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右， 则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小， 故选项C正确； 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为， 故选项D正确． 故选：ACD． 8．（多选题）(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．一组数据的第60百分位数为13.5 C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 【答案】AC 【详解】选项A，因为随机变量X服从正态分布，， 所以，故A正确； 选项B，这组数据总共有10个数，由于， 因此第60百分位数为，故B错误； 选项C，因为经验回归方程为，样本中心为， 所以，解得，故C正确. 选项D，因为， 当越小时，越小，此时两个变量的相关性越小，故D错误. 故选：AC. 9．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.38 【详解】根据正态分布的对称性得 . 故答案为：0.38. 地 城 考点6 排列和组合 1．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【答案】C 【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法， 若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法， 故不同的体验方法共有 24 种. 故选：C. 2．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 其他人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：D. 3．（多选题）甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（    ） A．从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种 B．某选手得分是，则该选手得分的第70百分位数是 C．从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是 D．5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则 【答案】AD 【详解】对于A，易知12人中共有男7女，分别从5个男生和7个女生中各选一人，可得共种，即A正确; 对于B，显然8个数据已经按照从小到大的顺序排列好，， 所以第70百分位数是第6个数是，可得B错误； 对于C，记“选到女生”为事件A，“来自甲班”为事件 B， 则，所以C错误； 对于D，服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2； 易知; 所以期望值，可得D正确. 故选：AD 地 城 考点7 概率问题 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为， 甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜， 则甲获胜的概率， 故选：B. 2．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，， 故． 故选：B． 3．（多选题）(24-25高三上·浙江金华十校·期末)随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 4．（多选题）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（    ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，A正确； 对于B，，， ，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 5．（多选题）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进步的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】每投掷一次骰子，前进一步的概率为，前进两步的概率为，显然； 对于A，一共前进了2步，可能是第一次前进了两步，或第一次、第二次各前进一步，所以，故A错误； 对于B，一共前进了3步，可能是第一次前进了两步且第二次前进了一步， 或第一次前进了一步且第二次前进了两步，或三次各前进一步， 所以，故B正确； 对于C，一共前进了步，可能是前进步后继续前进2步，或前进步后，继续前进1步， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 又注意到， 所以数列是常数列，这个数列中的每一项都是， 所以，所以，解得， ，故D正确. 故选：BCD. 6．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是 . 【答案】 【详解】由题意得，比赛对甲、乙是公平的，所以先计算甲、乙得分相同的概率， 情形一：甲、乙都得0分，即每一轮甲、乙摸到的球的标号相同，发生的概率为； 情形二：甲、乙都得1分，即三轮中有一轮甲得1分，有一轮乙得1分，有一轮两人摸到的球的标号相同，都不得分， 若相同的标号为1，则， 同理，相同的标号为2的概率，相同的标号为3的概率， 所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率 故答案为：. 7．某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为 . 【答案】 【详解】设表示经过第n次传球后球在甲手中， n次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，⋯， 则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时 故答案为： 8．甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 【答案】 【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 根据相互独立事件的概率公式可得， ， 则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为， 且互斥，故 ， 故答案为： 地 城 考点8 统计与概率综合 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图： 其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为． （1）根据频率分布直方图的数据，将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； 学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计 成绩优秀 成绩一般 合计 （2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为，求的分布列与期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【详解】（1）根据频率分布直方图，在抽取的40名学生样本中，视力正常的有人， 近视的有， 因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是， 所以近视的学生中成绩优秀的有，成绩一般的有人； 因为成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为， 所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有人， 根据上述信息可填写下列列联表： 视力正常 近视 合计 成绩优秀 4 8 12 成绩一般 12 16 28 合计 16 24 40 根据列联表的数据可得，， 故没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； （2）以频率视为概率，样本中近视的概率为， 视力正常的概率为， 由题意可知，近视的学生数的所有可能取值为0，1，2，3， 以样本估计总体，可知， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 故． 2．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（）色球. (1)若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； (2)若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球. （ⅰ）分别求，，； （ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率. 【详解】（1）若，设抽取n次中抽中黑球的次数为X，则， 故， 由，…， 故最大值为或，即的最大值； （2）（ⅰ）， ， ； （ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关， 则. 3．(24-25高三上·浙江丽水·期末)某系统配置有个元件（为正整数），每个元件正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性. (1)当时，求该系统正常工作的概率； (2)现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了？请给出你的结论，并说明理由. 【详解】（1）记系统正常工作的概率为，由题意可得 . （2）解法一：系统配置有个元件时，记系统正常工作的概率为， 当前有个元件，记系统正常工作的概率为，考虑前个元件： 第一种情况：前个元件恰有个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：； 第二种情况：前个元件恰有个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为：； 第三种情况：前个元件至少有个元件正常工作，则新系统正常工作的概率为： 所以， 故当时，系统可靠性不变，当时系统可靠性降低，当时系统可靠性提高. 解法二：系统配置有个元件时，记系统正常工作的概率为， 当前有个元件，记系统正常工作的概率为，考虑增加的两个元件： 第一种情况：增加的2个元件恰有1个元件正常工作，则新系统能正常工作的概率为：； 第二种情况：增加的2个元件都正常工作，则新系统能正常工作的概率为：； 第三种情况：增加的2个元件都不正常工作，则新系统能正常工作的概率为： 所以， ， 即， 故当时，系统可靠性不变，当时系统可靠性降低，当时系统可靠性提高. 地 城 考点9 离散型随机变量的分布列 1．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. (1)求赛完4局且乙获胜的概率； (2)若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 【详解】（1）设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜. （2）的可能取值为，，1，4，5，6， 则，，， ，，， 的分布列如表所示 1 4 5 6 所以. 2．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局. 现有人玩游戏. (1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、； (2)求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）； (3)设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率. 【详解】（1）， （2）由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率， ； 其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负， 而分出胜负与平局是对立事件， 故 （3）解法一：由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者 情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者 此时； 情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 综上所述： 解法二：记表示n个人玩一轮游戏，恰好剩m人的概率， 当时，； 当时，； 5人2轮游戏决出唯一获胜者的概率， . 3．(24-25高三上·浙江杭州·期末)阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，， 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则， 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大. （2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得X的所有可能取值为：2，4，5， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 4 5 所以X的期望为： ， 由，得，当且仅当取等号，则， 因此， 所以的最大值为 （ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得，而， 所以 4．在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 【详解】（1） （2）参考走法不唯一 对于第二个方格，则不能达成“胜利”， 理由如下： 设表示中的值，例如： 则在方格中，共有25个 将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格， 易知，偶数格有13个，奇数格有12个， 按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格， 若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格 而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格， 无论如何移动都不能达成“胜利”. （3）首先判断 然后证明：时不成立.证明如下： 将挖去的6格记为 其中与均为的一种排列， 为偶数， 由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”， 必须挖去3个奇数格，3格偶数格. 而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾. 不可能挖去6格. 最后证明：时，能成立，如图： 挖法和走法均不唯一. 综上所述， n最大值为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $