专题04 立体几何9大考点（期末真题汇编，浙江专用）高三数学上学期

专题04 立体几何 9大高频考点概览 考点01 空间几何体的表面积、体积 考点02 空间中的平行和垂直判定 考点03 空间中的夹角 考点04 空间中的动点和轨迹问题 考点05 立体几何综合 考点06 向量法求直线与平面的夹角 考点07 向量法求二面角 考点08 已知夹角求其他量 考点09 立体几何中的翻折和探索性问题 地 城 考点01 空间几何体的表面积、体积 1．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 【答案】C 【详解】对于A， 对于B， 对于C， 对于D， 由上易知，选项C的表面积与其他三个不同. 故选：C 2．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以，平面，所以平面， 由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界. 为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为. 因此，三角形 的周长为. 故答案为 ：D . 3．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ， ， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 4．在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由于为边长为2的等边三角形，故面积为, 也是边长为2的等边三角形， 故当平面平面时，此时到平面的距离最大，且最大值为,（其中为的中点）， 故三棱锥的体积的最大值为, 故选:C 5．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：    圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为， 则，解得，所以圆锥母线长为， 所以该圆锥的侧面积为 故选：B. 6．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知正三棱柱的侧面积与以的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为 . 【答案】/ 【详解】设的边长为，外接圆半径为，，圆柱的高为， 由正弦定理得，则，正三棱柱的侧面积， 圆柱的侧面积，则，解得， 则 ，， . 故答案为： 地 城 考点02 空间中的平行和垂直判定 1．（多选题）以下四个正方体中，满足平面CDE的有（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】BD 【详解】对A，，，与所成角为，故与平面CDE不垂直， 故A错误； 对B，在正方体中，平面，平面，所以， 又，，平面CDE，所以平面CDE，故B正确； 对C，连接，如图，    在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，为正三角形，所以，又，与所成的角为，所以与平面CDE不垂直，故C不正确； 对D，连接，如图，    因为平面，平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，再由平面，所以平面CDE，故D正确. 故选：BD 地 城 考点03 空间中的夹角 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然） 由最大角定理，故选B. 方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得 ，故选B. 2．（多选题）(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成的角相等 B． C．二面角的大小可能为 D．若，则球的表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心， 连接，则平面， 因为是的中点，所以，所以平面， 点是是的中点，，所以， 又，所以，所以，故A正确；    对于B，， ， ，故B正确； 对于C，因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 做，交于点， ，平面， 所以平面，平面，所以， 所以即为的平面角，若， 则，而在直角三角形中，斜边， 这是不可能的，故C错误；      对于D，若，则，， 所以，外接球半径， ，故D正确.    故选：ABD． 地 城 考点04 空间中的动点和轨迹 1．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)在边长为的正三角形中，分别是上的动点（不含端点），将沿着翻折至，则（    ） A．四棱锥必存在一个外接球 B．当∥时，四棱锥体积的最大值是 C．当是的中位线，且时，则是等腰直角三角形 D．当是的中位线，且时，四棱锥外接球表面积是 【答案】BCD 【详解】根据题意，在边长为的正三角形中， 分别是上的动点（不含端点）， 当与不平行时，四边形对角不互补， 则四边形没有外接圆，所以四棱锥没有外接球，故A错误； 当∥时，设时，则， 则， 要使四棱锥体积的最大，则平面平面， 此时四棱锥的高为， 所以四棱锥体积， 则， 当，，则单调递增， 当，，则单调递减， 所以，当时，，B正确； 当是的中位线，连接，则，又， 平面，所以平面， 而平面，所以， 所以， 取中点，连接， 由于，而，则， ，平面，所以平面， 所以平面，则，所以， 则是等腰直角三角形， 又，所以是等腰直角三角形，C正确； 根据C选项，可知， 所以点为四棱锥外接球球心，半径为2， 所以四棱锥外接球表面积为，D正确. 故选：BCD 2．（多选题）(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（   ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为45° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 【答案】BC 【详解】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图， 则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角， 设，则， 在中，， 所以，故A错误，B正确； 对于C、D，易知直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角，同时直线与所成角的最大值为直线与所成角， 故D错误，C正确. 故选：BC 地 城 考点5 立体几何综合 1．（多选题）(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)在正三棱台中，则（    ） A．三棱台的表面积为 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥与三棱锥的公共部分的几何体的体积为 【答案】ACD 【详解】将正三棱台补成三棱锥，根据长度关系可知三棱锥为正四面体， 对于A：因为， 可知，， 所以三棱台的表面积为，故A正确； 对于B：取BC的中点D，连接， 可知，，则为平行四边形，则，， 可知直线与所成角为或其补角， 因为，则， 所以直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C：因为三棱锥为正四面体， 则点P在平面ABC内的投影为的中心O， 且直线与平面所成角等于直线与平面ABC所成角， 可得，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故C正确； 对于D：设， 可知分别为的重心，且所求几何体为三棱锥， 因为，可得平面， 所以三棱锥的高即为， 又因为，则， 可得， 所以三棱锥的体积，故D正确； 故选：ACD. 2．（多选题）如图，已知四边形中，，与垂直并相交于点，且满足，，以为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥，且满足二面角大小为.则下列对于三棱锥的说法正确的有（    ） A．对任意，三棱锥的体积为定值 B．平面 C．当且仅当时，三棱锥的表面积为 D．外接球半径的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：，， 为二面角的平面角，， 而，所以点到平面的距离， 是定值，故A正确； 对于B：，，平面，所以平面， 又平面，， 因为，所以， 所以,又，平面，平面，故B正确； 对于C：由B可知，当时，，， 又，， 所以，， 所以 考虑对称性，当时三棱锥的表面积也是该值，故C错误； 对于D：由B可知平面，三棱锥改为C为顶点画法，如下图所示： 设是的外心，是三棱锥外接球球心， 所以三棱锥外接球的半径， 又，，， 当且仅当，即是直角三角形时，外接球半径最小值为， 此时，即，解得或， 所以当时三棱锥外接球的半径取得最小值为，故D正确. 故选：ABD 3．（多选题）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则（    ） A．平面ACD B．平面ABC C．O到AC的距离为 D．二面角的正切值为 【答案】AD 【详解】 设的中心为G，过点G作直线平面ABC， 则球心O在上.由M为AC的中点，得. 因为.所以平面BDM，则， 所以，所以，所以，，所以， 所以，可得平面ACD， 所以球心O在直线MB上，因此O与G重合.过M作于H， 连接OH，则，从而为二面角的平面角. 因为，， 所以O到AC的距离为，且. 故选：AD 4．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)在正方体中，分别为棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与直线所成角为 D．若，则平面四点共面 【答案】ABD 【详解】在正方体中， 分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，， 设平面的一个法向量， 因为平面，所以平面，A正确； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，设直线与直线所成角为， 则，又，所以，C错误； 对于D，因为，所以， 则，设， 则，解得，所以，所以共面，所以四点共面，可得D正确． 故选：ABD． 地 城 考点6 向量法求直线与平面的夹角 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)在斜三棱柱中，，，且. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，，，是等边三角形， 取的中点，连接、，， ，，又，平面，平面， 又平面， ，又，. （2）取的中点，的中点，连接、、， ，， 又，，，平面，平面， 过做的垂线，垂足为，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，连接， 所以就是直线与平面所成角， 依题意三棱锥为棱长为的正四面体， 所以， 所以，又四棱锥的所有棱长均为， 底面为菱形且，所以底面为正方形，所以， 又，所以， 又， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为. 2．如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）分别取、的中点、，连接、、，如图所示： 、分别为、的中点，则为梯形的中位线， 所以，，且有， ，，所以，，且， 所以，四边形为平行四边形，故， 为的中点，则，因为，则， 所以，四边形为平行四边形，则，故， 平面，平面，因此，平面； （2）以点为坐标原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，，，， 由，可得，令，则， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点7 向量法求二面角 1．如图，在三棱柱中四边形是正方形，且是锐角，已知点A到平面的距离为 (1)求证：平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以B为原点，方向为轴，垂直于平面向上方向为z轴，建系. 设 面 则 设平面的法向量为 则即， 令，可得， 平面的法向量为 点A到平面的距离为 面 （2） 设平面的法向量 则所以 令则所以平面的法向量 设平面的法向量 则所以 令则 所以平面的法向量 所以平面与平面夹角的余弦值 2．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)如图，在四棱锥中，，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以，且， 又因为，，所以，， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面. 建立以为原点，，所在直线为轴、轴的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量 则，即，取， 设平面的一个法向量 则，即，取， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且．    (1)求证：； (2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值 【详解】（1）证明：因为矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且，， 所以，不妨设为， 因为均为底面圆的直径，所以， 所以，所以，又， 所以， 所以. （2）如图，设为圆柱的母线，则底面， 连接，，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ，四边形为正方形， ， 所以，. 所以. 平面的法向量为． 设平面的法向量为， 又， 所以，取，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面夹角的正弦值为．    4．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，， ，，. (1)证明：平面平面； (2)已知上有一点，满足，求此时平面与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，，则，所以， 则为等腰直角三角形，所以，且， 因为，，为的中点，则且， 故四边形为平行四边形，则， 又因为，所以，则， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则平面平面； （2）由上分析，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 由可得， 故，， 设平面的一个法向量为， 则 取，则，，故， 又，， 设平面的一个法向量为， 则 取，则，，故， 设平面与平面所成角为， 所以. 即平面与平面所成角的余弦值为. 地 城 考点8 已知夹角求其他量 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正弦值为，求． 【详解】（1） 法一：（几何法）如图，取中点，由，得， 作，，则四边形为菱形，且， 连接，， ，则，. ∵异面直线与所成角的余弦值为，∴， 当时，， 此时，不能构成，舍去， 故，， ∵，，∴为直角三角形，故， ∴，即， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． 法二：（基底法）如图，取中点，由，得，，故二面角的平面角为， 由题意，得，， 设，，，． 则，，，，， ， ∵，∴，     ∴或（舍去）， ∴，此时，平面平面． （2） 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，， 设，，则， ∴，得，故. 设平面的法向量，则 令，得，，即，     设平面的法向量为，则 令，则，即， 设二面角的平面角为， 则， 得或（舍），故， ∴，故. 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足    (1)若，证明：平面 (2)若，且平面与平面的夹角为，求 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，设， ，，设平面的一个法向量， 则即 取 又，，，所以，平面    （2）如图建立空间直角坐标系，设，,所以，故,所以，， 设平面AEF的一个法向量，则即 取又平面的一个法向量， ，求得（负值舍去），所以 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，，，点为棱上一点.    (1)当为的中点时，证明：； (2)若直线与平面的所成角的正弦值为，求的大小. 【详解】（1）由，，根据勾股定理， 又因为且，平面， 所以平面， 而平面，所以， 又因为为的中点且，所以， 又，平面，所以平面， 因平面，所以. （2）取中点，连接，易得，，， 平面，所以平面， 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 且，， 设平面的一个法向量，则， 令，得，，故 设点，则， 设与平面所成角为， 则， 解得，， 故    地 城 考点9 立体几何中的翻折和探索性问题 1．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示． (1)求五面体的体积； (2)若点满足，若与平面所成角为，求的最大值． 【详解】（1） 如图，取的中点，连接,因,则, 又平面平面，且平面平面, 平面,故平面, 同理，平面.因平面，则, 过点作于点，则得,故平面，且. 于是五面体的体积为: ; （2） 如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 则, 设平面的法向量为，则， 可取. 由可知，点在上，可设其坐标为，则, 依题意，， 设，则，故， 因，故， 即当，时，取得最大值，为. 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 (1)证明：平面 (2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点， 中点，连接， 因为，所以， 又，所以， 又因为，，平面PCE， 所以平面， 又平面，故有， 因为， 所以， 又平面平面，平面平面， 又在平面内， 所以平面， 又平面，故有， 又，，平面 故有平面 （2）解法一：以点F为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设点， 设平面PAB的法向量，，， 则， 可取， 于是有，得 平面PAC的法向量，平面PAB的法向量，设平面PAB与平面PAC夹角为，则， 解法二：如图，作，垂足为 M，连接 因为平面，，故平面， 为与平面所成角， 有，得到， 设，则， 由，得，解得 作，垂足为 ，连接， 为平面与平面夹角， ，由得，， ， ， 平面与平面夹角的余弦值为 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 【详解】（1）证明：取的中点，连，， 为的中点，且， 又，且， ，， 所以四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 故直线平面． （2）以为坐标原点，以，，所在射线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 ， ，，， 设，则，， 在棱上，可设， 故，解得，即， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量，，， ，即， 即， 取，则，， 故， 因为二面角的平面角的余弦值为， 所以，即， 即， ，解得， 故是的中点， 因此 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）连接，因为，， 则四边形为菱形，所以， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）取线段的中点，连接， 在菱形中，，则，故为等边三角形， 因为为的中点，则，且平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，则， ， 记平面的法向量， 则，取，则 易知平面的一个法向量为， 由题意， 整理可得，即， 因为，解得或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何 9大高频考点概览 考点01 空间几何体的表面积、体积 考点02 空间中的平行和垂直判定 考点03 空间中的夹角 考点04 空间中的动点和轨迹问题 考点05 立体几何综合 考点06 向量法求直线与平面的夹角 考点07 向量法求二面角 考点08 已知夹角求其他量 考点09 立体几何中的翻折和探索性问题 地 城 考点01 空间几何体的表面积、体积 1．下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（    ） A．底面半径母线的圆锥 B．底面半径母线的圆柱 C．半径的球 D．上、下底面半径分别为母线的圆台 2．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（    ） A．4 B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（   ） A．2 B． C．1 D． 5．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知正三棱柱的侧面积与以的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为 . 地 城 考点02 空间中的平行和垂直判定 1．（多选题）以下四个正方体中，满足平面CDE的有（    ） A．   B．     C．     D．     地 城 考点03 空间中的夹角 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 2．（多选题）(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成的角相等 B． C．二面角的大小可能为 D．若，则球的表面积为 地 城 考点04 空间中的动点和轨迹 1．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)在边长为的正三角形中，分别是上的动点（不含端点），将沿着翻折至，则（    ） A．四棱锥必存在一个外接球 B．当∥时，四棱锥体积的最大值是 C．当是的中位线，且时，则是等腰直角三角形 D．当是的中位线，且时，四棱锥外接球表面积是 2．（多选题）(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（   ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为45° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 地 城 考点5 立体几何综合 1．（多选题）(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)在正三棱台中，则（    ） A．三棱台的表面积为 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥与三棱锥的公共部分的几何体的体积为 2．（多选题）如图，已知四边形中，，与垂直并相交于点，且满足，，以为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥，且满足二面角大小为.则下列对于三棱锥的说法正确的有（    ） A．对任意，三棱锥的体积为定值 B．平面 C．当且仅当时，三棱锥的表面积为 D．外接球半径的最小值为 3．（多选题）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，M为AC的中点，，，且，则（    ） A．平面ACD B．平面ABC C．O到AC的距离为 D．二面角的正切值为 4．（多选题）(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)在正方体中，分别为棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与直线所成角为 D．若，则平面四点共面 地 城 考点6 向量法求直线与平面的夹角 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)在斜三棱柱中，，，且. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 2．如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 地 城 考点7 向量法求二面角 1．如图，在三棱柱中四边形是正方形，且是锐角，已知点A到平面的距离为 (1)求证：平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值. 2．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)如图，在四棱锥中，，，，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 3．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且．    (1)求证：； (2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值 4．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，， ，，. (1)证明：平面平面； (2)已知上有一点，满足，求此时平面与平面所成角的余弦值. 地 城 考点8 已知夹角求其他量 1．(24-25高三上·浙江宁波九校·期末)如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正弦值为，求． 2．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足    (1)若，证明：平面 (2)若，且平面与平面的夹角为，求 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，，，点为棱上一点.    (1)当为的中点时，证明：； (2)若直线与平面的所成角的正弦值为，求的大小. 地 城 考点9 立体几何中的翻折和探索性问题 1．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示． (1)求五面体的体积； (2)若点满足，若与平面所成角为，求的最大值． 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 (1)证明：平面 (2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点． (1)若是的中点，求证：直线平面； (2)若，且二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $